bsy gui chau Dung BN phan he phuong trinh co cautruc dac biet

Thông thường phép biến đổi xoay quanh việc cộng , trừ hai phương trình hoặc chia các vế phương trình cho một số hạng khác không có sẵn trong các phương trình của hệ để tìm ra những phầ[r]

Bài số HỆ CÓ CẤU TRÚC ĐẶC BIỆT

Trong năm gần , đề thi đại học Hệ phương trình đại số thường hay dạng hệ có cấu trúc đặc biệt Vì ta phải ngiên cứu cách giải chúng

Thơng thường ta có số phương pháp sau

I PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG

Là phương pháp chủ yếu dùng kỹ biến đổi hai phương trình hệ đưa phương trình đơn giản rút x theo y ngược lại để vào phương trình khác hệ Ta xét số ví dụ sau

1 Loại 1: Trong hệ có phương trình bậc theo ẩn x theo ẩn y Khi ta rút x theo y y theo x thay vào phương trình cịn lại

Ví dụ 1 Giải hệ phương trình :

     

 

2

2

1 1

1

x y x y x x

xy y x

      

 

   



Giải

Ta thấy x=0 nghiệm phương trình (2) từ phương trình (2) ta có :

 

1 1

y x x   y x   y x

thay vào phương trình (1) ta có :

          

2 3 4 1 1 2 2 1 1 3 1

x x x x  x  x  x x  x  x  x x

x 1 2 x3 2x2 4x 0 x x 1x2 x 2 0 x 0;x 1;x 2

             

Ví dụ 2 Giải hệ phương trình :

 

 

2

3

x y xy x y xy x y xy x y xy

   

  

   

 

Giải

Ta có x=y=0 nghiệm hệ Các cặp số (x;y) với x0,y0;x0,y0 không nghiệm hệ

Xét xy0 chia hai vế phương trình cho xy0 ta :

1

2

1

3

x y x y

x y x y



   

  

    

 

Suy : 2 x y   4 y 3x x2y1(*) thay vào phương trình thứ hai ta có : 2y-1+y+y(2y-1)(5y-3)=4(2y-1)y

    

3y y 10y 11y 8y 4y 10y 19y 10y y 10y 9y

                

9 41 41

1; ;

20 20

y y  y 

   

Đáp số : (x;y)=

1;1 , 41; 41 ; 41; 41

20 10 20 10

        

   

   

   

2 Loại Một phương trình hệ đưa dạng tích hai phương trình bậc hai ẩn Khi ta dưa giải hai hệ tương đương

Ví dụ 1 Giải hệ phương trình :

   

2 2 1

2 2

xy x y x y

x y y x x y

    

 

   

 

Phương trình (1)    

2

2

x y x y x y

x y

 

      

 



Ta thay lượt trường hợp vào phương trình (2) Giải kết

Ví dụ 2 ( ĐH-KA-2011) Giải hệ phương trình sau :

   

     

5

2

2

5

2

x y xy y x y

xy y x y

     

 

   

 

Hướng dẫn Từ (2) ta có :   

2 2

1 2

xy x y    xy  x y 

 xy=1; từ (1) suy : y4 2y2  1 y1 Vậy hệ có nghiệm (x;y)=(1;1),(-1;-1)

 Với :      

2 2 1 3 2 4 2 2 0

x y    y x y  xy  x y x y 

 

2

6y 4xy 2x y x y

     

1 xy 2y x xy x 2y

        Xét : xy=1 Đã giải Với : x=2y , thay vào

 

2 2 ; 10; 10 , 10; 10

5 5

x y   x y       

   

Vậy hệ có nghiệm : (x;y)=(1;1),(-1;-1),

2 10 10 10 10

; , ;

5 5

   

 

   

   

   

Ví dụ 3 Giải hệ sau :

   

2

1

1

x y x y x y

x y

      

 

 

 

Giải Điều kiện : x0;y0

(1)  x y 1  x y  1 0 Suy hệ trở thành :

      1;

1

0

1 ; 1;0 ; 0;1

1

1

1 0

x y

x y

x

x y

y x y

x y

x

x y y

  

    

   

 



    

   





 

 

  

 

   

 

  



Ví dụ 4 Giải hệ phương trình :

   

3

3

y x y x

x x y x x

 

   

 

    



Giải Điều kiện : x>0;y3.

Ta có :

 1 3

3

y y

x x y

 

 

   Suy :

 Với y=3 ; ta có : x  3 x3 ( loại )  Với y3 ta có :

3

3

3

x y x x

x x x y x x y

x y x x

    



         



   



 Vậy

* Chú ý : Trong số tốn đơi ta phải cộng trừ hai phương trình hệ sau xuất phương trình dạng tích

Ví dụ 5 Giải hệ phương trình sau :  

4 2

2

6 41

10 x y x y xy x y

   

 

 

 

Hướng dẫn :

Ta sử dụng đẳng thức :    

4 4 4 2 2 2 2

4

x y x y  xy x y  x y

Hệ cho  

4 2

2

6 41

4 40

x y x y xy x y

   

  

 



 Ta cộng vế với vế hai phương trình ta :

   4

4 4 2 6 2 81 81 3

x y xy x y x y x y x

          

Hệ cho

 

 

 

 

2

2

3 3

10 10

3

9 10

10

x y x y

xy x y xy xy

x y x y

xy xy

xy x y

     

   

   

   

   

   

 

 

 

   

  

  

 Học sinh giải tiếp

Ví dụ ( ĐH-KD-2008 ) Giải hệ phương trình sau :

2 2

2 2

xy x y x y

x y y x x y

    

 

   

 

Hướng dẫn Hệ viết lại :

          2 

2 2 2

y x y x y x y x y x y y x

x y y x x y x y y x x y

          

 

 



 

       

 

  .

Học sinh giải tiếp Đáp số : (x;y)=(5;2)

Loại 3: Một phương trình hệ phương trình bậc hai theo ẩn chẳng hạn x ẩn Khi ta coi y tham số

Ví dụ 1 Giải hệ sau ;

     

 

2

2

5 4

5 16 16

y x x

x y xy x y

   

 

      

 

Hướng dẫn :

Coi phương trình (2) phương trình theo ẩn y ta có : y2 4x2 y 5x216x16 0 Giải theo y ta có :

5

4 y x

y x

 



  

 Thay hai trường hợp vào phương trình (1) ta tìm

được nghiệm hệ

Ví dụ 2 Giải hệ phương trình sau :

2

2

5

x xy y y xy x

   

 

  



 .

Hướng dẫn :

Trừ hai phương trình hệ cho ta có : 2x2 y2xy y  5x 2

 

2

1

2 2

2 y x

x y x y y

x y

 

 

       

  

 Thay trường hợp vào phương trình

II PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

* Quan trọng học sinh phải nhanh trí phát ẩn phụ : u=f(x;y) v=g(x;y) hai phương trình hệ , sau biến đổi để phát u v

Thông thường phép biến đổi xoay quanh việc cộng , trừ hai phương trình chia vế phương trình cho số hạng khác khơng có sẵn phương trình hệ để tìm phần chung mà sau ta đặt ẩn phụ

Việc phát ẩn phụ nhanh hay chậm phụ thuộc vào kỹ biến đổi kỹ nhìn học sinh

Ví dụ 1 Giải hệ phương trình sau :

   

    

2

1

1 2

x y x y y

x y x y

    

 

   

 

Hướng dẫn :

Ta thấy : y=0 không nghiệm hệ Chia hai vế phương trình (1) (2) cho y ta có hệ :

 

2

2

1

4

2 x

x y y

x

x y y

 

  

  

  

   

 

 

 Đặt :

2 1 2

;

u v x

u v x y

u v y

  



     

 

Giải hệ suy u,v sau tìm x,y

Ví dụ ( SPIHN-KA-2000). Giải hệ phương trình

   

2

2 2

6

1

y xy x x y x

  

 

 

 

Hướng dẫn

Nhận xét : x=0 không nghiệm hệ ( phương trình (2) vơ nghiệm )

Chia hai vế hai phương trình hệ cho x2 0 Khi hệ cho trở thành :

2

2

1

6

1

5

y y y

y y

x x x x x

y y

x x

       

   

     

 

       

   

     

 

  .

Đặt :

 

 

3

2

6

1

; ;

5

5

uy u y sp

u s u y p uy

x u y s s

    



       

  

 

 



Học sinh giải tiếp : Đáp số (x;y)=(1;2),(1/2;1)

Ví dụ 3 Giải hệ phương trình sau :

 

 

2

2

3

4

1

2

xy x y

x y x

x y



   



 



  

 



Hướng dẫn :

Điều kiện : x y 0

Khi hệ trở thảnh :

   

 

 

2

2

3

3

1

3

x y x y

x y

x y x y

x y



    



 



     

 

 Đặt :

1 ;

u x y v x y

x y

    

Hệ :

2

3 13

3 u v u v

  



 

 Học sinh giải tiếp tìm u,v sau tìm x,y

Ví dụ 4 Giải hệ phương trình sau :

   

   

2

4 2 2

1

2 12

x y y

x y x y y x y

   

 

    

 

Giải : Điều kiện : y0;y1

Khi :    

2 2 4

1 2 ;

1

y y

x y y y y x x

y y

 

        

  .

Thay vào (2) , ta có :    

4 2 6 2 12 1 2 3 1 0

x y x y  y y  y y   x  x  y  y 

   

     

2

2

2

1

1

4

1 1

4 1

1

3

y x

y

y y y

y

y y y y x

y

   

 

  

      

     

 



Ví dụ 5.( AN-98) Giải hệ phương trình sau :

 

 2

2

1

1 18

1

1 208

x y

xy x y

x y

  

  

  

  



 

   

 



 



Giải :

Hệ cho viết lại :

2

2

1

18

1

208

x y

x y

x y

x y

   

   

   

 

  



 

 

    

 

 

   



Đặt :

2

1

4

14 14

18 18

1

;

56

212 14

14

1 x

x u

y

v y

u v u v

u x v y

uv

x y u v u

x x v

y y

 

 

   

     



 



    

   

         

 

     

  

   

 

 

  

     



     

2 2

2

4

14

; 3;7 ; 3;7

14

4 7 3

x

x x

y y y

x y

x x y

y y x

 

      

   



    

 

  

         

      

 



 

   

 

 

  

Ví dụ 6 Giải hệ phương trình sau :

 

 

2

2

2

15 85 x y

x y y x

x y

x y y x

 

  

 

 

 

 

   

 



 



Điều kiện : x0,y0 Đặt : ; x y

u v x y u

y x

    

Khi ta có :  

2 2 2

2

2 2

2 2; 2 ; 2

x y x y v

u x y x y xy v xy u xy

y x xy u



           



Hệ  

2

15 15

2 85

2 uv

v u

u

  

   

  

 

 

 Học sinh giải tiếp tìm u,v sau suy x,y

Ví dụ 7 Giải hệ phương trình sau :

  1

1 x y

xy xy

xy

  

  

  

  



  

 

Hướng dẫn :

Điều kiện : xy0 Đặt :

2

1

;

6

2 u v u v

u x v y

uv

x y u

v

 

 

  

 

      



  



    

 Học sinh giải tiếp

Ví dụ 8 Giải hệ :

2

2

2

1

3 x y y x xy

x x xy y

   

 

  

 

Hướng dẫn :

Điều kiện : x0,y0 Chia hai vế phương trình (1) cho xy , thêm vào hai vế phương

trình (2) nhóm chuyển dạng tích

1 1

1 1

4 x

x x y x

x x y



   

   

 

 

   

 

 

   



Đặt :

4

1 1

;

4 u v

u x v u v

uv

x x y

  

        



 Học sinh giải tiếp

Ví dụ 9 Giải hệ phương trình sau :

   

2

2 14

3

x x y x

x x y

   

 

  

 

Hướng dẫn

Hệ viết lại :

  

  

2

2

1

2 2;

2 14 2 3 7

1 29 29

;

2 2

2 29 29

;

2

x y

x x x y

x x x y x y

x y

x x x y x x

x y

x y

  

 

      

 

      

      

    



     

 

  



     

   

Ví dụ 10 Giải hệ phương trình sau :

3 2 3 9 2 10 3  0

3

3

x y x y x y

x y

x y

      

 

  



 

Hướng dẫn

Điều kiện : 3x y  0 y3x Chia hai vế phương trình (1) cho 3x y 0 Khi Phương trình (1) hệ trở thành :

2

3 3

3 10

3 3

x y x y x y x y

x y x y x y x y

       

      

   

   

   

Khi

* Trường hợp 1:

5 1;

3

1 3

1 ;

3 5

3 x y

x y x y

x y

x y

x y x y

x y

 

      

 

  

 

 



  

     

 

 



Trường hợp 2:

 

 

3 11

3 3 11

2 ;

3 12 4

1

1 3 3 11

3 11

3 ;

3

2

x y

x y x y

x y

x y x y x y

x y

 



 

      

 

  

 

  

 

       

  

  

 

Ví dụ 11 (ĐH-KD-2009 ). Giải hệ :

 

 2 2

5

1 x x y

x y x

  

  

   

 

Hướng dẫn :

Điều kiện : x0 Chia hai vế phương trình (1) cho x0 , (1) trở thành :

3

1

x y x y

x x

        

Thế vào phương trình (2) hệ (2) trở thành :    

2

2

1

1;

1 1

3

1 3 ; 1;1 , 2;

1 2;

2

x y

x

x x y

x

x x x x x y

x



 

 

  

    

                   



  

      

 

Ví dụ 12 ( ĐH-KB-2009 ). Giải hệ sau : 2

1 13

xy x y

x y xy y

   



  



Hướng dẫn

Nhận xét : y=0 khơng nghiệm (1) vơ lý , ta chia hai vế phương trình (1) (2) hệ cho y0;y2 0 Khi hệ trở thành :

 

 

2

2

2

1

1 7 3

7

1

20

1 1

13 13 4

x

x x

x x

y y

y y y

x x

x x y y

x x x

y y y y y

 

    

      

       

  

             



   

 

      

   

 

 

   

2

2

12

1

12 1;

; 1; , 3;1

3

3 3; 1

3

x y

y y x y

x y

x y x y

y y

 

  

    

  

 

     



  

  

 

   



Ví dụ 13 ( ĐH-KA-2008 ). Giải hệ :  

2

4

5

4 x y x y x y xy

x y xy x



    

  

    

 

Hướng dẫn :

Hệ viết lại :

 

   

2

2

2

5

4 ;

5

4

x y xy x y xy u v uv

u x y v xy

x y xy u v

 

       

 

 

   

 

      

 

 

Học sinh giải tiếp ta :

 

2

3

2

0

5

4 3 25 3

; ; , 1;

1 4 16 2

2

3

2

u x y

v xy

x y

u x y

v xy



    

 



 

  

 

     

 

       



   

       

 

  



 



  

 

 

 

 

Ví dụ 14 ( ĐH-KB-2008 ). Giải hệ :

4 2

2

2

2 6

x x y x y x

x xy x

    

 

  

 

Hướng dẫn :

Hệ viết lại :

   

2 2

2

2

2 9(3)

2

6

2 6 (4)

2

x xy x

x x y x

x x

x xy x xy

   

    





   

  

  



 Thay (4) vào (3) rút gọn ta có :

 

4

3

3

0

0

12 48 64

4

12 48 64

x

x x

x x x x

x

x x x x

 

 

 

          



       

 

Học sinh giải tiếp Đáp số nghiệm hệ : (x;y)=

17 4;

4

 



 

 

Ví dụ 15 ( ĐH-KA-2003 ). Giải hệ :

1

2

x y

x y

y x



  

 

  



Hướng dẫn Điều kiện : x y, 0

Từ (1) hệ :  

0

1 1

0

1 x y

x y x y

xy

x y xy

 

  

          



  

 Nếu : x=y , thay vào (2) hệ :    

2 2 1 0 1 ; 1;1

x x x x y

 Nếu xy=-1 , thay vào (2) hệ :

2

4 2 0 1 0

2 2

x    x x   x   

    Phương

trình vơ nghiệm Do hệ vơ nghiệm

III PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ

Loại 1 Một phương trình hệ có dạng : f(x)=f(y) Một phương trình cho ta biết tập giá trị x y Từ suy hàm số f(x) đơn điệu suy x=y

Ví dụ 1 Giải hệ phương trình sau :

   

3

8

5

1

x x y y

x y

   

 

 

 

Hướng dẫn :

Từ (2) suy : x y, 1

Từ (1) ta xét hàm số : f(t)=t3 5t f t'( ) 3 t2 0   t  1;1

Do f(t) hàm số nghịch biến Vậy để có (1) xảy x=y Khi (2) trở thành :  

8

8 8 8

1 1 1

; ; ; ;

2 2 2

x   x  x y       

   

Ví dụ 2.( Ngoại thương -2000) Giải hệ phương trình :

3

6

3

1

x x y y

x y

   

 

 

 

Hướng dẫn : Học hinh giải ví dụ , từ suy cách giải ví dụ

Loại 2 Hệ đối xứng mà sau biến đổi thường đưa dạng f(x)=f(y) f(x)=o Trong đó f hàm số đơn điệu

Ví dụ 1 Giải hệ phương trình sau :

2

2

2

2

y x

x x x

y y y





     

 

    

 

Hướng dẫn giải

Đặt u=x-1;v=y-1 hệ có dạng :

2

1 3

v u

u u

v v

   

 

  

 

Trừ hai phương trình vế với vế ta có phương trình : u u2 1 3u  v v2 1 3v(*) Xét hàm số :

2

2

( ) '( ) ln

1

u u u

f u u u f u

u

        

 Hàm số đồng biến

Để có (*) xảy u=v.Thay vào (1)

   

2 2

1 3u ln ln ( ) ln ln

u u u u u f u u u u

            

2

2

1

1

'( ) ln ln

1

u u

f u u

u u u

 

      

   Chứng tỏ hàm số nghịch biến Nhưng ta

Ví dụ 2 ( ĐH-KA-2010 ) Giải hệ phương trình sau :

   

2

4

4

x x y y

x y x

     

 

   

 

Hướng dẫn Điều kiện :

3

,

4

x y

Đặt :  

2

1

5

2 t   y y  t

, thay vào (1)của hệ ta có :

2

3 3

4

2 t

x x t   x x t t

        

  .

Xét hàm số : f x( )x3 x f x'( ) 3 x2  1 x f x( )đồng biến vế trái chẳng qua t=2x Do :

2

5

5 2

2 x

y x y 

   

Thay vào phương trình (2) hệ ta :

2

2

( ) 4 0;

2

x

g x  x      x  x 

 

 

Dễ thấy x=0 x=3/4 không nghiệm

Ta xét :  

2

5 4

'( ) 8 4 0;

2 4

g x x x x x x x

x x

   

           

 

   ,

với :

1

( ) ;

2

g   x y

là nghiệm hệ Ví dụ 3. Giải hệ phương trình sau :

   

5 10

2

1

4

x xy y y

x y

   

 

   

 

Hướng dẫn Điều kiện :

4 x

Chia hai vế phương trình (1) cho y5 0

5

5

x x

y y

y y

   

     

    Hàm số : f t( ) t5 t f t; '( ) 5 t4   1 t R.

Chứng tỏ f(t) đồng biến Cho nên để có (*) xảy

2

x

y x y y    Thay vào phương trình (2) ta : 4x 5 x  8 x1

Vậy hệ có nghiệm : (x;y)=(1;-1)

IV PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ

Với phương pháp học sinh cần quan sát nắm biểu thức khơng âm hệ để có thể vận dụng bất đẳng thức Cô si để đánh giá

Ví dụ 1 Giải hệ phương trình sau :

2

2

3

2

2

2

2

xy

x x y

x x

xy

y y x

y y



  



 

 

   

  



2

3

2

2 9

xy xy

x y

x  x  y  y   Ta có : x=y=0 nghiệm hệ

Ta có :  

2

3 x2 2x 9 3 x 1 8 2 VT xy xy 2xy

         

Khi : VP x 2y2 2xy.

Cho nên dấu xảy : x=y=1 Vậy hệ có hai nghiệm : (x;y)=(o;0);(1;1) Ví dụ 2 Giải hệ phương trình sau :

3

3

2

y x x

x y y

   

 

  

 

Hướng dẫn

Hệ cho

               

2

2

2 2

y x x

x y y

    

  

   

 

Nếu y>2 từ (1)suy x<2 Vơ lý (2) vơ nghiệm Nếu y<2 từ (2) suy x<2 Vô lý (1) vơ nghiệm Vậy hệ có nghiệm : (x;y)=(x;2)

Ví dụ 3.Giải hệ phương trình sau :

         

2

2

1 1

1 1

x x x y

y y y x

     

 

    

 

Hướng dẫn Dễ thấy : x=y=0 x=y=-1 nghiệm hệ Xét : x>0

    

7 4 7

1 y x x x x x x x x x x x y x

                 

    

7 4 7

1 x y y y y y y y y y y y x y

                 

Vậy hệ vô nghiệm Tương tự y>0 hệ vô nghiệm Xét : x<-1  1 x7  0 y 1

Ta có : 1+     

2 1

x x  x x  x x x  x  y x

Tương tự y<-1 ta có x>y Hệ vơ nghiệm

Xét trường hợp -1<x<0 Hệ vô nghiệm Kết luận : Hệ có nghiệm : (x;y)=(0;0);(-1;-1)

BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1 Giải hệ phương trình sau

a

 

   

2

3

2

2000 19

x y y

NNI x ty

x y

  



 



 



 b

 

     

2

2

2

98 10

y x y x

MDC x ty

x x y y

  



 



 

 

c

 

   

2

2

2

19

2001

x xy y x y

HH

x xy y x y

    



 

   



 d.

 

2

2

3

2001

2 x y

x TL y x

y



 

 

 

  

 

Bài 2 Giải hệ phương trình sau :

a  

 

2

4

5

4 2008

5

4 x y x y xy xy

KA

x y xy x



    

 

 

    



 b 2  

1

08 13

xy x y

KB

x y xy y

   

 

  

Bài 3. Giải hệ phương trình sau : a

4 2

3

1 x x y x y x y x xy

           b  

4 2

2

2

08

2 6

x x y x y x

CD KB

x xy x

              c 2

2x y 2x

x y y x

x y            

 d  

2 2 2 2

2

x

y

x xy

x y x x y x

               

Bài 4 Giải hệ phương trình sau : a

3 3

2

1 19

6 x y x

y xy x

         b 2

2 12

8 12

x xy y

y x           c   

 2

2 1 1 49 x y xy x y x y              

  d

2

2

2

4 12 12 10

x xy y x y

x y xy x y

                

Bài 5 Giải hệ phương trình sau :

a    

2

12 20

ln ln

x xy y

x y x y

             b  

3

2

3

2

log log

1

y x

x x y y

x y x y x                            

c    

2

2

2

2 1

x y y x x

x y x

            d

2

2

x

y x y

y

x x y x y

             

Bài 6 Giải hệ phương trình sau

a 2 2 xy x y x y x y x y

            b 2 2 48 24 y x y

x y x y

          

c 2

2

4 12

xy x y

x y x y

  

 

   

 d

2

2

y x y

x xy y x

          

Bài 7 Giải hệ phương trình sau a

2

2

2 2

2

x y x y

y x y xy

             b

2

2

1

x y y y

xy x y

          c

2 2

2

2

3 x y y

x x y

x           d 3 y x y x

x x y x x

             

Bài 8 Giải hệ phương trình sau :

a

2

1

x y y x y

x y              b     2

4

1

2

xy x y

c 2 1 x y y x xy

x x xy y

           d 2 2 2 xy

x x y

x x

xy

y y x

y y                 

Bài 9 Giải hệ phương trình sau :

a

 

 

2

3

x y xy x y xy x y xy x y xy

           

 b  

4 2

2

6 41

10 x y x y xy x y

         

c    

2

2 2

1

2

x y xy y

y x y x y

    

 

   



 d  

3

2

4 16

1

x y y x

y x           

Bài 10 Giải hệ phương trình sau : a

2 2

2

1

x y x y xy

x x y xy y xy

              b 2

2

4

x y x y

x xy y x

               c 2 3 2

x xy y

x y y x

   

 

  



 d    

2

3 2

2

2

x y x

x y x x y

            

Bài 11 Giải hệ phương trình sau :

a 2 5 3 31 x y xy x y x y            b     2

2

3 2 y x x y y x x y                

c    

2

2 2

1

2

x y xy y

y x y x y

    

 

   



 d    

2

2

2 1

x y y x x

x y x

           

Bài 12 Giải hệ phương trình sau :

a 2

sinx

siny 0;

4

3 2

x y

e

x

x y y y

                          b 2

4 2

5

6 20 81

x y

x y x y xy

           c

3

1

7

x x y y x y                          d

   

2

4

4

x x y y

x y x

             

Bài 13 Giải hệ phương trình sau

a

3

2 2

2 2 3

x y y x

y y x x

     

 

     



 b

2

2

x x y

y x xy y

           c

2

2

x y x y

x y               d         2

2 51

1 20

x y

xy x y

           

a 2

2 3

10

x y y x

x y             b      

2 20 28

2

x y x y

x y y x x

              c

3 2

2 3

2

2 14

x y x y xy

x y y x

              d

 2

3

2

7

3 8

x y x y x y x

x y y x

              

Bài 15 Giải hệ phương trình sau a

3

2

35

2

x y

x y x y

          b

2

2

4

4

x y xy

x y xy

           c

 2

3

2

7

3 8

x y x y x y x

x y y x

      

 

   



 d    

2

2

2

1 (1 )

x y x xy

xy x y x y y

             

Bài 16 Giải hệ phương trình sau

a

2

3 2

2

2 3

x y xy y

x xy y x y

   

 

  



 b.  

2

2

1

57

4 3

25 x y

x x y x

             c 2 49

8 17

x xy

x xy y y x

           d. 2

6 35

5 5 13

x y y

x y xy x y

            

Bài 17 Giải hệ phương trình sau

a     2 2

1 6( 1) 20

2

x x y y

x y              b 2

2

x xy y

x xy x y

             c 2

2

4

x y x y

x xy y x

               d. 2

2 3

x y xy x y x y           

Bài 18 Giải hệ phương trình sau a

3

2 2

2

2

x y y

x x y y

            b. 3 2 91

4 16

x y

x y x y

         

c  

3

2

8

3

x x y y

x y          

 d.  

2

2

1

2

x y xy y

y x y x y

            

Bài 19 Giải hệ phương trình sau

a

 

   

2 2 2

1

1 1

x y x y

x xy y y xy

             b.

4 2

2

2

2 6

x x y x y x

x xy x

            c

4 2

2

4

2 22

x x y y

x y x y

              d.     2 2 10

y x y x

x x y y

        

Bài 20 Giải hệ phương trình sau

a

8

3

x x y y x y

x y           b.       2 2 13 25 x y x y

x y x y

c

2 2

2 2

xy x y x y

x y y x x y

    

 

   



 d.    

2

1

2

1

y x

x y

x

y x x



  

  

    

 

Bài 21 Giải hệ phương trình sau

a

   

2

2

2

4

x y y y

y x y x

x y

    





   





 b.

2

2

x

y x y

y

x x y x y



   

  

    



c

   

 

3 3

1

5 1

xy y xy

xy y y

   

 

  



 d.

2

2

2 xy x y

x y x y x y



  

 



   



Bài 22 Giải hệ phương trình sau

a

1

2 2 29

x y

x x y x y y

   

 

      



 b.

12

3

3

y

x y x

x

y y x x



   

 

     



c

   

 

2

2

4 4

2

x x xy y x

x x y x

     

 

   



 d.  

2 1 2 2

2

x y x y

x y y

    

 

  

 

Bài 23 Giải hệ phương trình sau

a

   

2

2

1

1

x y x y x x

xy x x

      

 

   

 b.

   

   

2

1 12

2 11

x y x y

x y x y

    

  

    

 

c 2 2

2 x y x y

x y x y

    

 

   



 d

2

2 2

x y

x y

  

 

   

 

Bài 24 Giải hệ phương trình sau

a

2

x y x y

y x y x

    

 

    

 b.

2

3

x y x y

x y x y

     

 

     

 

c

2

2

2

2

x y x y

x y x y

      

 

     



 d.

3

3

2

2

y xy x y y

  

 

 

 

Bài 25 Giải hệ phương trình sau

a

2

2

1

2

1

x y xy y

y x y

x

    

 

  





 b.

2 6 3

4

x y y

x y x y

   

 

   

 

c

8

3

y x x y x x y

   

 

   



 d.

 3  3

2

1

2

1

2

x y x y

x x y



 



   

 

 



a  

2

2

2

4 11 28

x y xy xy

x y xy xy x y

    

 

     



 b.  

2

4 5 x y x y xy xy

x y xy x

                c     2 2 1 x y y x

xy x y

            d.   3 2

x y x y

x y x y

           

Bài 27 Giải hệ phương trình sau

a

2 2

2

8

2 10

x y x y

x x y

   

 

   



 (đánh giá y ) b.

 4 6 4

2

1

5

x x y y y

x y             c 2 2 12

x y x y

y x y

           d. 11

7 26

x y y x

y x y x

            

Bài 28 Giải hệ phương trình sau a

3

3

2

x y y

x y y

         b.

x x y y x y

x y           c

4 2

2

4

x xy x y

x x y x y

             d. 2

x x x y y

x y x y

             

Bài 29 Giải hệ phương trình sau

a

2

2

91

91

x y y

y x x

             b. 2 2

2

2

x x y y

x x y y

                

c    

4

3 2

240

2 4

x y

x y x y x y

            d.     2 1

y x x

x y x y x

x             

Bài 30 Giải hệ phương trình sau

a 3

2 3

3 3

x y y x

y y y x x

                b.

 3  

2 2

4 2

x x y y

x y                c       3

2 1

4 ln

x x y x y

y x y x

               d.

2 2

3

2 2

2

x y y x

x y y x

           

Bài 31 Giải hệ phương trình sau

a

 2 

2

3

3

x y x x y

x y x x

     

 

    

 b

 

2

8

4 2

x x y y

x x y y y

                c   2 2

2

3

x x y y y

x xy y x y

             d 2 1 x y y x xy

x x xy y

          

a

2 2

2 2

2 2

2

x y x x x y x y xy

   

 

  



 b.

2

2

2 3

2

x y x xy y

x y x y

    

 

  

 

c  

2

1

2

2

3

2

2

2

x y

x xy

x y x x y x





  

   

    



 d.

 

 

2 2

3

1

4 ln

x y x y x y

y x y x

    

   

 

    

 

e

 

3

2

3

2

log log

1

y x

x x y y

x y

x

y x

    



 

    

  

   

  

 

 

