Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 cấp trường năm 2020-2021 có đáp án - Trường THCS Bắc Hồng

Nhằm giúp các bạn học sinh củng cố lại phần kiến thức đã học, biết cấu trúc ra đề thi như thế nào và xem bản thân mình mất bao nhiêu thời gian để hoàn thành đề thi này. Mời các bạn cùng tham khảo Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 cấp trường năm 2020-2021 có đáp án - Trường THCS Bắc Hồng.

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG TRƯỜNG THCS BẮC HỒNG ****************** Năm học 2020-2021 Mơn : TỐN – Lớp (Thời gian 120 phút) PHẦN I: Thí sinh ghi kết vào làm: Câu 1: Giá trị biểu thức: T    29  12 là: Câu 2: Tính giá trị biểu thức N  x2019  3x 2020  x 2021 Với x  52 2  3 2 1 Câu 3: : Cho a b, hai số tự nhiên Biết a chia cho dư b chia cho dư Hỏi tích a b chia cho dư ? Câu 4: Tìm số nguyên dương n để n +1 4n+29 số phương Câu 5: Cho tam giác ABC có AB=1; 𝐴̂ =1050 ; 𝐵̂ =600.Trên cạnh BC lấy điểm E cho BE=1 Vẽ ED//AB(D∈AC) Tính giá trị biểu thức: 𝐴𝐶 + 𝐴𝐷2 Câu 6: Tính diện tích tam giác vng có chu vi 72cm, hiệu dduongf trung tuyến đường cao ứng với cạnh huyền 7cm PHẦN II: Thí sinh trình bày làm vào tờ giấy thi Câu 7: Giải phương trình  3x  x  x    2x =4 Câu 8: Tìm số nguyên x, y thỏa mãn x2 + xy + y2 = x2y2 Câu 9: Cho tam giác ABC vng A, đường cao AH a) Tính AH, BH biết BC = 50 cm AB  AC b) Gọi D E hình chiếu H AB AC Chứng minh rằng: AH3 = BC.BD.CE c) Giả sử BC = 2a độ dài cố định Tính giá trị nhỏ của: BD + CE2 Câu 10: Cho ba số thực x , y , z dương thỏa mãn xy  yz  zx  2xyz  Chứng minh: x2 y y z z x    xyz x 1 y 1 z 1 Hết HƯỚNG DẪN CHẤM THI TOÁN HƯỚNG DẪN CÂU 1 x   (  1)2 = - ( + 1) = -1 với x = -1 ta có N = -1 + + = a chia cho dư nên tồn số tự nhiên m cho a m = + (1) b chia cho dư nên tồn số tự nhiên n cho b n = + (2) Từ (1) (2) suy a b m n 5 5 1 = + + == + + ++ ( )( ) ( mn m n ) Suy a b chia cho dư n = 35 144cm2 Điều kiện x – +  x  Điêm 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 Phương trình tương đương 3x  - x  - x  - 4x + 12 = (*) Xét x < - Thì (*)  - 3x + + ( x – 1) + 4(2x + 3) – 4x + 12 = 0,25 0,5  2x = -28  x = - 14 (Thỏa mãn đk) Xét - ≤ x < Thì (*) 0,25  - 3x + + x – – 4(2x + 3) – 4x + 12 =  x= (Thỏa mãn đk) Xét ≤ x < 0,25 Thì (*)  - 3x + – (x -1) – 4(2x + 3) – 4x + 12 = 0,25  x= (loại) Xét x ≥ Thì (*)  3x – – (x – 1) – 4(2x + 3) – 4x + 12 = 0,25 x = - (Loại) 0,25   2 7 Vậy phương trình có nghiệm x   14;  Ta có x2 + xy + y2 = x2y2  (x + y)2 = xy(xy + 1) 0,25  xy  + Nếu x + y =  xy(xy + 1) =    xy  1 0,25 Với xy = Kết hợp với x + y =  x = y = x   x  1   y  1 y  Với xy = -1 Kết hợp với x + y =   0,25 + Nếu x + y   (x + y)2 số phương xy(xy + 1) hai số nguyên liên tiếp khác nên chúng nguyên tố Do khơng thể số phương 0,25 Vậy nghiệm ngun phương trình (x; y) = (0; 0); (1; -1); (-1; 1) A 9a E D B H C AB AB AC    k  AB = 3k, AC = 4k  AC 4  (3k)2 + (4k)2 = 502  k2 = 100  k = 10  AB = 30 cm, AC = 40 cm 9b 9c Áp dụng hệ thức cạnh đường cao tam giác vng ta có AB.AC = AH.BC  30.40 = AH.50  AH = 24cm AB2 = BH.BC  302 = BH 50  BH = 18 cm Áp dụng hệ thức cạnh đường cao tam giác vng ta có AH2 = BH.CH  AH4 = BH2.CH2 = BD.AB.CE.AC=(BD.CE)(AB.AC) = (BD.CE).(AH.BC)  AH3 = BC.BD.CE Áp dụng định lí Pytago ta có: BD2 + CE2 = BH2 – HD2 + HC2 – HE2 = BH2 + HC2 – ( HD2 +HE2 ) = (AB2 – AH2 )+ (AC2 – AH2 ) – AH2 = (AB2 + AC2 ) – 3AH2 = BC2 – 3AH2 = 4a2 – 3AH2 Gọi O trung điểm BC ta có AH  AO = a nên BD2 + CE2  4a2 – 3a2 = a2 Dấu = xẩy H trùng O   ABC vuông cân A 1 Vậy GTNN BD2 + CE2 a2  ABC vuông cân A 10  xy  yz  zx  x2 y y2 z2 z x2    Xét VT  xy  y yz  z xz  x xy  yz  zx  x  y  z 1 0.25 0,25 Ta có xy  yz  zx  3 x y z Đặt t  xy  yz  zx , từ giả thiết có: 1  t   xy  yz  zx  4t 3  4x y z  t 27 2 Thay vào giả thiết được: xyz    xy  yz  zx   0,25 0.25 1 hay xyz  Do xy  yz  zx  xyz 0.25   xy  yz  zx   xyz  xy  yz  zx  0,25  2 Mặt khác:  xy  yz  zx    xy yz  yz.zx  zx.xy    xy  yz  zx   xyz  x  y  z   3 Cộng vế    3 có:  xy  yz  zx   xyz  xy  yz  zx  x  y  z   4 Kết hợp 1   ta có điều phải chứng minh Dấu xảy x  y  z  Lưu ý: Mọi cách giải khác cho điểm tối đa 0.25 0,25 ... tương đương 3x  - x  - x  - 4x + 12 = (*) Xét x < - Thì (*)  - 3x + + ( x – 1) + 4(2x + 3) – 4x + 12 = 0,25 0,5  2x = -2 8  x = - 14 (Thỏa mãn đk) Xét - ≤ x < Thì (*) 0,25  - 3x + + x – –...HƯỚNG DẪN CHẤM THI TOÁN HƯỚNG DẪN CÂU 1 x   (  1)2 = - ( + 1) = -1 với x = -1 ta có N = -1 + + = a chia cho dư nên tồn số tự nhiên m cho a m = + (1)... trình (x; y) = (0; 0); (1; -1 ); (-1 ; 1) A 9a E D B H C AB AB AC    k  AB = 3k, AC = 4k  AC 4  (3k)2 + (4k)2 = 502  k2 = 100  k = 10  AB = 30 cm, AC = 40 cm 9b 9c Áp dụng hệ thức cạnh đường