Dùng mathematica để thiết kế phần mềm trợ giúp cho việc giảng dạy và học tập

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI - TRỊNH ĐỨC HỮU Đề tài: Dùng Mathematica để thiết kế phần mềm trợ giúp cho việc giảng dạy học tập LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ THUẬT CHUYÊN NGÀNH TOÁN TIN NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS –TSKH : LÊ HÙNG SƠN Hà Nội, năm 2013 LỜI CẢM ƠN Luận văn kết sau hai năm học tập nghiên cứu Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội, thân tiếp cận với kiến thức chuyên sâu mơn học tốn ứng dụng, đặc biệt biết cách áp dụng công nghệ thông tin để giải tốn liên quan, từ đưa vào ứng dụng thực tiễn Với tình cảm chân thành, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến quý thầy cô giáo tham gia giảng dạy lớp cao học khố 11A Tốn- Tin Hà Tĩnh Các phịng ban liên quan Viện Đào tạo sau đại học Bách Khoa Hà Nội, đồng nghiệp, bạn bè gia đình tận tình giúp đỡ, tạo điều kiện cho tác giả q trình học tập hồn thành đề tài luận văn Đặc biệt tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến GS-TSKH Lê Hùng Sơn, người tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tác giả nghiên cứu đề tài hoàn chỉnh luận văn Mặc dù thân cố gắng chắn luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót, mong nhận ý kiến đóng góp bổ sung quý thầy cô giáo , ý kiến trao đổi đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 25 tháng 03 năm 2013 Tác giả luận văn Trịnh Đức Hữu MỤC LỤC Trang LỜI CẢM ƠN MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài II Mục đích, đối tượng, phạm vi nghiên cứu luận văn: .2 III Các luận điểm đóng góp tác giả .3 IV Phương pháp nghiên cứu CHƯƠNG I: TỔNG QUAN VỀ PHẦN MỀM MATHEMATICA 1.1 Giới thiệu phần mềm Mathematica .4 1.2 Các phếp tính tốn học số, biểu thức hàm 1.2.1 Tính tốn số: 1.2.2 Tính tốn với biểu thức .7 1.2.3 Tính tốn với hàm 1.3 Vẽ đồ thị hàm , biểu thức 14 CHƯƠNG II MỘT SỐ ỨNG DỤNG MATHEMATICA TRONG ĐẠI SỐ VÀ HÌNH HỌC 16 2.1 Giải phương trình hệ phương trình 16 2.1.1 Giải phương trình 16 2.1.2 Giải hệ phương trình .19 2.2 Phép tính vi tích phân 21 2.2.1 Tính giới hạn 21 2.2.2 Phép tính vi phân .23 2.2.2.1 Đạo hàm hàm biểu thức 23 2.2.2.2 Tiếp tuyến 25 2.2.2.3 Dùng đạo hàm để vẽ đồ thị hàm số 26 2.2.3 Phép tính tích phân 28 2.2.3.1 Tích phân bất định 28 2.2.3.2 Tích phân xác định 29 2.3 Vẽ đồ thị 31 2.3.1 Vẽ đồ thị mặt phẳng 31 2.3.1.1 Vẽ đồ thị hàm xác định khúc 33 2.3.1.2 Đồ thị hàm cho theo tham số mặt phẳng .34 2.3.2 Vẽ đồ thị không gian chiều .35 2.3.2.1 Vẽ đồ thị hàm số dạng f(x,y) = f(x,y,z) = .36 2.3.2.2 Vẽ miền bất đẳng thức .40 CHƯƠNG III: LÝ THUYẾT DANH SÁCH , LẬP TRÌNH CẤU TRÚC VÀ XÂY DỰNG CÁC CHƯƠNG TRÌNH HỖ TRỢ DẠY VÀ HỌC 43 3.1 Danh sách danh sách lồng 43 3.1.1 Danh sách 43 3.1.1.1 Định nghĩa khai báo danh sách 43 3.1.1.2 Làm việc với danh sách 44 3.1.2 Danh sách lồng 51 3.1.2.1 Cách cho ma trận 51 3.1.2.2 Trích phần tử ma trận 52 3.1.2.3 Các phép toán, hàm với ma trận 53 3.1.2.4 Tạo ma trận với tính chất cho trước: 54 3.2 Áp dụng lý thuyết danh sách để vẽ tiếp tuyến, cát tuyến với đường cong xây dung đồ thị linh hoạt 55 3.2.1 Vẽ cát tuyến đồ thị xây dựng đồ thị linh hoạt 55 3.2.2 Vẽ tiếp tuyến với đồ thị xây dựng đồ thị linh hoạt 58 3.3 Lập trình cấu trúc với Mathematica 59 3.3.1 Nhập/ xuất .59 3.3.2 Gán 59 3.3.4 Khối (lệnh) biến cục 60 3.3.5 Cấu trúc chọn 61 3.3.6 Cấu trúc điều kiện 61 3.3.7 Cấu trúc lặp .62 3.4 Xây dựng gói chương trình trợ giúp dạy học 63 3.4.1 Một số gói chương trình bản: 63 3.4.2 Xây dựng chương trình cho giảng khảo sát hàm số .64 KẾT LUẬN 79 TÀI LIỆU THAM KHẢO 81 MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài Vào thời điểm nay, hòa chung vào phát triển kinh tế xã hội, ngành giáo dục thực chủ trương đổi phương pháp dạy học nhằm đáp ứng nâng cao chất lượng dạy học sở giáo dục Đồng hành chủ trương việc ứng dụng công nghệ thông tin công tác dạy học nhiệm vụ bắt buộc nay, từ bắt đầu phần mềm hỗ trợ giáo dục nghiên cứu tìm hiếu khai thác nhiều trước Tuy nhiên địa phương công tác lại vùng khó khăn tỉnh Hà Tĩnh, huyện miền núi Hương Sơn,nơi mà hàng năm hạn hán lũ lụt hoành hành thuộc loại gay gắt nước, nên việc tiếp cận công nghệ mới, chương trình hỗ trợ phát triển giáo dục đô thị lớn gặp nhiều gian nan Hiện khai thác ứng dụng soạn thảo văn số phần mềm ứng dụng quản lý ngành việc sử dụng phần mềm để hỗ trợ giải toán thường gặp chưa đầu tư nghiên cứu sử dụng mức, nên tơi định chọn nghiên cứu phần mềm hỗ trợ cho giảng dạy học tập Trong nhiều phần mềm sử dụng nhiều lập trình với Pascal, lập trình C,Visua Basic Foxpro,…đều đưa vào giảng dạy nhà trường, phần mềm có ưu điểm riêng Tuy nhiên có phần mềm mà có trợ giúp giải nhiều toán nhiều lĩnh vực khác lại chưa phổ biến nhiều nay, phần mềm Mathematica Trong mơn học ứng dụng cần giải tốn tính toán cụ thể với thời gian nhanh yêu cầu cấp thiết Mathematica cơng cụ lập trình mạnh với 700 hàm có sẵn thư viện hàm Hiện Mathematica phần mềm sử dụng giảng dạy nhiều trường đại học, công cụ hỗ trợ việc đổi phương pháp giảng dạy nhiều mơn học: Tốn học đại cương, Vật lý đại cương, Vật lý lượng tử, Toán kinh tế, Tối ưu hóa, Bảo mật thơng tin, Một khó khăn nghiên cứu phần mềm số đầu sách viết Tiếng Việt Mathematica hạn chế, chưa phổ biến thị trường,nên để có lượng kiến thức phong phú trình bày luận văn phải gặp nhiều khó khăn vất vả II Mục đích, đối tượng, phạm vi nghiên cứu luận văn: Luận văn tập trung giới thiệu, nghiên cứu khái niệm ứng dụng Mathematica để giải toán mà chương trình học phổ thơng thường gặp Những khái niệm toán học phép tính số học biếu thức hàm số, giải phương trình, hệ phương trình, tốn vi tích phân, nghe quen thuộc thực tế có trường hợp ta nhiều thời gian để giải quyết, chí tìm kết vấn đề Tuy nhiên Mathematica cho ta đáp án nhanh xác Luận văn trình bày ứng dụng phần mềm dạy học học tập tốn giải phương trình , hệ phương trình, tốn vi tích phân, vẽ đồ thị không gian hai chiều ba chiều, bên cạnh kiến thức lý thuyết danh sách, ứng dụng để giải số toán lien quan Từ khái niệm tìm hiếu tác giả xây dựng số chương trình để giải tốn, có chương trình xây dựng để giải toán khảo sát hàm số , vẽ đồ thị tiếp tuyến chương trình THPT , dạng toán thường xuyên gặp toán học Với ứng dụng học sinh phổ thơng sử dụng để tìm kết cách nhanh nhất, trợ giúp giải đề thi cho thầy cô giáo công tác giảng dạy luyện thi trung tâm III Các luận điểm đóng góp tác giả Về mặt lý thuyết luận văn trình bày dạng toán quen thuộc ứng dụng giải tốn đó, nhờ khái niệm mà tác giả thêm phương pháp để xử lý nhanh tốn liên quan, bên cạnh gói chương trình tác giả xây dựng cho kết nhanh nhất, xác gặp toán khảo sát hàm số, vẽ đồ thị IV Phương pháp nghiên cứu - Tham khảo dịch tài liệu tiếng Anh - Tìm hiểu qua giáo trình học - Tổng hợp trình bày CHƯƠNG I: TỔNG QUAN VỀ PHẦN MỀM MATHEMATICA 1.1 Giới thiệu phần mềm Mathematica Phần mềm tính tốn Mathematica, phiên viết vào năm 1988 hãng Wolfram Đây hệ thống phần mềm làm tốn nhờ máy tính, bao gồm tínhtốn kí hiệu, tính số, xử lý đồ thị lập trình Bản thân Mathematica coi hệ thống đại số máy tính tiện lợi cho nhiều đối tượng sử dụng khác nhau.Mathematica có nhiều version liên tục cải tiến hoàn thiện:1.2, 2.0, 2.2,3.0, 4.0 …và đến phiên 9.0.1 sử dụng nhiều Một số quy tắc sử dụng phần mềm Mathematica: - Mathematica phân biệt chữ hoa chữ thường Do đó, chữ viết hoa cần phải viết hoa chữ - Những lệnh, hàm, ký hiệu, biến có sẵn Mathematica đợc bắt đầu chữ in hoa - Để thực lệnh Mathematica, ấn đồng thời hai phím Shift + Enter - Các hàm, biến tự khai báo không cần viết hoa chữ khai báo dùng phải dùng - Các chữ không dùng để đặt tên: C, D, E, I, N - Vai trò cặp ngoặc ( ), [ ], { } + Cặp ngoặc ( ) dùng để ngoặc biểu thức toán học + Cặp ngoặc [ ] dùng để chứa đối số, biến số lệnh, hàm + Cặp ngoặc { } dùng để liệt kê miền cho đối số, liệt kê công việc, dùng cho mảng ma trận - Tên biến, hàm tự khai báo bao gồm chữ chữ số, bắt đầu chữ cái, chữ thường hoa Tên phải khác với tên lệnh, hàm có sẵn chương trình - Phân biệt ký hiệu := , = == Ví dụ: x:=1 lệnh gán giá trị cho số x x=1 lệnh gán giá trị cho biến x (x thay đổi giá trị thực chương trình) x==1 so sánh giá trị vế trái x có giá trị vế phải hay khơng 1.2 Các phếp tính tốn học số, biểu thức hàm 1.2.1 Tính tốn số: a Số học: Ta làm phép tính với Mathematica giống làm máy tính điện tử Các phép toán số học thực cách tự nhiên Mathematica +: Phép cộng -: PhÐp trõ *: PhÐp nh©n /: PhÐp chia ^: PhÐp lũy thừa !: Phép giai thừa : Lín h¬n VÝ dơ: - Tổng số: In[1]:= 4+6 Out[1]=10 - Thùc hiƯn cïng lóc phÐp tÝnh nh©n, chia, vµ lịy thõa In[2]:= 2.4 / 8.9 ^ Out[2]= 0.0302992 - Ta cã thĨ sư dơng dÊu c¸ch ®Ĩ thĨ hiƯn mét phÐp nh©n thay cho dïng mét dÊu * In[3]:= Out[3]= 60 - Cho kết xác dùng dấu ngoặc ®¬n ®Ĩ biĨu diƠn biĨu thøc sè häc In[4]:= (3 + 4) ^ - (3 + 1) Out[4]= 41 b Kết gần xác Khi làm việc với số nguyên, Mathematica hiển thị kết xác đầy đủ hình, tính tốn với số lớn Ví dụ 35^53 68486717367040302472198227336551670995443520051360053457 75629393756389617919921875 Đối với phép toán thực với số hữu tỷ thơng thường sử dụng máy tính hay phần mềm khác ta nhận kết xấp xỉ, chẳng hạn tính 10/3 ta nhận kết là:3.3333333333333 Đối với Mathematica, nói số hữu tỷ nói phân số Do đó, kết sau phép tính Mathematica số hữu tỷ 10/3 10 Nếu ta sử dụng N[…] hay //N để tính tốn cho kết gọn dạng khoa học Ví dụ: Tính (-7)100 - Nếu ta gõ lệnh: (-7)^100 kết 3234476509624757991344647769100216810857203198904625400933895331391691459636928060001 - Nếu ta gõ lệnh : N[ (-7)^100] kết 3.23448×1084 Sử dụng lệnh N […] hay //N có trường hợp Mathematica cho ta kết mà phần mềm khác khơng thể tính Ví dụ: Tính √−5 Nếu gõ lệnh (-5)^(1/3) kết quả: Plot[f[x],{x,-2,3}] 10 2 1 5 b Tương tự ta làm sau : Clear[g] g[x_]= 2x^4- 4x^2 - Tập xác định: R −4𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥 -Sự biến thiên: 𝐠𝐠′[𝐱𝐱] −8𝑥𝑥 + 8𝑥𝑥 𝐒𝐒𝐒𝐒𝐒𝐒𝐒𝐒𝐒𝐒[𝐠𝐠′[𝒙𝒙] == 𝟎𝟎, 𝒙𝒙] ta có {{𝑥𝑥 → −1}, {𝑥𝑥 → 0}, {𝑥𝑥 → 1}} g[0] g[1] -2 g[-1] -2 g’’[x] −8 + 24𝑥𝑥 67 tìm nghiệm g’’(x)=0 Solve[g[x]’’==0,x] {{𝑥𝑥 → − g[-1/Sqrt[3]] √3 − g[1/Sqrt[3]] − }, {𝑥𝑥 → 10 √3 }} 10 Ta có bảng biến thiên thể qua đồ thị sau : pdg=Plot[g’[x],{x,-3,3}, DisplayFunction Identity]; pddg=Plot[g’’[x],{x,-3,3}, DisplayFunction Identity ]; Show[GraphicsArray[{pdg,pddg}]] 2 1 20 80 10 60 10 40 20 20 2 nhìn vào đồ thị thị ta biết được: Hàm đồng biến [-1,0] [1,+∞] Hàm nghịch biến trên: [- ,-1] [0,1] điểm cực trị điểm uốn g(x) sau: Điểm cực đại: {0,0} Điểm cực tiểu : {-1,-2} {1,-2} Vẽ đồ thị g(x) Plot[g[x],{x,-2,2}] 68 1 15 10 2 c y= Clear[h] 1 𝑥𝑥 +𝑥𝑥−2 𝑥𝑥+3 h[x_]=(x^2+x-2)/(x+3) -Tập xác định: D= R\{-3} -Sự biến thiên: tính y’: 𝐒𝐒𝐒𝐒𝐒𝐒𝐒𝐒𝐒𝐒𝐒𝐒𝐒𝐒𝐒𝐒[𝒉𝒉′[𝒙𝒙]] + 6𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 (3 + 𝑥𝑥)2 𝐒𝐒𝐒𝐒𝐒𝐒𝐒𝐒𝐒𝐒[𝐒𝐒𝐒𝐒𝐒𝐒𝐒𝐒𝐒𝐒𝐒𝐒𝐒𝐒𝐒𝐒[𝒉𝒉′[𝒙𝒙]] == 𝟎𝟎, 𝒙𝒙] h[-5] {{𝑥𝑥 → −5}, {𝑥𝑥 → −1}} -9 h[-1] -1 Tiệm cận đứng: x=-3 Tiệm cận xiên: ta tính lệnh sau: 𝐋𝐋𝐋𝐋𝐋𝐋𝐋𝐋𝐋𝐋[𝒉𝒉[𝒙𝒙]/𝒙𝒙, 𝒙𝒙 → ∞]𝒙𝒙 + 𝐋𝐋𝐋𝐋𝐋𝐋𝐋𝐋𝐋𝐋[𝒉𝒉[𝒙𝒙] − 𝐋𝐋𝐋𝐋𝐋𝐋𝐋𝐋𝐋𝐋[𝒉𝒉[𝒙𝒙]/𝒙𝒙, 𝒙𝒙 → ∞]𝒙𝒙, 𝒙𝒙 → ∞] Đồ thị biểu diễn bảng biến thiên −2 + 𝑥𝑥 69 𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏[𝒉𝒉′[𝒙𝒙], {𝒙𝒙, −𝟕𝟕, 𝟑𝟑}] 6 4 2 2 4 6 8 10 12 - Vẽ đồ thị hàm y tcx=Plot[x-2,{x,-20,20},DisplayFunction Identity]; dth=Plot[h[x],{x,-20,20},DisplayFunction Identity]; Show[tcx,dth,DisplayFunction $DisplayFunction] 10 20 10 10 20 10 20 Lưu ý: Tiệm cận đứng tự hiển thị lúc ta vẽ đồ thị dạng d y= − x +1 2x − - Tập xác định: D=R\{1/2} Clear[k] k[x_]=(-x+1)/(2x-1) − 𝑥𝑥 −1 + 2𝑥𝑥 70 ta có: 𝐓𝐓𝐓𝐓𝐓𝐓𝐓𝐓𝐓𝐓𝐓𝐓𝐓𝐓𝐓𝐓[𝒌𝒌′[𝒙𝒙]] − (−1 + 2𝑥𝑥)2 Do k’(x) < ∀x nên nghịch biến miền xác định D - Giới hạn tiệm cận: 𝐋𝐋𝐋𝐋𝐋𝐋𝐋𝐋𝐋𝐋[𝒌𝒌[𝒙𝒙], 𝒙𝒙 → ∞] Tiệm cận ngang: y= Tiệm cận đứng: x= − 2 Bảng biến thiên thể đồ thị k’(x) sau: Plot[k’[x],{x,-2,3}] 2 1 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 - Đồ thị k(x) tcn=Plot[-1/2,{x,-5,10}]; dtk=Plot[k[x],{x,-5,10}]; Show[dtk,tcn,DisplayFunction $DisplayFunction] 71 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 4 2 10 Ở chương trình THPT thường sử dụng dạng toán KSHS sau: KSHS Dạng hàm Trùng phương Dạng hàm bậc3 Dạng Bậc 1/Bậc Dạng Bâc 2/Bậc1 Trong chương trình khảo sát hàm số tùy vào tốn, nhìn chung chức thể theo sơ đồ: KHSH Tập xác định Tìm điểm cực trị,điểm uốn(nếu có) KS biến thiên Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến Tìm giới hạn, tiệm cận Vẽ đồ thị Vẽ đồ thị biểu diễn biến thiên 72 Vẽ tiệm cận(nếu có) Vẽ đồ thị hàm số Ta có đoạn chương trình tổng qt cho dạng toán khảo sát hàm số phổ thông sau: - Dạng y= ax3+bx2+cx+d (bậc 3) a=Input["moi nhap vao a= "]; b=Input["moi nhap vao b= "]; c=Input["moi nhap vao c= "]; d=Input["moi nhap vao d= "]; f[x_]=a*x^3+b*x^2+c*x+d; Print["f(x)=",f[x]] Print[" - Tap xac dinh D={R}"] Print["- dao ham bac nhat f'(x)= "] f'[x] delta=4*b*b-12*a*c If[delta >=0, Print["- giai phuong trinh f'[x]=0 ta co nghiem",Union[Solve[f'[x]==0,x]]]; t=Union[Solve[f'[x]==0,x]]; Length[t]; If[Length[n1]0,Print["ham dong bien tren: (- ,",x/.t[[1]],") va (",x/.t[[1]],"+ ∞ )"],Print["nghich bien tren: (- ,",x/.t[[1]],") va 37T (",x/.t[[1]],"+ ∞ )"] 37T ], If[a>0,Print["ham dong bien tren: (-,",x/.t[[1]],") va (",x/.t[[2]],",+ ∞ )"];Print[" ham nghich bien tren 37T (",x/.t[[1]],",",x/.t[[2]],")"],Print["ham nghich bien tren: (- ,",x/.t[[1]],") va (",x/.t[[2]],",+ ∞ )"];Print[" ham dong bien tren (",x/.t[[1]],",",x/.t[[2]],")"] 37T ] ]; 73 For[j=1,j Length[t],j++, If[f''[x/.Part[t,j]]>0, Print[" Ham so dat cuc tieu tai : {",x/.Part[t,j],",",f[x/.t[[j]]],"}"],Print[" Ham so dat cuc dai tai : {",x/.Part[t,j],",",f[x/.t[[j]]],"}"] ] ]," delta