Giáo trình Toán kinh tế (Nghề: Kế toán doanh nghiệp) - CĐ Cơ Giới Ninh Bình

Giáo trình Toán kinh tế cung cấp cho người học các kiến thức: Đại số tuyến tính; Phương pháp đơn hình và bài toán đối ngẫu; Toán xác suất; Thống kê toán. Mời các bạn cùng tham khảo để nắm chi tiết nội dung giáo trình.

BỘ NƠNG NGHIỆP VÀ PHÁT TRIỂN NƠNG THƠN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CƠ GIỚI NINH BÌNH GIÁO TRÌNH MƠN HỌC: TỐN KINH TẾ NGHỀ: KẾ TỐN DOANH NGHIỆP TRÌNH ĐỘ: CAO ĐẲNG Ban hành kèm theo Quyết định số:        /QĐ­TCGNB  ngày…….tháng….năm   2017  của Trường cao đẳng nghề Cơ giới Ninh Bình Ninh Bình, năm 20 TUN BỐ BẢN QUYỀN Tài liệu này thuộc loại sách giáo trình nên các nguồn thơng tin có thể được  phép dùng ngun bản hoặc trích dùng cho các mục đích về  đào tạo và tham   khảo Mọi mục đích khác mang tính lệch lạc hoặc sử  dụng với mục đích kinh  doanh thiếu lành mạnh sẽ bị nghiêm cấm LỜI NĨI ĐẦU Tốn học và kinh tế là hai lĩnh vực có mối quan hệ gắn bó với nhau. Kinh   tế là nguồn cảm hứng cho tốn học thực hiện khả năng tiềm năng của mình, cịn  tốn  học là cơng cụ giúp cho việc phân tích, giải quyết các vấn đề kinh tế một  cách chặt chẽ, hợp lý và hiệu quả. Tốn kinh tế là việc nghiên cứu để mơ tả các  vấn đề kinh tế dưới dạng mơ hình tốn học thích hợp và từ góc độ  tốn học sẽ  tìm ra lời giải cho mơ hình đó, từ đó giúp các nhà kinh tế tìm ra các giải pháp tối   ưu cho bài tốn kinh tế Để đáp ứng nhu cầu giảng dạy và học tập mơn Tốn kinh tế cho sinh viên  hệ Cao đẳng, chúng tơi đó biên soạn cuốn giáo trình này. Giáo trình khơng đi sâu  vào các vấn đề lý luận và các kỹ thuật tốn học phức tạp mà chỉ tập trung trình   bày những nội dung cơ  bản và các thuật tốn chính của lý thuyết tối  ưu tuyến  tính.  Nhằm giúp sinh viên rèn luyện kỹ năng trong giáo trình có đầy đủ các ví dụ  cụ thể mơ tả từng tình  huống, hướng dẫn tỉ mỉ tồn bộ q trình giải quyết vấn  đề Nội dung giáo trình gồm 4 chương: Chương 1: Đại số tuyến tính  Chương 2: Phương pháp đơn hình và bài tốn đối ngẫu Chương 3: Tốn xác suất Chương 4: Thống kê tốn Mặc dù có nhiều cố  gắng, nhưng giáo trình này chắc chắn khơng tránh  khỏi những thiếu sót. Chúng tơi rất mong được bạn đọc góp ý để  cuốn sách   ngày càng hoàn thiện           Các tác giả An Thị Hạnh Đỗ Quang Khải Phạm Thị Hồng MỤC LỤC GIÁO TRÌNH MƠN HỌC Tên mơn học: Tốn kinh tế Mã số mơn học: MH 16 Vị trí, tính chất, ý nghĩa và vai trị của mơn học: ­ Vị trí: Mơn học được bố trí giảng dạy sau các mơn học chung ­ Tính chất: Là mơn học giúp người học vận dụng tốt các mơn học chun   mơn của nghề ­ Ý nghĩa và vai trị của mơn học: + Chương trình trang bị  cho sinh viên những kiến thức cơ  bản về  các mơ   hình kinh tế, các phương pháp tiếp cận khác nhau để  lý giải sự  tồn tại và vận  động của q trình kinh tế ­ xã hội + Trang bị cho sinh viên những kỹ năng tính tốn thơng qua việc giải quyết   các bài tốn, dựa vào bài tốn có thế  tiến hành phân tích và dự  báo biến động   trong nhiều lĩnh vực khác nhau như giá cả và tài chính + Giúp cho sinh viên có những nhận thức cơ  bản, có phương hướng đúng  đắn và tự tin trong cơng tác tài chính thực tiễn sau khi tốt nghiệp ra trường + Ngồi ra học sinh cịn có năng lực để theo học liên thơng lên các bậc học   cao hơn để phát triển kiến thức và kỹ năng nghề Mục tiêu mơn học: ­ Về kiến thức: + Trình bày được các kiến thức cơ bản về kinh tế học và cơng cụ tốn học  để xây dựng mơ hình bài tốn kinh tế; + Trình bày mối liên hệ định tính, định lượng giữa các biến số kinh tế trong  nhiều lĩnh vực và sử  dụng các phương pháp như: Phân tích cân bằng, phân tích   tối ưu, quy hoạch tuyến tính, thống kê tốn   ­ Về kỹ năng:  + Xây dựng được mơ hình bài tốn kinh tế và phân tích được mơ hình; + Giải được bài tốn quy hoạch tuyến tính, xác suất và thống kê tốn; + Kiểm định được các giả thuyết thống kê tốn ­ Về  năng lực tự  chủ  và trách nhiệm: Có phẩm chất  đạo đức, kỷ  luật tốt, có ý  thức tự rèn luyện để nâng cao trình độ Nội dung mơn học: CHƯƠNG 1: ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Mã chương: TKT 01 Giới thiệu:  Trang bị  cho người học những kiến thức chung về vectơ, ma trận, hướng   dẫn người học các cách xác định giá trị  định thức và phương pháp giải bài tốn   quy hoạch tuyến tính Mục tiêu: ­ Trình bày được khái niệm Vectơ n chiều và khái niệm về ma trận;  ­ Trình bày được các phép tốn vectơ; ­ Trình bày được cách xác định giá trị định thức; ­ Giải được hệ phương trình và bài tốn quy hoạch tuyến tính; ­ Có ý thức học tập nghiêm túc, cẩn thận, chính xác Nội dung chính: 1. Vectơ n chiều và các phép tính  1.1. Định nghĩa ­ Véc tơ  là một đoạn thẳng được cấu thành bởi 2 yếu tố  là độ  dài véctơ  và  hướng ­ Véctơ n chiều là một bộ gồm n số thực được sắp xếp có thứ tự và ký hiệu là      X = (x1, x2,  , xn ) = {xj }; j = 1 ­ n VD: X1 = (1, 4, 0)  X2 = (3, ­1, 2, 1, 5) ­ Mỗi số xj gọi là thành phần hoặc toạ độ thứ j của x x1 gọi là thành phần thứ 1 x2 gọi là thành phần thứ 2 xn gọi là thành phần thứ n ­ Véctơ 0 là véctơ mà tất cả các thành phần đều bằng 0 ­ Véctơ đối của véctơ X là ­ X = (­ x1, ­ x2,  , ­ xn ) ­ Véctơ bằng nhau: 2 véctơ có cùng thành phần được gọi là bằng nhau khi và chỉ  khi các thành phần tương ứng của chúng bằng nhau từng đơi một X = (x1, x2,  , xn ); Y = (y1, y2,  , yn ) Ta có     X = Y       x1 = y1                                      x2 = y2                                                                                xn = yn Như vậy, 2 véctơ bằng nhau là 2 véctơ có các thành phần giống hệt nhau ­ Véctơ hàng là n số thực được sắp xếp theo hàng ­ Véctơ cột là n số thực được sắp xếp theo cột ­ Véctơ đơn vị là véctơ  có 1 thành phần bằng 1 cịn các thành phần cịn lại đều   bằng 0 1.2. Các phép tốn vectơ 1.2.1. Phép cộng 2 véctơ có cùng thành phần Ta gọi tổng của 2 véctơ  n chiều X và Y là một véctơ  n chiều Z mà các  thành phần của nó là tổng các thành phần tương ứng của X và Y, nghĩa là: X + Y = Z; zj = xj + yj ; j = 1 ­ n Như  vậy, phép cộng chỉ  thực hiện  được trên những véctơ  có cùng số  chiều và thực chất là qui về phép cộng các số, do đó nó cũng có đầy đủ các tính   chất của phép cộng các số 1.2.2. Phép nhân vectơ với một số Ta gọi tích của một vectơ n chiều X với 1 hằng số k là một vectơ n chiều   ký hiệu kX mà các thành phần của nó là các thành phần tương ứng của X được   nhân lên với k, nghĩa là: kX =  kxj  (j = 1  n) Thực chất của phép tính này cũng quy về phép tính trên các số Các tính chất cơ bản của 2 phép tính trên: ­ Tính giao hốn:  X + Y = Y + X      kX = Xk ­ Tính kết hợp:                       (X + Y) + Z = Y + (X+ Z)                   k 1 (k2  X) = k 1 k2  X = (k 1 k2 ) X ­ Luật phân bố:                                   k (X + Y) = kY + kX                      (k 1 + k2)  X = k 1X +  k2  X ­ X+ (­X) = 0 ­ X + 0 = X 1.2.3. Tích vơ hướng của hai vectơ Ta gọi tích vơ hướng của hai vectơ  n chiều X và Y là một số  thực được  xác định bởi tổng các tích của các thành phần tương  ứng của X và Y, ký hiệu  (X, Y) (X, Y) = x1 y1 + x2 y2 +   + xn yn  =  x j yj 1.3. Độc lập và phụ thuộc tuyến tính Cho một hệ thống m vectơ n chiều  X1 , X2 ,  , Xm   (I) Ta có đẳng thức vectơ: k1 X1 + k2 X2 +  + km Xm  = 0 (*) xảy ra khi ta tìm  được m số thực k1 ,k2 , , km ­ Nếu có ít nhất một số k khác 0 thì Hệ (I) được gọi là phụ thuộc tuyến tính ­ Nếu k1 = k2 = = km thì Hệ (I) được gọi là độc lập tuyến tính Ví dụ: Có 4 vectơ: X1 = (1, 7, 3) X3 = (7, 9, 2) X2 = (2, 4, ­5)  X4 = (­1, 6, 8) Và tồn tại 4 số thực k1 ,k2 , k3, k4. Hệ độc lập hay phụ thuộc tuyến tính? LG: Ta xét: k1 X1 + k2 X2 + k3 X3 + k4 X4  = 0           k1 +2k2 + 7 k3 ­ k4     = 0             7k1+ 4 k2 + 9k3 + 6 k4 = 0             3k1­ 5 k2 + 2k3 + 8 k4  = 0 Ta thấy, ứng với mỗi một k 4 thì cho một k1,k2 ,k3. Do đó, có ít nhất 1 k  0  nên hệ phụ thuộc tuyến tính 2. Ma trận 2.1. Các khái niệm cơ bản Bảng m và n số thực được xếp thành m hàng và n cột là ma trận cấp m   n    A = (aij)m n =   a11       a12    a1n (i= 1 m)                            a21     a22    a2n (j = 1 n)                                                                                   am1     am2   amn   Mỗi số nằm trong cấu thành của ma trận gọi là một phần tử của ma trận aij là phần tử nằm ở hàng thứ i và cột thứ j của ma trận aii là đường chéo của ma trận * Một số ma trận đặc biệt: ­ Ma trận 0: Là ma trận mà mọi phần tử đều bằng 0 ­ Ma trận vng: Là ma trận có số  hàng bằng số  cột (m=n) khi đó ta gọi là ma  trận vng cấp n ­ Ma trận tam giác: Là ma trận vng mà mọi phần tử  nằm về  một phía của   đường chéo đều bằng 0 ­ Ma trận đường chéo: Là ma trận vng mà mọi phần tử  nằm ngồi đường   chéo đều bằng 0 ­ Ma trận đơn vị: Là ma trận đường chéo mà mọi phần tử trên đường chéo đều  bằng 1, ký hiệu E ­ Ma trận chuyển vị: Nếu ta đổi hàng thành cột và cột thành hàng thì ta dược ma  trận chuyển vị của ma trận đã cho 2.2. Các phép tính ma trận 2.2.1. Phép cộng 2 ma trận Cho hai ma trận A, B cùng cấp m   n. Tổng của hai ma trận là ma trận C  cấp m   n mà các phần tử của nó là tổng các phần tử tương ứng của A và B A = (aij)m n  B = (bij)m C = (cij)m n  = (aij + bij) m Ví dụ:        A =  n n B =                               4             A + B =                    12 10 2.2.2. Phép nhân ma trận với một số thực Ta gọi tích của ma trận A = (aij)m n với một số thực k là  ma trận cấp m  n , ký hiệu là k.A mà các phần tử của nó là các phần tử tương ứng của A được  nhân lên với k. Khi đó: C = (k.A) = (k. aij)m Ví dụ:       A =  n k = 3                             4        7         C = (k.A)  =    3       9                       12    21 * Trường hợp hiệu hai ma trận cùng cấp có thể được coi là phép cộng của một   ma trận với ma trận đối của ma trận kia: A ­ B = A + (­B) 2.2.3. Phép nhân hai ma trận Cho A = (aij)m n ; B = (bjk)n k Phép nhân A với B là một ma trận C = (c ik)m p mà phần tử nằm trên hàng i  cột k của nó được xác định bởi tổng các tích của các phần tử  nằm trên hàng i   của ma trận A (đứng trước) với các phần tử  nằm trên cột k của ma trận B   (đứng sau) nghĩa là: Cik =   aij. bjk  10 (i= 1  m; k = 1  p) Là phương pháp xác định xác suất của biến ngẫu nhiên được phân phối ra   sao. Có 2 cách để xác định phân bố này là dựa vào bảng phân bố xác xuất và hàm  phân phối xác suất. Ở đây, tơi chỉ đề cập tới phương pháp hàm phân bố xác suất   Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên XX được xác định như sau: FX(x) = P (X ≤ x)   ,x∈R Hàm   phân   phối   xác   suất     có   tên     hàm   phân   phối   tích   luỹ   (CDF   ­  Cumulative Distribution Function) do đặc trưng là lấy xác suất của các biến ngẫu  nhiên bên trái của một giá trị x bất kì nào đó. Hàm này có đặc điểm là một hàm  khơng   giảm,   tức     nếu a mB thì có thể nói rằng thu nhập trung bình ở khu vực A cao hơn   khu vực B, hoặc ngắn gọn hơn nữa là khu vực A có thu nhập cao hơn khu vực B  (bỏ bớt chữ trung bình).  Nếu   A  và  2  thì có thể nói rằng thu nhập  ở khu vực B đồng đều hơn khu vực   B, và    A  lần lượt là phương sai tổng thể của khu vực A và khu vực   B B 51 A, hay thu nhập của khu vực A là phân tán hơn khu vực B. Cũng có thể nói rằng   xét về thu nhập thì khu vực B bình đẳng hơn khu vực A.  Tỷ lệ tổng thể  Định nghĩa : Tỷ lệ tổng thể (hay cịn gọi là tần suất tổng thể) của một dấu   hiệu A, ký hiệu là p, là tỉ số giữa số phần tử của tổng thể mang dấu hiệu đó và   kích thước tổng thể.  1.3 Các tham số đặc trưng của mẫu ngẫu nhiên     1.3.1 Phương pháp chọn mẫu  Để phản ánh về tổng thể một cách chính xác nhất, người nghiên cứu mong   muốn mẫu phải có tính đại diện tốt nhất. Để có một mẫu đại diện tốt nhất cho   tổng thể người ta thường phải tiến hành xây dựng mẫu theo một quy định chọn   ngẫu nhiên các phần tử  của mẫu. Một mẫu như  vậy được gọi là mẫu ngẫu   nhiên.  Có rất nhiều phương pháp chọn mẫu ngẫu nhiên để thỏa mãn tính đại diện  tốt nhất cho tổng thể và phù hợp với mục tiêu nghiên cứu:  ­ Mẫu ngẫu nhiên đơn;  ­ Mẫu ngẫu nhiên hệ thống;  ­ Mẫu chùm; ­ Mẫu phân tổ;  ­ Mẫu nhiều cấp.  Trong nội dung bài giảng, ta khơng đi sâu vào các phương pháp lấy mẫu.  Sinh viên có thể  đọc thêm trong giáo trình. Ta sẽ  đi sâu vào khái niệm về  mẫu  ngẫu nhiên trong mục sau 1.3.2 Mẫu ngẫu nhiên và mẫu cụ thể  Trong mục trên có đề cập khái niệm mẫu ngẫu nhiên. Hiểu một cách đơn  giản, mẫu là một bộ  phận nhỏ  hơn tương đối so với tổng thể, được rút ra từ  tổng thể  để  điều tra. Phương pháp lấy mẫu ngẫu nhiên tức là làm sao để  mỗi  phần tử trong tổng thể đều có khả năng được điều tra là như nhau, hay xác suất  để mỗi phần tử bị chọn là như nhau trong mỗi lần chọn. Vì trong mỗi lần chọn   mẫu lấy ra một phần tử, và các phần tử đó có khả năng bị chọn là như nhau, nên  chúng là độc lập với nhau, và các phần tử trong mỗi lần chọn có các đặc tính là   như nhau. Vì vậy kỳ vọng, phương sai của đại lượng nghiên cứu với mỗi phần  tử được chọn đều giống nhau 52  Để  lấy một mẫu gồm n phần tử, hay cịn gọi là mẫu kích thước n, cần   thực hiện n lần chọn ngẫu nhiên. Nếu mỗi lần chọn được một phần tử, và đại  lượng nghiên cứu của phần tử đó chính là X, thì X là ngẫu nhiên và giống nhau   ở mọi lần. Từ đó ta có định nghĩa về mẫu ngẫu nhiên.  Định nghĩa Mẫu ngẫu nhiên: Một mẫu ngẫu nhiên kích thước n là tập   hợp n biến ngẫu nhiên độc lập X1 , X2,…, Xn được thành lập từ  biến ngẫu   nhiên X trong tổng thể và có cùng phân phối với biến ngẫu nhiên gốc X.  Ký hiệu mẫu ngẫu nhiên: W = (X1, X2,…,Xn)  Do mỗi lần lấy phần tử cho mẫu, biến ngẫu nhiên X đều là như nhau, do   đó kỳ vọng và phương sai của chúng đều bằng nhau.  E(X1) = E(X2) = … = E(Xn) = E(X) = m  V(X1) = V(X2) = … = V(Xn) = V(X) = σ2   Mẫu ngẫu nhiên như  vậy là mẫu lấy một cách trừu tượng, chưa thực  hiện. Khi thực hiện chọn n phần tử một cách thực sự, được một bộ số. Nếu lần   chọn đầu tiên được giá trị là X1 = x1; lần chọn thứ hai X2 = x2,…, cho đến Xn =  xn với x1, x2,…, xn là các con số, thì ta có một mẫu đã điều tra, gọi là mẫu cụ  thể, gồm n con số, hay chính là một bộ số liệu.  Định nghĩa Mẫu cụ thể: Mẫu cụ thể là một bộ n số thực (x1, x2,…, xn),   là kết quả khi thực hiện một phép thử của mẫu ngẫu nhiên (X1, X2, …, Xn).  Ký hiệu mẫu cụ thể là w = (x1, x2, … , xn).  Mỗi con số gọi là một quan sát. Do đó mẫu kích thước n sẽ có n quan sát.  Như vậy:  ­ Mẫu ngẫu nhiên là một bộ n biến ngẫu nhiên, ký hiệu viết hoa.  ­  Mẫu  cụ   thể  là      số   liệu  gồm n  con số  cụ  thể,  ký  hiệu  viết  thường.   2. Ước lượng tham số                                                                     2.1. Ước lượng điểm cho kỳ vọng, phương sai và xác suất     2.1.1.   Ước lượng điểm: Giả sử tổng thể có tham số Θ, sau khi khảo sát mẫu  ta tính được các thống kê, dựa vào các thống kê để đưa ra 1 số T thay thế Θ gọi  là ước lượng điểm của Θ 53 ­ Khơng chệch: hiểu 1 cách đơn giản là ước lượng khơng chứa sai số hệ thống,   tức là khơng thiên về phía đưa ra các giá trị  bé hơn  Θ hoặc khơng thiên về phía  đưa ra các giá trị lớn hơn Θ ­ Hiệu quả: trong các ước lượng có cùng tính chất, chọn ước lượng có phương  sai nhỏ nhất ­  Vững: khi tăng dung lượng mẫu n lên vơ hạn thì  ước lượng sẽ  dần đến  Θ  (dần đến theo xác suất) ­ Chắc hay bền: khơng thay đổi nhiều khi trong mẫu có các số liệu q nhỏ hay  q lớn Nếu khơng thể  chọn  ước lượng tốt trên mọi phương diện thì, tùy theo mục   đích, có thể  chọn  ước lượng thỏa mãn 1 số  tiêu chuẩn trong rất nhiều tiêu  chuẩn đưa ra Ví dụ: ­ Khi có phân phối chuẩn N(μ;σ2) thì  ước lượng trên nhiều mặt là trung bình  cộng và phương sai mẫu σ2 ­ Khi có phân phối nhị thức B(n,p) thì ước lượng tốt của tham số p là tần suất 2.1.2. Ước lượng khoảng Đây là cách tiếp cận có nhiều  ứng dụng trong các ngành khoa học địi hỏi   phải thường xun xử  lí số  liệu như  sinh học, y học, hóa học, kinh tế… Theo   cách tiếp cận này sau khi tính các thống kê của mẫu quan sát, ta đưa ra khoảng  [a;b] chứa tham số  Θ . Cận dưới a và cận trên b tính theo 1 quy tắc cụ thể dựa   trên các thống kê và dựa trên mức độ tin cậy P Sau khi chọn mẫu, ta đưa ra khoảng tin cậy [a; b], nếu  Θ   trong [a; b] thì  khoảng tin cậy đưa ra đúng, nếu Θ    ngồi khoảng [a; b], thì khoảng tin cậy  đưa ra sai. Như vậy mỗi khoảng tin cậy chỉ có thể đúng hoặc sai, xác suất đúng  là P, xác suất sai a = 1 – P, hiểu đơn giản là nếu tính khoảng tin cậy theo quy   tắc đã đưa ra thì trung bình trong 100 trường hợp, P.100 trường hợp có khoảng  tin cậy đúng Khơng đi sâu vào lý thuyết, ta đưa ra quy tắc  ước lượng tham số  cho ba  trường hợp: ­ Ước lượng kỳ  vọng μ của phân phối chuẩn khi biết phương  sai σ2 Các bước cần làm để ước lượng μ: 54 + Chọn mẫu kích thước n, tính trung bình cộng   Chọn mức tin cậy γ (α = 1 – γ  gọi là mức sai cho phép hay mức ý nghĩa) +   Dùng   bảng   tích   phân   hàm   Laplace  hạn   để   tính   giá   trị   tới   , tức là giá trị u sao cho: + Ước lượng m theo bất đẳng thức kép: Lưu ý: nếu hàm phân phối chuẩn là  trị u sao cho:   thì tính   , tức là giá    . Giá trị này ở 1 số sách cịn được cho bởi bảng phân  vị chuẩn  2.2.  Ước lượng khoảng tin cậy cho tham số  P của bi ến ng ẫu nhiên phân   phối theo quy luật không – một    TH1: Khi n đủ  lớn (n>30): thay σ    công thức (1) bằng độ  lệch chuẩn hiệu   chỉnh s TH2: Khi n  100): + Lấy mẫu kích thước n, đếm tần số  (m) xuất hiện cá thể  loại A, tính tần   suất  +   Dùng   bảng   tích   phân   hàm   Laplace  hạn   để   tính   giá   trị   tới   , tức là giá trị u sao cho: + Ước lượng m theo bất đẳng thức kép:                                             2.4.  Ước lượng phương sai của biến ngẫu nhiên phân phối theo quy luật   chuẩn.  Theo (1), nửa chiều dài khoảng ước lượng:  Nếu muốn ước lượng  đạt độ chính xác ε thì phải lấy L ≤ ε. Từ đó: 3. Kiểm định giả thuyết thống kê                                                   3.1. Khái niệm                                                                                Khi thực hiện một nghiên cứu định lượng (quantitative research), chúng ta  phải cố  gắng trả  lời các câu hỏi nghiên cứu (research questions) hay các giả  thuyết đặt ra. Một phương pháp đánh giá các giả thuyết này thơng qua một thủ  tục được gọi là kiểm định giả  thuyết (hypothesis testing) mà đơi khi cịn được  gọi là kiểm định ý nghĩa thống kê (significance testing) 56 Ví dụ: hai giáo viên mơn thống kê, Tom và Jerry,  đều muốn sử  dụng  phương pháp tốt nhất để giảng dạy cho sinh viên của mình. Mỗi giáo viên giảng  dạy một lớp gồm 50 sinh viên. Trong lớp của Tom, các sinh viên phải thực hiện  một bài tiểu luận bên cạnh việc tiếp thu trên lớp. Tom nghĩ rằng việc làm tiểu   luận là phương pháp dạy quan trọng trong mơn thống kê, trong khi Jerry tin  tưởng rằng sẽ tốt hơn nếu sinh viên tập trung lắng nghe tiếp thu trên lớp. Đây là  năm đầu tiên mà Tom cho sinh viên làm tiểu luận, và cơ ta mong muốn việc làm  tiểu luận sẽ giúp sinh viên nâng cao hiệu quả học tập 3.2. Kiểm định về trung bình tổng thể  Cũng tương tự  bài tốn  ước lượng khoảng, ta chỉ  xét bài tốn kiểm định  với tổng thể phân phối Chuẩn.  Xét biến ngẫu nhiên gốc trong tổng thể phân phối chuẩn X ~ N(μ ;    2 )  với các tham số tổng thể là chưa biết, hay   chưa biết, trong đó   chính là trung  bình của tổng thể theo dấu hiệu nghiên cứu. Ta kiểm định giả thiết về tham số  , với việc so sánh với một số thực  0 cho trước. Các chứng minh đã được trình  bày trong giáo trình, tại đây ta áp dụng các cơng thức để thực hiện kiểm định và  đưa ra kết luận phù hợp với từng trường hợp.  Ví dụ 1. Xem xét về trọng lượng một loại quả (tính bằng gam), người ta   tiến hành cân thử một số quả lấy ngẫu nhiên, đựợc số liệu cho trong bảng dưới  đây.  Trọng (gam)   lượng  25 – 27 Số quả tương ứng 27 – 29 29 – 31 31 – 33 33 – 35 35 – 37 Biết rằng trọng lượng quả là đại lượng có phân phối chuẩn.  57 (a) Tiêu chuẩn đặt ra cho trọng lượng trung bình của quả là 30g. Với mức  ý nghĩa 5%, có thể nói loại quả trên đạt tiêu chuẩn hay khơng?  (b) Mùa vụ  trước trọng lượng trung bình của loại quả  này là 29g. Với   mức ý nghĩa 5% có thể nói trọng lượng trung bình đã tăng lên khơng? 3.3. Kiểm định giả thuyết về phương sai tổng thể  Giả sử trong tổng thể có biến ngẫu nhiên gốc phân phối chuẩn, X ~ N(  ,  ), trong đó tham số   2 đặc trưng cho độ phân tán/độ biến động/độ ổn định/độ  đồng đều của tổng thể theo dấu hiệu nghiên cứu, là chưa biết.  Ta kiểm định giả thuyết về mối quan hệ giữa phương sai tổng thể  2 với  một số   cho trước. Sử dụng một mẫu kích thước n với phương sai mẫu là S2 ,  độ lệch chuẩn là S.  Ví dụ  2:  Với số  liệu của ví dụ  1 trong phần trên, cân thử  25 quả  thấy  trọng lượng trung bình mẫu là 30,48 gam, phương sai mẫu 8,4267 gam2 , độ  lệch chuẩn mẫu 2,903 gam. Biết trọng lượng quả là đại lượng phân phối chuẩn (a) Với mức ý nghĩa 5%, kiểm định ý kiến cho rằng phương sai trọng   lượng quả  là bằng 5 gam2 . Nếu mức ý nghĩa là 2% thì kết luận có thay đổi   khơng?  (b) Mùa vụ trước trọng lượng quả có độ phân tán bằng 4 gam, với mức ý  nghĩa 5% thì có thể nói mùa vụ này trọng lượng quả đã đồng đều hơn khơng?  3.4. Kiểm định về tỷ lệ tổng thể Tỷ lệ tổng thể, hay cịn gọi là tần suất tổng thể được kí hiệu là p. Từ u   cầu thực tế đặt ra, ta đưa đến việc kiểm định giả  thuyết về  mối quan hệ giữa  tham số p với một số p0 cho trước. Ta lập một mẫu ngẫu nhiên kích thước n, từ  đó xác định được tần suất mẫu là f Ví dụ 3. Tổng điều tra trên một khu vực 5 năm trước cho thấy có 10% dân  số    độ  tuổi trưởng thành khơng biết chữ. Năm nay điều tra ngẫu nhiên 400   người thì có 22 người ở độ tuổi trưởng thành khơng biết chữ. Với mức ý nghĩa  5%: (a) Nhận xét ý kiến cho rằng tỷ  lệ  mù chữ  khơng giảm đi so với 5 năm   trước. (b) Phải chăng tỷ  lệ mù chữ  vẫn cịn trên 3%? (c) Có thể  cho rằng tỷ  lệ  mù chữ đã giảm đi cịn 5% hay khơng?   58 ... ­ Về kiến thức: +? ?Trình? ?bày được các kiến thức? ?cơ? ?bản về? ?kinh? ?tế? ?học và cơng cụ tốn học  để xây dựng mơ hình bài tốn? ?kinh? ?tế; +? ?Trình? ?bày mối liên hệ định tính, định lượng giữa các biến số? ?kinh? ?tế? ?trong ... tìm ra lời giải cho mơ hình đó, từ đó giúp các nhà? ?kinh? ?tế? ?tìm ra các giải pháp tối   ưu cho bài tốn? ?kinh? ?tế Để đáp ứng nhu cầu giảng dạy và học tập mơn Tốn? ?kinh? ?tế? ?cho sinh viên  hệ Cao đẳng, chúng tơi đó biên soạn cuốn? ?giáo? ?trình? ?này.? ?Giáo? ?trình? ?khơng đi sâu ... ­ Ý nghĩa và vai trị của mơn học: + Chương? ?trình? ?trang bị  cho sinh viên những kiến thức? ?cơ  bản về  các mơ   hình? ?kinh? ?tế,  các phương pháp tiếp cận khác nhau để  lý giải sự  tồn tại và vận  động của q? ?trình? ?kinh? ?tế? ?­ xã hội