DE THI HSG TOAN 9 MY CHANH 1112

Cho hình vuông ABCD có AB cố định .M là một điểm di động trên đường chéo AC .Kẽ ME vuông góc với AB và MF vuông góc với BC .Xác định vị trí của M trên AC sao cho diện tích của tam giá[r]

PHÒNG GD-ĐT PHÙ MỸ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN TRƯỜNG THCS MỸ CHÁNH Năm học: 2011-2012

Đề đề nghị Mơn : TỐN 9

Thời gian làm :150 phút (Không kể thời gian phát đề )

Bài 1 (3,0 điểm)

Chứng minh biểu thức 10n +18n -1 chia hết cho 27 với n số tự nhiên. Bài 2 (4,0 điểm)

Giải phương trình :

8 x 3 5 x 5

Bài 3.(6,0 điểm)

a/(3,0 điểm) Cho số thực x,y,z thỏa mãn

2 2

2 2

1 1

6

x y z

x y z

     

.Tìm giá trị biểu thức P x 2010y2011z2012 b/(3,0 điểm) Cho:

2 2 2 2

1 1 1 1

1 1

2 3 2009 2010 2010 2011

T             

Chứng minh T nhỏ 2010 BÀI 4 (3,0 điểm)

Cho tứ giác ABCD có O giao điểm hai đường chéo diện tích tam giác AOB ,diện tích tam giác COD Tìm giá trị nhỏ diện tích tứ giác ABCD

Bài 5 (4,0 điểm)

Cho hình vng ABCD có AB cố định M điểm di động đường chéo AC Kẽ ME vng góc với AB MF vng góc với BC Xác định vị trí M AC cho diện tích tam giác DEF nhỏ Tính giá trị nhỏ

PHỊNG GD-ĐT PHÙ MỸ HƯỚNG DẪN CHẤM TRƯỜNG THCS MỸ CHÁNH ĐỀ THI HSG LỚP CẤP HUYỆN Mơn: TỐN

Năm học: 2011-2012

BÀI ĐÁP ÁN BIỂU

ĐIỂM

Bài (3,0 điểm)

Với n=0 ta có 100 +18.0-1 =0 chia hết cho 27 Với n1 ta có

  

 

 

1

1

1

10 18

10 10 10 10 18 10 10 10

9 10 (10 1) (10 1) (1 1) n

n n

n n

n n

n

n

n n

n

 

 

 

 

      

      

 

         

 

Vì 10k 1 3v n ,do đó: 10n  1 18 27n

0,5 đ 1,0 đ 1,0 đ 0,5 đ Bài

(4,0 điểm) 8 x 3 5 x 5 Điều kiện: 3 x 28

Đặt x 3y y 0

Phương trình cho có dạng: 8y 5 y 5 Bình phương hai vế biến đổi ,ta được:

8 y 5 y 6 y2 3y 4 0

      

   

 

1

1

4

y y

y y

y loai

y

    

       

  

 

Với y=1,ta có: x 1  x4

Vậy phương trình cho có nghiệm x=4

0,5 đ

1,0 đ 1,0 đ 1,0 đ

0,5 đ

Bài (6,0 diểm)

a/(3,0 điểm)

Áp dụng bất đẳng thức

2

2

a a

 

Đẳng thức xảy a=1 a= -1 ,ta :

2 2

2 2

1 1

6

x y z

x y z

 

   

     

   

     

Đẳng thức xảy x2=y2=z2 =1 Ta có kết sau:

 P=1 ,khi (x;y;z) 1; 1;1 , 1; 1; , 1; 1; , 1; 1; 1             

0,5 đ 1,0 đ

9

O A

B

C D

 P= 3, (x;y;z) 1;1;1 , 1;1; , 1;1;1 , 1;1; 1        

b/(3,0 điểm)

xét số hạng tổng quát :

 

   

 

   

 

 

 

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

1 1

1

n

n n n n

A

n n n n

n n

n n n n

n n n n

   

   

 

   

     

 

 

Suy ra:

 

 

1 1

1

1

n

n n A

n n n n

 

   

 

Cho n lấy giá trị từ đến 2010 ta :

1 1 1 1

1 1

2 3 2009 2010 2010 2011

1

2009 2010

2 2011

T

Suy T

       

             

       

   

0,5 đ

0,5 đ

0,5 đ

1,0 đ 0,5 đ

Bài (3,0 điểm)

Ta có : AOB AOD

BOC COD

S S OA

S S OC

 

  

 

Mà SAOB 4,SCOD 9 , ên n SAOD.SBOC SAOB.SCOD 4.9 36 Áp dụng bất đẳng thức cauchy cho hai số dương ,ta có

2 12

AOD BOC AOD BOC

S S  S S 

Vậy: SABCDSAOD SBOCSAOB SCOD 25

Đẳng thức xảy SAOD=SBOC hay tứ giác ABCD hình thang

Vậy giá trị nhỏ diện tích tứ giác ABCD 25

M F E

D C

B A

Bài (4,0 điểm)

hình vẽ

Đặt AE =x,CF=y suy MF=CF=BE=y , suy x+y=a

 

EF EF

2

2

ax

2 2

2 2

D ABCD DAE DCF B

S S S S S

ay xy

a

a xy a xy

a x y

   

   

     

Ta có SDEF nhỏ xy nhỏ

2

2

x y a a

xy    khi x y

 

Lúc điểm M trung điểm AC

2 2

EF

1

min

2

D

a a a

S   

0,5 đ

0,5 đ

0,5 đ 1,0 đ

1,0 đ

0,5 đ