Nhận xét : ðể giải các bài toán tìm giới hạn dạng này, chúng ta chia cả tử và mẫu cho lũy thừa có “cơ số” lớn nhất.[r]
(1)PHÂN LOẠI MỘT SỐ GIỚI HẠN CƠ BẢN THƯỜNG GẶP VỀ DÃY SỐ
• Với c số, ta có limc=c; lim1
n= Tổng quát lim k 0,( 1) c
k n = ≥
• Với số thực q thỏa q <1 limqn =0
• Các phép tốn dãy có giới hạn hữu hạn (Xem định lý 1, SGK)
• Phép tốn dãy số có giới hạn vơ cực ( limun = ±∞)
lim
lim lim
n n
n n
u a u
v v
=
⇒ =
= +∞ ; { }
lim
lim lim
0,
dÊu cña n
n n
n n
u a
u
v a
v
v n
=
= ⇒ = ∞
> ∀ ≥
Dạng 1: Giới hạn dãy số ( )
( )
n
f n u
g n
= , ñó f n( ) ( ),g n ña thức ẩn số n
Cách giải : Chia (các số hạng) tử mẫu cho lũy thừa n có số mũ cao dãy un, sau dùng kết nêu để tính
Ví dụ 1: Tính
3
1
3
lim
4
n n
L
n n
− +
=
− +
Giải: Khi n→ +∞ n≠0 nên chia tử mẫu
3
3
4
n n
n n
− +
− + cho
3
n ta ñược
3
3 3
1
3 3
3
lim
4
n n
n n n
L
n n
n n n
− +
=
− +
2
3
7
3 0 lim
3 0 4
n n n n
− + − +
= = =
− + − +
(Ghi chú: lim 72 lim 13 lim3 lim 23 n = n = n = n = ) Ví dụ 2: Tính
7
2
3
lim
5
n n
L
n n n
− +
=
+ +
Nhận xét: Số mũ cao n giới hạn n8 nên ta chia tử mẫu cho n8 Giải:
7 8
2
8 8
3
lim
5
n n
n n n
L
n n n
n n n
− +
=
+ +
2
5
3 lim
1
n n n
n n
− +
=
+ +
0 0 0
− +
= =
+ +
Ví dụ 3: Tính
5
3
3
lim
4
n n
L
n n
− + +
=
+ +
Nhận xét: Số mũ cao n giới hạn n5 nên ta chia tử mẫu cho n5 Giải:
5
5 5
3
5 5
3
lim
4
n n
n n n
L
n n
n n n
− + +
=
+ +
4
3
2
lim
1
n n
n n n
− + +
=
+ +
Vì lim 24 45 n n
− + + = − <
1
lim
n n n
+ + =
nên
4
2
lim
1
n n L
− + +
= = −∞
(2)Các em học sinh cần lưu ý: Khơng viết theo cách sau
4
3
2
3 0 lim
1 0 0
n n L
n n n
− + + − + + −
= = = = −∞
+ +
+ +
(Sai)
Từ ba ví dụ ta có nhận xét: Với dãy số ( )
( )
n
f n u
g n
= , f n( ) ( ),g n ña thức ẩn số n, ta có
♣ Nếu bËc{f n( )}>bËc{g n( )} limun = ±∞;
♣ Nếu bËc{f n( )}< bËc{g n( )} limun =0;
♣ Nếu bËc{f n( )}= bËc{g n( )} limun c a b
= = (hằng số khác 0) Trong a hệ số n có số mũ cao f n( ); b hệ số n có số mũ cao g n( ) Dạng 2: Giới hạn dãy số ( )
( )
n
f n u
g n
= , ñó f n( ) ( ),g n biểu thức có chứa Ta biết, đa thức p x( )=a xk k +ak−1xk−1+ + a x1 +a0 có bậc k ;
Ta quy ước (ñễ dễ tính tốn, khơng phải kiến thức chuẩn ): Biểu thức a xk k +ak−1xk−1+ + a x1 +a0 có bậc
2 k
;
Biểu thức
1
k k
k k
a x +a− x − + +a x+a có bậc k
Ví dụ:
ða thứcp x( )=4n6−3n3+2n có bậc 6; Biểu thức 3n2+2n+1 có bậc
2= ;
3
3
n + n+ có bậc
Với dạng ta giải Dạng 1, tức chia tử mẫu dãy số cho n có bậc cao
Chú ý: n= n2; nk = n2k n=3 n3;nk =3 n3k dùng ñể ñưa lũy thừa vào dấu
Chẳng hạn: n n+ =1 n2(n+1)= n3+n2; n2.3 n+ =2 3 n6(n+2)= n7+2n6 ; 3
3
5
3 5
2
2
n n n
n n
n n
= = =
Ví dụ 4: Tính
2
4 2
2 lim
3
n n n
L
n
+ + +
=
− +
Nháp:
Căn n2+2n+3 có bậc
2= ; n có bậc nên bậc cao
2
2
n+ n + n+
(3)Giải:
Ta có
2
4 2
2 lim
3
n n n
n n
L
n
n n
+ +
+ =
+ −
2 2
2
2
lim
3
n n
n n
n n
+ +
+ =
+ −
2
2
2 1
lim
3
2 n n
n n
+ + +
=
− +
Suy 4 1 0 2
0 2
L = + + + = = −
− + −
Ví dụ 5: Tính
3
2
lim
1
n n n
L
n n
+ + +
=
+ +
Nháp:
Bậc cao 2n+ n3+3n+2 1, 2= ;
bậc cao 1+n 3n+ = +4 1 n2(3n+4)=n2+ 3n3+4n 3
2 Vậy ta chia tử mẫu dãy số cho n3 (có bậc
2) Giải:
3
3
5
3
2
lim
1
n n n
n n
L
n n
n n
+ +
+ =
+ +
2
3
3
3
3 2
lim
1
n n n
n n
n n
n n
+ +
+ =
+ +
2
3
1
2
lim
1
3
n n n
n n
+ + +
=
+ +
Suy 5 0
0 3
L = + + + =
+ +
Ví dụ 6: Tính
3
6
3
lim
3
n n
L
n n
− + +
=
+ +
Nháp:
Bậc cao 3−3n7+2n+1
3; bậc cao mẫu 2, suy bậc cao dãy
3 Vậy ta cần chia tử mẫu cho
3 n Giải:
Ta có
3 7
6
3 7
3
lim
3
n n
n L
n n
n n n
− + +
=
+ +
7
7
6
3 3
7 7
3
lim
1
n n
n
n n
n n n
− + +
=
+ +
3
6
3 3
4
2
lim
1 1
3 n n
n n n
− + +
=
+ +
Vì 3 3
6
2
lim 3
n n
− + + = − + = − <
3 3
4
1 1
lim
n n n
+ + =
nên
3
6
3 3
4
2
lim
1 1
3 n n L
n n n
− + +
= = −∞
+ +
(4)Dạng 3: Giới hạn dãy un = f n( )± g n( ), f n( ) ( ),g n ña thức ẩn số n Sử dụng phép biến ñổi dùng biểu thức liên hợp sau
( ) ( ) ( ( ) ( ))( ( ) ( ))
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
f n g n f n g n f n g n
f n g n
f n g n f n g n
− + −
− = =
+ + ;
( ) ( ) ( ( ) ( ))( ( ) ( ))
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
f n g n f n g n f n g n
f n g n
f n g n f n g n
+ − −
+ = =
− −
{Dùng ñẳng thức (a b− )(a b+ )=a2−b2} Khi ñó ta ñưa ñược dạng Dạng
Ví dụ 7: Tính L7 =lim( n2+ + −n n) Giải:
( )( )
( )
2
7
2
3
lim
3
n n n n n n
L
n n n
+ + − + + +
=
+ + +
( )2
2
2
3 lim
3
n n n
n n n
+ + −
=
+ + +
2
2
3 lim
3
n n n
n n n
+ + − =
+ + +
7 2
3 lim
3 n L
n n n
+ =
+ + +
{Nháp: Cả tử mẫu có bậc cao 1, nên ta chia tử mẫu cho n1 =n}
7 2
3 lim
3 n n n L
n n n
n n
+ =
+ + +
2
3 lim
3
n
n n
n
+ =
+ + +
2
3 lim
1
1
n
n n
+ =
+ + +
1
2 0
+
= =
+ + +
Ví dụ 8: Tính L8 =lim( 3n2+2n+ +1 n 3) Giải:
( )( )
8 2
3 3
lim
3
n n n n n n
L
n n n
+ + + + + −
=
+ + −
( )2 ( )2
2
2
3
lim
3
n n n
n n n
+ + −
=
+ + −
2
2
3
lim lim
3 3
n n n n
n n n n n n
+ + − +
= =
+ + − + + −
{Nháp: Cả tử mẫu có bậc cao 1, nên ta chia tử mẫu cho n1 =n}
8 2
2 lim
3
n n n L
n n n
n n
+ =
+ + −
2
1 lim
3
3
n
n n
n
+ =
+ + −
2
1 lim
2
3
n
n n
+ =
+ + −
Vì lim 2 n
+ = + = >
2
lim 3 0
n n
+ + − = + + − =
,
2
2
3
n n
+ + > nên 12 0, n n n
+ + − > ∀ Suy 8
2
1 lim
2
3
n L
n n
+
= = +∞
(5)Dạng 4: Giới hạn dãy có chứa số mũ n Lưu ý phép biến ñổi:
n n
n
a a
b b
=
; ( )
n n n
a b = a b ; limqn =0 q <1
Ví dụ 9: Tính 9 lim2 4.3 7.3
n n
n
L = +
−
Nhận xét: Trong lũy thừa , 3n n 3n có “cơ số” số lớn Vậy ta chia tử mẫu cho 3n sử dụng tính chất nêu để tính
Giải:
9
2
4
2 4.3 3 3
lim lim
1
5 7.3
5
3
n n
n n n n
n n
n
n n
L
+ +
= =
− −
2 lim
1
5
3 n
n
+ =
−
0 4
5.0 7
+
= = −
−
Vì 1; 1 < < nên
2
lim lim
3
n n
= =
Nhận xét: ðể giải toán tìm giới hạn dạng này, chia tử mẫu cho lũy thừa có “cơ số” lớn
Ví dụ 10: Tính 10 lim3.2 5.7 3.5
n n
n n
L = −
+
{Nháp: Trong lũy thừa , , , 7n n n n lũy thừa có số lớn dãy 7n} Giải:
Chia tử mẫu dãy số cho cho 7n ta có:
10
2
3
3.2 5.7 7 7
lim lim
4
4 3.5
3
7
n n
n n n n
n n
n n
n n
L
− −
= =
+ +
2
3
7 lim
4
3
7
n
n n
− =
+
Vì 5; ; 7
< < nên lim lim lim
7 7
n n n
= = =
nên
2
lim 3.0 5
n
− = − = − <
lim 3.0
7
n n
+ = + =
ñồng thời
4
3 0,
7
n n
n
+ > ∀ ∈
ℕ
Suy 10
2
3
7 lim
4
3
7
n
n n
L
−
= = −∞
+
{Theo ñịnh lý 2, tr117, SGK}
Dạng 5: Sử dụng ðịnh lý giới hạn lim
lim lim
n n
n n
u a u
v v
=
⇒ =
= +∞ ; { }
lim
lim lim
0,
dÊu cña n
n n
n n
u a
u
v a
v
v n
=
= ⇒ = ∞
> ∀ ≥
(6)và vn ≠0,un < − ∀ ∈3, n ℕ Hãy tính giới hạn sau a) 11 lim
3 n a
n u L
u
+ =
− b) 11
2 lim
3 n b
n u L
u
=
+ c) 11
5 lim
2 n c
n v L
v
+ =
−
Giải:
a) 11 lim lim lim 3 lim lim 3
n n
a
n n
u u
L
u u
+ + − +
= = = =
− − − −
b) Vì lim 2un =lim 2.limun =2.( )− = − <3 lim 3( +un)=lim lim+ un = + − =3 ( )3 0, ñồng thời un < − ∀ ∈3, n ℕ nên 3 0,
n
u + < ∀ ∈n ℕ Suy 11 lim
3 n b
n u L
u
+
= = +∞
−
Nhận xét: Với b) này, khơng ý đến un + < ∀ ∈3 0, n ℕ lim 2( ) 6 0 n
u = − < số em học sinh ñi ñến kết L11b = −∞ (Sai)
c) Do vn ≠ ∀ ∈0, n ℕ nên chia tử
n n v
v
+
− mẫu cho vn, ta ñược
11
5 lim
2 n n n c
n
n n
v v v L
v
v v
+ =
−
5 lim
2 n
n v
v
+ =
−
1 3
+
= = −
− Vì limvn = +∞ nên
2
lim lim
n n
v = v =
Bài tập tự luyện
Bài 1: Tính giới hạn sau a)
8
2
4 12 lim
5
n n
n n n
+ −
+ − b)
5
3
lim
6
n n
n n n
− +
− + + c)
2 12
4
lim
7
n n
n n
+ −
+ +
Bài 2:
a)
2
1 lim
3 12
n n n
n n
+ +
− + b)
3
2
lim
2
n n
− +
+ c)
3
3
lim
2
n n
n n
− +
+ +
Bài 3: Tính giới hạn sau
a) lim( 4n2+ + −n 2n) b) lim(n+ n2+ +n 7) c) lim 2( n− n2+ +n 2) d) lim(3 n3+2n+ −1 n)
Bài 4: Tính giới hạn sau a) lim
4 6.5 n
n n
+
− b)
3.2 lim
4.3 5.4 n
n n
+
− c)
3 5.7 lim
4.5 5.6 n
n n
− +
đáp số: 1a)
3
− 1b) 1c) −∞
2a) 2b) −∞ 2c)
3a)
4 3b) +∞ 3c) +∞ 3d)
4a)
− 4b) 4c) −∞