Gọi G và H lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác EBC và EDFb. Đường thẳng qua N song song với BC cắt AM tại Q.[r]
(1)UBND HUYỆN QUẾ SƠN PHÒNG GD&ĐT
KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2008-2009
Mơn: Tốn
Thời gian làm bài: 150 phút (Khơng kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC - VÒNG I
Câu 1: (2.0 điểm)
Cho hàm số y = x2 có đồ thị (P) Hai điểm A, B thuộc (P) có hồnh độ lần lượt -1
a Viết phương trình đường thẳng AB
b Tìm điểm M thuộc cung AB đồ thị (P) cho tam giác MAB có diện tích lớn
Câu 2: (2.0 điểm)
Giải phương trình a
x −1¿2 ¿ ¿
1
x(x −2)−
1
¿
b √x+2+3√2x −5+√x −2−√2x −5=3√2
Câu 3: (2.0 điểm)
Cho ba số y, z, t Đặt a = y + z + t; b = yz + zt + ty; c = yzt Chứng minh phương trình ẩn x sau có nghiệm
x2 + 2ax + 3b = 0
ax2 - 2bx + 3c = 0
Câu 4: (3.0 điểm)
Cho đường tròn tâm O Từ điểm M ngồi đường trịn vẽ tiếp tuyến MC, MD với (O) (C, D tiếp điểm) Vẽ cát tuyến MAB không qua tâm O, A nằm M B Tia phân giác góc ACB cắt AB E
a Chứng minh MC = ME
b Chứng minh DE phân giác góc ADB
c Gọi I trung điểm AB Chứng minh IM phân giác CID Câu 5: (1.0 điểm)
Cho A(n) = 5n(5n+1) - 6n(3n + 2n) Chứng minh rằng: A(n) chia hết cho 91
(2)UBND HUYỆN QUẾ SƠN PHÒNG GD&ĐT
KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2008-2009
Mơn: Tốn
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) HƯỚNG DẪN CHẤM - VÒNG I
Câu 1: (2.0 điểm)
- A, B thuộc đồ thị hàm số y = x2 nên có toạ độ A(-1;1), B(2;4).
- Phương trình đường thẳng AB có dạng y = ax + b (*) - Thay toạ độ A, B vào (*) được: {− a2a+b=1
+b=4⇔{ a=1
b=2 Vậy phương trình đường
thẳng AB y = x +
- Gọi m hoành độ điểm M Có M(m;m2) m [-1, 2] Gọi C, D, N hình
chiếu A, B, M lên trục hồnh ta có: NC = m+1; ND = 2-m; CD = - SAMB = SABCD - (SAMNC + SMBDC) - Tính được:
SABCD = AC
+BD
2 CD= 1+4
2 3= 15
2 SAMNC = AC+MN
2 CN= 1+m2
2 (m+1) SMBDN = MN+BD
2 ND=
m2+4
2 (2− m) - SAMB = 152 − 1+m
2
2 (m+1)
−m
2
+4
2 (2−m) ¿15−m− m
3
−1− m2−2m2−8+m3+4m
2 ¿6+3m−3m
2
2 =−
3 2(m
2
− m−2) m−1
2¿
2
+27
8
m−1
2¿
2−3
2(−2− 4)=−
3 2¿
¿−3
2¿ 27
8 Dấu “=” xảy m=
A
B
C
N
D
(3)- Do 12∈[-1;2] nên SAMB lớn là 27
8 (đvdt)
(Mỗi ý cho 0,25 điểm)
Câu 2: (2.0 điểm) a (1.0 điểm) - ⇔
x2−2x−
1
x2−2x
+1=
1 20
- Đặt y = x2−2x ( y ≠0; y ≠−1 ) được:
1
y −
1
y+1=
1
20 ⇔20(y+1− y)=y(y+1)⇔y
2
+y −20=0
- Giải được: y1 = 4; y2 = -5
- Tìm x với y1 y2 vừa tìm được:
x2 - 2x = -
x2 - 2x + = Phương trình vơ nghiệm
x2 - 2x =
x2 - 2x - = Phương trình có hai nghiệm x1=1+√5; x2=1−√5
b (1.0 điểm)
- Nhân hai vế với √2 được: √2x+4+3 √2x −5+√2x −4−2√2x −5=3
- √2x −5+9+3 2.√2x −5+√2x −5+1−2√2x −5=3
√2x −5+3¿2 ¿
1−√2x −5¿2 ¿ ¿ ¿
√¿
- |√2x −5+3|+|1−√2x −5|=3
- Có |√2x −5+3|+|1−√2x −5|≥|√2x −5+3+1−√2x −5|=4 Vậy phương trình vơ
nghiệm
( Trong trường hợp không cần thử lại đặt điều kiện) Câu 3: (2.0 điểm)
a.(0.75 điểm): Phương trình x2 + 2ax + 3b = (1)
- ’=a2 - 3b = (y + z + t)2 - 3(yz + zt + ty) = y2 + z2 + t2 -yz - zt - ty
- = 12 [(y-z)2 + (z-t)2 + (t-y)2]
- ’≥ nên (1) ln có nghiệm
b (1.25 điểm): Phương trình ax2 - 2bx + 3c = 0 (2)
Xét a = 0:
- Nếu b = a2 - 3b = 12 [(y-z)2 + (z-t)2 + (t-y)2] =
y = z = t = c = Lúc phương trình (2) có vơ số nghiệm
- Nếu b ≠ Phương trình (2) có nghiệm
(4)- ’= b2 -3ac = (yz + zt + ty)2 - 3(y + z + t)yzt
= (yz)2 + (zt)2 + (ty)2 +2z2yt + 2y2zt + 2t2zy - 3y2zt- 3z2yt - 3t2zy
= (yz)2 + (zt)2 + (ty)2 - y2zt- z2yt - t2zy
- = 12 [(yz-zt)2+(zt-ty)2+(ty-yz)2].
- ’≥ nên (2) ln có nghiệm
Câu 4: (3.0 điểm)
a.(1.0 điểm)
- Gọi F giao điểm CE với (O) Có AF = BF
- sđ AEC = sđ AC+2BF =sđ AC+2AF
= sđ CF2 = sđ MCF
- MCE cân M nên MC = ME
(Mỗi ý cho 0,25 điểm- Riêng ý cho 0,50 điểm)
b.(1.0 điểm)
Gọi G giao điểm DE với (O)
- MD = MC = ME MDE cân M MDE = MED
- sđ MDE = sđ DG2 = sđ AD2 + sđ AG2
- sđ MED = sđ AD2 + sđ GB2
- sđ GB2 = sđ AG2 ADG = GDB hay DE phân giác góc ADB
c.(1.0 điểm)
- I trung điểm dây AB OI IM
- MC, MD tiếp tuyến (O) nên OC CM; ODDM
- Các điểm M, C, I, O, D nằm đường trịn đường kính MO
- MC = MD MC = MD CIM = DIM Hay IM phân giác góc CID
(Mỗi ý b,c cho 0,25 điểm) Câu 5: (1.0 điểm)
- A(n) = 25n + 5n - 18n - 12n
= (25n - 18n) - (12n - 5n)
- (25n - 18n); (12n - 5n) chia hết A(n) chia hết cho 7
- A(n) = (25n - 12n) - ( 18n - 5n ).
- (25n - 12n); ( 18n - 5n ) chia hết cho 13 nên A(n) chia hết cho 13.
- (13,7) = nên A(n) chia hết cho 13.7 = 91
(Mỗi ý cho 0,25 điểm)
M
C
D
B A
O I E
(5)UBND HUYỆN QUẾ SƠN PHÒNG GD&ĐT
KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2008-2009
Mơn: Tốn
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC - VỊNG II
Câu 1: (2.0 điểm)
a Cho a, b số thực không âm tuỳ ý Chứng tỏ rằng: √a+b ≤√a+√b ≤√2(a+b) Dấu đẳng thức xảy nào?
b Cho x, y, u, v số thực khơng âm thay đổi có tổng - Chứng minh √x+√y+√u+√v ≥1
- Hãy tìm giá trị lớn S = √x+√y+√u+√v Câu 2: (2.0 điểm)
Giải hệ phương trình sau: a {x2−3 xy+2y2=0
2x2−3 xy+5=0 b {
y3+y2x+3x −6y=0 xy=3− x2
Câu 3: (2.0 điểm)
Cho hình vuông ABCD Trên cạnh AD lấy điểm M, cạnh DC lấy điểm
N cho góc MBN 450 Đường chéo AC cắt BM E cắt BN F.
a Tính số đo góc ENB
b Gọi G H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác EBC EDF Chứng minh GH song song với MB
Câu 4: (3.0 điểm)
Cho tam giác ABC Trên cạnh BC, CA, AB lấy điểm M, N,
P cho MBMC=NC
NA= PA PB=
1
2 Gọi A’ giao điểm BN CP, B’ giao điểm
của CP AM, C’ giao điểm AM BN Đường thẳng qua N song song với BC cắt AM Q Đường thẳng qua A song song với BC cắt đường thẳng CP D
a Tính tỉ số: ADMC ; AB' AM ;
C'M C'Q
b Chứng minh: B'A =B'C'
c Gọi S diện tích tam giác ABC Tính diện tích tam giác A’B’C’ theo S Câu 5: (1.0 điểm)
Chứng minh rằng:
(6)UBND HUYỆN QUẾ SƠN PHÒNG GD&ĐT
KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2008-2009
Môn: Tốn
Thời gian làm bài: 150 phút (Khơng kể thời gian giao đề) HƯỚNG DẪN CHẤM - VÒNG II
Câu 1: (2.0 điểm)
a (1.0 điểm)
- √a+b ≤√a+√b⇔a+b ≤ a+b+2√ab⇔2√ab≥0
- Dấu “=” xảy a = b =
- √a −√b¿2≥0
√a+√b ≤√2(a+b)⇔a+b+2√ab≤2(a+b)⇔a+b −2√ab≥0⇔¿
- Dấu “=” xảy a = b b (1.0 điểm)
- S = √x+√y+√u+√v ≥√x+y+√u+v ≥√x+y+u+v=√1=1
- S = √x+√y+√u+√v ≤√2(x+y)+√2(u+v)
√2(2(x+y)+2(u+v))=√4(x+y+u+v)=√4=2
- Dấu “=” xảy x = y u = v x + y = u + v x + y + u + v = - x=y=u=v=1
4 thoả Vậy Max S=
(Mỗi ý cho 0,25 điểm)
Câu 2: (2.0 điểm)
a (1.0 điểm)
- Xem (1) phương trình bậc hai ẩn x Giải phương trình x1=2y ; x2=y .
- Với x = 2y Thay vào (2) được:
2(2y)2 - 3.(2y).y + = 8y2 - 6y2 + = 2y2 + = PT vô nghiệm. - Với x = y Thay vào (2) được:
2x2 - 3x2 + = x2 = x
1=√5; x2=−√5
- Hệ có nghiệm: {x=√5
y=√5 {
x=−√5
y=−√5
b.(1.0 điểm)
- Thay xy từ (2) vào (1) được: {y
3
+y(3− x2)+3x −6y=0
xy=3− x2 {
y3+3y −yx2+3x −6y=0 xy=3− x2
- {y(y − x)(y+x)−3(y − x)=0
xy=3− x2 {
(y − x)(y2+xy−3)=0
xy=3− x2
- Tiếp tục thay, được: {(y − x)(y
2
− x2)=0
xy=3− x2
y − x¿2(y+x)=0 ¿
¿ ¿ ¿
(7)-
{ x=y
xy=3− x2
{ x=− y
xy=3− x2 ¿
{ x=y x2
=3− x2
{ x=− y − x2=3− x2
¿
{ x=y
2x2=3 { x=y x=±√3
2 (Mỗi ý cho 0,25 điểm)
Câu 3:(2.0 điểm) - EBN = 450 (gt);
- ECN = 450(AC đường chéo hình vng)
- tứ giác BCNE nội tiếp
- ENB = ECB = 450
- EBCN nội tiếp đường trịn đường kính BN
Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ECB trung
điểm G BN EM EN
- Tương tự chứng minh ABFM nội tiếp MF
BN
- D, M, E, F, N thuộc đường trịn đường kính
MN tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF
trung điểm H MN
- HG đường trung bình tam giác MNB nên HG song song với BM
(Mỗi ý cho 0,25 điểm)
Câu 4:(3.0 điểm) - ADBC =PA
PB=
2⇒AD= BC
2
- MCBC =2
3⇒MC= BC ⇒ AD MC=
- B ' MB ' A =AD
MC= 4⇒ AB' AM =
7 (1)
- QNMC=AN
AC=
3⇒QN= MC
3
- BMMC=1
2⇒BM= MC
2
- C ' MC ' Q=BM
QN= MC : MC =
- C ' MC ' Q=3
4⇒C ' M=
7MQ Do MQ =
AM
3 nên C’M =
1
7 AM
- Từ (1) có AB’ = 37 AM⇒B ' C '=AM−1
7AM− 7AM=
3 7AM
- Vậy B’A =B’C’
- MC= 32BC SAMC =
3S B’M =
4
7AM SCMB’=
(8)- A’B’= 12 B’C SA’MB’ = 12 SCMB’ = 12 47 32 S
- C’B’ = 34 B’M SA’B’C’= 34 SA’MB’ = 43 12 47 32 S = 71 S
(Mỗi ý cho 0,25 điểm) Câu 5: (1.0 điểm)
- x3 + y3 + z3 = 2008 + x + y + z
x3 -x + y3 - y + z3 - z = 2008
- Có x3 - x= x(x2 - 1) = (x-1)x(x+1) chia hết cho (Tích ba số tự nhiên liên
tiếp) Tương tự + y3 - y ; z3 - z chia hết cho 3
- x3 -x + y3 - y + z3 - z chia hết cho
- 2008 không chia hết không tồn x, y, z nguyên thoả x3 + y3 + z3 =
2008 + x + y + z