Xác định vị trí của điểm M trên đường chéo AC để diện tích tam giác DEF nhỏ nhất, tìm giá trị nhỏ nhất đó.. Gọi M, N lần lượt là giao điểm các phân giác trong của tam giác ACD, BCD.[r]
(1)PHÒNG GD&ĐT LỘC HÀ ĐỀ THI HSG HUYỆN NĂM HỌC 2012 – 2013 MÔN TOÁN THỜI GIAN LÀM BÀI 150 PHÚT Câu 1: a) Phân tích thành nhân tử (x+y+z)3 – x3 – y3 – z3 b) Chứng minh (a+b+c)3 – (a+b-c)3 – (b+c-a)3 – (c+a-b)3 chia hết cho 24 với a, b, c thuộc Z x −√2 Câu 2: a) Tìm giá trị lớn biểu thức A = x +( √ − √ 2) x − √ x +3 x +1 √3 20+14 √ 2+ √3 20 − 14 √ b) Tìm giá trị lớn và nhỏ biểu thức A = Câu 3: Tính giá trị f(x) = x3 – 6x với x = Câu 4: Cho hình vuông ABCD có cạnh a, lấy điểm M tùy ý trên đường chéo AC, kẽ ME vuông góc với AC, MF vuông góc với BC Xác định vị trí điểm M trên đường chéo AC để diện tích tam giác DEF nhỏ nhất, tìm giá trị nhỏ đó Câu 5: Cho tam giác ABC có góc nhọn 300, cạnh nhỏ 1, vẽ đường cao CD từ đỉnh góc vuông C Gọi M, N là giao điểm các phân giác tam giác ACD, BCD Tính khoảng cách MN Bài giải: Câu 1: a) (x+y+z)3 – x3 – y3 – z3 = (x+y+z-x)[(x+y+z)2 + x(x+y+z) + x2)] – (y + z)(y2 – yz + z2) = (y + z)(3x2 +y2 + z2 + 3xy + 2yz + 3xz – y2 +yz –z2) =3(y+z)(x2+xy+yz+zx) = 3(y+z)[x(x+y)+z(x+y)] = 3(x+y)(y+z)(z+x) b) Đặt a + b – c = x, b + c – a = y, c + a – b = z => x + y + z = a + b + c Ta có (a+b+c)3 – (a+b-c)3 – (b+c-a)3 – (c+a-b)3 = (x + y +z)3 – x3 – y3 – z3 = 3(x+y)(y+z)(z+x) (Theo câu a)) = 3(a+b-c+b+c-a)(b+c-a+c+a-b)( c+a-b+a+b-c =3.2b.2c.2a=24abc chia hết cho 24 Câu 2: ĐK: x ≠ ± √4 2 2 x −√ x − √2 x −√2 = = a) A = 4 2 2 x +( √ − √ 2) x − √ x + √ x − √ x − √ x ( x + √3) − √ 2( x + √ 3) x2 − √ ¿ = ( x + √3)(x − √ 2) x + √ Do tử và mẩu biểu thức A dương và x 2+ √3 ≥ √3 nên A Dấu “=” xẫy và x = (t/m) Vậy Max A = √3 ⇔ x=0 √3 (2) x +2 ¿2 −( x +1) ¿ x +2¿ x +3 ¿ = ¿ x +1 ¿ x +4 x+ −1 =¿ x 2+ b) Tìm GTNN: A = => Min A = -1 x = -2 x+1 ¿2 ¿ x −1 ¿2 ¿ x +3 ¿ = x +1 ( x 2+ 1)−¿ x 2+ −(4 x − x +1) =¿ x 2+ Tìm GTLN: A = => Max A = x = ½ Câu 3: Ta có x = √3 20+14 √ 2+ √3 20 − 14 √ 3 ⇒ x 3=40+ √ (20+14 √ 2)(20− 14 √ 2)( √ 20+14 √2+ √20 −14 √ 2)=40+6 x x3 – 6x = 40 => f(x) = 40 Câu 4: A x E a-x B Do ABCD là hình vuông và M thuộc AC, nên AEM là tam giác vuông cân E x => AE = ME = BF a Đặt AE = ME = BF = x (x>0) M F => BE = CF = a – x a-x Ta có: D C SDEF = SABCD – SADE – SDCF – SBEF = a2 – [ax + a(a – x) + x(a – x)]:2 = (x2 – ax + a2):2 = x − a ¿2 + a 2 3 (¿)≥ a2= a2 ¿ Dấu “=” xẫy a x − a=0 ⇔ x= 2 a x= ⇒ AE=BE, BF=CF⇒ MA=MC Vậy M là trung điểm AC thì diện tích tam giác DEF nhỏ GTNN đó là a Câu 5: Giả sử tam giác ABC vuông C có góc B = 300 Theo đề bài ta suy ra: AC = 1, AB = 2, BC = √ Kẽ ME, NF vuông góc với AB (E, F AB) Ta có: AD= AC BC = , BD= = AB AB C N M A E D F B (3) DN là phân giác góc CDF vuông => DF = NF DM là phân giác góc CDE vuông => DE = ME Đặt DE = EM = x; DF = FN = y => AE = 0,5 – x, BF = 1,5 – y Áp dụng tí số lượng giác, ta có: x = (0,5 – x)tan300 => x = … => DM = …= a y = (1,5 – y)tan150 => y = … => DN = … = b Do DM, DN là hai tia phân giác hai góc kề bù(gt) nên góc NDM vuông Vậy MN = √ DM2 +DN 2=√ a2 +b2 (4)