(NB) Giáo trình Toán ứng dụng được biên soạn nhằm mục đích phục vụ cho việc giảng dạy. Nội dung gồm có: Quan hệ - Suy luận toán học; Tính toán và xác suất; Ma trận; Phương pháp tính;...Mời các bạn cùng tham khảo!
TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CÔNG NGHIỆP HÀ NỘI Hứa Thị An Lê Văn Hùng GIÁO TRÌNH Tốn ứng dụng (Lưu hành nội bộ) Hà Nội năm 2012 Tuyên bố quyền Giáo trình sử dụng làm tài liệu giảng dạy nội trường cao đẳng nghề Công nghiệp Hà Nội Trường Cao đẳng nghề Công nghiệp Hà Nội không sử dụng không cho phép cá nhân hay tổ chức sử dụng giáo trình với mục đích kinh doanh Mọi trích dẫn, sử dụng giáo trình với mục đích khác hay nơi khác phải đồng ý văn trường Cao đẳng nghề Công nghiệp Hà Nội Chương Quan hệ - Suy luận toán học A Quan hệ hai Định nghĩa: Cho X tập hợp, ta nói S quan hệ hai X S tập tích Descartes X Nếu hai phần tử a, b thỏa (a; b) S ta nói a có quan hệ S với b Khi đó, thay viết (a; b) S ta viết aSb 2.Ví dụ: - Quan hệ chia hết tập hợp số tự nhiên - Quan hệ - Quan hệ lớn Một số quan hệ thường gặp: 3.1 Quan hệ tương đương: 3.1.1 Định nghĩa: Một quan hệ hai tập X gọi quan hệ tương đương thỏa tính chất sau: i) Phản xạ: xSx, với x X , ii) Đối xứng: Nếu xSy ySx, với x, y X iii) Bắc cầu: Nếu xSy ySz xSz với x, y, z X Khi tập X xác định quan hệ tương đương, thay viết xSy ta thường ký hiệu x y 3.1.2 Ví dụ: - Quan hệ tập hợp số quan hệ tương đương thỏa tính chất phản xạ; đối xứng; bắc cầu - Xét quan hệ S xác định xSy x y x y quan hệ tương đương Gọi X tập đường thẳng mặt phẳng, quan hệ phương - hai đường thẳng mặt phẳng quan hệ tương đương (Chú ý: Hai đường thẳng gọi phương hai đường thẳng song song trùng nhau.) - Quan hệ vng góc đường thẳng mặt phẳng quan hệ tương đương khơng thỏa tính phản xạ - Quan hệ chia hết cho tập hợp số tự nhiên khơng phải quan hệ tương đương khơng có tính chất đối xứng - Quan hệ “nguyên tố nhau” tập hợp số tự nhiên không quan hệ tương đương khơng có tính chất bắt cầu Ví dụ (2, 3) = 1; (4, 3) = (4, 2) Cho S quan hệ tương đương tập X x X Ta gọi tập hợp S ( x ) { y X | y x} lớp tương đương x theo quan hệ tương đương S Khi ta có: - S ( x ) x S ( x) - S ( x) X x X - x, y X S(x) = S(y) S ( x) S ( y ) Từ tính chất ta nhận phân hoạch X qua lớp tương đương S(x) Tập hợp tất lớp tương đương ký hiệu X/S gọi tập thương X qua quan hệ tương đương S 3.2 Quan hệ thứ tự: 3.2.1 Định nghĩa: Một quan hệ hai S tập X gọi quan hệ thứ tự quan hệ có tính chất: phản xạ, bắc cầu phản đối xứng (tức xSy ySx suy x = y với x, y X ) Nếu tập X có quan hệ thứ tự phận S ta nói X tập thứ tự S Ta thường dùng ký hiệu để quan hệ thứ tự phận Với hai phần tử x, y X , x có quan hệ với y ta viết x y (đọc “x bé hay y”) viết y x (đọc “y lớn hay x”) Khi x y thay cho x y (hay y x ) ta viết x < y (hay y > x) đọc “x bé y” (hay “y lớn x”) Quan hệ thứ tự X gọi quan hệ thứ tự toàn phần (hay tuyến tính) với x, y X ta có x y y x Một quan hệ thứ tự khơng tồn phần gọi quan hệ thứ tự phận (hay phần) 3.2.2 Các phần tử đặc biệt Quan hệ thứ tự tốt Cho X tập thứ tự A tập X Phần tử a A gọi phần tử bé (lớn nhất) A với x A a x ( x a ) Phần tử a A gọi phần tử tối tiểu (tối đại) A với x A, x a x a,(a x a x ) Phần tử x0 X gọi cận (cận trên) A với a A : x0 a(a x0 ) Quan hệ thứ tự X gọi quan hệ thứ tự tốt tập khác rỗng X có phần tử bé Khi đó, X gọi tốt Ví dụ: a) Cho X tập hợp, P(X) ta xét quan hệ bao hàm Ta chứng minh quan hệ thứ tự phận P(X) Ngồi ra, X chứa hai phần tử x y quan hệ thứ tự khơng phải tuyến tính (hay quan hệ thứ tự tồn phần) {x} khơng so sánh với {y} b) Quan hệ thứ tự thông thường tập hợp số nguyên quan hệ thứ tự tuyến tính, khơng phải quan hệ thứ tự tốt tập khác rỗng có phần tử bé Ví dụ: Tập { , - 2, -1, 0} khơng có phần tử tối tiểu c) Quan hệ chia hết tập hợp số tự nhiên quan hệ thứ tự phận, khơng phải quan hệ tuyến tính d) Quan hệ thứ tự thông thường tập hợp số tự nhiên quan hệ thứ tự tuyến tính, quan hệ thứ tự tốt Với phần tử bé phần tử 0, khơng có phần tử lớn e) Trong tập số tự nhiên lớn 1, thứ tự theo quan hệ chia hết phần tử tối tiểu số nguyên tố 3.3 Các nguyên lý tương đương: 3.3.1 Tiên đề chọn: Với họ không rỗng ( X )I tập hợp khác rỗng X , I có ánh xạ f : I X cho f ( ) X với I I 3.3.2 Nguyên lý tốt: Mọi tập hợp khơng rỗng tốt (tức tồn quan hệ thứ tự tốt tập đó) 3.3.3 Bổ đề Zorn: Cho X tập không rỗng thứ tự Nếu tập A X toàn phần , có cận X có phần tử tối đại B Suy luận toán học I Mệnh đề Mệnh đề sơ cấp Các phát biểu khẳng định khơng thể chia nhỏ có giá trị (1, true, yes) sai (0, false, no) gọi mệnh đề sơ cấp Giá trị mệnh đề sơ cấp gọi giá trị chân lý Kí hiệu mệnh đề sơ cấp chữ X, Y, Z, Trong giảng để biểu thị giá trị chân lý "đúng", "sai" ta dùng T (true) F (false) Ví dụ: "3 số nguyên tố" mệnh đề có giá trị chân lý T "x chia hết cho 3" khơng phải mệnh đề trở thành khẳng định với x cụ thể thêm lượng từ với mọi, tồn vào trước mệnh đề "Bao tháng mười" mệnh đề khơng phải khẳng định Mệnh đề, công thức mệnh đề Các mệnh đề thành lập từ mệnh đề sơ cấp phép toán mệnh đề a Phép toán Các phép toán : hội (), tuyển (), phủ định (, _), kéo theo () Bảng chân trị X Y XY XY X XY T T T F F T T F F F F F F T F F T T F F F T T T Các phép toán tương đương với liên từ "và", "hoặc", "không", "kéo theo" Chú ý bảng chân trị phép kéo theo qua câu sau : Vì mặt trời mọc hướng đơng nên trái đất tròn Vì mặt trời mọc hướng tây nên trái đất tròn Vì mặt trời mọc hướng đơng nên trái đất vng Vì mặt trời mọc hướng tây nên trái đất vuông Về mặt thực tế khó nói tính sai khẳng định dạng Tuy nhiên áp dụng hệ toán mệnh đề thấy câu i ii câu iii sai đặc biệt câu vô nghĩa câu iv lại b Công thức mệnh đề i Các giá trị T, F mệnh đề sơ cấp : X, Y, Z, công thức mệnh đề ii Nếu A, B, C cơng thức mệnh đề (A B), (A B), (A), (A B) công thức mệnh đề Dựa vào định nghĩa để nhận biết cơng thức Ví dụ : A B A không công thức Để đơn giản (nếu khơng nhầm lẫn) bỏ bớt dấu ngoặc bao ngồi Ví dụ : "Nếu cao kều, đăm chiêu lặng lẽ trời mưa" Có nhiều cách để biểu diễn câu thành công thức mệnh đề : Nếu đặt X, Y, Z, T tương ứng mệnh đề sơ cấp : "Anh ta cao kều"; "Anh ta đăm chiêu"; "Anh ta lặng lẽ", "Trời mưa" ta có công thức mệnh đề (X Y Z) T Nếu đặt A công thức : "Anh ta cao kều, đăm chiêu" ; B công thức "lặng lẽ" C công thức "Trời mưa" cơng thức cho câu (A B) C Đặt A = "Nếu cao kều, đăm chiêu lặng lẽ trời mưa" Cơng thức A Như giá trị công thức (hoặc mệnh đề) tính qua giá trị công thức thành phần, A, B, C A, B, C kết hợp phép tốn cách lập bảng chân trị Vì công thức mệnh đề xem mệnh đề Tính tương đương cơng thức Hai công thức gọi tương đương với giá trị mệnh đề sơ cấp tham gia công thức (thực chất tương đương lơgic, nghĩa trùng mặt giá trị chân lý không trùng hồn tồn mặt cấu trúc) Kí hiệu A B để hai công thức A B tương đương Để kiểm tra tính tương đương ta lập bảng chân trị Các phần sau cho thấy cách khác để kiểm tra tính tương đương (ví dụ dùng phép biến đổi tương đương) Ví dụ: lập bảng chân trị cho công thức tương đương sau : i A B A B ii (A B) A B iii A A Bằng cách lập bảng chân trị ta dễ dàng chứng minh cặp công thức tương đương sau : Một số công thức tương đương Tên gọi Tương đương Luật đồng ATAFA Luật nuốt A T T; A F F Luật luỹ đẳng AAAAA Luật phủ định kép A A Luật hấp thụ A (A B) A; A (A B) A Luật giao hoán A B B A; A B B B Luật kết hợp (A B) C A (B C); (A B) C A (B C) Luật phân phối A (B C) (A B) (A C); A (B C) (A B) (A C) Luật De Morgan (A B) A B; (A B) A B Các công thức khác A A T; A A F A B A B Từ bảng công thức tương đương (mà ta xem luật) ta sử dụng để tìm tương đương rút gọn cơng thức khác Ví dụ : Chứng minh (A (A B)) A B A (A B)) A (A B) (A A) (A B) F (A B) (A B) : De Morgan : : De Morgan phân phối : đồng Ví dụ : Chứng minh A (A B) = A (A F) (A B) : đồng A (F B) : phân phối A (B F) : giao hoán AF : nuốt A (x + 0y = (x+0)(x+y)) : đồng Công thức đồng (sai, tiếp liên) a Định nghĩa Nếu hoàn toàn (đồng đúng) hoàn toàn sai (đồng sai) với giá trị mệnh đề sơ cấp Trường hợp lại gọi tiếp liên Nếu A đồng A đồng sai ngược lại VÝ dô : A A, A A, A, công thức đồng đúng, đồng sai, Giải: - Tách nghiệm: phương trình có nghiệm x ∈ (1,2) - Chính xác hố nghiệm: áp dụng phương pháp chia đôi ( f(1) < 0) Bảng kết quả: Kết luận: Nghiệm phương trình: x ≈ 1.386 2.4 Phương pháp lặp - Ý tưởng: - Ý nghĩa hình học Hồnh độ giao điểm đồ thị y=x y= g(x) nghiệm phương trình Trường hợp hình a: hội tụ đến nghiệm µ Trường hợp hình a: khơng hội tụ đến nghiệm µ (phân ly nghiệm) Sau ta xét định lý điều kiện hôi tụ đến nghiệm sau trình lặp Định lý (điều kiện đủ) Giả sử hàm g(x) xác định, khảvi khoảng nghiệm [a,b] giá trịg(x) thuộc [a,b] Khi ∃q > cho trị tuyệt đối g’(x)≤q