[r]
(1)PHAN I: ĐAI SO
Tính giá trị biểu thức
Phần1 :Biểu thức số Bài tËp 1: TÝnh A = √3−2√2−√6+4√2
B = √2+√3+√2−√3
C = √3+√13+√48
D = √√5+√3−√29−12√5 Bµi tËp 2: TÝnh A = √2
√2+√2+√2+
√2
√2+√2−√2
B = 2+√3 √2+√2+√3+
2−√3
√2−√2−√3
C = (2 √2+3¿(
1+√2+ 14
−1+2√2− 2−√2)
D = √2−√3.√
3√2−2√3 3√2+2√3
Bµi tËp 3: TÝnh S =
√7+5√2+√37−5√2
Bµi tËp 4: TÝnh T =
√70−√4901+√370+√4901
Bµi tËp 5: Cho x0= √310+6√3−√3−10+6√3 CMR x0 lµ nghiƯm cđa PT
x3 + 6x – 20 = 0
Bµi tập 6: Biết x= 2+2+3632+3 Tính giá trị biÓu thøc S = x4-16x
Phần : Biểu thức đợc tính qua biểu thức khác
Bµi tËp : Cho số a,b thoả mÃn hệ thøc a2+b2 = vµ a3+b3 = TÝnh
T = a2005+b2006
Bµi tËp 2: BiÕt a,b dơng thoả mÃn a2002+b2002= a2003+b2003 = a2004+b2004 Tính
S = a2005+ b2005
Bµi tËp : BiÕt a,b,c tho¶ m·n
a+ b+
1
c=1 vµ ab +ac +bc = TÝnh
P =
1+a+ab+
1 1+b+bc+
1 1+c+ca
Bài tập 4: Biết x,y thoả m·n (x+ √1+y2¿(y+√1+x2)=1 TÝnh F= x+y
Bµi tËp 5: Cho x,y,z số dơng thoả mÃn x+y+z+ √xyz=4
TÝnh S = √x(4− y)(4− z)+√y(4− x)(4− z)+√z(4− x)(4− y) - √xyz
Bµi tËp 6: Cho a,b,c,x,y,z số dơng thoả mÃn x+y+z = a; x2+y2+z2 = b;
a2 =b +4010 Tính giá trị biểu thức
M= (2005+y
2
)(2005+z2)
2005+x2 +y√
(2005+x2)(2005+z2)
2005+y2 +z√
(2005+x2)(2005+y2)
2005+z2 PhÇn : Mét sè bµi lun tËp
Bµi 1: TÝnh S =
1+√3
2 1+√1+√3
2
+
1−√3 1−√1−√3
2
T= 3+√5 √10+√3+√5+
3−√5
√10+√3−√5
F= 4+√7
2√2+√4+√7+
4−√7 2√2−√4−√7
Bµi : CMR S= √2+√3√4 √2000 Bµi 3: CMR
6<
3−√6+√6+ .+√6
3−√6+√6+ √6 <
(2)Bµi 4: Cho x=
3(
√23+√513
4 +
3
√23−√513
4 −1) TÝnh
A=2x2+2x+1
Bài 4: Cho a,b dơng a2-b>0 CMR √a+√b=√a+√a
2 − b
2 +
a a2 b
Bài 5: Tìm x biÕt ( √3+√5+√2¿x=√10+√60+√24+√40
Bµi 6: BiÕt r»ng x+y =a+b vµ x2+y2=a2+b2
TÝnh P= xn+yn
Bµi 6: BiÕt
a+ b+
1
c=2005 a+b+c =2006 Tính giá trị biểu thức
S = a+b
c +
b+c
a +
a+c
b
Bµi 7: TÝnh D =
2+√2+ 3√2+2√3+
1
4√3+3√4+ .+
1
100√99+99√100
Bµi 8:Cho x1,x2,x100 100 số tự nhiên khác không CMR
NÕu
√x1
+
√x2
+
√x100
=20 th× Ýt nhÊt cã hai sè b»ng nhau
Bµi 8: CMR
3√2+ 4√3+
1
(n+1)√n<√2
Bµi 9: Cho x =
232+2+34 vày=
6
232+342 Tính giá trị biểu thức
M=xy3-y.x3
Bài 10: Cho a+b+c=0 vµ a− b
c +
b −c
a +
c −a
b =2005 Tính giá trị biểu thức
T= c
a− b+ a b −c+
b c −a
Bµi11: BiÕt x
x2+x+1=
1
4 TÝnh A= x
−4x3−3x+9
x4
+3x2+11
Bài12: Cho a,b,c thoả mÃn
1 a+
1 b+
1 c=
1 a+b+c
a3+b3+c3=29
¿{
¿
HÃy tính P=a2005+b2005+c2005
Phơng trình cách giải
Phần1: Phơng trình bậc hai ẩn a.x2+b.x+c=0 (a 0 )
1, C«ng thøc nghiƯm (SGK-Trang … tËp NXB GD 2005) 2, số dạng điển hình
Dạng thứ nhất : Liên quan tới =b2-4ac…
Bài tập 1: Tìm tất số aZ để PT 2x2-(4a+5.5)x +4a2+7=0
Bµi tËp2: Cho a,b số thoả mÃn a2003+b2003=2a1001b1001 CMR
Phơng trình x2+2x+ab=0 có hai nghiệm hữu tỷ.
Dạng thø hai : Liªn quan tíi hƯ thøc vi –Ðt NÕu
Δ≥0⇒ x1+x2=−b
a x1x2=c
a ¿{
(3)
X12=(x1+x2)x1-x1x2=Sx1-P
X13=x1(Sx1-P)=S(Sx1-p)-X1p =(S2-p)X1-SP …
Bµi tËp1: Cho PT x2-2(m+2)x+6m+1=0
1, CMR phơng trình có nghiệm với m 2,Tìm m để PT có hai nghiệm lớn Bài tập2: Cho PT x2+x-1=0
1, CMR phơng trình có hai nghiệm trái dấu
2, Gọi x1 nghiệm âm PT TínhGT cđa biĨu thøc P=x1+ √x18+10x1+13
Bµi tËp 3: Cho PT x2-2x-1 =0 cã hai nghiÖm x
1,,x2 (x2<0)
Tính GT biẻu thức sau A=x14+2x23+3x12+8x2—8
B=x15+x24-8x1+9x2-10
C= √x15−3x
12+x1+1−1 5√x
24−8x2
Bài tập 4: 1, Cho PT x2-2x+3-m=0 Tìm m để PT có hai nghiệm thoảmãn
2x13+(m+1)x2-16=0
2, Cho PT x2-x-1= cã hai nghiÖm x
1,x2 H·y tÝnh
A=x1-3x2
B=x18+x26+13x2
3, Cho PT x2-2(m-1)x –2m-5= cã hai nghiƯm x
1,x2 T×m GTNN cđa biĨu thøc A=
x12+2(m-1)x2-4
Bµi tËp 5: Cho x1,x2 nghiệm PT x2+2004x+1= x3,x4 nghiệm
của PT x2+2005x+1= TÝnh GT cđa biĨu thøc
A= (x1+x3)(x2+x3)(x1-x4)(x2-x4)
Bµi tËp 6: Cho PT bËc hai Èn x : x2+2(m-2)x-m2-4m+5=
1, Xác định m để PT có2 nghiệm gấp đơi nghiệm
2,Xác định GT m để PT có hai nghiệm x1,x2 thoả mãn điều kiện
(x1+
x1 x2+
x2¿
+¿
1 x1¿
2
+¿
x2+
1 x1x2¿
2
−(x1+
x1)(x2+
x2)(x1x2+ x1x2)=4
Bài tập 6: Xác định m để PT 2x2+2mx+m2-2=0 có hai nghiệm.
Gäi x1,x2 lµ hai nghiƯm cđa PT T×m GTLN cđa A=2x1x2+x1+x2+4
Bài tập 7: Gọi x1,x2 nghiệm PT x2-(2m-3)x+1-m = Tìm m để biểu thức
A=x12+x22+3x1x2(x1+x2) đạt GTLN
Bµi tËp 8: Cho PT (x2-1)(x+3)(x+5)=m
1, Giải phơng trình với m=105
2, Xỏc nh m để PT có nghiệm thoả mãn x1
1
+
x2+ x3+
1 x4=−1
Bµi tËp 9: Cho PT x2-5mx-4m =0 cã hai nghiÖm x 1,x2
1, CMR x12+5mx2-4m >0
2,Xác định m để biểu thức m
2 x12+5 mx2+12m
+x22+5 mx1+12m
m2 đạt GTLN
Bài tập 10: Cho PT mx2+(2m-1)x+m-2=0 Tìm mđể PT có hai nghiệm x
1,x2 tho¶ m·n
x12+x22=2005
Bµi tËp 11 : Cho a,b lµ hai nghiƯm cña PT x2-x-1=0 CMR
P= a+b+a3+b3 ; Q=a2+b2+a4+b4 R=a2001+b2001+a2003+b2003 số chia hết cho 5
Mét sè bµi lun tËp
Bài tập 11: Tìm đờng thẳng y=x+1 điểm có toạ độ hoả mãn y2-3y
√x+2x=0
Bài tập 12: Giả sử PT x2+a.x+b+1=0 có hai nghiệm x
1,x2 CMR a2+b2 hợp số
Tập Bài 13 : Cho hai PT x2-(2m-3)x+6=0 2x2+x+m-5=0 Xác định m để hai PT có
(4)Bài 14: Tìm mđể hai PT x2+x-2+m=0 x2+(m-2)x+8=0 có nghiệm chung
Bµi 15: Cho PT mx2+2mx+m2+3m-3=0
1, Xác định m để PT vơ nghiệm
2, Xắc định m để PT có hai nghiệm x1,x2 thoả mãn x1-x2=1
Bài 16: Tìm m để PT (m+1)x2-3mx+4m=0 có nghiệm dơng
Bài 17: Tìm k để PT kx2-(12-5m)x-4(1+k) = có tổng bình phơng nghiệm
13
Ph¬ng trình quy phơng trình bậc hai Dạng bản.
Dạng 1: phơng trình trùng phơng : a.x4+bx2+c=0
Ph
ơng pháp giả i : đặt x2=t 0 đa đến PT at2+bt+c=0
Ví dụ : giải phơng trình (x-1)4+2(x2-2x) =22
D¹ng 2: (x-a)4+(x-b)4=m (m>o)
Ph
ơng pháp giải : đặt x-a=t-k x-b =t+k hay x=t+ a+b
2 đa dạng
Ví dụ : giải phơng trình x4+(1-x)4=1/8.
Dạng 3: (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) =m víi a+b=c+d Ph
ơng pháp giải : đặt t=(x+a)(x+b) đa phơng trình bậc hai Ví dụ : giải PT (x2-1)(x+3)(x+5)=105
Dạng 4: đẳng cp a.X2+bXY+cY2=0
Ph
ơng pháp giải : XÐt X=0 vµ X0 víi X0 chia hai vÕ cho Y2rồi đa
ph-ơng trình bậc hai
VÝ dơ : gi¶i PT 2
1+x¿2 ¿
1− x¿2 ¿ ¿ ¿
√¿
Dạng5: đối xứng bậc a.x4+bx3+cx2-bx+a=0 (a0) hoc a.x4+bx2+cx2+bkx+ak2=0
Ph
ơng pháp giải :Xét x=0 x0 Nếu x0 chia hai vế cho x2 đa PT bậc hai dạng
4
VÝdô1 : cho PT 3x4-4x3+mx2+4m+3=0
1, Với giá trị m PT vô nghiƯm 2, Gi¶i PT víi m=-5
Ví dụ 2: giải phơng trình 2x4-21x3+34x2+105x+50=0
Dng 6: a.X +bY =c XY=k khơng đổi Phơng pháp giải : đặt x=t0 đa PT bậc hai ẩn t
VÝ dơ : gi¶i PT 3 √1− x
2+x+3√
2+x
1− x=2
D¹ng 7: 1x+
√A(x)=m víi x
2+A(x)2=k không đổi
Phơng pháp giải : đặt A(x) =y đa hệ x2+y2=k
x+ y=m
Ví dụ : giải PT sau a, 1x+ √2− x2=2
b, x+ x
√2x2−1=2
HD: đặt x=1/y giải nh phần a,
Phơng trình vơ tỷ – dạng đặc biệt cách giải Dạng1: Dạng
1, √A=B⇔A=B2 vµ B0
2, √A=√B⇔A=B 0
(5)Ví dụ : giải phơng trình sau 1, 2x2
5x+7=3x+7
2, √3x2
−2x −4=√3x −1
3, √2x+5+√7−3x=√2x+1
Dạng 2: Biến đổi dạng A2=B2 làm xuất thừa số chung để đa phơng trình
tÝch
VÝ dơ : gi¶i cácphơng trình sau : 1, x4+
x2+2005=2005
2, -x2+2=
√2− x
3, x2+4x+5=2
√2x+3
4, x3+2
√7x2+7x+√7−1=0
Dạng 3: Biến đổi dạng tổng biểu thức khơng âm khơng Ví dụ : giải phơng trình
1, √x −2002−1
x −2002 +
√y −2003−1 y −2003 +
√z −2004−1 z −2004 =
3
2, 16 √x −3+
4
√y −1+ 1225
√z −665=82−√x −3−√y −1−√z −665
D¹ng4: Dïng Èn phơ
1, Phơng trình √A(x)+√B(x)=m có kA(x) +nB(x) =p không đổi
Ph
ơng pháp giải : đặt u= √A(x)≥0, v=√B(x)≥0 đa hệ gồm phơng trỡnh bc nht
và phơng trình bậc cao giải phơng pháp Ví dụ : giải phơng trình sau
1, 25 x2
√10− x2
=3
2,
√2− x+√x −1=1
3, x3+1=2 3❑
√2x −1
4,
√17− x8−❑
√2x8−1
=1
2, Phơng trình đặc bit khỏc
Ví dụ :giải phơng trình sau: 1, Cho PT √x+1+√3− x −√(x+1)(3− x)=m
a, giải phơng trình với m=2
b, Tìm m để phơng trình có nghiệm 2, Cho PT (x-3)(x+1)+4(x-3) √x+1
x −3=m
a, giải phơng trình m=-3
b, Tỡm m phơng trình có nghiệm 3, Giải phơng trình (
x+2
1+√x2+7x+10=k
√x+5−√¿ ¿ ¿ k=3
4, Giải phơng trình 3+2 x x2= 6x −3
√x −√1− x
5, Giải phơng trình (x-18)(x-7)(x+35)(x+90)=2005x2
Dng 5: Dựng bt ng thc
Ví dụ : Giải phơng tr×nh sau 1,
√1− x2
+√41+x+4√1− x=3
2, x2-6x+11=
√x −2+√4− x
D¹ng 6: Chứng minh phơng trình có nghiệm nhất Phơng pháp giải : Dùng biện pháp nhân liên hợp Ví dụ : Giải phơng trình sau
1, √
3− x+√ 27
5− x=5
2, x2-3x-7=
√x −1+√6− x
3, x2+3x-1=
(6)4, x
2
+2x
x2
+1 =√
1− x x
5, √3x2−7x
+3−√x2−2=√3x2−5x −1−√x2−3x+4
Mét sè bµi lun tËp
6, √4x+1−√3x −2=x+3
5
7, √12x+13−√4x+13=√x+1
8, √2x2
+16x+18+√x2−1=2x+4
9, √2x2
−1+√x2−3x −2=√2x2+2x+3+√x2− x+2
10, Gi¶i BPT : √x2
−3x+2+√x2−4x+3≥2√x2−5x+4
11, √2x+1+√2x −3=√x+3+√x −1
12, √2x2
+x −1√3x2+x −1=√x2+4x −3+√2x2+4x −3
13,
√2− x+√x −1=1
14, 2+ √3−8x ≥6x+√4x −1
Mét số luyện tập tổng hợp
Giải phơng tr×nh sau 1, √x(x −2)+√x(x −5)=√x(x+3)
2, x3-x2-x=1/3
3, x+2 √x −1−m2 +6m-11=0
a, Giải phơng trình m=1
b, Tìm tất giá trị m để phơng trình có nghiệm 4, x3+
x −1¿3 ¿ ¿
x3
¿
5, x2-x-1000
√1+8000x=1000
6, (x2+1)(y2+2)(z2+8) =32xyz
7,
√1+√x+√31−√x=2
8, 3x-16+2 √2x2
+5x+3=√2x+3+√x+1
9,
√x −1+3=√4 82− x
10, x+ √17− x2
+x√17− x2=9
11, √x+4√20− x=4
12, 5x2-10x+1=
√x −2
13, Tìm mđể phơng trình sau có nghiệm a, √1+x+√8− x+√(1+x)(8− x)=m
b, √x −3−2√x 4+x 4x 4=m
14, Giải phơng tr×nh sau a, x2+3x+1=(x+3)
√x2+1
b,
√x −1+√3 x+8=− x3+1
c, x
2
+√3
x+√x2+√3+
x2−
√3 x −√x2−
√3=x
d, 2x= √7x2
+8x+10x28x+10
15, Cho phơng trình (
1 x+1¿
2
=m
1 x¿
2
+
a, giải phơng trình với m=15
(7)16, Gi¶i PT (34− x)
3
√x+1−(x+1)√334− x
√34− x −√3x+1 =30
17, Giải phơng trình 2x2+2x+1=(4x-1)
x21
18, Giải phơng trình x2-2x+3=
2x2 x
+1+3x 3x2
19, Giải phơng trình x(3x+1)x(x 1)=2x2
20, Giải phơng trình √x
2
+8x
√x+1 −√x+7=
7
x+1
21, Giải biện luận phơng trình
x3-3x2+3(a+1)x-(a+1)2=0
22, Giải phơng tr×nh 5x
2−10x
+1
x2+6x −11 =√x −2
phơng trình chứa ẩn dấu giá trị tuỵêt đối
phơng pháp giải phơng pháp 1: Lập bảng khử dấu giá trị tuệt đối Ví dụ : Giải phơng trình sau
1, 2x-1+2x-5=4 2, x2-x+2x-4=3
phơng pháp 2: Biến đổi tng ng
1, A=B B0 A=B B0 A=-B 2, A=BA=B A=-B
Ví dụ : Giải phơng trình sau
1, x2+x-12=x2-x-2
2, x-1=3x-5
3, x2-2x=2x2-1
phơng pháp 3: Đặt ẩn số phụ Ví dụ :
1, Giải phơng trình x2-5x+5=-2x2+10x-11
2, Cho phơng trình x2-2x-mx-1+m2=0
a , Xác định gía trị m để phơng trình có nghiệm b , Xác định m để phơng trình có hai nghiệm
phơng pháp4: Biện luận đồ thị
VÝ dô : Với giá trị m phơng trình sau cã nghiÖm nhÊt
x+3-1=2x-m
phơng pháp 5: Sử dụng bất đẳng thức Ví dụ : Giải phơng trình sau
1, x-1+x+1+x=2
2, x-20052005+x-20062006=1
3, x-2000)8+(x-2001)10=1
4, Cho ph¬ng trình x-2004+x-2005+x-2006=m a , giải phơng trình với m=2
b, tìm giá trị m để phơng trình vơ nghiệm một số luyện tập
1, Cho phơng trình x+6x 9+x 6x 9=x+m
6
a, giải phơng trình với m=23
b, tìm giá trị m để phơng trình có nghiệm 2, Tìm m để phơng trình sau có nghiệm
a, √x+√2x −1+√x −√2x −1=m
b, √x −3−2√x −4+√x −4√x 4=m
bài khảo sát số i
(làm thời gian 90 phút ) Phần trắc nghiệm
Câu 1: Giá trị biểu thức P= 2+3 2+2+3+
2−√3
(8)(A) 7/5 ; (B) √2
2 ; (C) √2 ; (D) 29/20
Câu 2: Biết a,b,c thoả mãn a2+b4+c6=1 a3+b5+c7=1, giá trị biểu thức
T=2(a2004+b2005+c2006) lµ
(A) 1; (B) ; (C) 3; (D) Câu3: Nếu a,b,c thoả mÃn ab+ac+bc=1
a+ b+
1
c=1 giá trị cđa biĨu thøc S=
1+a+ab+
2 1+b+bc+
1
1+c+ca lµ
(A) –1; (B) ; (C) ; (D) C©u 4: NÕu a,b,c tho¶ m·n
a+ b+
1
c=0 th× biĨu thøc H= ab
c2+ ac
b2+ bc
a2 có giá trị : (A)
2 ; (B) 3; (C) ; (D) Phần tự luận Câu 1: Tính giá trị cđa biĨu thøc P= a+1
√a4+a+1− a2 , biÕt a nghiệm dơng
của phơng trình 4x2+
2x 2 =0 Câu2: Gọi x1,x2 nghiệm phơng trình : x2-x-1=0
Tính giá trị biểu thức A=x18+x26+13x2
Câu 3: Cho phơng trình x2-5mx-4m =0.
1, CMR x12+5mx2-4m >0
2, Xác định m để biểu thức m
2 x12+5 mx2+12m
+x22+5 mx1+12m
m2 t GTNN
Câu4: Giải phơng trình -x2+2=
2 x
Câu 5: Cho phơng trình : x+2+1=2x-m
1, Giải phơng trình m=
2, Tìm m để phơng trình có nghiệm Câu6: Giải phơng trình 48x(x3-4)(x+1) = (x4+8x+12)4
Hệ phơng trình cách giải
Phần thứ nhất: Hệ phơng trình bËc nhÊt hai Èn ¿
a.x+by=c
mx+ny=k
¿{
¿
Mét sè chó ý giải hệ HÃy tham khảo qua ví dụ sau VÝ dơ : Gi¶i hƯ
¿
x −2y=1
3x+5y=−2
3
¿{
¿
1, Giải song hÃy ý trờng hợp ẩn ë mÉu nh sau ¿
1 x−
2 y=1
x+
y= −2
3
¿{
(9)2, Nếu quy đông mẫu số dẫn đến giải hệ ¿
y −2x=xy
3x+5y=−2
3 xy
¿{
¿
3, Nếu nghịch đảo phơng trình hệ dẫn đến hệ ¿
xy
y −2x=1 xy
3x+5y=
−3
¿{
¿
4, Nếu thay đổi mẫu hệ phần 1, đa hệ dới ¿
1 2+x−
2 1− y=1
2+x+
5 1− y=
−2
¿{
¿
5, NÕu ®a thêm tham số m vào hệ ta có toán cïng d¹ng sau
Cho hƯ PT
¿
1 2+x−
2 1− y=m
2+x+
5 1− y=
−2
¿{
¿
Hãy tìm m để hệ có nghiệm
6, Dựa vào định nghĩa nghiệm hệ ta thêm vào hệ phần đầu Các phơng trình để dẫn đến dạng tơng tự sau
Cho hÖ
¿ x −2y=1
3x+5y=−2
3 2x − y=2m −1
¿{ { ¿
Hãy tìm m để hệ có nghiệm
Mét sè toán tham khảo
Bài toán 1: Giải vµ biƯn ln hƯ
¿
mx+2y=2m
x+y=3
¿{
¿ Bài tốn : Tìm m để hệ
¿
3x −2y=m
x+my=3
¿{
¿
(10)Bµi to¸n 3: Cho hƯ
¿
x+(m+1)y=1
4x − y=−2
¿{
¿
1, Tìm số ngun m để hệ có nghiêm x,y ngun 2, tìm m cho hệ có nghiệm thoả x2+y2=0.25
Bài toán4: Giải hệ
¿
3 2x − y+
5 2x+y=2
1 2x − y−
1 2x+y=
2 15
{
Bài toán5: Tuỳ theo giá trị m ,hÃy tìm giá trị nhỏ biĨu thøc P=(mx+2y-2m)2+(x+y-3)2
Bài tốn 7: Tìm mđể hệ có nghiệm
¿
mx+y=1
x+my=1
x+y=m
{ {
Bài toán 8: Giải hÖ
1,
¿
x2+y2−6x+4 y=0
2x2−3y2−12x −12y
=−25
¿{
¿
2,
¿
√x+1−3√y −1=−1
2√x+1+5√y −1=9
{
Bài toán 10: Tuỳ theo m tìm giá trị nhỏ biểu thức 1, F=(mx-2y+1)2+(3x+y)2
2, P= x-my+2x+y-1
Phần thứ hai : Phơng trình đối xứng kiểu 1
Phơng pháp giải : đặt s=x+y xy=p (đk : s2-4p 0 )
tìm s,p sau tìm x,y dựa vào Vi-ét đảo
VÝ dơ 1: Gi¶i hÖ
¿
x+y=1−2 xy
x2
+y2=1
¿{
¿
VÝ dơ 2: Gi¶i hƯ
x+y+xy=5
y+1¿3=35
¿ ¿{
¿
(11)VÝ dơ 3: Gi¶i hƯ
¿
x+y+z=16
x2
+y2+z2=18
√x+√y+√z=14
¿{ {
¿ Phần thứ ba : Hệ đối xứng kiểu 2
Phơng pháp giải: Lấy hiệu phơng trình hệ ln dẫn tới trờng hợp có x=y sau giải tiếp
Ví dụ 1: Giải hệ sau 1,
¿
x=y2− y
y=x2− x
¿{
¿ 2,
¿
2x+√y −1=√2005
2y+√x+1=√2005
¿{
¿
3, ¿
x3
+y=2
y3+x=2
¿{
¿ Phần thứ t : hệ phơng trình đẳng cấp
Phơng pháp giải :
cỏch 1: Khử hệ số bậc hai để vào phơng trình cịn lại dẫn đến PT trùng phơng
cách 2: khử hệ số tự dẫn đến phơng trình đẳng cấp Ví dụ1: giải hệ
¿
x2−4 xy
+y2=1
y2−3 xy=4
¿{
¿ Ví dụ 2: Cho hệ phơng trình
¿
2x2−xy
=1
4x2+4 xy− y2=m
¿{
¿ 1, Gi¶i hƯ víi m=7
2, Xác định m để hệ có nghiệm
Phần thứ năm :Hệ gồm có phơng trình bậc Phơng pháp giải : Dùng phơng pháp
Ví dụ : Giải phơng trình sau 1,
¿
x+y=7
√x+1+√y=4
¿{
(12)2,
¿ √2x+2y+√2x −3y=3
2√(2x+2y)(2x −3y) 4x − y=5
¿{
¿ Phần thứ sáu: Hệ lặp ba ẩn phơng pháp giải : a, đánh giá giá trị ẩn
b, lấy hiệu phơng trình để chứng minh x=y=z Ví dụ : Giải hệ sau
1,
¿
x3−9y2
+27y −27=0
y3−9z2+27z −27=0
z3−9x2
+27x −27=0
¿{ {
¿
2,
¿
12x2−48x+64=y3
12y2−48y
+64=z3
12z2−48z
+64=x3
¿{ {
¿
một số phơng pháp để giải hệ
Phơng pháp thứ nhất: Biến đổi để đa hệ quen thuộc Ví dụ : Giải hệ sau
1,
¿
6x2−3 xy+x=1− y
x2
+y2=1
¿{
¿
2,
¿
√x+1+√x+3√x+5=√y −1+√y −3+√y −5 x+y+x2+y2=80
¿{
¿
3,
¿
(x2
+xy+y2)√x2+y2=185 (x2−xy
+y2)√x2+y2=65
¿{
¿
4,
¿
x4+y2=697
81
x2+y2+xy+3x −4y+4=0
¿{
¿
4,
¿ x3
(2+3y)=1 x(y3−2)=3
¿{ ¿
5, ¿
x+1
y= y+1
x=
¿{
¿
6,
¿
x2
(y − z)=−5
3 y2
(z − x)=3
z2(x − y)=1
3
¿{ {
(13)7,
¿
x2+
y2+ x y=3 x+1
y+ x y=3
¿{
¿
8,
¿
x+y=1
x5+y5=11
¿{
¿
9,
¿
(x+1) (y+1)=8 x(x+1)+y(y+1)+xy=17
¿{
¿
Phơng pháp thứ hai: Dùng bt ng thc
Ví dụ : Giải hệ phơng trình sau
1,
x
y+ y
√x=xy xy¿2005
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
x2008
+y2008=8√¿ 2,
¿
x2−xy
+y2=3
z2+yz+1=0
¿{
¿
3,
√x+√y+√z=3
1+√3xyz¿3 ¿ ¿ ¿{
(1+x)(1+y)(1+z)=¿
4,
¿
x5− x4+2x2y=2
y5− y4+2y2z=2
z5− z4
+2z2x=2
¿{{
¿
5,
¿
3x x+1+
4y y+1+
2z z+1=1
89.x3.y4.z2
=1
¿{
¿
6,
¿
xyz≥1
2 xyz+xy+yz+xz≤1
¿{
¿
Phơng pháp thứ ba : Dựa vào điều kiện có nghĩa hệ để tìm nghiệm Ví dụ: Giải hệ
¿
z2+1=2√xy
x2−1
=yz√1−4 xy
¿{
¿
(14)1,
3− x¿3 ¿
(2z − y)(y+2)=9+4y
¿
x2+z2=4x ; z ≥0
¿
y+2=¿
2,
xy¿2−2x+y2=0
¿
2x2−4x+3+y3=0
¿ ¿
Một số luyện tập
Giải hệ phơng trình sau
1,
x+y+z=3
y+2z2=1
1 x+
1 y+
1 z=
1
¿{ {
¿
2,
¿
x+|y|+m(x3+2x2|y|+2 xy2+|y|3)=1− m x|y|=−6
¿{ ¿
a, Gi¶i hƯ m=o b, Gi¶i hƯ m=1
3,
¿ x+y+z=1
xyz=1 x y2+
y z2+
z x2=
y2
x + z2
y+ x2
z ¿{ {
¿
4,
¿
x4
+y2=697
81 x2
+y2+xy−3x −4y+4=0
¿{
¿
5,
¿
x3−xy2+200y=0
y3− y.x2−500x
=0
¿{
¿
6,
¿
(x+y)(x2− y2)
=45 (x − y)(x2+y2)=85
¿{
¿
7,
¿
x2
+xy+y2=19(x − y)2
x2−xy
+y2=7(x − y)
¿{
¿
8,
¿ |xy−4|=8− y2
xy=2+x2
¿{
¿
9,
¿
|x −1|+|y+1|=1
2|y+1|+1=x
¿{
¿
10,
¿
x+y=√4z −1 y+z=√4x −1
x+z=√4y −1
¿{ {
¿
11,
¿
x2+y2+z2+2 xy−xz−yz=3
x2
+y2+yz−xz−2 xy=−1
¿{
(15)12,
¿
x3+y=3x+4
2y3
+z=6y+6
3z3+x=9z+8
¿{ {
¿
13,
¿
x2
(y+z)2=(3x2+x+1)y2z2
y2(z+x)2=(4y2+y+1)x2z2
z2(x+y)2=(5z2+z+1)x2y2
¿{ {
¿
14,
¿
20 y
x2+11y=2005 20 z
y2+11z=2005 20 x
z2+11x=2005
¿{ {
¿
15,
¿ x3(y2
+3y+3)=3y2 y3(z2+3z+3)=3z2 z3(x2+3x+3)=3x2
¿{{ ¿
16,
¿
x+y+z=6
xy+yz−xz=−1
x2+y2+z2=14
¿{ {
¿
17,
¿
x3+y3+x2(y+z)=xyz+14
y3+z3+y2(z+x)=xyz−21 z3
+x3+z2(x+y)=xyz+7
¿{ {
¿
18,
¿
xy+2x+y=0
yz+2z+3y=0
xz+3x+z=0
¿{ {
¿
19,
¿
x2+y2−2(x+y)=0
y2+z2−2(y+z)=0 z2
+x2−2(z+x)=0
¿{ {
¿
20,
¿
x2
+y2+xy=37
x2+z2+xz=28
y2
+z2+yz=19
¿{ {
¿
21,
¿
(x2+y2) (x2− y2)=144 √x2+y2−√x2− y2=y
¿{
¿
22,
¿
1 x+
1 y+
1 z=2
xy− z2=4
¿{
¿
23,
¿
x3+y2=2
x2
+xy+y2− y=0
¿{
¿
11, cho hÖ sau
¿
x+4|y|=|x|
|y|+|x −a|=1
¿{
¿
1, Gi¶i hƯ a=-2
(16)12, Gi¶i hƯ PT
x(x − y)=2y2
x+y¿2=y4
¿ ¿ ¿{
x4
+y2
(Thi HSG Tỉnh VP năm học 05-06)
các bất đẳng thức -áp dụng
1, Bất đẳng thức cau chy:
NÕu c¸c (i=1,2,,n) không âm ta có
1
n
a1
n ≥
n
√a1.a2 an
Dấu đẳng thức xảy a1=a2=…=an
2, Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp –ski
Cho hai dãy số thực a1,a2,…an b1,b2, …bn Khi ta ln có BĐT
(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2) a1b1+a2b2+ +anbn¿
2
¿ Dấu đẳng thức xảy a1
b1
=a2
b2
= =an
bn
3, Bất đẳng thức Svác –sơ
Cho hai dãy số a1,a2,…an b1,b2,…bn bi (i=1,2,…n) dơng
Khi ta ln có BĐT sau
a1+a2+ an¿2
¿ ¿
a12
b1+ a22
b2+ + an
bn
Đẳng thức xảy a1=a2==an
4, Bất đẳng thức dấu giá trị tuyệt đối
|A|+|B|≥|A+B|
Dấu đẳng thức xảy AB
5, Một số BĐT hay sử dụng khác
a, Cho số a,b dơng ta có BĐT đung sau
a+b
2
n
an+bn
2 ≥¿
víi n 2, n∈N
Dấu đẳng thức xảy a=b b, Nếu a+b ta có BĐT sau :
a3
+b3
2 ≥
a2
+b2
2
a+b
2
Dâu = a=b c, Nếu a,b>0
a+ b≥
4 a+b
DÊu = a=b
d, Nếu a+b BĐT sau a3+b3 (a+b)ab
DÊu = a=b
e, Nếu ai(i=1,2,,n) số dơng th×
(a1+a2+…+a2)(
1 a1+
1 a2+ +
1 an¿≥ n
2
DÊu = a1=a2=…=an
một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức
(17)VÝ dô : Chøng minh BĐT sau 1, Cho a>1 Chứng minh a
√a −1≥2
Ap dơng : T×m GTNN cđa biĨu thøc P= (x
3
+y3)−(x2+y2) (x −1)(y −1)
2, Cho a,b,c d¬ng Chøng minh r»ng √ a b+c+√
b a+c+√
c a+b>2
3, Cho a,b,c số dơng vµ abc=1 CMR
a3
(1+b)(1+c)+
b3
(1+c)(1+a)+
c3
(1+a)(1+b)≥
3
4, Cho a,b,c d¬ng CMR ab+b
c+ c a≥
a+b+c
3
√abc
Phơng pháp thứ hai: Sử dụng bất đẳng Bu-nhia-cốp –ski Ví dụ1: Chứng minh 3(a2+b2+c2) a+b+c¿2
¿ VÝ dơ2: Chøng minh r»ng nÕu x2+y2=u2+v2=1 th×
|x(u+v)+y(u − v)|≤√2
VÝ dô 3: Cho (i=1,2,,5) dơng thoả mÃn a1+a2++a5
2
Chøng minh r»ng a1+a2+…+a5+
1 a1+
1 a2+ +
1 a5≥
25
Phơng pháp thứ ba : Sử dụng phơng pháp phản chøng VÝ dô 1: Cho a,b,c (0,1) Chng minh cã Ýt nhÊt mét B§T sau sai
a.(1-b)>1/4 ; b(1-c) >1/4 ; c(1-c)>1/4
VÝ dơ 2: Cho a,b,c tho¶ m·n
¿
a+b+c>0
ab+ac+bc>0
abc>0
¿{ {
¿
Chøng minh a>0,b>0,c>0
VÝ dô3: Cho a,b,c tho¶ m·n
¿
ab+ac+bc>0
1 ab+
1 ac+
1 bc>0
¿{
¿
Chøng minh a, b, c cïng dÊu
Phơng pháp thứ t : Phơng pháp đánh giá đại diện Ví dụ 1: Cho a,b,c dơng Chứng minh 1< a
a+b+
b b+c+
c c+a<2
VÝ dơ 2: Cho a,b,c lµ ba cạnh tam giác CMR
a
√b3+c3 +3 b
√c3+a3 +3 c
√a3+b3 <2√34
VÝ dô 3: Chøng minh
2
5
2n −1 2n <
1
√2n+1 víi n nguyên dơng
Ví dụ 4: Chứng minh r»ng
3√2+
4√3+ .+
(n+1)√n<√2
với n số tự nhiên lớn Phơng pháp thứ 5: Sử dụng biến đổi tơng đơng
VÝ dô1: Cho a,b d¬ng CMR 2√ab √a+√b≤
4
(18)VÝ dô 2: Cho ab Ch¬ng minh r»ng
1+a2+
1 1+b2≥
2 1+ab
Phơng pháp thứ sáu: Sử dụng phơng pháp quy nạp Ví dụ : CMR
n+1+
1
n+2+ +
1 2n>
13
24 víi mäi sè tù nhiªn n>1
VÝ dơ2: Cho x R thoả mÃn x+1/x số nguyên CM xn+1/xn số
nguyên với n nguyên
Phơng pháp thứ 7: Sử dụng bất đẳng thức dấu giá trị tuyệt đối Ví dụ 1: Biết |a+b+c|≤1,|c|≤1,|a
4+ b
2+c|≤1
CMR : |a|+|b|+|c|≤17
VÝ dơ 2: Cho ®a thøc f(x)=a.x2+bx+c tho¶ m·n |f(x)|≤1 x=-1; x=0 ;x=1
CM : |a|+|b|+|c|3
Phơng pháp thứ 8: Sử dụng công thức nghiệm phơng trình bậc hai Ví dụ 1: Cho a,b,c dơng thoả mÃn điều kiện a>0, bc=2a2, a+b+c=abc
CMR : a √1+2√2
2
VÝ dơ 2: Cho a,b,c tho¶ m·n (a+c)(a+b+c)<0 Chøng minh (b-c)2>4a(a+b+c)
VÝ dô 3: Cho a,b,c tho¶ m·n
¿
a+b+c=2
ab+ac+bc=1
¿{
¿
CMR: a , b , c 4
Phơng pháp thứ 9: Sử dụng phơng pháp hình học
Ví dụ1: Cho số a1,a2,a3 b1,b2,b3 số thực Chứng minh :
b1+b2+b3¿ a1+a2+a3¿
2
+¿ ¿
√a12+b12+√a22+b22+√a32+b32≥√¿
VÝ dô2: Chøng minh r»ng √x2
−6x+34 - √x2−6x+10≤4 víi mäi x R
PhÇn lun tËp
Bài tập1: Cho a,b,c số dơng CM bất đẳng thức
√ c a+b+√
a b+c+√
b c+a
√a+b
c +√ b+c
a +√ c+a
b ≥2¿
Bµi tập2: Choba số dơng a,b,c thoả mÃn abc=1 Chứng minh
1 a2+2b2+3+
1 b2+2c2+3+
1 c2+2a2+3≤
1
Bµi tËp3: Cho a,b,c (0,1)
Chøng minh r»ng a
b+c+1+
b c+a+1+
c
a+b+1+(1− a)(1− b)(1− c)≤1
Bài tập4: Cho a,b,c số dơng Hãy chứng minh Bất đẳng thức sau
1, a
3 b +
b3 c +
c3
(19)2,
a3+b3+1+
1 b3+c3+1+
1
c3+a3+1≤1 víi abc=1
3, a3+b3
2 ab + b3
+c3
2 bc + c3
+a3
2 ac ≥ a+b+c
4, ab
a5+b5+ab+
bc
c5+b5+bc+
ac
c5+a5+ca≤1
5, 5a
3− c3 ac+3a2 +
5c3− b3 bc+3c2+
5b3−a3
ab+3b2 ≤ a+b+c
6, ab
c(c+a)+
bc a(a+b)+
ca b(b+c)≥
a c+a+
b a+b+
c c+b
7, 25a
b+c+
16b c+a+
c a+b>8
8, (1+1
a).(1+ b).(1+
1
c)≥64 víia+b+c=1
9, a
b+c+
b a+c+
c a+b≥
3
10, a2
b+c+
b2 c+a+
c2 a+b≥
a+b+c
2
11, a3
b+c+
b3 a+c+
c3 a+b≥
1
2 víi a
2+b2+c2 1
12, (1− a
b+c)(1−
b c+a)(1−
c a+b)≤
1
Bµi tập 5: Cho a,b,c ,d số dơng thoả m·n
1 1+a+
1 1+b+
1 1+c+
1
1+d≥3 Chøng minh r»ng abcd
1 81
Bài tập6: Các toán liên quan tới cạnh tam giác Và BĐT quen thuộc
x+ y≥
4
x+y (D©u = x=y víi ®k x,y>0)
Chứng minh bất đẳng thức sau 1,
a+b − c+
1 a −b+c+
1 b+c −a≥
1 a+ b+ c
2, c
a+b − c+
b a −b+c+
a b+c −a≥3
3,
(a+b − c)n+
1
(a −b+c)n+
1
(b+c −a)n≥
1 an+
1 bn+
1 cn
4, c
n
a+b − c+
bn a −b+c+
an b+c −a≥ a
n −1
+bn −1+cn −1 víi n=2,3,…
5, √ a
b+c −ta+√
b
c+a−tb+√
c
a+b−tc≥2√1+t t (0,1)
Một số toán khai thác từ B§T quen thuéc
xyz (x+y − z) (y+z x)(z+x y) (x,y,z cạnh tam gi¸c) (1)
1, đặt x=b+c;y=c+a ;z=a+b BĐT trở thành (b+c)(c+a)(a+b) abc (2) 2,Nếu x,y,z số dơng không cạnh tam giác CM đợc
(1) nh sau
(20)x ≥ y+z
¿
y ≥ z+x
¿
z ≥ x+y
¿ ⇒
¿
x+y − z ≥ y+z+y − z=2y>0
¿
y+z − x ≤ y+z − y − z=0
¿ ¿ ¿ ¿
V©y xyz >0 > (x+y-z)(y+z-x)(z+x-y) Với x,y,z cạnh tam giác C/m
ý BT (2) nu đặt S=a+b+c ta có (S-a)(S-b)(S-c) abc
Víi số dơng a+b; a+c;b+c ta lại có
(S+a)(S+b)(S+c)= [(a+b)+(a+c)][(a+b)+(b+c)][(a+c)+ (b+c)]≥64 abc
Nhân BĐT chiều đợc (S2-a2)(S2-b2)(S2-c2) 83a2b2c2 Hay
(Sa22−1)( S2 b2−1)(
S2
c2−1)≥8
(3) Sử dụng BĐT (3) ta giải đợc thi quốc tế sau
Bài1: Cho a,b,c dơng thoả mÃn abc=1.C/m
(a+1
b1)(b+
c1)(c+
a1)1 (IMO năm 2000)
HD: Do abc=1 nên tồn số x,y,z d¬ng cho a= x
y;b= y z ; c=
z x
Chẳng hạn x=1,y=1/a,z=c BĐT cần chứng minh trở thành
(xy+ z y1)(
y z+
x z−1)(
z x+
y
x−1)≤1⇔(x+z − y)(x+y − z)(y+z − x)≤xyz
Bài2: Cho a,b,c dơng chứng minh rằng
a
√a2+8 bc+
b
√b2+8 ca+
c
c2+8 ab1 (IMO năm 2001)
HD: Đặt x= a
√a2+8 bc; y
= b
√b2+8 ca; z
= c
√c2+8 ab ta cã x,y,z >0 vµ
Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành x+y+z Theo đặt có
1
x2−1=
8 bc
a2 ;
1
y2−1=
8 ca
b2 ;
1
z2−1=
8 ab
c2 ⇒(
1
x2−1)(
1
y2−1)(
1
z2−1)=8
NÕu S=x+y+z <1 th×
(x12−1)( y2−1)(
1
z2−1)>( S2 x2−1)(
S2 y2−1)(
S2
z2−1)≥8
m©u thuÉn V©y S=x+y+z (đpcm)
áp dụng : Cho a,b,c dơng
a+1+
1 b+1+
1
c+1=2 C/m abc
1
Một số toán cực trị
1, T×m GTNN cđa biĨu thøc S= a
6 b3
+c3+
b6 c3
+a3+
c6 a3
+b3 a,b,c dơng thoả mãn
a+b+c=1 2, T×m GTNN cđa T= a2
1− a+ b2 1−b+
1
(21)3, T×m GTNN cđa biĨu thøc P= x −t
y+t+
t − y y+z+
y − z x+z+
z − x
x+t x,y,z,t >0
4, T×m GTNN cđa H= a
1+b − a+
b 1+b− c+
c
1+a − c a,b,c dơng t/m
a+b+c=1 5, T×m GTNN cña A= a
8
(a2
+b2)2+
b8
(b2
+c2)2+
c8
(c2
+a2)2 a,b,c dơng t/m ab+ac+bc=1
6,T×m GTNN cña T= a
3 1+b+
b3
1+a với a,b dơng t/m ab=1
7, Tìm GTNN cña M= a √b+
b
√c+ c
√a a,b,c dơng t/m a+b+c
8,Gäi x lµ sè lín nhÊt ba sè x,y,z T×m GTNN cđa biĨu thøc G= x
y+√1+ y z+
3
√1+ z
y
9, Tìm GTNN L=ab+2ac+bc a,b,c t/m a2+b2+c2 8
10, Cho a,b,c dơng thoả mÃn 2abc+ab+bc+ca T×m GTLN cđa abc?
11,T×m GTNN cđa biÓu thøc P= 2002x+2003√1− x
2
+2004 √1− x2
12, Cho sè x1,x2,x3,x4 tho¶ m·n
¿
∑
1
xi=1
∑
1
xi3>0
¿{
¿
T×m GTNN cđa F=
∑
1
xi4
∑
1
xi3
13, Cho a,b,c số không âm thoả m·n a+b+c=1 T×m GTLN cđa S=ab+2bc+3ca
14, Cho a,b,c tho¶ m·n
¿
a+b+c=1
a2+b2+c2≤1
2
¿{
¿
CMR a , b , c ≤1+√3
15, Tìm GTNN biểu thức sau với x khác P= (x
2
+16|x|+48) (x2+12|x|+27)
x2
15, T×m GTLN S= 2004x
2
+6006x+6√x3−2x2+x −2−8003 x2+3x −4
16, T×m GTNN cđa biĨu thøc S= ab
a2+b2+
a2
+b2
ab a,b dơng
17, Cho a,b,c số dơng thoả mÃn a2+b2+c2 1
T×m GTNN cđa Y= a3
b+c+
b3 c+a+
c3 a+b
18, Cho x,y dơng thoả mÃn x+y=1.Tìm GTNN A=
x3+y3+
(22)19, Tìm GTNN biểu thức T=x4+y4 x,y số thoả mãn
x a , x+y ≥ a+b
20, Tìm GTLN biểu thức T=x2+xy+y2 x,y thoả mãn đk
|2x − y|≤3,|x −3y|≤1
21, Cho a,b,c só dơng thoả m·n a+b+c=1.T×m GTNN cđa
A=
a2+b2+c2+
1 ab+
1 bc+
1 ac
22, Chứng minh bất đẳng thức sau
1 n+1(1+
1 3+
1 5+ +
1 2n−1)>
1 n(
1 2+
1 4+ +
1
2n) với n số nguyên ,n>1
23, Cho a,b số dơng Chứng minh BĐT
ab+ b a+
3(a+b)
a+b >6
24, Cho a,b dơng thoả mÃn ab=1.Tìm giá trị nhỏ biểu thức A= (a+b+1)(a2+b2)+
a+b
25, Cho a,b,c lµ ba cạnh tam giác thoả mÃn a+b+c=2 CMR: a2+b2+c2+2abc<2
26, Cho x,y thoả mÃn x2+y2=1.Tìm GTLN vµ GTNN cđa
S=(2-x)(2-y) 27, Cho ba sè d¬ng a,b,c Chøng minh r»ng
a3 b +
b3 c +
c3
a ≥ a√ac+b√ba+c√cb
28, Cho a,b [1;2] Tìm GTLN GTNN cđa biĨu thøc P= (a+b)
2 a3+b3
29, Chứng minh a,b,c số dơng
1 a+2b+3c+
1 2a+3b+c+
1 3a+b+2c<
3 16
30, Cho số dơng a,b,c thoả mÃn a+b+c=3.Chứng minh
a 1+b2+
b 1+c2+
c 1+a2≥
3
một số ý sử dụng bất đẳng thc cau chy
Bài toán 1: Cho a,b,c không âm thoả mÃn a+b+c=3 Tìm 1, Min(a3+b3+c3)
2,Min(a3+64b3+c3)
3, Mac (
√ab+√3ac+√3 bc ) 4,Mac( √ab+2√ac+√bc¿
Ap dụng bất đẳng thức cau chy bạn ý cách làm sau
a3+64b3+c3=(a3+m3+m3)+(64b3+n3+n3)+(c3+m3+m3)-4m3-2n3
Theo bất đẳng thức cau chy cho ba số dơng có dấu =xảy ¿
a=c=m
b=n/4
a+b+c=3
⇔ ¿{ {
¿
2m+n/4=3
Mặt khác để biểu diễn vế phải theo a+b+c=3 phải có 3m2=3.4n2 2m+n/4=3 Giải đợc m=24/17; n=12/17
KÕt qu¶ :Min=123/172
Bài tốn 2: Cho a,b,c số khơng âm.Chứng minh bất đẳng thức 289(a3+64b3+c3) 64
(a+b+c)3
(23)Tìm Mac(4ab+6ac+8bc) Bài toán4: Cho số x,y,z,t không âm thoả mÃn x+y+z+t=4
Tìm Min(x3+8y3+8z3+t3)
(Các toán bạn hÃy tự giải chi tiÕt)
Một số ý chứng minh bất đẳng thức có điều kiện
1, Thay đk vào biểu thức cần chng minh biến đổi 2, Dùng biện pháp đổi biến
Ví dụ 1: Cho x,y thoả mãn 3x+y=4.Chứng minh bất đẳng thức 2x2+xy+5 9
VÝ dô2: Chøng minh r»ng a+b=4 th× a4+b4 32
HD: đặt a=2+m b=2-m thay vào biểu thức cần chứng minh Ví dụ 3: Cho x+y+z=3 Chứng minh x2+y2+z2+xy+xz+yz 6
HD: đặt x=1+a; y=1+b; z=1-a-b
VÝ dô 4: Cho a+b+c+d=1.Chøng minh (a+c) (b+d)+2ac+2 bd≤1
2
HD: đặt a=1/4+x+z; b=1/4 –x+z; c=1/4 +y-z; d=1/4 –y-z Ví dụ 5: Cho a+b=c+d.Chứng minh c2+d2+cd 3 ab
HD: đặt c=a+x; d= b-x Ví dụ6: Cho x<2; x+y>5 Chứng minh 5x2+2y2+8y 62
HD: đặt x=2-t ; y+x=5+k (t,k >0)
Mét sè bµi lun tËp
Bài 1: Cho x,y dơng thoả mÃn x+y=1 Tìm GTNN cđa biĨu thøc S=
x2
+y2+
3 xy
Bµi 2: Cho x+y+z=3 Tìm GTNN biểuthức T=xy+xz+yz Bài 3: Cho x+y=3 vµ x Chøng minh r»ng
1, x3+y3 9
2, 2x4+y4 18
Bµi 4: Cho a+b+c+d=2.Chøng minh r»ng a2+b2+c2+d2 1
Bµi 5: Cho a+b Chøng minh r»ng a4+b4
a3+b3
Bµi tËp 6: Cho a+b>8 vµ b>3.Chøng minh r»ng 27a2+10b3>945.
Một số ứng dụng bất đẳng thức bản Đã biết BĐT quen thuộc sau đây: a
2k
+b2k
2 ≥(
a+b
2 )
2k
với a,b số thực k số tự nhiên khác không Dấu = a=b
(Chứng minh quy nạp) Dới ví dụ áp dụng: 1,Giải PT: (x+1)6+(x+
56=1885
2, Tìm tất cặp số thực (x;y) tho¶ m·n 19
√x2
+y2− x+19√y2− x2+x=219√y2
HD: đặt a= 19√x2+y2− x , b=❑√y2− x2+x
3, Giải phơng trình sau :
a, x100+(x+6)100=2.3100
b, 17
√x3+3x −3+17√5−3x − x3=2
4, Cho x,y dơng thoả mÃn x+y T×m GTNN cđa biĨu thøc P=3x+2y+
x+ y
5, T×m GTNN cđa biĨu thøc S=
1+xy+
1 1+yz+
1
1+xz ú x,y,z
dơng thoả mÃn x2+y2+z2 3
(24)Một số ý sử dụng bất đẳng thức
Bu-nhia-cèp –ski
1, NÕu ¸p dơng B§T cho hai d·y sè a1
√b1, a2
√b2, , an
√bn va√b1,√b2, ,√bn
ta cã a12
b1+ a22
b2+ + an2
bn ≥
(a1+a2+ +an)
2
b1+b2+ .+bn Trong bi>0 (i=1,2, ,n)
2, Nếu đặt bi=ai.ci >0 (i=1,2,…,n) bất đẳng thức trở thành
a1 c1
+a2
c2
+ +an
cn
≥ (a1+a2+ .+a
n
)2
a1c1+a2c2+ +ancn
Đẳng thức xảy c1=c2=…=cn
VÝ dô1: Chøng minh với số dơng a,b,c
(a+b)2
c +
(b+c)2
a +
(c+a)2
b ≥4(a+b+c)
VÝ dô2: Chøng minh r»ng với số dơng a,b,c
a2 b+c+
b2 c+a+
c2 a+b≥
3(ab+ac+bc)
2(a+b+c)
VÝ dơ3: Cho a,b,c d¬ng Chøng minh r»ng
a2 b2+bc+c2+
b2 c2+ca+a2+
c2 a2+ab+b2≥
a2
+b2+c2
a+b+c
VÝ dô4: Chøng minh r»ng a
√a2+8 bc
+ b
√b2+8 ca
+ c
√c2+8 ab≥1 víi a,b,c số dơng
Ví dụ5: T×m GTNN cđa tỉng
S =
a2+b2+c2+
1 abc
Trong a,b,c dơng thoả mãn a+b+c =1
Dựa vào BĐT Bu nhi-a-cốp ski để tìm một BĐT tổng qt
Xt ph¸t tõ BĐT sau.Với a,b,c dơng ta có
a2 b+c+
b2 a+c+
c2 a+b≥
a+b+c
2 (a)
1,Nếu nhìn bất đẳng thức (a) nh sau
a2 b+1 c+
b2 c+1 a+
c2 a+1 b≥
a+b+c
1+1 ta nghĩ tới BĐT tổng quát
a2
mb+nc+
b2 mc+na +
c2 ma+nb ≥
a+b+c
m+n
Hay a2
mb+nc+pa+
b2 mc+na+pb+
c2 ma+nb+pc≥
a+b+c
m+n+p
2, Nhìn BĐT (a) dới dạng
a2 b+c+
b2 c+a+
c2 a+b≥
a2−1
+b2−1+c2−1
2 ta nghÜ tíi B§T sau
an
b+c+
bn
c+a+
cn
a+b≥
an −1
+bn −1+cn−1
2 (n∈N , n>1)
3, Nhìn BĐT (a) dới dạng
a12
a2+a3+
a22
a3+a1+
a32
a1+a2≥
a1+a2+a3
2 ta nghÜ tíi sù më réng sau
a12
a2+a3+
a22
a3+a4+ +
an2
a1+a2≥
a1+a2+ +an
(25)Hay a12
a2+a3+ +an+
a22
a3+a4+ +a1+ +
an2
a1+a2+ +an−1≥
a1+a2+ +an
n 1 (d)
Kết hợp BĐT ta nghĩ tới BĐT tổng quát sau
a1n
p1a2+p2a3+ +pm −1am+pma1+
a2n
p1a3+p2a4+ +pm −1a1+pma2+ +
amn
p1a1+p2a2+ +pmam≥
a1n−1+a2n−1+ +amn−1
p1+p2+ +pm (ai,pj không âm,không đồng thời =0; m>2,n>1) (e)
Chú ý: Chứng minh bất đẳng thức (e) cho BĐT khác. Sử dụng BĐT Bu-nhia t gii cỏc bi sau
Bài1: Tìm GTNN cđa biĨu thøc a
a2+8 bc+
b b2+8 ca+
c c2+8 ab
Trong a,b,c dơng thoả mãn a+b+c =1 Bài 2: Chứng minh với số dơng a,b,c
a3 a2
+ab+b2+
b3 b2
+bc+c2+
c3 c2
+ca+a2≥
a2+b2+c2
a+b+c
Bµi3: Biết a,b,c ba cạnh tam giác.Chứng minh r»ng 1, a
b+c − a+
b c+a −b+
c a+b − c≥3
2, a
b+c − a+
b c+a −b+
c a+b − c≥
(a+b+c)3
9 abc
Bài4: Cho ba số dơng a,b c thoả mÃn a2+b2+c2 1
Chøng minh r»ng :
a(a+b)+
1 b(b+c)+
1 c(c+a)≥
9
Bài5: Tìm GTNN biểu thức
x3 y+z+t+
y3 z+t+x+
z3 t+x+y+
t3
x+y+ztrong x,y,z,t khơng âm xy+xt+y.z+zt=1
Bài6: tìm GTNN biểu thức P= x2
x+y+
y2 y+z+
z2
x+ztrongdo√x.y+√yz+√xz=1 vµ x,y,z >0
Bài 7: Tìm GTNN S=x4+y4+z4.Biết xy+yz+xz=4.
Bài 8: Tìm GTLN f(x)=3-2x+ 5 x2
+4x
Bài9: Tìm GTNN biĨu thøc
F(x,y)= (x+y)2+(x+1)2+(y+3)2
Bµi 10, T×m GTLN cđa biĨu thøc f(x)= x
2+√1− x 2x
Bài 11, Tìm GTNN f(x)= 3x
2 −√3+2x − x
Một số phơng pháp tìm cực trị biểu thức
Phơng pháp thứ nhất: Sử dụng BĐT
Ví dụ1: Cho x,y số không âm x+y
Tìm GTLN biểu thức S=x2y(4-x-y)
VÝ dô2: Cho x 3; y ≥2; z ≥1 T×m GTLN cđa biĨu thøc A= xy√z −1+xz√y −2+yz√x −3
xyz
VÝ dô3: Cho x,y, z >0 x+y+z=9 Tìm GTNN biểu thức
P= x
3 x2
+xy+y2+
y3 y2
+yz+z2+
z3 z2
+xz+x2
(26)Một số ý sử dụng bất đẳng thức
1,Chú ý đến đk áp dụng
2,Chú ý đến dấu đẳng thức xảy Ví dụ1: Cho a Tìm Min S= a+1
a
VÝ dô2: Cho a T×m Min cđa S=a+
a2
VÝ dô3: Cho ¿
a , b>0
a+b ≤1
¿{
¿
T×m Min cña S=ab+
ab
VÝ dơ4: Cho a,b,c >0 tho¶ m·n a+b+c
2 T×m Min cđa
S=a+b+c+
a+ b+
1 c
VÝ dô5: Cho a, b, c >0 thoả mÃn a+b+c
2 Tìm Min cña
S= √a2
+ b2+√b
2
+ c2+√c
2
+ a2
VÝ dơ6: Cho a,b,c >0 tho¶ m·n a+2b+3c 20 T×m Min cđa S= a+b+c+
a+ 2b+
4 c
VÝ dô7: Cho a, b, c ,d >0 T×m Min cđa T= (1+2a
3b)(1+ 2b 3c)(1+
2c 3d)(1+
2d 3a)
VÝ dơ 8: Cho a,b,c >0 tho¶ m·n a+b+c T×m Min cđa S= a
2 b +
b2 c +
c2 a+
1 ab+
1 bc +
1 ca
VÝ dô9: Cho
¿
a , b , c>0
ab≥12;bc≥8
¿{
¿
Chøng minh r»ng
S=(a+b+c)+2 (
ab+ bc +
1 ca)+
8
abc ≥
121
VÝ dô 10: Cho
¿
a , b , c , d>0
a+b+c+d ≤2
¿{
¿
T×m Min cña
S = (a+1
b)(b+ c)(c+
1 d)(d+
1 a)
(Đối với BĐT ví dụ ý đến dấu = việc tìm kết khơng khó khăn bạn tự giải quyết)
Phơng pháp thứ hai: Sử dụng việc đánh giá tham biến
Ví dụ1: Tìm GTNN S =xyz+2(1+x+y+z+xy+xz+y.z) Trong x2+y2+z2=1.
VÝ dơ2: Cho x,y,z [−1;2] x+y+z=0 HÃy tìm GTLN S = x2+y2+z2.
VÝ dơ3: Cho x 2; x+y ≥3 T×m GTNN cña S=x2+y2
(27)VÝ dụ1: Tìm Min Ma.x T=x2+y2
Với x,y thoả mÃn (x2-y2+1)2+4x2y2-x2-y2=0.
Ví dụ2: Cho x,y,z không âm thoả mÃn x+y+z=1 Tìm GTLN của A=-z2+z(y+1)+xy.
(Thi HSG Tỉnh VP năm 04-05) Ví dụ3: Tìm GTNN f(x)= x
2
−2x+2005
x2 ; x ≠0
VÝ dơ4: Cho x,y tho¶ m·n x+3y=1.T×m GTNN cđa S=3x2+y2.
VÝ dơ 5: Cho x,y >0 thoả mÃn x+y=1.Tìm Min S=
x3
+y3+
1 xy
Ví dụ6: Cho x,y thoả mÃn 8x2+y2+1/4x2=4.Tìm Min xy?
VÝ dơ7: T×m GTLN cđa S=2-5x2-y2-4xy+2x.
Ví dụ8: Tìm cặp số (x;y) cho yMin tho¶ m·n
X2+5y2+2y-4xy-3=0.
VÝ dụ9: Tìm GTNN f(x)=(2x-1)2-3 |2x 1|+2005
Phơng pháp thứ t : Phơng pháp miền giá trị
Ví dụ 1: Tìm GTNN GTLN biểu thức y= x+1
x2+x+1
HD: Đa PT bậc hai ẩn x dựa vào đk có nghiệm để tìm Ví dụ2: Tìm GTNN GTLN biểu thức y= 4x+1
x2+1
Chó ý: Ta cã thĨ dïng ph¬ng pháp tham biến nh sau Đặt f(x) =y-t= g(x)
h(x), h(x)>0∀x∈R
XÐt g(x)=a.x2+bx+c =a
(x+ b
2a)
+− Δ
4a
1, Nếu a=0 g(x)=bx+c dấu c b=0 g(x)=0 c=0 2, NÕu a>0 th× g(x) 0;∀x∈RkhiΔ≤0 vµ g(x)=0 Δ=0
3, NÕu a<0 g(x) 0;xRkhi0 vàg(x)=0 =0
Ap dụng: Tìm Min Mác biểu thức sau 1, y= x
2
+8x+7
x2+1
2, y= x
2−
(x −4y)2
x2
+4y2 x , y∈R vµ x
2+y2>0.
3, z = x+2y+1
x2
+y2+7
4, Cho biÓu thøc y= x
2
+mx+n
x2+1 Tìm m,n để yMác=9 yMin=-1
Kết : (m;n)=(8;7) (-8;7)
Các tự luyện
Bài1: Tìm GTLN GTNN cña y= x
2
+4√2 x+3
x2+1
Bài2: Tìm Min Mác z= x
4
+y4+4√2 xy+4
x4+y4+2
Bài 3: Tìm m,n để biểu thức x
2
+mx+n
x2+1 đạt GTNN -1 GTLN
Bài4: Tìm u,v để biểu thức P= u.x+v
x2+1 đạt GTNN -1 v GTLN l
Bài5: Tìm GTLN vµ GTNN cđa biĨu thøc B=2x2+4xy+5y2.BiÕt
(28)Bài6: Tìm GTLN GTNN y= 3y
2−4 xy x2
+y2 víi x
2+y2 0
Bài7: Tìm GTLN GTNN cña A=2 √x+3
2√1− x+
Mét số ý giải toán có biĨu thøc bËc hai cđa hai biÕn sè
Bài1:Tìm GTLN F=-5x2-2xy-2y2+14x+10y-1
HD: Viết
F=-1
5(5x+y −7)
−9 5(y −2)
2
+16≤16⇒Fmac=16⇔
x=1
y=2
¿{
Bµi 2: T×m GTNN cđa biĨu thøc D=x2+xy+y2-3x-3y+2008
HD: ViÕt D=
4(2x+y −3)
+3
4(x −1)
+2005≥2005⇒Dmin=2005⇔x=y=1
Bài3: Hãy tìm GT x,y để có đảng thức
5x2+5y2+8xy+2y-2x+2=0
HD: ViÕt biĨu thøc trë thµnh (4x+5y+1)2+9(x-1)2=0
Bài4: Giải hệ
x26y2xy2x
+11y=3
x2
+y2=5
¿{
¿
HD: Biến đổi PT thứ đợc (2x—6y+2)(2x+4y-6)=0 Bài5: Tìm cặp số (x,y) thoả mãn x2+5y2+2y-4xy-3=0
HD: ViÕt thµnh (x-2y)2+(y+1)2=4 => (y+1)2 4⇔−3≤ y ≤1⇒y
min=−3
Thay vào có x=6 Bài6: cho x,y liên hệ với biểu thức
x2+2xy+7(x+y)+2y2+10=0
Tìm Min& Mác S=x+y+1?
HD: ViÕt biĨu thøc thµnh (2x+2y+7)2+4y2=9
⇒(2x+2y+7)2≤9⇒
x+y+5≥0
x+y+2≤0
⇔ ¿S ≥−4
S 1
{
Bài7: Tìm số nguyên x,y thoả mÃn
10x2+20y2+24xy+8x-24y+51 0
HD: Viết lại biểu thức thành (5x+6y+2)2+14(y-3)2
y 325
2
214
Bài tập hớng dÉn
1, Tìm cặp (x,y) để biểu thức
S=-x2-y2+xy+2x+2y đạt GTLN
2, Cho x,y,z thoả mÃn x+y+z=6 Tìm GTLN biểu thức M=xy+2yz+3zx 3, Chứng tỏ số thực (x,y) thoả mÃn
x2+3y2+20=2x(y+1)+10y
4, Tìm Min & Mác S=x+y x,y thoả mãn 3x2+y2+2xy+4=7x+3y
5, T×m nghiƯm nguyªn cđa PT x2+xy+y2=2x+y
(29)¿
10x2+5y2−2 xy−38x −6y+41=0
3x2−2y2+5 xy−17x −6y+20=0
¿{
7, Giải hệ phơng trình
2x215 xy
+4y2−12x+45y −24=0
x2−2y2+3y −3x+xy=0
¿{
Một số ý tìm cực trị cđa biĨu thøc cã ®iỊu kiƯn
VÝ dơ1: Tìm Min &mác xy ? biết x,y nghiệm cña PT x4+y4-3=xy(1-2xy)
HD: ViÕt xy+3=(x2+y2)2 4(xy)2⇒−3
4 xy1
Ví dụ2: Các số dơng x,y,z thoả mÃn xyz x+y+z+2
Tìm Min S=x+y+z ? HD: ViÕt (x+y+z)3
(3√3xyz)3=27 xyz≥27(x+y+z+2)⇔S ≥6
VÝ dụ3: Cho số thực x,y,z thoả mÃn
x2+2y2+2x2z2+y2z2+3x2y2z2=9 Tìm Min & Mác A=xyz ?
HD: viết (x2+y2z2)+2(y2+x2z2)+3x2y2z2=9.Theo cau chy cã
2 |A|+4|A|+3A2≤9⇔|A|≤1
VÝ dô4: Cho x,y,z số thực thoả mÃn x4+y4+x2-3=2y2(1-x2)
Tìm Min & Mác S=x2+y2+
2
HD: Viết lại thành (x2+y2)2+x2+y2-3=3y2.Đặt t=x2+y2 suy t ≥√13−1
2 ⇒SMin=√
13
Vµ (x2+y2)2-2(x2+y2)-3=-3x2 0t 3S
mac=3
Các làm tơng tự
Bài1: Cho số dơng x,y,z thoả mÃn 2xyz+xy+xz+yz Tìm GTLN xyz? (ĐS: GTLN xyz=1/8)
Bài2: Cho số dơng x,y,z thoả mÃn (x+y+z)3+x2+y2+z2+4=29xyz
Tìm GTNN xyz ? (ĐS : GTNN xyz =8)
Bài3: Tìm GTNN & GTLN biểu thức S=x2+y2.Biết x,y nghiệm PT
5x2+8xy+5y2=36 (ĐS: Min S=4; Mac S=36)
Bài4: Cho x,y số thực thoả mÃn
(x2+y2)3+4x2+y2+6x+1=0.Tìm GTLN S=x2+y2 (ĐS: S mac=1)
Bài5: Tìm số nguyên không âm x,y,z,t tho¶ m·n biĨu thøc x2+y2+2z2+t2
đạt GTNN Biết x2-y2+t2=21 x2+3y2+4z2=101
(§S: GTNN=61)
Dùng phơng pháp nội suy Niu- tơn để xác định đa thức Phơng pháp: Tìm f(x) bậc n cho biết GT a thc ti n+1 im
Ci(i=1,2,,n) Đặt f(x)=b0+b1(x-c1)+b2(x-c1)(x-c2)++bn(x-c1)(x-cn)
Sau thay lần lợt ci vào để tớnh bi
Ví dụ1: Tìm đa thức bậc hai biết P(0)=19;P(1)=5; P(2)=1995
HD: Đặt P(x)=c+b(x-0)+a(x-0)(x-1).Với x=0 c=19,víi x=1 th× b=-14 Víi x=2 th× a=1002 Nh vËy P(x)=1002x2-1016x+19
Ví dụ2: Tìm đa thức bậc biết P(0)=10;P(1)=12;P(2)=4;P(3)=1 HD: Đặt P(x)=d+cx+bx(x-1)+a.x(x-1)(x-2)
(30)đều có số d P(-1)=-18 HD: Theo Bơ-zu P(1)=P(2)=P(3)=6
đặt P(x)=d+c(x-1)+b(x-1)(x-2)+a(x-1)(x-2)(x-3)làm nh ta đợc P(x)=x3-6x2+11x
Ví dụ4: Cho đa thức bậc thoả mãn P(-1)=0; P(x)-P(x-1)=x(x+1)(2x+1) 1, Xác định đa thức P(x)
2, TÝnh tỉng S=1.2.3+2.3.5+…+n(n+1)(2n+1)
HD:1, Cho x=0 tính đợc P(0)=0; cho x=-1 tính đợc P(-2)=0;cho x=1 Tính đợc P(1)=6; cho x=2 tính đợc P(2)=36
Đặt P(x)=e+d(x+2)+c(x+2)(x+1)+b(x+2)(x+1)x+a(x+2)(x+1)x(x-1) làm nh ví dụ đợc P(x)=0,5x(x+1)2(x+2)
2, Theo trªn cã P(x)-P(x-1)=x(x+1)(2x+1)
Thay x=1,2,…,n vào ta có đẳng thức sau P(1)-P(0)=1.2.3
P(2)-P(1)=2.3.5
…
P(n)-P(n-1)=n(n+1)(2n+1)
Cộng theo vế đẳng thức có P(n)-P(0)=1.2.3+2.3.5+…+n(n+1)(2n+1) Vây S=P(n)=0,5n(n+1)2(n+2)
Chú ý : Bài tập cho ta cách tính tổng đa thức hay Đặt f(x)-f(x-1)=g(x) g(x) thể số hạng tổng cần tínhcịn f(x) có bậc cao g(x) bậc Các bạn áp dụng để làm tập dới
VÝ dơ1: TÝnh tỉng S=1+2+…+n
HD :đặt f(x)-f(x-1)=g(x) ta chọn g(x)=x.Vây f(x) đa thức bậc hai viết f(x)=a.x2+bx+c Lu ý f(0)=c dẫn tới a=1/2=b cịn c tuỳ ý
V©y f(x)=1/2x2+1/2x+c thay x=1,2,3,,n suy đợc S=f(n)-f(0)=n(n+1)/2
Vớ d2 :Tớnh tng S=1+3+5+…+(2n-1) HD: đặt f(x)-f(x-1)=g(x)=2x-1
VÝ dô 3: TÝnh tæng S=1+32+52+…+(2n-1)2
HD : đặt f(x)-f(x-1)=g(x)=(2x-1)2
VÝ dơ 4: TÝnh tỉng S=1+23+33+…+n3
HD : đặt f(x)-f(x-1)=g(x)=x3
VÝ dơ5: TÝnh tỉng S=1+22+32+…+n2
HD: đặt f(x)-f(x-1)=g(x)=x2
VÝ dơ 6: TÝnh tỉng sau: A= (x −a)(x −b)
(c −a)(c −b)+
(x − b) (x −c) (a − b) (a −c)+
(x −c) (x − a) (b −c) (b −a)
B= (x − a) (x − b) (x − c)
(d − a) (d − b) (d −c)+
(x − b) (x − c)(x −d) (a −b)(a − c)(a− d)+
(x −d) (x − a) (x − b) (c − d)(c −a)(c −b)
§S: A=B=1
Ví dụ7: Tìm đa thức bậc ba biết P(0)=2;P(1)=9;P(2)=19; P(3)=95. Phơng pháp đa thức phụ dùng để tính biểu thức có
liên quan tới đa thức xác định đa thức Ví dụ: Cho đa thức f(x) bậc có hệ số bậc cao thoả mãn
F(1)=10;f(2)=20;f(3)=30 TÝnh f(12)+f(−8)
10 +15
Giải: Đặt g(x)=f(x)-10x => g(1)=g(2)=g(3)=0.Do f(x) có bËc 4 Nªn g(x) cã bËc tõ g(x) chia hÕt cho (x-1);(x-2);(x-3) Ta cã
G(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-x0) từ f(x) =g(x)+10x ta tính đợc
f(12)+f(−8)
10 +15=1984+15=1999
Chú ý thuật toán tìm đa thức phụ Bớc1: Đặt g(x)=f(x)+h(x) với h(x) đa thức có bậc nhỏ f(x)
Và bậc nhỏ số GT biết f(x).Nh g(x)=f(x)+a.x2+bx+c
(31)Tøc lµ
¿
0=10+a+b+c
0=20+4a+2b+c
0=30+9a+3b+c
⇔ ¿a=0
b=−10
c=0
¿{ {
¿
Từ h(x)=-10x f(x) =g(x)+10x Sau mt s bi ỏp dng
Bài1: Cho đa thức f(x) bậc ba ,hệ số x3 số nguyên thoả mÃn
f(1999)=2000;f(2000)=2001 Chứng minh f(2001)-f(1998) hỵp sè
HD: đặt g(x)=f(x)+a.x+b.Tìm a,b để g(1999)=g(2000)=0
Suy a,b lµ nghiƯm cđa hƯ
¿
0=2000+1999a+b
0=2001+2000a+b
⇔a=b=−1
¿{
¿ V©y g(x)=f(x)-x-1
TÝnh GT cđa f(x) Theo gi¶ thiÕt f(x) bËc ba nªn g(x) bËc Nh vËy g(x)=k(x-1999)(x-2000)(x-x0) (k thc Z lµ hƯ sè cđa x3 cđa f(x))
Từ f(x)=k(x-1999)(x-2000)(x-x0)+x+1
Từ f(2001)-f(1998)=3(2k+1) H Bài2: Cho đa thức f(x) bậc có hệ số bậc cao 1và thoả mãn
F(1)=3;f(3)=11;f(5)=27.Tính GT biểu thức f(-2)+7f(6) HD: đặt g(x)=f(x)+a.x2+bx+c.Tìm a,b,c để có g(1)=g(5)=g(3)=0
Gi¶i hƯ
¿
0=3+a+b+c
0=11+9a+3b+c
0=27+25a+5b+c
⇔ ¿a=−1
b=0
c=−2
⇒g(x)=f(x)− x2−2
¿{ {
¿
Do bậc f(x) nên bậc g(x) g(x) chia hết cho (x-1);(x-3); (x-5) Suy f(x)=(x-1)(x-3)(x-5)(x-x0)+x2+2.Tính đợc
f(-2)+7f(6)=1112
Bài3: Tìm đa thức f(x) bậc ba biÕt f(0)=10;f(1)=12;f(2)=4;f(3)=1
HD: đặt g(x)=f(x)+a.x2+bx+c.Tìm a,b,c để g(0)=g(1)=g(2)=0
Tìm đợc a=5;b=-7;c=-10 nên g(x)=f(x)+5x2-7x-10 Do f(x) có bậc nên
G(x) cịng cã bËc vµ g(x) chia hÕt cho x,(x-1),(x-2).Gäi m lµ hƯ sè cđa x3
Của f(x) f(x)=mx(x-1)(x-2)-5x2+7x+10.Theo cho f(3)=1 nên m=2,5
Chú ý: Tham khảo phần phơng pháp nội suy Niu-tơn Tuy nhiên bạn hÃy giải ba toán sau theo phơng pháp Bài4: Tìm đa thức bậc f(x) biết f(0)=19;f(1)=5;f(2)=1995
Bài5: Tìm đa thức f(x) bậc ba biết f(0)=2;f(1)=9;f(2)=19;f(3)=95 Bài6: Tìm đa thức f(x) bậc ba biÕt r»ng chia f(x) cho (x-1);(x-2);(x-3)
(32)(33)