Ta có: SABEF=SCEFD1 SMBE=SNEC2 tam giác có chung đường cao là đường cao hình thang MBCN và BE=EC2 SMAF=SNFD2 tam giác có chung đường cao là đường cao hình thang MNDA và AF=FD3 Từ 1,2 và
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ CÁT KÌ THI TUYỂN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC:2012-2013 MÔN:TOÁN (T.H.C.S)
THỜI GIAN LÀM BÀI:150 phút (không kể thời gian phát đề) NGÀY THI: 10/11/2012
Bài 1 : (1,5đ)
Tìm các số nguyên x,y,z thỏa mãn đẳng thức:
x +y + <z xy+ y+ z−
Bài 2 : (2đ)
a) (1đ) Giải phương trình: 2x2 + 2x+ = 1 4x+ 1
b) (1đ) Giải hệ phương trình:
4 1
4 1
4 1
Bài 3 : (3đ)
a) (1,5đ) Cho 3 số thực a,b,c Chứng minh rằng:
b) Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn abc=1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
B
Bài 4 : (3,5đ)
Cho hình thang ABCD (BC//AD) Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BC và AD Trên cạnh AB lấy điểm M bất kỳ, qua M kẽ đường thẳng song song với hai cạnh đáy của hình thang cắt EF tại I
và CD tại N Chứng minh rằng IM=IN
Trang 2
-Người biên soạn đáp án: Nguyễn Văn Phẩm
THCS Ngô Mây
Lớp 8A7 Năm học: 2012-2013
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG TOÁN CẤP HUYỆN PHÙ CÁT
Năm học: 2012 – 2013 Bài 1: (1,5đ)
Ta có: x2 +y2 + <z2 xy+ 3y+ 2z− 3
Vì x, y, z là các số nguyên nên:
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2
2
1
2
⇒ −
2 1
2
0
1
x
z
=
Vậy x= 1;y= 2;z= 1.
Bài 2:
a) Theo đề: 2x2 + 2x+ = 1 4x+ 1
Đặt 2
y x= +x, ta có:
2
2
2
2 1 4 1
Trang 32 2 2
2
Vậy x= 0
b) Theo đề:
( ) ( ) ( )
4 1
4 1
4 1
( ) ( ) ( )
2 2
2 2
2 2
Lấy (1) – (2) ta được:
⇔
Mà từ: ( )a ⇒ =y 4z− − 1 x b;( )⇒ =y 4x− − 1 z
Chứng minh tương tự, ta cũng được y z x= ; = ⇒ = =y x y z
Thay y=x và z=x vào (1) ta được:
2
2
x= = =y z
Cách 2:
Theo đề:
4 1
4 1
4 1
Giả sử z < x thì từ (1) và (2) suy ra x < z (do x+y và y+z lớn hơn 0)
Giả sử z >x thì từ (1) và (2) suy ra x > z
Vậy x=z; chứng minh tương tự ta cũng được y=z do đó x=y=z
Thay y=x và z=x vào (1) ta được:
2
2
x= = =y z
Bài 3: (3đ)a)(1,5đ)Theo đề:
Trang 42 2 2
2 2 2
13
⇔
2
2( )
0
0
c a
−
0
Bất đẳng thức cuối cùng luôn luôn đúng nên:
(Dấu “=” xảy ra khi ( )2 ( )2 ( )2
Bài 4:
Giải:
Vẽ MG⊥EF; NH⊥EF Ta có:
SABEF=SCEFD(1)
SMBE=SNEC(2 tam giác có chung đường cao là
đường cao hình thang MBCN và BE=EC)(2)
SMAF=SNFD((2 tam giác có chung đường cao
là đường cao hình thang MNDA và AF=FD)(3)
Từ (1),(2) và (3) ⇒ SMEF=SENF
Mà hai tam giác này lại có chung đáy EF nên MG=NH⇒∆MGI=∆NHI (g.c.g)
⇒MI=IN(đpcm)
Cách 2:
Gọi O là giao điểm của AB và CD
Ta có O;E;F thẳng hàng (bổ đề hình thang)
⇒O;E;I;F thẳng hàng.Vì BC//MN nên áp dụng định lí Ta Lét:
Mà AE=EC suy ra MI=NI (đpcm)
Vậy MI=NI