Chuyên đề tổng ba góc trong một tam giác

CHƯƠNG 2: TAM GIÁC BÀI TỔNG BA GÓC TRONG MỘT TAM GIÁC Mục tiêu  Kiến thức + Nắm định lí tổng ba góc tam giác + Nhận biết tam giác vuông nắm tính chất góc tam giác vng + Nhận biết góc ngồi tam giác nắm định lí tính chất góc ngồi tam giác  Kĩ + Vận dụng định lí để tính số đo góc tam giác + Vận dụng kiến thức học vào giải toán thực tiễn Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Định lí tổng ba góc tam giác Tổng ba góc tam giác 180o  C   180 ∆ABC có A  B Áp dụng vào tam giác vuông Định nghĩa: Tam giác vuông tam giác có góc vng  C   90 Định lý: Trong tam giác vng, hai góc nhọn phụ Tam giác ABC vuông A nên B Khi đó, hai góc nhọn gọi phụ  C   90 ∆ABC vuông A  B Góc ngồi tam giác Định nghĩa: Góc ngồi tam giác góc kề bù với góc tam giác Tính chất: Mỗi góc ngồi tam giác tổng hai góc khơng kề với  ∆ABC có  ACx góc ngồi đỉnh C   ACx   A B SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA ∆ABC,  A  90  C   90 B ∆ABC ln có A  B  C   180 ∆ABC có  ACx góc ngồi C   ACx   A B Trang II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tính số đo góc, so sánh góc Phương pháp giải Sử dụng định lí tổng ba góc tam Ví dụ: Tính số đo x, y hình vẽ sau: giác định lý góc khác Lưu ý cách giải số dạng toán quen thuộc tổng - hiệu, tổng - tỷ, tính chất tỷ lệ thức dãy tỷ số Hướng dẫn giải a) Áp dụng định lí tổng ba góc tam giác  C   180 a) Xét ∆ABC có A  B   180 65  60  C   180  65  60  55 C b) Áp dụng định lí góc ngồi tam giác b) Xét ∆ABC có y góc đỉnh C   85  55  140 Suy y   A B   180 (hai góc kề bù) Lại có x  B   180  55  125 Suy x  180  B Ví dụ mẫu  C   20 Ví dụ Cho tam giác ABC có A  80 B a) Tính số đo góc B, C ∆ABC b) Gọi AD tia phân giác A Tính số đo  ADB Hướng dẫn giải  C   180 a) Xét ∆ABC có A  B  C   100 Theo giả thiết A  80 nên B  C   20 (giả thiết) Mặt khác B Trang   100  20  60 Suy ra: B B   20  60  20  40 C   DAC 1 b) Do AD tia phân giác góc A nên BAD A  80  40 2   ACD   40  40  80 Xét ∆ACD có  ADB góc ngồi đỉnh D nên  ADB  DAC   20, C   40 Ví dụ Cho ∆ABC có B a) Tam giác ABC tam giác gì?   2.BAD  b) Gọi AD tia nằm hai tia AB AC Biết CAD  Tính số đo CDA Hướng dẫn giải  C   180 a) Xét ∆ABC có A  B    C   180   20  40   120  A  180  B Do A  90 nên tam giác ABC tam giác có góc tù   2.BAD  b) Theo giả thiết, ta có CAD     BAD BAD BAD 1       BAD A  120  40     3 CAD BAD  CAD  A  Xét ∆ADB có  ADC góc đỉnh D nên  ADC  BAD ABD   ADC  40  20  60 Bài tập tự luyện dạng   45 Góc C có số đo Câu 1: Tam giác ABC có số đo A  75, B   90 A C   60 B C   45 C C   75 D C Câu 2: Cho tam giác ABC vuông B Kết luận sau sai? A  ABC  90   90 B A  C  C   90 C B   90  A D C   80 Biết N P   40 Số đo N  Câu 3: Cho tam giác MNP có M   75 A N   45 B N   70 C N   60 D N Câu 4: Kết luận sau đúng? A Một tam giác có tối đa hai góc nhọn B Một tam giác có nhiều góc tù Trang C Trong tam giác, có hai góc có số đo nhỏ 60° D Trong tam giác, số đo góc ln nhỏ tổng số đo góc cịn lại   2.C  Số đo góc C Câu 5: Cho tam giác ABC có A  75 B   70 A C   35 B C   40 C C   50 D C Câu 6: Cho tam giác ABC có A  75 Biết góc B có số đo lớn số đo góc C 15o a) Tính số đo góc B C tam giác ABC b) Gọi BD tia phân giác  ABC với D  AC Tính số đo  ADB Câu 7: Cho tam giác ABC có AD, BE tia phân giác góc A, B  D  BC ; E  CA    30 Tính số đo góc A, B, C tam giác ABC Biết AD cắt BE K  AKB  110, KAC Câu 8: Cho tam giác ABC Tính số đo góc cịn lại tam giác biết   32 A A  96 C  :C   : :1 B A : B   75 A : C   3:2 C B Dạng 2: Các tốn chứng minh góc Phương pháp giải Sử dụng linh hoạt tính chất góc tam Ví dụ: Cho tam giác MNP Các đường phân giác giác, góc ngồi đỉnh hay tính chất tia phân góc M, P cắt I giác góc    90  MNP Chứng minh rằng: MIP Hướng dẫn giải Bước Áp dụng tính chất tổng ba góc tam   IMP   IPM   180 Xét ∆MIP có MIP    180  IMP   IPM   MIP giác, tính góc u cầu tốn  Lại có: Bước Kết hợp tính chất đường phân giác để chứng minh hệ thức  )   NMP  (do MI phân giác NMP IMP   NPM  (do PI phân giác NPM  ) IPM Trang     180  NMP   NPM  (1) Suy MIP Mặt khác, xét ∆MNP có   NMP   NPM   180 MNP   NPM   180  MNP  (2)  NMP Thế (2) vào (1), ta    180  180  MNP  MIP    180  90  MNP   MIP    90  MNP (điều phải chứng minh)  MIP Ví dụ mẫu Ví dụ Cho tam giác ABC vng A AH  BC  H  BC    BCA  a) Chứng minh BAH  cắt CH K Chứng minh   b) Tia phân giác CAH AKB  BAK Hướng dẫn giải   90   a) Xét ∆ABC có BAC ABC   ACB  90   90 Xét ∆ABH có  AHB  90   ABH  BAH    90  Suy  ABC   ACB   ABH  BAH  (điều phải chứng minh)  ACB  BAH   KAH   CAH   nên CAK b) Ta có AK tia phân giác CAH  (chứng minh câu a) nên suy Mà  ACB  BAH    BAH   KAH  ACB  CAK   BAK  (1)  ACB  CAK Mặt khác  AKB góc đỉnh K ∆AKC nên Trang   hay   (2) AKB   ACK  CAK AKB   ACB  CAK  (điều phải chứng minh) Từ (1) (2) ta có  AKB  BAK Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Cho tam giác ABC vuông A Kẻ AH vuông góc với BC  H  BC  Các tia phân giác góc ABC góc HAC cắt I Chứng minh  AIB  90 Câu 2: Cho tam giác ABC có BD , CE tia phân giác góc B, C Gọi I giao điểm BD CE    90  A a) Chứng minh BIC   60 Tính số đo BIE  b) Biết BAC  biết số đo góc BAC  trung bình cộng hai góc  c) Tính số đo BIC ABC ,  ACB   BCA  Câu 3: Cho tam giác ABC đường cao AH  H  BC  Biết BAH a) Chứng minh tam giác ABC tam giác vuông ,  b) Biết số đo góc  ABC trung bình cộng hai góc BAC ACB Tính số đo góc tam giác ABC Trang ĐÁP ÁN Dạng Tính số đo góc, so sánh góc ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM 1-B 2-C 3-C 4-B 5-B    C   180  C   180     180   75  45   60 Câu 1: Xét ∆ABC có A  B A B   90 (A đúng); A  C   90 (B D đúng) Câu 2: Vì tam giác ABC vng B nên B  C   90 sai B   90 nên B  C   90 C B N P   180  N P   180  M   180  80  100 Câu 3: Xét ∆MNP có M   100  40  70 P   40 Suy N Mặt khác N Câu 4: A Sai ln tồn tam giác có ba góc nhọn Ví dụ tam giác có ba góc 60° B Đúng Giả sử tam giác có nhiều góc tù Khi tổng ba góc tam giác lớn 180° (mâu thuẫn với định lí tổng góc tam giác).Vậy tam giác có nhiều góc tù  C   180 (mâu thuẫn   60, C   60 Khi A  B C Sai Thật xét tam giác ABC có A  60, B với định lí tổng góc tam giác)  C  D Sai Thậy vậy, xét ∆ABC có  A tù Khi góc ngồi A1 A góc nhọn Ta có A  B A1 (mâu thuẫn góc tù ln lớn góc nhọn)  C   180  B  C   180   Câu 5: ∆ABC có A  B A  180  75  105   2.C  nên 2C  C   105  3C   105  C   35 Mặt khác B BÀI TẬP TỰ LUẬN Câu 6:  C   180  B  C   180   a) Xét ∆ABC có A  B A  180  75  105  C   15 (giả thiết) nên B   105  15  60, C   105  60  45 Mà B 1 b) Do BD tia phân giác góc ABC nên  ABD  DBC ABC  60  30 2   DCB   30  45  75 Xét ∆BCD có  ADB góc ngồi đỉnh D nên  ADB  DBC Trang Câu 7:   30 Ta có KAC  nên KAB   KAC   30 BAC   2.KAC   2.30  60 Do AK phân giác BAC   KBA    110  180  KBA   180   30  110   40 Xét ∆ABK có KAB AKB  180  30  KBA Mà BK phân giác  ABC nên  ABC  2. ABK  2.40  80  C   180  60  80  C   180  C   180   60  80   40 Xét ∆ABC có A  B   80, C   40 Vậy ∆ABC có A  60, B  C   180 Câu 8: Xét ∆ABC có A  B     180     180   96  32   52   32 nên B a) Có A  96, C AC     :C   : :1  A  B  C b) Theo giả thiết A : B Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: A B  C  A  B  C  180      18  1 10   7.18  126; C   1.18  18 Suy A  2.18  36; B   75 nên ta có A  C   180  75  105 c) Do B     3:2  A  C Từ giả thiết  A:C Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: A C  A  C  105     21 3   2.21  42 Suy A  3.21  63; C Dạng Các tốn chứng minh góc Câu 1: Trang Xét ∆ABC vng A có  ABC   ACB  90 (1)  Xét ∆AHC vng H có HAC ACH  90 (2)    ABC  Từ (1) (2), ta có HAC ACH   ABC   ACB   90   HAC  )   HAC  (do AI phân giác HAC Lại có  ABI   ABC (do BI phân giác  ABC ); HAI 2 1   1 Suy  ABI  HAI ABC  HAC  HAC (do HAC ABC ) 2    HAB   HAC   HAB   BAC   90 Xét ∆ABI có:  ABI  IAB ABI  IAH  Mà  ABI  IAB AIB  180     180  90  90 (điều phải chứng minh) Suy  AIB  180   ABI  IAB Câu 2:  )  ), ICA   IBC 1B  (do BI tia phân giác B   ICB   1C  (do CI tia phân giác C a) Ta có IBA 2   IBC   ICB   180 Xét ∆IBC có BIC       180  IBC   ICB   180   B   1C    180  B  C  (1) Suy BIC   2    C   180  B  C   180   Xét ∆ABC có A  B A (2) Thế (2) vào (1) ta có:   1   180  180   BIC A  180  90  A  90  A (điều phải chứng minh) 2   90  BAC   90  60  120 b) Từ chứng minh câu a, ta có: BIC 2   BIC   180 (hai góc kề bù) Suy BIE   180  BIC   180  120  60 Mà ta có BIE  có số đo trung bình cộng số đo  c) Do BAC ABC  ACB nên Trang 10    C    1  BAC ABC   ACB hay B A 180  C   180 nên  Mà A  B A  180   A  60    90  A  90  60  120 Áp dụng chứng minh ý a ta có: BIC 2 Câu 3:   HCA   90 a) Xét ∆AHC vng H có HAC (1)   BCA  hya HAB   HCA  Theo giả thiết, ta có BAH   HAB   90  BAC   90  AB  AC Theo (1), ta có: HAC Vậy tam giác ABC vng A ,  b) Do số đo góc  ABC trung bình cộng hai góc BAC ACB nên ta có   90  C  AC  ABC   2 (2)  C   90  B   90  C  (3) Tam giác ABC vuông A nên B Từ (2) (3) ta có:  90  C   90  C   30 Khi đó, ta có B   90  C   90  30  60 Giải phương trình ta tìm C   60; C   30 Vậy ∆ABC có A  90; B Trang 11 ... tam giác có ba góc nhọn Ví dụ tam giác có ba góc 60° B Đúng Giả sử tam giác có nhiều góc tù Khi tổng ba góc tam giác lớn 180° (mâu thuẫn với định lí tổng góc tam giác) .Vậy tam giác có nhiều góc. .. Định lí tổng ba góc tam giác Tổng ba góc tam giác 180o  C   180 ∆ABC có A  B Áp dụng vào tam giác vuông Định nghĩa: Tam giác vng tam giác có góc vuông  C   90 Định lý: Trong tam giác. .. hai góc nhọn phụ Tam giác ABC vng A nên B Khi đó, hai góc nhọn gọi phụ  C   90 ∆ABC vng A  B Góc ngồi tam giác Định nghĩa: Góc ngồi tam giác góc kề bù với góc tam giác Tính chất: Mỗi góc