DE THI HSG TOAN THCS HUYEN PHU CAT

Ta có: SABEF=SCEFD1 SMBE=SNEC2 tam giác có chung đường cao là đường cao hình thang MBCN và BE=EC2 SMAF=SNFD2 tam giác có chung đường cao là đường cao hình thang MNDA và AF=FD3 Từ 1,2 và [r]

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ CÁT KÌ THI TUYỂN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC:2012-2013 MÔN:TOÁN (T.H.C.S) THỜI GIAN LÀM BÀI:150 phút (không kể thời gian phát đề) NGÀY THI: 10/11/2012 Bài 1: (1,5đ) Tìm các số nguyên x,y,z thỏa mãn đẳng thức: x  y  z  xy  y  z  Bài 2: (2đ) a) (1đ) Giải phương trình: x2  x 1  x 1 x  y  4z    y  z  4x   z  x  4y  Giải hệ phương trình:  b) (1đ) Bài 3: (3đ) a) (1,5đ) Cho số thực a,b,c Chứng minh rằng: a  b  c ab  bc  ca  (a  b)2 (b  c ) (c  a )   26 2009 b) Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn abc=1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: B 1   2 a  2b  b  2c  c  2a  Bài 4: (3,5đ) Cho hình thang ABCD (BC//AD) Gọi E, F là trung điểm BC và AD Trên cạnh AB lấy điểm M bất kỳ, qua M kẽ đường thẳng song song với hai cạnh đáy hình thang cắt EF I và CD N Chứng minh IM=IN Người biên soạn đáp án: Nguyễn Văn Phẩm THCS Ngô Mây Lớp 8A7 Năm học: 2012-2013 ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG TOÁN CẤP HUYỆN PHÙ CÁT Năm học: 2012 – 2013 Bài 1: (1,5đ) 2 Ta có: x  y  z  xy  y  z  Vì x, y, z là các số nguyên nên: x  y  z  xy  y  z    x  y  z  xy  y  z   x  y  z  xy  y  z  0 1 1   x  x y  y   y  y.1  12   z  z  0 4  2   1    x  y    y    ( z  1) 0   2  2   1  Mà  x  y    y  1  ( z  1) 0   2  2   1    x  y    y  1  ( z  1) 0   2     x  y 0 x 2 y  x 1   1 1    y  0   y 1   y 2 2 2   z 1  z  0  z 1     Vậy x 1; y 2; z 1 Bài 2: a) Theo đề: x  x   x  Đặt y x  x , ta có: y 1  x 1   y  1 4 x   y  y  4 x   y  y 4 x  y  y x  y x  x  y  x x  y  x  y ( x  y )( x  y )  2( x  y ) 0 ( x  y )( x  y  2) 0         2 2  x  y  y  y  x  x  y x  x  y x  x Mà x  y   x +2x  ( x  1)2 +1   x  y  x  x +x  x 0 Vậy x 0  x  y  4z   a   x  y  xy 4 z  1 1   y  z  x   b    y  z  yz 4 x  1    z  x  zx 4 y  1  z  x  y  1 c  b) Theo đề:  Lấy (1) – (2) ta được:  x  z  xy  yz 4 z  x  ( x  z )( x  z )  y ( x  z )  4( x  z ) 0  ( x  z )( x  z  y  4) 0 Mà từ:  a   y  z   x;  b   y  x   z  x  z  y  x  z   x  z  x   z   z   x    Chứng minh tương tự, ta y z; x  y  x  y z Thay y=x và z=x vào (1) ta được:  x 4 x   x  x  0  (2 x  1) 0  x  1 x  y z  Vậy Cách 2: x  y  4z    y  z  4x    z  x  4y  Theo đề:  ( x  y ) 4 z   ( y  z ) 4 x   ( z  x) 4 y    ( x  y )  4 z (1)  ( y  z )  4 x(2)  ( z  x)  4 y (3)  Giả sử z < x thì từ (1) và (2) suy x < z (do x+y và y+z lớn 0) Giả sử z >x thì từ (1) và (2) suy x > z Vậy x=z; chứng minh tương tự ta y=z đó x=y=z Thay y=x và z=x vào (1) ta được:  x 4 x   x  x  0  (2 x  1) 0  x  1 x  y z  Vậy Bài 3: (3đ)a)(1,5đ)Theo đề:       ( a  b ) (b  c ) ( c  a ) a  b  c ab  bc  ca    26 2009 (a  b) (b  c) 2(c  a ) 2a  2b  2c 2ab  2bc  2ca    13 2009 2 (a  b) (b  c) 2(c  a ) 2 2 2a  2b  2c  2ab  2bc  2ca    0 13 2009 (a  b) (b  c) 2(c  a ) a  2ab  b  b  2bc  c  c  2ca  a    0 13 2009 (a  b) (b  c ) 2(c  a ) 2 2 a  b   b  c   c  a  0       13 2009 12(a  b)2 2(b  c)2 2007(c  a )2   0 13 2009 2 Bất đẳng thức cuối cùng luôn luôn đúng nên: (a  b)2 (b  c ) (c  a )   26 2009 với a, b, c   (đpcm) 2  a  b  0;  b  c  0;  c  a  0  a b c a  b  c ab  bc  ca  (Dấu “=” xảy ) Bài 4: Giải: Vẽ MGEF; NHEF Ta có: SABEF=SCEFD(1) SMBE=SNEC(2 tam giác có chung đường cao là đường cao hình thang MBCN và BE=EC)(2) SMAF=SNFD((2 tam giác có chung đường cao là đường cao hình thang MNDA và AF=FD)(3) Từ (1),(2) và (3)  SMEF=SENF Mà hai tam giác này lại có chung đáy EF nên MG=NHMGI=NHI (g.c.g) MI=IN(đpcm) Cách 2: Gọi O là giao điểm AB và CD Ta có O;E;F thẳng hàng (bổ đề hình thang) O;E;I;F thẳng hàng.Vì BC//MN nên áp dụng định lí Ta Lét:  AE OE EC OE   MI OI và NI OI  AE EC  OE     MI NI  OI  Mà AE=EC suy MI=NI (đpcm) Vậy MI=NI