De tai Dinh ly Viet

Gióp cho ngêi häc rÌn luyÖn c¸c thao t¸c t duy ®Æc biÖt lµ kh¶ n¨ng suy luËn vµ tÝnh linh ho¹t trong qu¸ tr×nh häc tËp m«n to¸n.[r]

Mơc lơc

Trang

PhÇn I Mở đầu 02

Lý chn đề tài: 02

Mục đích nghiên cứu: 03

NhiƯm vơ nghiªn cøu: 03

Phạm vi đối tợng nghiờn cu: 03

Phơng pháp nghiên cøu: 03

PhÇn II: Néi dung 04

Chơng I: Cơ sở lý luận thực tiễn 04

Chơng II: Các biện pháp (Giải pháp) s phạm cần thực 04

BiƯn ph¸p 1: 04

Biện pháp 2: 04

Chơng III: Thực nghiƯm s ph¹m 31

Mục đích thực nghiệm 31

Néi dung thùc nghiƯm 31

KÕt qu¶ thùc nghiƯm 37

Phần III: Kết luận 38

Tài liệu tham kh¶o 39

Phần I Mở đầu 1.Lý chọn đề tài:

Hiện đất nớc ta đà phát triển Để đổi hội nhập với nớc giới cần phải có đội ngũ tri thức trẻ động, nhiệt tình Vì vậy, giáo dục vấn đề đợc quan tâm hàng đầu – nhằm nâng cao chất lợng giáo dục toàn diện cấp học Mục tiêu dạy học trờng Trung học sở hình thành sở ban đầu trọng yếu ngời phát triển toàn diện, phù hợp với yêu cầu, điều kiện hoàn cảnh đất nớc Việt Nam

Trong chơng trình mơn tốn ( Bộ mơn Đại số ) THCS có định lý nói rõ mối quan hệ nghiệm số phơng trình bậc hai:

ax2 + bx + c = (a  0) với hệ số Đó định lý nhà toán

học tiếng ngời Pháp Prăng xoa Vi-ét (F Viete) (1540- 1603) tìm đợc mang tên ông: Định lý Vi-vét

Việc dạy định lý Vi-ét nêu ứng dụng chơng trình Đại số có ý nghĩa đặc biệt chỗ là: làm cho HS hiểu sâu sắc nghiệm số phơng trình bậc 2; nêu đợc quan hệ định tính, định lợng nghiệm số với hệ số phơng trình bậc Có thể nói: “Các nghiệm số phơng trình bậc dới lăng kính địmh lý Vi-ét ánh lên sắc màu rực rỡ”

Trong chơng trình mơn Tốn có nhiều tập, đặc biệt thi vào THPT xuất nhiều dạng toán liên quan đến hệ thức Viét, nhng thời lợng ch-ơng trình dành cho học vận dụng hệ thức Viét khơng nhiều Vì vậy, muốn học sinh đọc hiểu có khả vận dụng kiến thức nói chung hay hệ thức Viét nói riêng vào giải tập phụ thuộc vào lịng say mê cơng việc, không ngừng suy nghĩ khai thác đơn vị kiến thức hệ thống dạng tập để học sinh nhận diện phơng pháp giải rèn kỹ vận dụng kiến thức vào giải dạng tập

Chính nhận thấy tầm quan trọng việc khai thác có hệ thống đơn vị kiến thức theo dạng tập liên quan, mạnh dạn sâu suy nghĩ khai thác đề tài: “ứng dụng định lý Viét để giải toán bậc hai ”với ứng dụng sau:

+TÝnh tổng tích nghiệm phơng trình bậc hai mà không cần giải

ph-ơng trình ấy.

+ Tính nhẩm nghiệm phơng trình bậc hai. + Tìm hai sè biÕt tỉng b»ng S vµ tÝch bµng P.

+ áp dụng hệ thức Viét vào tìm giá trị tham số m để phơng trình thoả mãn điều kiện T cho trớc.

+ Lập phơng trình bậc hai ẩn sử dụng định lý Viét đảo.

+ Phân tích đa thức ax2 + bx + c (a0) thành nhân tử.

+ Xét dấu nghiệm phơng trình bậc hai. + Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.

+ Gii phng trình hệ phơng trình nhờ định lý Viét + Hệ thức Viét tơng giao hàm số.

2 Mục đích nghiên cứu:

- Góp phần nâng cao chất lợng dạy học bậc THCS, đặc biệt thi vào cấp THPT

- Cung cÊp cho học sinh cách có hệ thống nội dung phơng pháp hệ thức Viét với ứng dụng phong phú

- Bồi dỡng ôn lun cho häc sinh líp thi vµo líp 10 THPT

3 NhiƯm vơ nghiªn cøu:

- Tìm hiểu nội dung dạy học định lý Viét ( Đại số )

- Tìm hiểu ứng dụng định lý Viét sách giáo khoa sỏch nõng cao

- Điều tra thực trạng:

 Thờng xuyên nghiên cứu dạng tập liên quan đến hệ thức Viét sách giáo klhoa, sách tập sách nâng cao

 Thờng xuyên kiểm tra, đánh giá để nhận phản hồi học sinh Từ giáo viên tự điều chỉnh cách dạy mình, tìm phơng pháp dạy phù hợp với đối tợng học sinh nhằm nâng cao chất lợng dạy học

4 Phạm vi đối t ợng nghiên cứu:

Khi viết đề tài nghiên cứu trờng THCS Tuy Lộc – Huyện Cẩm Khê- Tỉnh Phú Thọ số học sinh giỏi khối

Phạm vi: 10 em học sinh giỏi với tập mức độ nâng cao bồi dỡng học sinh gii

5 Ph ơng pháp nghiên cứu:

- Quan sát

Phần II Nội dung

Ch ơng I : Cơ sở lý luận mục đích chuyên đề.

 Nghị TW II khoá VIII khẳng định: “ Phải đổi giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ chiều, rèn luyện thành thạo nếp t sáng tạo ngời học Từng bớc áp dụng phơng pháp tiên tiến phơng tiện đại vào trình dạy học”

 Luật giáo dục khẳng định “ Phơng pháp giáo dục phổ thơng phải phát huy tính tích cực , tự giác chủ động, sáng tạo học sinh phù hợp với đặc điểm tong lớp học, môn học”

 Vận dụng kiến thức sách giáo khoa định lý Viét cỏc ng dng ca nú

Phơng pháp giải số dạng toán nâng cao

 Phân tích dạng tốn, phân loại dạng đa phơng pháp làm phù hợp với dạng tốn

 Gióp häc sinh ph¸t huy lực học toán thông qua việc tổng hợp phơng pháp

Thực trạng: Thuận lợi:

- Đợc quan tâm ủng hộ BGH đồng nghiệp đóng góp ý kiến thơng qua tiết dạy

- §a sè häc sinh cã tinh thần hăng say học tập, phát biểu ý kiến xây dung bài, có tinh thần ham học hỏi tri thức nâng cao

- Giáo viên tâm huyết với nghề Luôn có ý thức tự nâng cao, hoàn thiện tri thức cho thân

Khó khăn:

- Trờng THCS Tuy Lộc trờng thuộc vùng núi tỉnh Phú thọ Điều kiện kinh tế gia đình nhiều em cịn khó khăn nên gia đình cha có đầu t cao cho em

- Nhiều học sinh cha nắm vững đợc phép tính mơn Tốn

Ch ¬ng II Các biện pháp ( giải pháp) s phạm nâng cao chất lợng.

1) Biện pháp 1: Điều tra thực nghiệm

- Tìm hiểu lòng say mê học Toán cđa häc sinh líp

- Kiểm tra kiến thức kỹ tính tốn học sinh giải phơng trình bậc hai, cách tìm nghiệm phơng trình bậc hai theo biệt thức  , hệ thức Viét phơng trình bậc hai

2) Biện pháp 2: Hớng dẫn theo chủ đề

- Nhắc lại kiến thức liên quan đến hệ thức Viét

- Đa hệ thống ứng dụng, ứng dụn có phơng pháp giải, tập từ đến nâng cao tập đề nghị cho học sinh nhà làm

Chủ đề 1: Định lý Viet I Định lý Viet thun:

Nếu phơng trình bậc hai d¹ng : ax2 + bx + c = ( a≠0) cã

x1=−b+√Δ

2a x2=− b −2a√Δ

(Δ≥0) hc

x1=− b '

+√Δ' a x2=−b

' +√Δ a (Δ'≥0)

Trong Δ=b2−4 ac ( Δ'=b'2−ac ; b chẵn ; b = 2b’)

Ta tính đợc tổng nghiệm tích nghiệm theo hệ số a,b,c biệt thc ( hoc ' )

Các kết tính toán cho thấy mối liên hệ chặt chẽ nghiệm phơng trình bậc hai dạng ax2 + bx + c = (a≠0) víi hƯ sè

a,b,c phơng trình

Mi liờn h đợc Vi- ét, nhà toán học pháp phát vào đầu kỷ XVII đợc phát biểu thành nh lý mang tờn ụng

Định lý Viét: Nếu x1;x2 hai nghiệm phơng trình

ax2 + bx + c =0 (a≠0) th×:

¿ x1+x2=−b

a x1.x2=c a ¿{

¿

II Định lý Viet đảo:

NÕu cã sè x1, x2 tho¶ m·n

¿ x1+x2=S

x1.x2=P

¿{

chúng nghiệm số phơng tr×nh

bËc hai: X2 - SX + P = 0

(Điều kiện số x1, x2 S2 – 4P  0) Chó ý:

 Trớc áp dụng hệ thức Viet cần tìm điều kiện để phơng trình có

nghiƯm 

¿ a ≠0 Δ≥0(Δ' ≥0)

¿{ ¿

Chủ đề 2: Các ứng dụng định lý Viét để giải tốn bậc hai.

*)Ph ¬ng ph¸p:

 Trớc áp dụng hệ thức Viet cần tìm điều kiện để phơng trình có

nghiÖm 

¿ a ≠0 Δ≥0(Δ' ≥0)

¿{ ¿

 ¸p dơng hƯ thøc ViÐt ta cã:

¿ x1+x2=−b

a x1.x2=c a ¿{

*)Bài tập áp dụng:

Bài 1: Không giải phơng trình hÃy tính tổng tích ( có ) phơng trình sau : a) x2 – 7x +4 =

b) x2 – mx -3 = (Èn x)

Gi¶i:

a) x2 – 7x + = (a=1,b=-7,c=4)

= (-7)2- 4.1.4=49-16 = 33>0, phơng trình có hai nghiƯm

ph©n biƯt x1,x2 Theo vi Ðt ta cã:

¿ x1+x2=7

1=7 x1.x2=4

1=4 ¿{

¿ b) x2-mx-3=0 ( a=1,b =-m,c=-3)

Δ = b2 – 4ac = (-m)2 - 4.1.(-3) = m2 +12 > ( m )

Phơng trình có hai nghiÖm x1,x2 Theo vi Ðt ta cã :

¿ x1+x2=m

x1.x2=−3

¿{

¿

Bµi 2: Cho phơng trình :(m + 1)x2 + (2m 1)x -2 = (1) (Èn x)

Gi¶ sư x1,x2 nghiệm phơng trình (1);không giải

Gi¶i: Ta ph¶i cã

¿ m+1≠0

Δ≥0

⇔

¿m ≠−1(∗) b2−4 ac≥0(**)

¿{ ¿

Gi¶i(**): ⇔ (2m -1)2 – 4(m + 1).(-2) 0

⇔ 4m2 - 4m + + 8m + 0

⇔ 4m2 +4m +1 + 0

⇔ (2m + 1)2 + > ( ∀m )

Tõ (*) vµ (**) suy PT (1) cã nghiƯm ph©n biƯt x1,x2 víi

∀m

Theo định lý vi ét ta có :

¿

x1+x2=−(2m−1) m+1 x1.x2= −2

m+1 ¿{

¿ MỈt : x12+ x22 = (x1+ x2)2 – 2x1x2

= (−(2m −1) m+1 )

2

−2 −2 m+1 =

m+1¿2 ¿ 4m2+5

¿ Tơng tự ta tính đợc x13+ x23

*)Bài tập ngh:

Bài 1: Không giải phơng trình hÃy tính tổng tích ( có ) phơng trình sau :

1 4x2 + 2x – = 0

2 9x2 - 12x +4 = 0

3 5x2 +2x +2 = 0

4 159x2 - 2x – = 0

5 2x2 - 5x + = 0

Bài 2: Tìm giá trị m để phơng trình có nghiệm, tính tổng tích nghiệm theo m

a) x2 - 2x + m = 0

b) x2 + 2(m-1)x + m2 = 0

*)Ph ơng pháp:

1) cho PT bậc 2:ax2 + bx + c = (a 0) (1).

PT (1) cã nghiÖm x1 =1, x2 = c

a ⇔ a + b + c = Chøng minh:

*PhÇn thuËn: NÕu x1 =1, x2 = c

a ⇒ a + b + c = ThËt vËy : Do x1 = nghiệm phơng trình nên,ta có :

a.12 + b.1 + c = hay a + b +c = 0

x2= c

a còng nghiệm phơng trình nên:

2 2

0

0( )

( ) 0

0

c c c bc ac

a b c

a a a a a

c loai

c a b c a b c

a b c  

      

   

 

         

   

VËy: NÕu x1 =1, x2 = c

a ⇒ a + b + c =

*Phần đảo: Nếu a + b + c = ⇒ x1= 1, x2=ca

ThËt vËy : Do a+b+c = ⇒ a = -(b+c), Thay vµo PT (1) ta đ-ợc:

2 2

( ) ( ) (1 )

1

1

(1 ) ( )

( )

( )

b c x bx c b x x c x

x x

x

x b c x c x c c

b c x c x

b c a

         



  

 

  

        

  

   



 

 

 VËy: NÕu a + b + c = ⇒ x1= 1, x2=

c a b) Cho PT: ax2 + bx + c = (a 0) (2).

PT (1) cã nghiÖm x1 =-1, x2 = - c

a ⇔ a - b + c = (Chøng minh tơng tự nh trên)

*) Bài tập áp dụng:

b) 11x2 – 13x – 24 = 0

c) 11x2 – 13x – 24 = 0

Gi¶i:

a) PT x2 – 6x + = cã   ' ( 3)2 0 

PT cã nghiÖm x1;x2 tho· m·n

¿ x1+x2=6

x1.x2=8

⇔

¿x1=2 x2=4

¿{ ¿

b) PT 11x2 + 13x -24 = cã a + b + c = 11 + 13 + (-24) = 0

Nªn PT cã nghiÖm x1=1; nghiÖm x2= c

a= −24 11

c) PT 11x2 - 13x -24 = cã a - b + c = 11 + 13 + (-24) = 0

Nªn PT cã nghiƯm x1= -1; nghiÖm x2= − c

a = 24 11 Bài tập 2: Cho phơng trình

x2+ (2m+1)x+ m2-5= (1),(Èn x)

Xác định m để PT(1) có nghiệm x1; x2 cho x1=1.Tìm

nghiệm lại? Giải : Ta có: 2m+1

24

(m2−5)=4m+21 Δ=b2−4 ac=¿

⇔

Δ≥0 a+b+c=0

⇔

¿4m+21≥0 1+2m+1+m2−5=0

⇔

¿m≥ −21 m=1

¿ m=−3

¿ ¿⇔

¿ ¿ m=1

¿ m=−3

¿ ¿{

¿ ¿ ¿

+) m=1 PT(1) cã nghiÖm x1=1; x2=-4

+) m=-3 PT(1) cã nghiÖm x1=1; x2=

*) Bài tập đề nghị: Tính nhẩm nghiệm phơng trình sau: 1) 7x2 – 9x + = 0

2) 23x2 – 9x - 32 = 0

3) 1975x2 + 4x -1979 = 0

4) (5 + 2)x2 + (5 - 2)x -10 = 0

5) 31,1x2 – 50,9x + 19,8 = 0

øng dơng 3: T×m hai sè biÕt tỉng b»ng S vµ tÝch bµng P

*)phơng pháp:

Gọi số x,số lại lµ S-x.Theo bµi ta cã PT: (S-x)x = P ⇔ x2 – Sx + P = (1)

NÕu − S¿2−4P≥0

Δ=¿ PT(1) có nghiệm Các nghiệm nghiệm cần tìm

Tổng quát: Nếu gọi số cần tìm lần lợt u,v cho: u+v=S u.v=P

{

thì u,v nghiệm PT: x2- Sx + P = (§K: S2- 4P 0 )

VÝ dơ 1: a)T×m hai sè u,v biÕt : u + v = 2; u.v = Gi¶i:

XÐt S2 - 4P = (22) - 4.9 = -32 <

⇒ hai số u,v thoà mÃn toán b) T×m hai sè u,v biÕt u + v = 32; u.v = 231

Gi¶i:

XÐt S2 - 4P = 322 - 4.231 = 100>0 VËy u,v lµ ngiƯm cđa PT :

x2 - 32x + 231 =0

−32¿2−4 231=100

=

Vậy số cần tìm lµ : ¿ u=21

v=9 ¿{

¿

hc ¿ u=9 v=21

¿{ ¿ Bài tập 2:

a) Tìm cạnh hình chữ nhật có chu vi 6a; Diện tích 2a2.

* Gọi cạnh hình chữ nhật u vµ v (u > 0; v > 0)

Ta cã:

¿ 2u+2v=6a uv=2a2

¿{ ¿



¿ u+v=3a vu=2a2

¿{ ¿

Do (3a)2 - 2a2 = a2 > nªn u, v nghiệm phơng trình bậc 2.

t2 - 3at + 2a2 = giải đợc t

1 = a ; t2 = 2a

Vậy độ dài cạnh hình chữ nhật a 2a

b) Tìm phơng trình bậc nhận x1; x2 lµ nghiƯm vµ

¿ x12+x22=13

x1x2=6

¿{

¿

(*)

Biến đổi hệ (*) ta có:

x1+x2¿

−2x1x2=13

¿ x1x2=6

¿ ¿ ¿



x1+x2=5 ¿ x1+x2=−5

¿ ¿x1x2=6

¿ ¿{



¿x1+x2=5 x1.x2=6

¿ ¿ ¿ x1+x2=−5

¿ x1.x2=6

¿ ¿ ¿ ¿ ¿

c) Giải hệ phơng trình:

3

√x+√3 y=4(1) xy=27(2)

¿{ ¿

(Ta quy vỊ t×m x, y cho ¿ x+y=5 xy=P

¿{ ¿

)

Tõ (1) cã

√x+√3 y=4⇔x+y+3√3xy(√3 x+√3 y)=64⇔x+y=28

VËy hÖ (1) (2) cã d¹ng

¿ x+y=28 xy=27

¿{ ¿

282 - 27 > nªn x, y lµ nghiƯm cđa

ph-ơng trình: t2 - 28t + 27 = Giải đợc t

1 = ; t2 = 27 HÖ cã nghiÖm:

¿ x=1 y=27

¿{ ¿

; x=27

y=1 {

d) Giải phơng trình: x(5 x

x+1).(x+ 5 x

x+1)=6 (Đ/K: x -1) Đặt: u=x(5 x

x+1) ; v = (x+ 5− x

x+1)=6 (§/K: x  -1)

u + v = (2) Tõ (1) vµ (2) ta quy vỊ t×m u, v cho: ¿ u+v=5

u.v=6 ¿{

¿ Do 25 - 24 > Nên u, v nghiệm phơng trình t2 - 5t + =  t

1 = 3; t2 =

Từ có:

¿ u1=3

v1=2

¿{

¿

hc

¿ u2=2

v2=3

¿{

¿

x1 , x2 nghiệm phơng tr×nh: x2 - 5x + =

Phơng trình cho 

x2−2x+3=0 ¿ x2−3x+2=0

¿ ¿x ≠ −1

¿ ¿{

¿ ¿ ¿

giải đợc x1 = 1; x2 = cho (tho món)

e) Cho phơng trình: x2 +ax + b = cã nghiƯm lµ x d; phơng trình :

x2 + cx + d= có nghiệm a b Tính a, b, c, d biết chúng  0. Giải:áp dụng định lý Viet vào phơng trình cho có:

c + d = - a (1) c d = b (2) a + b = - c (3) a b = d (4) Tõ (1)  a + c = - d

(3)  a + c = - b

Tõ (2)  c =1 (V× b = d  0)

Tõ (4)  a = (Chia vÕ cho b = d  0) Thay a = c = vµo (1)  d = -  b = -

VËy (a, b, c, d) = (1; - 2; 1; - 2)

*)Bài tập đề nghị: Tìm hai số u v trờng hợp sau đây: 1) u + v = -7; u.v = 12

2) u + v = -5; u.v = -24 3) u - v = 10; u.v = 24 4) u2 + v2 = 85; u.v = 18

5) u + v =

1

2; u.v = 16

ứng dụng 4: áp dụng hệ thức Viét vào tìm giá trị tham số m để phơng trình thoả mãn điều kiện T cho trc

*) Phơng pháp: Có thể thực hiƯn c¸c bíc:

- B ớc 1: Tìm điều kiện tham số để phơng trình cho có nghiệm x1, x2

- B íc 2: ¸p dơng hÖ thøc Viet, ta cã: ¿

x1+x2=f(m)

x1.x2=g(m) ¿{

¿

(*)

- B ớc 3: Kết hợp (*) với điều kiện (Hệ thức cho trớc) suy phơng trình có ẩn tham số từ tìm đợc tham số

(Chú ý cần đối chiếu tham số cần tìm đợc với điều kiện để phng trỡnh

đầu có nghiệm số)

*) Các dạng toán bản:

Cho phng trỡnh: ax2 + bx + c = (1) a, b, c phụ thuộc tham số m.

¿ }

Yêu cầu toán đặt ra: Tìm điều kiện m để phơng trình (1) có nghim x1;

x2 thoả mÃn ®iỊu kiƯn:

a) x1x2  b)

2 2

x x k

c)

1

n

x x  d) 2

1

x x h e)

3

x x t Phơng pháp giải:

iu kin chung: 0 (*) Theo định lý Viét ta có:

1

1

(1)

(2)

b x x S

a c x x P

a  

  

  

  

 

a) Trờng hợp: x1x2 (3)

Giải hệ:

1 2

x x S x x

  

 

 

 

  x x1;

Thay giá trị x1; x2 vào (2) m Chọn giá trị m thoả mÃn (*)

b)Trêng hỵp:

2 2

x x k  (x1x2)2 2x x1 2k

Thay b x x

a 

 

= S; c x x P

a  

ta cã: S2- 2P = k (4) Gi¶i (4)  m

Chän m tho¶ m·n (*)

c)Trêng hỵp:

1

n

x  x   x1x2 nx x1  b nc (5)

Gi¶i (5) Chọn m thoả mÃn (*) d) Trờng hợp:

2 2

x x h S2 2P h 0

    (6)

Gi¶i bất phơng trình (6) Chọn m thoả mÃn (*) e) Trêng hỵp:

3

x x t S3 3PS t

   (7) Giải (7) Chọn m thoả mÃn (*)

*)Bài tËp ¸p dơng:

Bài tập 1: Xác định giá trị tham số m để phơng trình: x2 – (m+5)x – m + = 0

Cã nghiệm x1; x2 thoả mÃn điều kiÖn sau:

a) Nghiệm lớn nghiệm đơn vị b) 2x1+ 3x2 = 13

Gi¶i:

Ta cã:  (m5)2 4(m6)m214m1

Tam thức m214m1 có hai nghiệm phân biệt là:

1

2

7 3;

14 ( 3)( 3)

m m

m m m m

   

    

Điều kiện phơng trình có nghiệm là:

Giả sử: x2 > x1 Ta cã hÖ:

2 1 2

1(1)

5(2) ( ) 6(3)

x x

x x m I x x m

           

Céng (1) vµ (2) vÕ theo vÕ ta cã: 2x2 = m + 6 m x   

Trõ (2) cho (1) vÕ theo vÕ ta cã: 2x1 = m + 4 m x   

Thay

4

m x  

vµ

6

m x  

vµo (3):

2

4

( 4)( 6) 4( 6) 10 24 24 14 0(**)

2

m m

m m m m m m m m m

 

               

0

m

  hc m = -14 Các giá trị m thoả mÃn (*) Vây: m = m=-14

Đối với học sinh khá:

Không cần lập .

Giải (I)  m214m 0 m = hc m = -14 Thư l¹i:

+) Khi m = 0: Ta cã: x2 5x + = phơng trình có nghiƯm lµ vµ 3

đúng điều kiện: x2 – x1=

+) Khi m = -14 ta có: x2 + 9x +20 = Phơng trình có nghiệm -5 -4

thoả mÃn ®iỊu kiƯn x2 – x1= -4 – (-5) =

Vậy : Các giá trị m phải tìm là: m = 0, m = -14

a) Theo gi¶ thiÕt, ta cã:

' 2

2 13(1 ) 5(2)

6(3)

x x x x m x x m

           

Từ (1’) (2)  x1 2 ;m x2  3 2m Thay x1 2 ;m x2  3 2m vào (3) ta đợc:

(2+3m)(3-2m) = - m+6  6m260 0  m2 m0 ( Rót gän cho - )  m = m = 1, thoả mÃn (*)

Bài tập 2: Cho phơng trình x2 - 2(m - 2)x + (m2 + 2m - 3) = Tìm m để phơng

tr×nh cã nghiƯm x1, x2 phân biệt thoả mÃn

x1

+ x2

=x1+x2

Bài giải:

Ta ph¶i cã:

−(m−2)¿2−(m2+2m−3)>0 ¿

x1.x2≠0

¿ ¿ Δ'

=¿ ¿

(1)  ' = m2 - 4m + - m2 - 2m + = - 6m + >  m <

6 (2)  m2 + 2m -   (m - 1)(m + 3)   m  1; m  - 3

(3)  x1+x2

x1.x2

=x1+x2

5 ⇔(x1+x2)(5− x1.x2)=0

 Trêng hỵp: x1 + x2 =  x1 = - x2  m = không thoả mÃn điều kiện

(1)

Trờng hỵp: - x1.x2 =  x1.x2 =

Cho ta: m2 + 2m - =  (m - 2)(m + 4) = 0

m=2 (loại)

m=4 (thoảmÃn ĐK)

Vy vi m = - phơng trình cho có nghiệm x1, x2 phân biệt thoả mãn

x1

+

x2

=x1+x2

5

Bµi tËp 3:

a) Tìm m để phơng trình: 3x2 + (m - 1)x + m2 - 4m + = có nghiệm phân

biƯt x1 x2 tho¶ m·n:

1 x1

+ x2

=1

2(x1+x2)

Gi¶i:

* Tríc hÕt phơng trình phải có nghiệm phân biệt x1, x2 nên phải có:

> (m - 1)2 - (m2 - 4m + 1) >  m2 + 4m + > 0.

 m < - - √3 hc m > -2 + √3 (*) * Theo hÖ thøc Viet ta cã:

x1+x2=4(1−m)

3 ; x1.x2=m

2−4m+1

3 (m2 - 4m +  0)  m  

√3 (**) Tõ hƯ thøc cđa x1, x2 ta cã:

x1+x2 x1x2

=x1+x2

2 ⇔(x1+x2)(x1 1x2

 x1 + x2 = (1) hc

1 x1x2−

1

2=0 (2)

- Tõ (1) cã:

3(1−m)=0⇔m=1 - Tõ (2) cã:

m2−4m+1=

1

2  m2 - 4m + =

 m2 - 4m - = 

m=−1 ¿ m=5

¿ ¿ ¿ ¿

* Kết hợp giá trị m với điều kiện: (*) (**) ta đợc m = ; m = Nh vậy: Với m = m = phơng trình cho thoả mãn đầu (Chú ý: Có thể tìm m từ hệ hỗn hợp sau:

¿ Δ' ≥0 x1+x2=4(1− m)

3 x1.x2=

m2−4m+1

3 ≠0

1 x1+

1 x2=

1

2(x1+x2)

¿{ { { ¿ Khi đó: x1+x2

x1x2

=x1+x2

2 nÕu chia cho x1 + x2 sẻ làm nghiệm)

b) Cho phơng trình: x2 + bx + c = cã c¸c nghiƯm x

1, x2; phơng trình:

x2 - b2x + bc = cã c¸c nghiƯm x

3, x4 BiÕt x3 - x1 = x4 - x2 = Tìm b c Giải:

* Trớc hÕt ph¶i cã:

¿ b2−4c ≥0 b4−4 bc≥0

{

(*)

* Theo giả thiết theo hÖ thøc Viet cã: ¿

x1+x2=− b

x1.x2=c

x3+x4=b

x3.x4=bc ¿{ { {

¿



¿ x1+x2=−b

x1.x2=c

(1+x1)+(1+x2)=b

(x1+1) (x2+1)=bc

¿{ { { ¿

Tõ (1) vµ (3) cã: b2 + b - =  (b - 1) (b + 2) = 

b=1 ¿ b=−2

¿ ¿ ¿ ¿ Tõ (4) cã: x1x2 + x1 + x2 + =bc c - b + = bc (5)

Với b = (5) pt : x2 + bx + c = trở thành x2 + x + c = 0

Cã nghiÖm nÕu  = - 4c   c ≤1

Pt: x2 - b2x + bc = trë thµnh x2 - x + c = cịng cã nghiƯm nÕu c ≤1

4 : - Víi b =- (5) trë thµnh c + = - 2c  c = -

Khi phơng trình: x2 - b2x + bc = trở thành x2 - 4x + = có nghiệm là

2±√2

Phơng trình: x2 + bx + c = trë thµnh x2 - 2x - = cã nghiƯm lµ 1± √2 * KÕt ln: (b = ; c ≤1

4 ) hc (b = - ; c = - 1) (Vì giá trị thoả mÃn điều kiện (*))

c) Tìm số p q phơng trình: x2 + px + q = cho c¸c nghiƯm cđa nã

tho¶ m·n:

¿ x1− x2=5

x13− x23=35 ¿{

¿

Gi¶i: * Tríc hÕt ph¶i cã ®iỊu kiƯn:  >  p2 - 4q > 0

Gi¶i hƯ sau:

x1+x2=− p

¿ x1.x2=q

x1− x2=5

¿ x13− x23=35

{ { ¿ ¿ ¿

¿

(1) (2) (3) (4)

Tõ (3) cã: (x1 - x2)2 = (x1 + x2)2 - 4x1x2 = p2 - 4q = 25 (5)

Tõ (4) cã: x13− x

=(x1− x2)(x12+x1x2+x22)=5[(x1+x2)2− x1x2]=35  (x1 + x2)2 - x1x2 = p2 - q = (6)

KÕt hỵp (5) vµ (6) ta cã:

¿ p2−4q=25

p2−q=7

¿{ ¿

(*)

NghiÖm cđa hƯ (*) lµ: ¿ p=1 q=−6

¿{ ¿

; ¿ p=−1 q=−6

¿{ ¿

thoả mÃn điều kiện: p2 - 4q > 0

KÕt luËn: ¿ p=1 q=−6

¿{ ¿

hc ¿ p=−1 q=−6

¿{ ¿

*) Bi ngh:

Bài 1: Cho phơng trình x2 - (m + 3)x + 2(m + 1) = (1)

Tìm giá trị tham số m để phơng trình có (1) có nghiệm x1 = 2x2

Bài 2: Cho phơng trình mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = 0

a) Tìm m để phơng trình có nghiệm

b) Tìm m để phơng trình có nghiệm trái dấu Khi hai nghiệm, nghiệm có giá trị tuyệt đối lớn hơn?

c) Xác định m để nghiệm x1; x2 phơng trình thoả mãn: x1 + 4x2 =

d) Tìm hệ thức x1, x2 mà không phụ thuộc vào m

ng dụng 5: Lập phơng trình bậc hai ẩn sử dng nh lý Viột o

*) Phơng pháp:

Ta thiết lập phơng trình bậc nhận số x1; x2 nghiệm dựa

cơ sở (Định lý Viet đảo)

NÕu x1 + x2 = S ; x1.x2 =p x1, x2 nghiệm phơng trình

x2 - Sx + P = (S2 - 4P  0) *) Bµi tËp ¸p dơng:

Bµi tËp 1: Cho x1 = √3+1

2 ; x2 = 1+√3 LËp ph¬ng trình bậc hai có nghiệm là: x1; x2

Ta cã: x1 = √3+1

2 ; x2 =

1+√3 =

1−√3

(1+√3) (1−√3)=

√3−1

Nªn x1.x2 = √3+1

2

1+√3 = x1 + x2 = √3+1

2 +

1+√3 = √3

Vậy phơng trình bậc hai có nghiệm: x1; x2 lµ x2 - √3 x+

2 = Hay 2x2 - 2

√3 x + =

Không giải phơng trình (1), hÃy lập phơng trình bậc hai có nghiệm luỹ thừa bậc bốn nghiệm phơng trình (1)

Cách giải:

Gi x1; x2 l nghiệm phơng trình cho theo hệ thức viét, ta có:

x1 + x2 = -5; x1.x2 = -

Gọi y1; y2 nghiệm phơng trình phải lập, ta có:

y1 + y2 = x14+x24

y1 y2 = x14.x24

Ta cã:

¿ x14

+x24 ¿

= (x12+ x22)2 - 2x12.x22 = 729 – = 727

x14.x24 = (x1.x2)4 = (- 1)4 =

Vậy phơng trình cần lập là: y2 - 727y + = 0 *) Bài tập đề nghị:

Bµi 1: Lập phơng trình bậc hai có nghiệm √3 + √2 vµ

√3+√2 Bµi 2: Lập phơng trình bậc hai thoả mÃn điều kiện:

Cã tÝch hai nghiƯm: x1.x2 = vµ

x1 x1−1

+ x2 x2−1

= k

2

−7 k2−4

Bài 3: Xác định có số m, n phơng trình: x2 + mx + n = 0

Sao cho c¸c nghiƯm cđa phơng trình làm m n

Bài 4: Gọi , nghiệm phơng trình: 3x2 + 7x + = không

phải phơng trình hÃy thành lập phơng trình bậc với hệ số số mà nghiệm là:

β −1 vµ β α −1

Bµi 5: Cho a lµ sè thùc cho a + Lập phơng trình bậc có 2 nghiệm x1; x2 thoả mÃn hệ thức:

4x1x2 + = (x1+ x2) (1)

(x1 - 1) (x2 - 1) =

a+1 (2)

øng dụng 6: Phân tích đa thức ax2 + bx + c (a0) thành nhân tử. *) Phơng pháp:

Bài to¸n: Cho PT: ax2 + bx + c = (a≠0) (1)

Chøng tá r»ng: NÕu PT cã nghiƯm x1; x2 th× :

ax2 + bx+ c = a(x - x

Gi¶i: PT (1) cã nghiƯm ⇔Δ ≥0 Gi¶ sư x1, x2 lµ nghiƯm cđa PT(1),

theo vi Ðt ta cã:

¿ x1+x2=−b

a x1.x2=c

a ¿{

¿

⇒ ax2 + bx + c = a(x2+ b

ax+ c a¿ =

a[x2−

(x1+x2)x+x1x2] = a(x2-x.x1- x.x2+ x1.x2) = a(x-x1)(x-x2)

VËyPT ax2+bx+c = cã nghiƯm x

1,x2 th× ax2+bx+cx = a(x-x1)(x-x2)

KÕt luËn: ax2+bx+c = a(x-x

1)(x-x2)

a 0 0 {

Đặc biết nÕu ¿ a ¿Δ=0

¿{0|

¿

th× ax2+bx+cx =

[√a(x − x0)]

*) Bài tập áp dụng:

Bài tập1: Phân tích đa thức 2x2 - 5x + thành nhân tử ?

Xét PT bậc hai tơng øng: 2x2 -5x + = Ta cã: 2+(-5)+3=0 nªn cã

nghiƯm x1=1; x2=

2 suy 2x2-5x +3 = 2(x-1)(x-3 ) Bµi tËp 2: Chøng minh r»ng ®a thøc 5x2 +2

√10 x + viết dợc dạng bình phơng nhị thức?

Giải: Xét phơng trình bậc hai tơng ứng 5x2 +2

√10 x + =

√10¿2−2 5=0 Δ'

=¿ PT cã nghiÖm kÐp x1 = x2 =

−√10

5 Do ta có: 5x2 +2

√10 x + =

x+√10 ¿

2

=[√5(x+√10 )]

2

(x+√10 )(x+√

10 )=5¿ Bµi tËp 3: Rót gän biĨu thøc: a

4

9a2+8 2a45a2+3

Điều kiện Ta phải có 2a4 - 5a2 +3 0

Đặt a2 = y ta cã 2y2 -5y +3 = ⇒

y1=1

y2=3

VËy 2y2 -5y +3 ≠

⇔

y1≠1

y2≠32

⇒2a4−5a2+3 ¿a2≠1

a2≠3

⇔

¿{

a ≠ ±1 vµ a ≠ ±√3

Víi a2=y ta cã a

4

−9a2+8 2a4−5a2+3=

y2−9y+8 2y2−5y+3

XÐt y2 - 9y + = cã nghiÖm y

1=1;y2=8 ⇒y2−9y+8=(y −1)(y −8)

2y2- 5y + = cã nghiÖm y

1=1;y2=

3

⇒2y2−5y

+3=(y −1)(y −3 2)

Vậy với y1 y 32

y29y+8 2y25y+3=

(y −1)(y −8) 2(y −1)(y −3 2)

= y −8 2(y −3

2)

Do với ¿ a ≠±1 a ≠ ±√3

2 ¿{

¿

th×

a4−9a2

+8 2a4−5a2+3=

(a2−1)(a2−8) 2(a2−1)(a2−3 2)

= a

2−8

(a2−2 3)

Việc phân tích đa thức f(x) = ax2 + bx + c (1) (a  0) thành nhân tử

nh trờn c dựng xột dấu đa thức bậc 2.Nghiệm đa thức (1)

chính nghiệm phơng trình bậc hai tơng ứng ax2 + bx + c = 0.

øng dông 7: Xét dấu nghiệm phơng trình bậc hai

*) Phơng pháp:

Cho phơng trình bậc ax2+bx+c = (a≠0) cã nghiÖm x

1;x2 ( x1≤ x2¿

Gäi x1 + x2 = S x1.x2 = P Ta cã:

a) NÕu P < th× x1 < < x2 ( nghiƯm tr¸i dÊu)

b) NÕu ¿ Δ≥0 P>0 S>0 ¿{ {

¿

c) NÕu ¿ Δ≥0 P>0 S<0 ¿{ {

¿

x1 x2<0 x1 (2 nghiệm âm)

d) Nếu ¿ Δ≥0 S ≥0

⇒

¿{ ¿

phơng trình có nghiệm dơng( S = có nghiệm đối

nhau)

e) NÕu ¿ Δ>0 P=1 ¿{

¿

⇔ phơng trình có nghiệm nghịch đảo

*) Bµi tËp ¸p dơng:

Bài tập 1: Tìm m để m phơng trình x2-2x(m+2)+m2+2m+3 = 0(1) có

Ýt nhÊt nghiệm dơng

Giải: Phơng trình (1) có nghiệm d¬ng

⇔

Δ'≥0 −b

a ≥0

⇔

¿[−(m+2)]2−(m2+2m−3)≥0 2(m+2)≥0

⇔

¿m≥−7 m ≥−2

⇔m≥ −2 ¿{

VËy m −2 th× phơng trình (1) có nghiệm dơng Bài tập 2: Cho phơng trình: mx2 - 2(3 - m)x + m - = 0 (1)

Xác định m để phơng trình: - Có nghiệm âm - Có nghiệm đối

Gi¶i: XÐt trêng hỵp:

* TH1: Víi m =0 ta cã: (1)  - 6x - =  x=−2

3 nghiệm âm phơng trình

x1<0≤ x2 ¿ x1=x2<0

¿ ¿ ¿ ¿



x1<0=x2 ¿ x1<0<x2

¿ x1=x2<0

¿ ¿ ¿ ¿



f(0)=0 vµS<0 ¿ p<0

¿ Δ=0 vµ− b

2a<0 ¿ ¿ ¿ ¿



m=4 ¿ 0<m<4

¿ m=9

2 ¿ ¿ ¿ ¿ VËy m  (0; 4] hc m =

2 phơng trình có nghiệm âm Bài tập 3: Cho phơng trình: 2x2 - (m - 1)x + m2 - 4m + = (1)

* Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm

* Xác định dấu nghiệm x1, x2 (x1  x2) với giá trị tìm đợc m Giải: * Vì (1) phơng trình bậc ẩn x tham số m có nghiệm số

 ’   (m - 1)2 - (m2 - 4m + 3)   - m2 + 6m -  0

 m2 - 6m +   (m - 1) (m - 5)    m  5.

* Theo hÖ thøc Viet cã: P = x1x2 = m

2

−4m+3 S = x1 + x2 = m -

- XÐt dÊu cña P = x1.x2

Ta cã: m2 - 4m + =  m = hc m = 3

m

x1x2 + - +

NÕu m = th× p = vµ s =  x1 = x2 =

NÕu m = th× p = ; s >  = x1 < x2

NÕu < m  th× p > ; s >  < x1 < x2

Nếu < m < p <  x1 < < x2 *)Bài tập đề nghị:

Bài tập 1: Tìm giá trị m để phơng trình: (m - 1)x2 + 2x + m = 0 (1)

cã Ýt nhÊt nghiệm không âm

Bài tập 2: Cho PT x4 - 5x2 + = 0(1) Không giải phơng trình hÃy xét

xem PT (1) có nghiệm

Bài tập 3: Cho phơng trình x2 +2(m-2)x - 2m +3 = 0.

a) Giải phơng tr×nh m = -1

b) Xác định m để phơng trình có nghiệm dơng

øng dụng 8: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ

*) Phơng pháp:

- Nếu S = x1 + x2 (khơng đổi) cịn P = x1 x2 thay đổi

Do S2 - 4P   P  S

2

4 P = S2

4  x1 = x2 = − b

2a= S  maxP = S

2

4  x1 = x2 = S

2 (V× x2 - Sx + P = cã nghiƯm kÐp)

KL: Hai số có tổng khơng đổi tích lớn  số nhau.

- Nếu x1 > 0; x2 > x1 x2 = P (Khơng đổi)

Cịn S = x1 + x2 (thay đổi)

Do: S2 - 4P   (S −2

√P) (S+2√P)≥0

 S - 2√P  ; S = 2√P  x1 = x2 = √P

KL: số dơng có tích khơng đổi tổng nhỏ chỳng bng nhau.

*) Bài tập áp dụng:

Bài tập 1: Gọi x1, x2 nghiệm phơng trình:

x2 - (2m - 1)x + m – = 0

Tìm m để x1

+x22 có giá trị nhỏ Bài giải:

XÐt:  = 4m2 - 4m + - 4m + = 4m2 - 8m + = 4(m - 1)2 + > 0

Nên phơng trình cho có hai nghiệm với m Theo định lý Viét ta có: x1 + x2 = 2m - 1; x1.x2 = m -

 x12+x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = (2m - 1)2 - 2(m - 2)

=4m2 - 6m + = (2m -

2 )2 + 11

4  11

4 DÊu “=” x¶y m =

4 VËy Min(x12 + x22) = 11

4 m =

Bài tập 2: Gọi x1; x2 nghiệm phơng tr×nh:

2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + = 0

Tìm giá trị lớn nhÊt cđa biĨu thøc: A =x1x2 - 2x1 - 2x2

Cách giải:

phng trỡnh ó cho cú nghiệm thì:

' = (m + 1)2 - 2(m2 + 4m + 3) = - (m + 1)(m + 5)  0 -  m 

- (*)

Khi theo hệ thức Viét ta có: x1 + x2 = - m – 1;x1 x2 = m

2

Do đó: A =  m

2

+8m+7

2 

Ta cã: m2 + 8m + = (m + 1)(m + 7) với điều kiện (*) thì: (m + 1)(m + 7)  0.

Suy ra: A = − m

2

+8m−7

2 =

m+4¿2 ¿ 9−¿

¿

 DÊu b»ng x¶y (m + 4)2 = hay m = - 4

Vậy A đạt giá trị lớn là:

2 m = - 4, giá trị thoả mÃn điều kiƯn (*)

*) Bài tập đề nghị:

Bµi 1: Gọi x1, x2 nghiệm phơng trình

x2 + 2(m - 2)x - 2m + = 0

Tìm m để ¿ x12

+x22

có giá trị nhỏ Bài 2: Cho phơng trình: x2 - m + (m - 2)2 = 0

Tìm giá trị lớn nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc A = x1x2 + 2x1 + 2x2

Bài 3: Cho phơng trình: x2 - 2(m + 1)x + 2m + 10 = (m lµ tham sè) T×m

m cho nghiƯm x1; x2 phơng trình thoả mÃn 10x1x2 +

x1

2

+x22 ¿

đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị

ứng dụng 9: Giải phơng trình hệ phơng trình nhờ định lý Viột

*) Bài tập áp dụng:

Bài tập 1: Giải phơng trình: x(5 x

x+1) (x+ 5− x

x+1) =6 Híng dÉn: §KX§: {xR x - 1}

Đặt: {

u=x.5 x x+1 ν=x+5− x

x+1

 {u+ν=? u.ν=? Tính: u, v, từ tính x

Bài giải:

ĐKXĐ: {x R x - 1}

Đặt: {

u=x.5 x x+1 ν=x+5− x

x+1

(*)  {

u+ν=(x.5− x x+1)+(x+

5− x x+1) u.ν=(x.5− x

x+1).(x+ 5− x

x+1)

u, v nghiệm phơng trình: x2 - 5x + = 0

Ta cã:  = 25 – 24 = 1> suy ra: x1 = 5+1

2 = 3; x2 = 5−1

2 = u = v = u = th× v =

NÕu: {u=3

ν=2 th× (*) trë thµnh: x2 - 2x + =

Ta cã: ' = – = - < Phơng trình vô nghiệm: Nếu: {u=2

=3 (*) trở thành: x2 - 3x + = Suy ra: x1 = 1; x2 =

Vậy phơng trình có hai nghiệm x1 = 1; x2 =

Bài tập 2: Giải hệ : {x+y+yx=7 xy2

+x2y=12

Giải: Đặt x + y = S xy = P Ta có hệ: {S+P=7 S.P=12 Khi S P hai nghiệm phơng trình: t2 – 7t + 12 = 0.

Giải phơng trình đợc t = t =

+ Nếu S = P = x, y nghiệm phơng trình: u2 - 4u + =  u = u = 3

Suy (x = 1; y = 3) vµ (x = 3; y = 1)

+ Nếu S = P = x, y nghiệm phơng trình: v2 – 3v + = 0

Phơng trình vô nghiệm = - 16 = - <

Vậy hệ cho có hai nghiệm số là:(x = 1; y = 3) (x = 3; y =1)

*) Bi ngh:

Bài 1: Giải phơng tr×nh: x3 + 9x2 + 18 + 28 = 0

Bài2: Giải hệ phơng trình sau: a)

x+y=9 ¿+y

2

=4 x2 ¿ b) { x+y=3

x4

+y4=17

øng dơng 10: HƯ thức Viét tơng giao hàm số

*) Phơng pháp:

Ph ơng trình đ ờng thẳng (d): y = ax + b (a  0) víi Parabol (P):

y = mx2 (m  0):

1 Dạng 1: Lập phơng trình đờng thẳng y = ax + b (a  0) qua điểm A (xA;

yA); B (xB; yB) thuéc Parabol y = mx2 (m  0)

Từ theo Viet ta có:

¿ xA+xB=a

m xA.xB=− b

m ¿{

¿

(*)

Từ (*) tìm a b PT (d)

2 Dạng 2:Lập phơng trình đờng thẳng tiếp xúc với Parabol (P) điểm M (xM; yM)

* Cơ sở lý luận: Do (d) (P) có giao điểm nên phơng trình: mx2 - ax - b = cã nghiÖm kÐp: x

1 = x2 VËn dơng hƯ thøc Viet, ta cã:

¿ x1+x2=a

x1x2=−bm

¿{ ¿

 a b

phơng trình tiếp tuyến

*) Bài tập áp dụng:

Bài tập 1: Cho parabol (P) có phơng trình: (P): y = x2.

Gi A B điểm  (P) có hồnh độ lần lợt xA = - ; xB = Lp

ph-ơng trình dờng thẳng A B

* Giải: (Ta ứng dơng hƯ thøc Viet)

* Giả sử phơng trình đờng thẳng (AB): y = ax + b

Phơng trình hồnh độ giao điểm (AB) (P) là: x2 = ax + b

 x2 - ax - b =0 (*).

Ta cã: xA = - ; xB = nghiệm phơng tr×nh (*)

Theo Viet ta cã: ¿ xA+xB=a xAxB=− b

¿{ ¿

 ¿ a=1 b=2 ¿{

¿

Vậy phơng trình đờng thẳng (AB) là: y = x + Bài tập 2: Cho (P): y=x

2

4 ; A  (P) có hồnh độ xA = lập phơng trình đờng thẳng tiếp xúc với (P) A

Gi¶i:

Giả sử phơng trình tiếp tuyến A (d): y = ax + b Phơng trình hồnh độ giao điểm (d) (P) là: x

2

4 = ax + b  x

2 - 4ax - 4b = (*)

Theo Viet ta cã:

¿ x1+x2=4a

x1x2=−4b

¿{ ¿

 ¿ a=1 b=−1

¿{

Vậy phơng trình tiếp tuyến (d) là: y = x –

Ch¬ng III Thùc nghiƯm s ph¹m 1.

Mục đích thực nghiệm:

- Kiểm tra hiệu đề tài nghiên cứu

- Tìm thiếu sót cần khắc phục đề tài đợc hoàn thiện

2 Néi dung thùc nghiƯm:

Gi¸o ¸n : hƯ thøc vi-ét ứng dụng

Ngày soạn:20/12/2010 Ngày giảng:23/12/2010

A.Mơc tiªu :

1.Kiến thức: HS nắm vững hệ thức Viét HS vận dụng đợc ứng

dơng cđa hƯ thøc Vi Ðt nh:

- BiÕt nhÈm nghiƯm cđa pt bËc hai trờng hợp:

a + b + c = ; a - b + c = trờng hợp tổng tích hai nghiệm số nguyên với giá trị tuyệt đối không lớn

- Tìm đợc hai số biết tổng tích chúng

2.Kỹ năng: HS vận dụng thành thạo để giải tập

3.Thái độ: Giáo dục ý thức suy luận logic

B.Chuẩn bị:

- GV: Bảng phụ, máy tính bỏ túi

- HS: Ôn tập công thức nghiệm tổng quát pt bậc hai

C.Tiến trình dạy häc:

I Tỉ chøc: II KiĨm tra:

? Giải pt: 2x2 – 9x + = sau tính tổng, tích nghiệm?

III Bµi míi:

Giáo viên giới thiệu: Ta biết cách tìm nghiệm phơng trình bậc hai cơng thức nghiệm (  ') Vậy, không cần giải phơng trình bậc hai liệu tính đợc tổng tích hai nghiệm phơng trình bậc hai hay khơng? Để biết đợc điều tìm hiểu học ngày hôm

Hoạt động GV Hoạt động HS Hệ thức Vi-ét

- GV ĐVĐ vào bài:

Nờu cụng thức nghiệm tổng quát pt bậc hai  > ;  = công thức cú ỳng khụng ?

- Yêu cầu HS làm ?1 TÝnh x1 + x2 ; x1 x2

- GV nhận xét làm HS nêu: NÕu x1 vµ x2 lµ nghiƯm cđa pt:

ax2 + bx + c = (a  0) th×:

{

x1+x2=−b a x1.x2=c

a

- Yêu cầu HS hoạt động nhóm ?2, ?3 Nửa lớp làm ?2, nửa lớp làm ?3

HS: x1+x2 =

b a

 x1.x2 =

c a

- HS đọc lại hệ thức SGK ?2 2x2 - 5x + = 0

a + b + c = - + = b) Thay x1 = vµo pt:

Hoạt động GV Hoạt động HS Đại diện nhóm lên trình bày

- GV đa tổng quát lên bảng phụ

GV: Yêu cầu làm ?4

2.12 - 5.1 + = 0

 x1 = lµ nghiƯm cđa pt

c) Theo hƯ thøc Vi Ðt: x1 x2 = c

a , cã x1 =  x2 = c a =

2

?3 Cho pt: 3x2 + 7x + = 0

a) a = ; b = ; c = a - b + c = - + = b) Thay x1 = - vµo pt:

(-1)2 + (-1) + = 0

 x1 = -1 lµ nghiƯm cđa pt

c) Theo hƯ thøc Vi Ðt: x1 x2 = c

a ; cã x1 = -1  x2 = - c

a =-4 ?4:

a) -5x2 + 3x + = 0

cã a + b + c = -5 + + =  x1 = ; x2 = c

a = - b) 2004x2 + 2005x + = 0

a - b + c = 2004 - 2005 + =  x1 = -1 ; x2 = - c

a = - 2004 2.T×m hai số biết tổng tích chúng

?Tìm hai sè biÕt tỉng cđa chóng b»ng S vµ tÝch cđa chóng b»ng P

Chän Èn sè lập phơng trình toán

- Nghiệm pt hai số cần tìm Vậy: Kết luận SGK

- Yêu cầu HS đọc VD SGK - Làm ?5 (trả lời miệng)

- Yêu cầu HS hoạt động nhóm VD2 áp dụng làm 27 SGK

Gọi số thứ x số thứ hai lµ (S - x)

TÝch hai sè b»ng P, ta cã pt: x (S - x) = P

 x2 - Sx + P = 0.

pt cã nghiÖm nÕu  = S2 - 4P  0

- Yêu cầu HS đọc kết luận SGK ?5 Hai số cần tìm nghiệm pt: x2 - x + = 0.

 = - 19 <  v« nghiƯm số

IV Củng cố: - Phát biểu hệ thức Viét, viết công thức nghiệm hƯ thøc ViÐt

V H íng dÉn : - Học thuộc hệ thức Viét cách tìm số biết tổng tích Nắm vững cách nhẩm nghiệm.Làm BT: 25, 28, 29 SGK ; 35, 36 /SBT

Gi¸o ¸n 2:Mét sè øng dơng kh¸c cđa hƯ thøc viét

Ngày soạn:20/12/2010 Ngày giảng:25/12/2010

A.Mục tiêu :

1.Kiến thức: HS nắm vững hệ thức Vi ét HS vận dụng đợc ứng

dông cđa hƯ thøc Vi Ðt nh:

- Tìm giá trị tham số m để phơng trình thoả mãn điều kiện T cho trớc

- Xét dấu nghiệm phơng trình bậc hai

2.Kỹ năng: HS vận dụng thành thạo hệ thức Viét để giải tập

3.Thái độ: Giáo dục ý thức suy luận logic

B.ChuÈn bÞ:

- GV: Bảng phụ, máy tính bỏ túi

- HS: Ôn tập công thức nghiệm tổng quát cđa pt bËc hai vµ hƯ thøc ViÐt

C.TiÕn trình dạy học:

I Tổ chức:

II Kiểm tra: ? Viết công thức hệ thức Viét III Bài míi:

Giáo viên giới thiệu: Ta biết số ứng dụng định lý Viét nh: Không giải phơng trình tính tổng tích hai nghiệm, tìm hai số biết tổng tích chúng,…Bài học ngày hơm tìm hiểu thêm vài ứng dụng khác định lý Viét nhằm phục vụ cho việc ôn thi vào THPT đợc tốt

Hoạt động GV Hoạt động HS Hoạt động Kin thc cn nh

GV: Yêu cầu HS nhắc lại nội dung

nh lý Viột? *) Định lý Viét: Nếu xnghiệm phơng trình: ax1;x2 hai 2 + bx + c =

0 th×:

1

1

b S x x

a c P x x

a             

Hoạt động Một số ứng dụng định lý Viét: ứng dụng 1: Tìm điều kiện tham

số m để toán thoả mãn kiện T

GV: §a nội dung dạng toán Bài tập 1: Cho pt:

x2+(4m+1)x+2(m-4)=0 (1)

Tìm m để pt có nghiệm x1; x2 thoả

HS: Ghi bµi

Hoạt động GV Hoạt động HS mãn điều kiện: x2 – x1 = 17?

? Điều kiện để phơng trình có nghiệm gì?

? TÝnh tỉng vµ tÝch nghiƯm cđa pt? ? LËp hƯ pt gåm tổng tích hai nghiệm, kết hợp với yêu cầu toán đa ra?

GV: Hớng dẫn HS làm?

? Từ (1) (2) tìm x1 x2 theo m?

? Thế x1 x2 vừa tìm đợc vào (3) để

t×m m?

GV: Gäi HS lên bảng làm?

2 ứng dụng 2: Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuéc vµo m

Bµi tËp 2: Cho pt:

x2-2(m+3)x+4m-1=0

Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào m?

GV: hớng dẫn:

Ta cã:  = 16m2+33 > m nªn pt

ln có nghiệm phân biệt Khi đó:

1 2

(4 1) 2( 4)

x x m x x m

  

 

 



Theo đề ta có:

2 1 2

17(1)

(4 1)(2) 2( 4)(3)

x x

x x m x x m

           

Từ (1) (2) ta đợc: x1=-2m-9; x2=-2m+8

thế vào (3) đợc: 4m2 – 64 = 0

? Tìm điều kiện để pt có nghiệm?

? Tính tổng tích nghiệm lập hệ gồm tổng tích nghiệm đó?

? Tõ hƯ triệt tiêu m bàng cách nào?

? HÃy nhận xét phơng pháp giải toán tổng quát trên?

Giải:

'

0 (m+3)2-(4m-1)0

2 2 10 0 ( 1)2 9 0

m m m m

        

 pt lu«n cã nghiƯm x1; x2 Ta cã hÖ pt:

2( 3) 12

4

S m S m

P m P m

              

Trừ vế đẳng thức ta đợc: 2S – P = 13 hay: 2(x1+x2)-x1x2=13

Rõ ràng: Hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc m *) Phơng pháp giải:

viết đợc hệ thức hai nghiệm không phụ thuộc m ta làm theo bớc: - Bớc 1: Theo hệ thức Viét viết hệ thức S P theo m

- Bớc 2: Dùng quy tắc cộng quy tắc để khử m

Hoạt động GV Hoạt động HS ứng dụng 3: Xét dấu nghiệm

pt bËc hai

GV: Đa nội dung toán: Bài toán 3: Cho pt:

3mx2 + 2(2m+1)x+m=0

Xác định m để pt có nghiệm âm? GV: hớng dẫn:

? Để pt có nghiệm âm trớc tiên phải cần điều kiện gì?

? Để pt có nghiệm âm dấu tổng dấu tích nghiệm nh nào?

? Giải hệ

0 0 m S P          

 để tìm m?

GV: lu ý cho häc sinh:

Trớc xét dấu nghiệm pt bậc hai cần ý điều kiện có nghiệm pt Sau dựa vào yêu cầu dấu nghiệm mà đề cần yêu cầu để xét xem tổng hai nghiệm tích hai nghiệm mang dấu gì?

Phân tích:

Để pt có nghiệm âm trớc tiên phải cần điều kiện : m0;

Để pt có nghiệm âm dấu tổng vµ dÊu cđa tÝch nghiƯm:

S < P >

Giải:

pt cho có nghiệm âm thì:

2

0

0 4 1 0

0

0

0 3

0 2(2 1)

m

m m m

m m

P m m

S m m                                   

IV cñng cè:

- Định lý Viét Điều kiện để định lý Viét tồn ( 0)

- Các ứng dụng định lý Viét phơng pháp trình bày, ý làm dạng tập

V H íng dÉn:

- Hệ thống lại ứng dụng định lý Viét phơng pháp giải - Bài tập: Xác định tham số m cho pt:

a) 2x2-3(m+1)x+m2-m-2 cã nghiƯm tr¸i dÊu?

b) mx2-2(m-2)x+3(m-2)=0 cã nghiÖm cïng dÊu?

3 Kết thực nghiệm:

Bài tập kiểm tra.

( Thời gian: 90 phút) Bài tập 1: Tìm số u v trờng hợp sau:

a) u + v = 4; u.v = 19 b) u + v = -8; u.v = -105

Bài tập 2: Tìm giá trị m để phơng trình có nghiệm, tính tổng tích nghiệm theo m

a) x2- 2x + m = 0

b) x2 +2(m-1)x + m2 = 0

Bài tập 3:Cho pt: x2 + mx -5 = Tìm giá trị m để tổng bình phơng

nghiƯm lµ 11?

Bài tập 4: Tìm giá trị m để phơng trình: (m-1)x2 + 2x + m = 0

Cã Ýt nhÊt mét nghiƯm kh«ng ©m?

Bµi tËp 5: Cho pt: x2 + (4m+1)x + 2( m- 4) = (1)

a)Tìm m để biểu thức A = (x1 – x2)2 có giá tr nh nht?

b) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc m?

Kết kiểm tra.

STT Họ Và TÊN Lớp điểm

1 Trơng Huy Chiến 9A1 7.5

2 Hoàng Thu Giang 9A1 4.25

3 Hà Thị Hiền 9A1 8.0

4 L· Thu HuyÒn 9A2 7.25

5 Cï Tiến Mẫn 9A2 5.5

6 Hà Thị Kim Ngân 9A2 5.25

7 Ngun ThÞ Hång Nhung 9A2 4.5

8 Ngun ThÞ Ngäc Hun 9A2 7.5

9 Đỗ Thị Hồng Thuý 9A3 8.0

10 Nguyễn Thị Thu 9A3 4.5

Thống kê

- Điểm từ trở lên: / 10 em ( Đạt 70%) - Điểm dới trung bình: / 10 em ( §¹t 30%) - §iĨm giái: / 10 em ( §¹t 20%)

NhËn xÐt:

- Trong q trình làm đề tài cố gắng phân loại ứng dụng, ứng dụng có phơng pháp làm cụ thể Vì thế, giúp em nhiều trình lĩnh hội kiến thức, giúp em phân biệt đợc dạng toán làm thành thạo dạng toán

- Các kiến thức góp phần quan trọng để em có kiến thức vững vàng ơn thi vào lớp 10 trình học sau cho em

- Với ứng dụng phong phú, đa dạng, định lý Viet có vị trí quan trọng chơng trình đại số giá trị sử dụng cịn có ý nghĩa với lớp

- Khai thác ứng dụng định lý Viet thuận đảo vào toán đại số lớp 9, làm phong phú đa dạng tập phơng trình bậc 2, bậc Giúp cho ngời học rèn luyện thao tác t đặc biệt khả suy luận tính linh hoạt q trình học tập mơn tốn

- Cung cấp cho HS cách có hệ thống nội dung phơng pháp hệ thức Viet ứng dụng phong phú giúp HS hiểu sâu mối quan hệ nghiệm số với hệ số phơng trình bậc Từ hình thành HS thói quen học định lý, thấy rõ vai trị định lý tốn học chơng trình toán giúp cho em rèn luyện đợc phẩm chất trí tuệ: Độc lập, sáng tạo, mềm dẻo, linh hoạt độc đáo suy nghĩ

- Nêu đợc phơng pháp giải loại toán ứng dụng định lý Viet Giúp HS có đợc phơng hớng giải vấn đề có sở lý luận Xây dựng cho HS niềm tin học tập, chống t tởng ngại khó, sợ tốn, giúp em hăng say học tập, hứng thú tìm tịi mới, hay q trình học trốn

- Góp phần quan trọng vào thời kỳ đổi phơng pháp giáo dục Đó là: việc tìm chân lý tốn học không dừng chân lý mà quan trọng phải thấy đợc giá trị chân lý đó, nhằm nâng cao chất lợng dạy học theo hớng phát huy tích cực HS

Trên ứng dụng phong phú định lý toán học (định lý Vi-ét) đợc xây dựng cách có hệ thống sở lý luận, bớc đầu đợc thực nghiệm cho kết định, việc bồi dỡng HS giỏi

Tuy nhiên hạn chế cá nhân nên sáng kiến kinh nghiệm nói khơng tránh khỏi hạn chế thiếu sót Vì tơi kính mong quan tâm q Thầy Cơ góp ý chân thành cho đề tài cuat tơi đợc hồn mỹ Tơi xin chân thành cảm ơn!

Tµi liƯu tham khảo

SGK Toán 9- Tập II Phan Đức Chính (Chủ biên) Nhà xuất bàn Giáo Dục năm 2005

Phng phỏp gii 36 đề Toán – Võ Đại Mau – Nhà xuất trẻ – năm 1997

 Bµi tËp Toán Tập II Tôn Thân (Chủ biên) Nhà xuất Giáo Dục năm 2007

 Bài tập nâng cao số chuyên đề Toán – Bùi Văn Tuyên – Nhà xuất Giáo Dục Việt Nam – năm 2009