Giáo trình Toán kinh tế cung cấp cho người học các kiến thức: Đại số tuyến tính; Phương pháp đơn hình và bài toán đối ngẫu; Toán xác suất; Thống kê toán. Mời các bạn cùng tham khảo để nắm chi tiết nội dung giáo trình.
BỘ NƠNG NGHIỆP VÀ PHÁT TRIỂN NƠNG THƠN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CƠ GIỚI NINH BÌNH GIÁO TRÌNH MƠN HỌC: TỐN KINH TẾ NGHỀ: KẾ TỐN DOANH NGHIỆP TRÌNH ĐỘ: CAO ĐẲNG Ban hành kèm theo Quyết định số: /QĐTCGNB ngày…….tháng….năm 2017 của Trường cao đẳng nghề Cơ giới Ninh Bình Ninh Bình, năm 20 TUN BỐ BẢN QUYỀN Tài liệu này thuộc loại sách giáo trình nên các nguồn thơng tin có thể được phép dùng ngun bản hoặc trích dùng cho các mục đích về đào tạo và tham khảo Mọi mục đích khác mang tính lệch lạc hoặc sử dụng với mục đích kinh doanh thiếu lành mạnh sẽ bị nghiêm cấm LỜI NĨI ĐẦU Tốn học và kinh tế là hai lĩnh vực có mối quan hệ gắn bó với nhau. Kinh tế là nguồn cảm hứng cho tốn học thực hiện khả năng tiềm năng của mình, cịn tốn học là cơng cụ giúp cho việc phân tích, giải quyết các vấn đề kinh tế một cách chặt chẽ, hợp lý và hiệu quả. Tốn kinh tế là việc nghiên cứu để mơ tả các vấn đề kinh tế dưới dạng mơ hình tốn học thích hợp và từ góc độ tốn học sẽ tìm ra lời giải cho mơ hình đó, từ đó giúp các nhà kinh tế tìm ra các giải pháp tối ưu cho bài tốn kinh tế Để đáp ứng nhu cầu giảng dạy và học tập mơn Tốn kinh tế cho sinh viên hệ Cao đẳng, chúng tơi đó biên soạn cuốn giáo trình này. Giáo trình khơng đi sâu vào các vấn đề lý luận và các kỹ thuật tốn học phức tạp mà chỉ tập trung trình bày những nội dung cơ bản và các thuật tốn chính của lý thuyết tối ưu tuyến tính. Nhằm giúp sinh viên rèn luyện kỹ năng trong giáo trình có đầy đủ các ví dụ cụ thể mơ tả từng tình huống, hướng dẫn tỉ mỉ tồn bộ q trình giải quyết vấn đề Nội dung giáo trình gồm 4 chương: Chương 1: Đại số tuyến tính Chương 2: Phương pháp đơn hình và bài tốn đối ngẫu Chương 3: Tốn xác suất Chương 4: Thống kê tốn Mặc dù có nhiều cố gắng, nhưng giáo trình này chắc chắn khơng tránh khỏi những thiếu sót. Chúng tơi rất mong được bạn đọc góp ý để cuốn sách ngày càng hoàn thiện Các tác giả An Thị Hạnh Đỗ Quang Khải Phạm Thị Hồng MỤC LỤC GIÁO TRÌNH MƠN HỌC Tên mơn học: Tốn kinh tế Mã số mơn học: MH 16 Vị trí, tính chất, ý nghĩa và vai trị của mơn học: Vị trí: Mơn học được bố trí giảng dạy sau các mơn học chung Tính chất: Là mơn học giúp người học vận dụng tốt các mơn học chun mơn của nghề Ý nghĩa và vai trị của mơn học: + Chương trình trang bị cho sinh viên những kiến thức cơ bản về các mơ hình kinh tế, các phương pháp tiếp cận khác nhau để lý giải sự tồn tại và vận động của q trình kinh tế xã hội + Trang bị cho sinh viên những kỹ năng tính tốn thơng qua việc giải quyết các bài tốn, dựa vào bài tốn có thế tiến hành phân tích và dự báo biến động trong nhiều lĩnh vực khác nhau như giá cả và tài chính + Giúp cho sinh viên có những nhận thức cơ bản, có phương hướng đúng đắn và tự tin trong cơng tác tài chính thực tiễn sau khi tốt nghiệp ra trường + Ngồi ra học sinh cịn có năng lực để theo học liên thơng lên các bậc học cao hơn để phát triển kiến thức và kỹ năng nghề Mục tiêu mơn học: Về kiến thức: + Trình bày được các kiến thức cơ bản về kinh tế học và cơng cụ tốn học để xây dựng mơ hình bài tốn kinh tế; + Trình bày mối liên hệ định tính, định lượng giữa các biến số kinh tế trong nhiều lĩnh vực và sử dụng các phương pháp như: Phân tích cân bằng, phân tích tối ưu, quy hoạch tuyến tính, thống kê tốn Về kỹ năng: + Xây dựng được mơ hình bài tốn kinh tế và phân tích được mơ hình; + Giải được bài tốn quy hoạch tuyến tính, xác suất và thống kê tốn; + Kiểm định được các giả thuyết thống kê tốn Về năng lực tự chủ và trách nhiệm: Có phẩm chất đạo đức, kỷ luật tốt, có ý thức tự rèn luyện để nâng cao trình độ Nội dung mơn học: CHƯƠNG 1: ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Mã chương: TKT 01 Giới thiệu: Trang bị cho người học những kiến thức chung về vectơ, ma trận, hướng dẫn người học các cách xác định giá trị định thức và phương pháp giải bài tốn quy hoạch tuyến tính Mục tiêu: Trình bày được khái niệm Vectơ n chiều và khái niệm về ma trận; Trình bày được các phép tốn vectơ; Trình bày được cách xác định giá trị định thức; Giải được hệ phương trình và bài tốn quy hoạch tuyến tính; Có ý thức học tập nghiêm túc, cẩn thận, chính xác Nội dung chính: 1. Vectơ n chiều và các phép tính 1.1. Định nghĩa Véc tơ là một đoạn thẳng được cấu thành bởi 2 yếu tố là độ dài véctơ và hướng Véctơ n chiều là một bộ gồm n số thực được sắp xếp có thứ tự và ký hiệu là X = (x1, x2, , xn ) = {xj }; j = 1 n VD: X1 = (1, 4, 0) X2 = (3, 1, 2, 1, 5) Mỗi số xj gọi là thành phần hoặc toạ độ thứ j của x x1 gọi là thành phần thứ 1 x2 gọi là thành phần thứ 2 xn gọi là thành phần thứ n Véctơ 0 là véctơ mà tất cả các thành phần đều bằng 0 Véctơ đối của véctơ X là X = ( x1, x2, , xn ) Véctơ bằng nhau: 2 véctơ có cùng thành phần được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi các thành phần tương ứng của chúng bằng nhau từng đơi một X = (x1, x2, , xn ); Y = (y1, y2, , yn ) Ta có X = Y x1 = y1 x2 = y2 xn = yn Như vậy, 2 véctơ bằng nhau là 2 véctơ có các thành phần giống hệt nhau Véctơ hàng là n số thực được sắp xếp theo hàng Véctơ cột là n số thực được sắp xếp theo cột Véctơ đơn vị là véctơ có 1 thành phần bằng 1 cịn các thành phần cịn lại đều bằng 0 1.2. Các phép tốn vectơ 1.2.1. Phép cộng 2 véctơ có cùng thành phần Ta gọi tổng của 2 véctơ n chiều X và Y là một véctơ n chiều Z mà các thành phần của nó là tổng các thành phần tương ứng của X và Y, nghĩa là: X + Y = Z; zj = xj + yj ; j = 1 n Như vậy, phép cộng chỉ thực hiện được trên những véctơ có cùng số chiều và thực chất là qui về phép cộng các số, do đó nó cũng có đầy đủ các tính chất của phép cộng các số 1.2.2. Phép nhân vectơ với một số Ta gọi tích của một vectơ n chiều X với 1 hằng số k là một vectơ n chiều ký hiệu kX mà các thành phần của nó là các thành phần tương ứng của X được nhân lên với k, nghĩa là: kX = kxj (j = 1 n) Thực chất của phép tính này cũng quy về phép tính trên các số Các tính chất cơ bản của 2 phép tính trên: Tính giao hốn: X + Y = Y + X kX = Xk Tính kết hợp: (X + Y) + Z = Y + (X+ Z) k 1 (k2 X) = k 1 k2 X = (k 1 k2 ) X Luật phân bố: k (X + Y) = kY + kX (k 1 + k2) X = k 1X + k2 X X+ (X) = 0 X + 0 = X 1.2.3. Tích vơ hướng của hai vectơ Ta gọi tích vơ hướng của hai vectơ n chiều X và Y là một số thực được xác định bởi tổng các tích của các thành phần tương ứng của X và Y, ký hiệu (X, Y) (X, Y) = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn = x j yj 1.3. Độc lập và phụ thuộc tuyến tính Cho một hệ thống m vectơ n chiều X1 , X2 , , Xm (I) Ta có đẳng thức vectơ: k1 X1 + k2 X2 + + km Xm = 0 (*) xảy ra khi ta tìm được m số thực k1 ,k2 , , km Nếu có ít nhất một số k khác 0 thì Hệ (I) được gọi là phụ thuộc tuyến tính Nếu k1 = k2 = = km thì Hệ (I) được gọi là độc lập tuyến tính Ví dụ: Có 4 vectơ: X1 = (1, 7, 3) X3 = (7, 9, 2) X2 = (2, 4, 5) X4 = (1, 6, 8) Và tồn tại 4 số thực k1 ,k2 , k3, k4. Hệ độc lập hay phụ thuộc tuyến tính? LG: Ta xét: k1 X1 + k2 X2 + k3 X3 + k4 X4 = 0 k1 +2k2 + 7 k3 k4 = 0 7k1+ 4 k2 + 9k3 + 6 k4 = 0 3k1 5 k2 + 2k3 + 8 k4 = 0 Ta thấy, ứng với mỗi một k 4 thì cho một k1,k2 ,k3. Do đó, có ít nhất 1 k 0 nên hệ phụ thuộc tuyến tính 2. Ma trận 2.1. Các khái niệm cơ bản Bảng m và n số thực được xếp thành m hàng và n cột là ma trận cấp m n A = (aij)m n = a11 a12 a1n (i= 1 m) a21 a22 a2n (j = 1 n) am1 am2 amn Mỗi số nằm trong cấu thành của ma trận gọi là một phần tử của ma trận aij là phần tử nằm ở hàng thứ i và cột thứ j của ma trận aii là đường chéo của ma trận * Một số ma trận đặc biệt: Ma trận 0: Là ma trận mà mọi phần tử đều bằng 0 Ma trận vng: Là ma trận có số hàng bằng số cột (m=n) khi đó ta gọi là ma trận vng cấp n Ma trận tam giác: Là ma trận vng mà mọi phần tử nằm về một phía của đường chéo đều bằng 0 Ma trận đường chéo: Là ma trận vng mà mọi phần tử nằm ngồi đường chéo đều bằng 0 Ma trận đơn vị: Là ma trận đường chéo mà mọi phần tử trên đường chéo đều bằng 1, ký hiệu E Ma trận chuyển vị: Nếu ta đổi hàng thành cột và cột thành hàng thì ta dược ma trận chuyển vị của ma trận đã cho 2.2. Các phép tính ma trận 2.2.1. Phép cộng 2 ma trận Cho hai ma trận A, B cùng cấp m n. Tổng của hai ma trận là ma trận C cấp m n mà các phần tử của nó là tổng các phần tử tương ứng của A và B A = (aij)m n B = (bij)m C = (cij)m n = (aij + bij) m Ví dụ: A = n n B = 4 A + B = 12 10 2.2.2. Phép nhân ma trận với một số thực Ta gọi tích của ma trận A = (aij)m n với một số thực k là ma trận cấp m n , ký hiệu là k.A mà các phần tử của nó là các phần tử tương ứng của A được nhân lên với k. Khi đó: C = (k.A) = (k. aij)m Ví dụ: A = n k = 3 4 7 C = (k.A) = 3 9 12 21 * Trường hợp hiệu hai ma trận cùng cấp có thể được coi là phép cộng của một ma trận với ma trận đối của ma trận kia: A B = A + (B) 2.2.3. Phép nhân hai ma trận Cho A = (aij)m n ; B = (bjk)n k Phép nhân A với B là một ma trận C = (c ik)m p mà phần tử nằm trên hàng i cột k của nó được xác định bởi tổng các tích của các phần tử nằm trên hàng i của ma trận A (đứng trước) với các phần tử nằm trên cột k của ma trận B (đứng sau) nghĩa là: Cik = aij. bjk 10 (i= 1 m; k = 1 p) Là phương pháp xác định xác suất của biến ngẫu nhiên được phân phối ra sao. Có 2 cách để xác định phân bố này là dựa vào bảng phân bố xác xuất và hàm phân phối xác suất. Ở đây, tơi chỉ đề cập tới phương pháp hàm phân bố xác suất Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên XX được xác định như sau: FX(x) = P (X ≤ x) ,x∈R Hàm phân phối xác suất có tên hàm phân phối tích luỹ (CDF Cumulative Distribution Function) do đặc trưng là lấy xác suất của các biến ngẫu nhiên bên trái của một giá trị x bất kì nào đó. Hàm này có đặc điểm là một hàm khơng giảm, tức nếu a mB thì có thể nói rằng thu nhập trung bình ở khu vực A cao hơn khu vực B, hoặc ngắn gọn hơn nữa là khu vực A có thu nhập cao hơn khu vực B (bỏ bớt chữ trung bình). Nếu A và 2 thì có thể nói rằng thu nhập ở khu vực B đồng đều hơn khu vực B, và A lần lượt là phương sai tổng thể của khu vực A và khu vực B B 51 A, hay thu nhập của khu vực A là phân tán hơn khu vực B. Cũng có thể nói rằng xét về thu nhập thì khu vực B bình đẳng hơn khu vực A. Tỷ lệ tổng thể Định nghĩa : Tỷ lệ tổng thể (hay cịn gọi là tần suất tổng thể) của một dấu hiệu A, ký hiệu là p, là tỉ số giữa số phần tử của tổng thể mang dấu hiệu đó và kích thước tổng thể. 1.3 Các tham số đặc trưng của mẫu ngẫu nhiên 1.3.1 Phương pháp chọn mẫu Để phản ánh về tổng thể một cách chính xác nhất, người nghiên cứu mong muốn mẫu phải có tính đại diện tốt nhất. Để có một mẫu đại diện tốt nhất cho tổng thể người ta thường phải tiến hành xây dựng mẫu theo một quy định chọn ngẫu nhiên các phần tử của mẫu. Một mẫu như vậy được gọi là mẫu ngẫu nhiên. Có rất nhiều phương pháp chọn mẫu ngẫu nhiên để thỏa mãn tính đại diện tốt nhất cho tổng thể và phù hợp với mục tiêu nghiên cứu: Mẫu ngẫu nhiên đơn; Mẫu ngẫu nhiên hệ thống; Mẫu chùm; Mẫu phân tổ; Mẫu nhiều cấp. Trong nội dung bài giảng, ta khơng đi sâu vào các phương pháp lấy mẫu. Sinh viên có thể đọc thêm trong giáo trình. Ta sẽ đi sâu vào khái niệm về mẫu ngẫu nhiên trong mục sau 1.3.2 Mẫu ngẫu nhiên và mẫu cụ thể Trong mục trên có đề cập khái niệm mẫu ngẫu nhiên. Hiểu một cách đơn giản, mẫu là một bộ phận nhỏ hơn tương đối so với tổng thể, được rút ra từ tổng thể để điều tra. Phương pháp lấy mẫu ngẫu nhiên tức là làm sao để mỗi phần tử trong tổng thể đều có khả năng được điều tra là như nhau, hay xác suất để mỗi phần tử bị chọn là như nhau trong mỗi lần chọn. Vì trong mỗi lần chọn mẫu lấy ra một phần tử, và các phần tử đó có khả năng bị chọn là như nhau, nên chúng là độc lập với nhau, và các phần tử trong mỗi lần chọn có các đặc tính là như nhau. Vì vậy kỳ vọng, phương sai của đại lượng nghiên cứu với mỗi phần tử được chọn đều giống nhau 52 Để lấy một mẫu gồm n phần tử, hay cịn gọi là mẫu kích thước n, cần thực hiện n lần chọn ngẫu nhiên. Nếu mỗi lần chọn được một phần tử, và đại lượng nghiên cứu của phần tử đó chính là X, thì X là ngẫu nhiên và giống nhau ở mọi lần. Từ đó ta có định nghĩa về mẫu ngẫu nhiên. Định nghĩa Mẫu ngẫu nhiên: Một mẫu ngẫu nhiên kích thước n là tập hợp n biến ngẫu nhiên độc lập X1 , X2,…, Xn được thành lập từ biến ngẫu nhiên X trong tổng thể và có cùng phân phối với biến ngẫu nhiên gốc X. Ký hiệu mẫu ngẫu nhiên: W = (X1, X2,…,Xn) Do mỗi lần lấy phần tử cho mẫu, biến ngẫu nhiên X đều là như nhau, do đó kỳ vọng và phương sai của chúng đều bằng nhau. E(X1) = E(X2) = … = E(Xn) = E(X) = m V(X1) = V(X2) = … = V(Xn) = V(X) = σ2 Mẫu ngẫu nhiên như vậy là mẫu lấy một cách trừu tượng, chưa thực hiện. Khi thực hiện chọn n phần tử một cách thực sự, được một bộ số. Nếu lần chọn đầu tiên được giá trị là X1 = x1; lần chọn thứ hai X2 = x2,…, cho đến Xn = xn với x1, x2,…, xn là các con số, thì ta có một mẫu đã điều tra, gọi là mẫu cụ thể, gồm n con số, hay chính là một bộ số liệu. Định nghĩa Mẫu cụ thể: Mẫu cụ thể là một bộ n số thực (x1, x2,…, xn), là kết quả khi thực hiện một phép thử của mẫu ngẫu nhiên (X1, X2, …, Xn). Ký hiệu mẫu cụ thể là w = (x1, x2, … , xn). Mỗi con số gọi là một quan sát. Do đó mẫu kích thước n sẽ có n quan sát. Như vậy: Mẫu ngẫu nhiên là một bộ n biến ngẫu nhiên, ký hiệu viết hoa. Mẫu cụ thể là số liệu gồm n con số cụ thể, ký hiệu viết thường. 2. Ước lượng tham số 2.1. Ước lượng điểm cho kỳ vọng, phương sai và xác suất 2.1.1. Ước lượng điểm: Giả sử tổng thể có tham số Θ, sau khi khảo sát mẫu ta tính được các thống kê, dựa vào các thống kê để đưa ra 1 số T thay thế Θ gọi là ước lượng điểm của Θ 53 Khơng chệch: hiểu 1 cách đơn giản là ước lượng khơng chứa sai số hệ thống, tức là khơng thiên về phía đưa ra các giá trị bé hơn Θ hoặc khơng thiên về phía đưa ra các giá trị lớn hơn Θ Hiệu quả: trong các ước lượng có cùng tính chất, chọn ước lượng có phương sai nhỏ nhất Vững: khi tăng dung lượng mẫu n lên vơ hạn thì ước lượng sẽ dần đến Θ (dần đến theo xác suất) Chắc hay bền: khơng thay đổi nhiều khi trong mẫu có các số liệu q nhỏ hay q lớn Nếu khơng thể chọn ước lượng tốt trên mọi phương diện thì, tùy theo mục đích, có thể chọn ước lượng thỏa mãn 1 số tiêu chuẩn trong rất nhiều tiêu chuẩn đưa ra Ví dụ: Khi có phân phối chuẩn N(μ;σ2) thì ước lượng trên nhiều mặt là trung bình cộng và phương sai mẫu σ2 Khi có phân phối nhị thức B(n,p) thì ước lượng tốt của tham số p là tần suất 2.1.2. Ước lượng khoảng Đây là cách tiếp cận có nhiều ứng dụng trong các ngành khoa học địi hỏi phải thường xun xử lí số liệu như sinh học, y học, hóa học, kinh tế… Theo cách tiếp cận này sau khi tính các thống kê của mẫu quan sát, ta đưa ra khoảng [a;b] chứa tham số Θ . Cận dưới a và cận trên b tính theo 1 quy tắc cụ thể dựa trên các thống kê và dựa trên mức độ tin cậy P Sau khi chọn mẫu, ta đưa ra khoảng tin cậy [a; b], nếu Θ trong [a; b] thì khoảng tin cậy đưa ra đúng, nếu Θ ngồi khoảng [a; b], thì khoảng tin cậy đưa ra sai. Như vậy mỗi khoảng tin cậy chỉ có thể đúng hoặc sai, xác suất đúng là P, xác suất sai a = 1 – P, hiểu đơn giản là nếu tính khoảng tin cậy theo quy tắc đã đưa ra thì trung bình trong 100 trường hợp, P.100 trường hợp có khoảng tin cậy đúng Khơng đi sâu vào lý thuyết, ta đưa ra quy tắc ước lượng tham số cho ba trường hợp: Ước lượng kỳ vọng μ của phân phối chuẩn khi biết phương sai σ2 Các bước cần làm để ước lượng μ: 54 + Chọn mẫu kích thước n, tính trung bình cộng Chọn mức tin cậy γ (α = 1 – γ gọi là mức sai cho phép hay mức ý nghĩa) + Dùng bảng tích phân hàm Laplace hạn để tính giá trị tới , tức là giá trị u sao cho: + Ước lượng m theo bất đẳng thức kép: Lưu ý: nếu hàm phân phối chuẩn là trị u sao cho: thì tính , tức là giá . Giá trị này ở 1 số sách cịn được cho bởi bảng phân vị chuẩn 2.2. Ước lượng khoảng tin cậy cho tham số P của bi ến ng ẫu nhiên phân phối theo quy luật không – một TH1: Khi n đủ lớn (n>30): thay σ công thức (1) bằng độ lệch chuẩn hiệu chỉnh s TH2: Khi n 100): + Lấy mẫu kích thước n, đếm tần số (m) xuất hiện cá thể loại A, tính tần suất + Dùng bảng tích phân hàm Laplace hạn để tính giá trị tới , tức là giá trị u sao cho: + Ước lượng m theo bất đẳng thức kép: 2.4. Ước lượng phương sai của biến ngẫu nhiên phân phối theo quy luật chuẩn. Theo (1), nửa chiều dài khoảng ước lượng: Nếu muốn ước lượng đạt độ chính xác ε thì phải lấy L ≤ ε. Từ đó: 3. Kiểm định giả thuyết thống kê 3.1. Khái niệm Khi thực hiện một nghiên cứu định lượng (quantitative research), chúng ta phải cố gắng trả lời các câu hỏi nghiên cứu (research questions) hay các giả thuyết đặt ra. Một phương pháp đánh giá các giả thuyết này thơng qua một thủ tục được gọi là kiểm định giả thuyết (hypothesis testing) mà đơi khi cịn được gọi là kiểm định ý nghĩa thống kê (significance testing) 56 Ví dụ: hai giáo viên mơn thống kê, Tom và Jerry, đều muốn sử dụng phương pháp tốt nhất để giảng dạy cho sinh viên của mình. Mỗi giáo viên giảng dạy một lớp gồm 50 sinh viên. Trong lớp của Tom, các sinh viên phải thực hiện một bài tiểu luận bên cạnh việc tiếp thu trên lớp. Tom nghĩ rằng việc làm tiểu luận là phương pháp dạy quan trọng trong mơn thống kê, trong khi Jerry tin tưởng rằng sẽ tốt hơn nếu sinh viên tập trung lắng nghe tiếp thu trên lớp. Đây là năm đầu tiên mà Tom cho sinh viên làm tiểu luận, và cơ ta mong muốn việc làm tiểu luận sẽ giúp sinh viên nâng cao hiệu quả học tập 3.2. Kiểm định về trung bình tổng thể Cũng tương tự bài tốn ước lượng khoảng, ta chỉ xét bài tốn kiểm định với tổng thể phân phối Chuẩn. Xét biến ngẫu nhiên gốc trong tổng thể phân phối chuẩn X ~ N(μ ; 2 ) với các tham số tổng thể là chưa biết, hay chưa biết, trong đó chính là trung bình của tổng thể theo dấu hiệu nghiên cứu. Ta kiểm định giả thiết về tham số , với việc so sánh với một số thực 0 cho trước. Các chứng minh đã được trình bày trong giáo trình, tại đây ta áp dụng các cơng thức để thực hiện kiểm định và đưa ra kết luận phù hợp với từng trường hợp. Ví dụ 1. Xem xét về trọng lượng một loại quả (tính bằng gam), người ta tiến hành cân thử một số quả lấy ngẫu nhiên, đựợc số liệu cho trong bảng dưới đây. Trọng (gam) lượng 25 – 27 Số quả tương ứng 27 – 29 29 – 31 31 – 33 33 – 35 35 – 37 Biết rằng trọng lượng quả là đại lượng có phân phối chuẩn. 57 (a) Tiêu chuẩn đặt ra cho trọng lượng trung bình của quả là 30g. Với mức ý nghĩa 5%, có thể nói loại quả trên đạt tiêu chuẩn hay khơng? (b) Mùa vụ trước trọng lượng trung bình của loại quả này là 29g. Với mức ý nghĩa 5% có thể nói trọng lượng trung bình đã tăng lên khơng? 3.3. Kiểm định giả thuyết về phương sai tổng thể Giả sử trong tổng thể có biến ngẫu nhiên gốc phân phối chuẩn, X ~ N( , ), trong đó tham số 2 đặc trưng cho độ phân tán/độ biến động/độ ổn định/độ đồng đều của tổng thể theo dấu hiệu nghiên cứu, là chưa biết. Ta kiểm định giả thuyết về mối quan hệ giữa phương sai tổng thể 2 với một số cho trước. Sử dụng một mẫu kích thước n với phương sai mẫu là S2 , độ lệch chuẩn là S. Ví dụ 2: Với số liệu của ví dụ 1 trong phần trên, cân thử 25 quả thấy trọng lượng trung bình mẫu là 30,48 gam, phương sai mẫu 8,4267 gam2 , độ lệch chuẩn mẫu 2,903 gam. Biết trọng lượng quả là đại lượng phân phối chuẩn (a) Với mức ý nghĩa 5%, kiểm định ý kiến cho rằng phương sai trọng lượng quả là bằng 5 gam2 . Nếu mức ý nghĩa là 2% thì kết luận có thay đổi khơng? (b) Mùa vụ trước trọng lượng quả có độ phân tán bằng 4 gam, với mức ý nghĩa 5% thì có thể nói mùa vụ này trọng lượng quả đã đồng đều hơn khơng? 3.4. Kiểm định về tỷ lệ tổng thể Tỷ lệ tổng thể, hay cịn gọi là tần suất tổng thể được kí hiệu là p. Từ u cầu thực tế đặt ra, ta đưa đến việc kiểm định giả thuyết về mối quan hệ giữa tham số p với một số p0 cho trước. Ta lập một mẫu ngẫu nhiên kích thước n, từ đó xác định được tần suất mẫu là f Ví dụ 3. Tổng điều tra trên một khu vực 5 năm trước cho thấy có 10% dân số độ tuổi trưởng thành khơng biết chữ. Năm nay điều tra ngẫu nhiên 400 người thì có 22 người ở độ tuổi trưởng thành khơng biết chữ. Với mức ý nghĩa 5%: (a) Nhận xét ý kiến cho rằng tỷ lệ mù chữ khơng giảm đi so với 5 năm trước. (b) Phải chăng tỷ lệ mù chữ vẫn cịn trên 3%? (c) Có thể cho rằng tỷ lệ mù chữ đã giảm đi cịn 5% hay khơng? 58 ... Về kiến thức: +? ?Trình? ?bày được các kiến thức? ?cơ? ?bản về? ?kinh? ?tế? ?học và cơng cụ tốn học để xây dựng mơ hình bài tốn? ?kinh? ?tế; +? ?Trình? ?bày mối liên hệ định tính, định lượng giữa các biến số? ?kinh? ?tế? ?trong ... tìm ra lời giải cho mơ hình đó, từ đó giúp các nhà? ?kinh? ?tế? ?tìm ra các giải pháp tối ưu cho bài tốn? ?kinh? ?tế Để đáp ứng nhu cầu giảng dạy và học tập mơn Tốn? ?kinh? ?tế? ?cho sinh viên hệ Cao đẳng, chúng tơi đó biên soạn cuốn? ?giáo? ?trình? ?này.? ?Giáo? ?trình? ?khơng đi sâu ... Ý nghĩa và vai trị của mơn học: + Chương? ?trình? ?trang bị cho sinh viên những kiến thức? ?cơ bản về các mơ hình? ?kinh? ?tế, các phương pháp tiếp cận khác nhau để lý giải sự tồn tại và vận động của q? ?trình? ?kinh? ?tế? ? xã hội