Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 8 cấp huyện năm 2020-2021 có đáp án - Trường THCS Trung Nguyên dành cho các bạn học sinh lớp 8 và quý thầy cô tham khảo giúp các bạn học sinh có thêm tài liệu chuẩn bị ôn tập cho kì thi sắp tới được tốt hơn cũng như giúp quý thầy cô nâng cao kỹ năng biên soạn đề thi của mình. Mời các thầy cô và các bạn tham khảo.
PHÒNG GD&ĐT YÊN LẠC TRƯỜNG THCS TRUNG NGUYÊN ĐỀ KSCL ĐT HSG CẤP HUYỆN MƠN: TỐN NĂM HỌC 2020-2021 (Thời gian làm bài: 120 phút không kể thời gian giao đề) Ngày khảo sát 30/3/2021 Thí sinh khơng sử dụng máy tính cầm tay Câu (3,0 điểm) x2 2x 2x2 a) Cho biểu thức A Tìm giá trị nguyên x 2x 8 4x 2x x x x để A có giá trị nguyên b) Cho x, y, z đôi khác thỏa mãn x + y + z = Tính giá trị biểu thức: B= ( xy z )( yz x )( zx y ) (2 xy yz zx xyz ) Câu (2,5 điểm) a) Giải phương trình nghiệm nguyên: x xy 2014 x 2015 y 2016 b) Cho số nguyên a, b, c thỏa mãn 2a + b, 2b + c, 2c + a số phương Biết ba số phương chia hết cho Chứng minh rằng: P a b b c c a chia hết cho 81 3 Câu (1,0 điểm) Cho ba số a, b, c thỏa mãn a Chứng minh rằng: 4 , b , c a + b + c = 3 a b c + + a +1 b +1 c +1 Câu (2,5 điểm) Cho O trung điểm đoạn thẳng AB Trên nửa mặt phẳng có bờ AB vẽ tia Ax, By vng góc với AB Trên tia Ax lấy điểm C (khác A), qua O kẻ đường thẳng vng góc với OC cắt tia By D a) Chứng minh AB CA = 4BD AB b) Kẻ OM vuông góc với CD M, từ M kẻ MH vng góc với AB H Chứng minh BC qua trung điểm MH c) Tìm vị trí điểm C tia Ax để diện tích tứ giác ABDC nhỏ Câu (1,0 điểm) Năm vận động viên mang số 1; 2; 3; chia cách thành hai nhóm Chứng tỏ hai nhóm ta ln có hai vận động viên mà hiệu số họ mang trùng với số mà người nhóm mang –––––– Hết –––––– Cán coi thi khơng giải thích thêm PHÒNG GD&ĐT YÊN LẠC TRƯỜNG THCS TRUNG NGUYÊN HDC ĐỀ KSCL ĐT HSG CẤP HUYỆN MƠN: TỐN NĂM HỌC 2020-2021 Ngày khảo sát 30/3/2021 Hướng dẫn chung : - Hướng dẫn chấm trình bày ý bản, học sinh có cách giải khác mà Giám khảo cho điểm không vượt thang điểm ý - Câu hình học, học sinh khơng vẽ hình vẽ hình sai khơng chấm điểm - Tổng điểm tồn tổng điểm câu khơng làm trịn Đáp án thang điểm Câu Phần Thang điểm Nội dung x x ĐK: 0,25 x2 x x2 1 2 2x 8 4x 2x x x x Ta có A a x2 x x x 2x2 2 x2 2( x 4) 4(2 x) x (2 x) x2 2x ( x 1)( x 2) x( x 2) x ( x 1)( x 2) x2 2 x2 x2 2( x 2)( x 4) 2( x 4) ( x 4)(2 x) x x x x x x( x 4)( x 1) x 2( x 4) x x ( x 4) 2x Nhận xét : A nguyên x+1 chia hết cho 2x => 2x +2 chia hết cho 2x => chia hết cho 2x => 2x ước 1 (loại) TH2: 2x = -1 => x =- (loại) 0,25 0,25 0,5 0,25 TH1: 2x = => x = b TH3: 2x = => x = (thỏa mãn) TH4: 2x = -2 => x =-1 (thỏa mãn) KL: Vậy x = A có giá trị nguyên Ta có: x + y + z = => x + y = -z Do đó: xy z = xy z z ( x y ) = (z - x)(z - y) Tương tự : yz x =(x - y)(x - z) zx y =(y - z)(y - x) => Tử số B : - ( x y ) ( y z ) ( z x)2 Hs cm : xy yz zx 3xyz =(x-y)(y-z)(z-x) => mẫu số B : ( x y )( y z )( z x) Vậy B = -1 0,5 0,5 0,25 0,25 a x xy 2014 x 2015 y 2016 x xy x 2015 x 2015 y 2015 x( x y 1) 2013( x y 1) ( x 2015)( x y 1) x 2015 x 2016 ) ; x y y 2016 x 2015 1 x 2014 ) x y 1 y 2016 x 2016 x 2014 KL : Vậy phương trình có nghiệm : ; y 2016 y 2016 -Vì số 2a+b, 2b+c, 2c+a số phương nên số chia dư - Chứng minh x+y+z=0 x3+y3+z3=3xyz b Vì số có số chia hết cho (2a+b)+(2b+c)+(2c+a)=3(a+b+c) nên suy số chia hết cho Mặt khác : 2a+b=3a-(a-b) a-b Tương tự chứng minh b-c, c-a chia hết cho Suy ra: (a-b)(b-c)(c-a) 27 Vì: (a-b)+(b-c)+(c-a)=0 nên P=(a-b)3+(b-c)3+(c-a)3 =3(a-b)(b-c)(c-a) 3.27 81 (3a 4)(a 2) 3a 16a 28a 16 25a 16a 16 3a 3a 25a (a 1)(16 3a) (*) 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Vì a 0,5 a 16 3a a 1 25 b 16 3b c 16 3c Tương tự ta có : ; b 1 25 c 1 25 a b c 48 3(a b c) 30 Do : a 1 b 1 c 1 25 25 Dấu “=” xảy a=b=c=2 a b c Vậy a 1 b 1 c 1 Chia hai vế (*) cho 25( a ) ta y x D I M C A K H O B 0,25 0,25 Chứng minh: ΔOAC∽ΔDBO (g-g) a 0,5 OA AC OA.OB AC.BD DB OB AB AB AB CA (đpcm) AC.BD 2 4BD AB 0,25 0,25 Theo câu a ta có: ΔOAC∽ΔDBO (g-g) OC AC OD OB Mà OA OB OC AC OC OD OD OA AC OA 0,25 +) Chứng minh: ΔOAC∽ΔDOC (c-g-c) ACO OCM 0,25 +) Chứng minh: ΔOAC=ΔOMC (ch -gn) AC MC Ta có ΔOAC=ΔOMC OA OM; CA CM OC trung trực AM b OC AM, Mặc khác OA = OM = OB ∆AMB vuông M OC // BM (vì vng góc AM) hay OC // BI +) Xét ∆ABI có OM qua trung điểm AB, song song BI suy OM qua trung điểm AI IC = AC 0,25 +) MH // AI theo hệ định lý Ta-lét ta có: MK BK KH IC BC AC Mà IC = AC MK = HK BC qua trung điểm MH (đpcm) 0,25 Tứ giác ABDC hình thang vng SABDC (AC BD).AB Ta thấy AC, BD > 0, nên theo BĐT Cơ-si ta có c AB AB SABDC AB2 Dấu “=” xảy AC BD AB OA AC BD AC.BD 0,25 Vậy C thuộc tia Ax cách điểm A đoạn OA diện tích tứ giác ABDC nhỏ Ta chia số 1; 2; 3; 4; thành hai nhóm cho nhóm hiệu hai số không trùng với số nhóm Ta có hai số khơng thể nhóm 4-2=2 Số khơng thể nhóm với số 2-1=1 Như số phải nhóm với số Số 4-1=3 phải nhóm với số Ta có hai số nhóm; hai số nhóm cịn lại Nhưng cịn lại số 5, số khơng thể nhóm 5-1=4 5-2=3(Mâu thuẫn).Từ suy điều phải chứng minh Hết 0,25 0,5 0,5 ... khác : 2a+b=3a-(a-b) a-b Tương tự chứng minh b-c, c-a chia hết cho Suy ra: (a-b)(b-c)(c-a) 27 Vì: (a-b)+(b-c)+(c-a)=0 nên P=(a-b)3+(b-c)3+(c-a)3 =3(a-b)(b-c)(c-a) 3.27 81 (3a 4)(a... GD&ĐT YÊN LẠC TRƯỜNG THCS TRUNG NGUYÊN HDC ĐỀ KSCL ĐT HSG CẤP HUYỆN MƠN: TỐN NĂM HỌC 202 0-2 021 Ngày khảo sát 30/3/2021 Hướng dẫn chung : - Hướng dẫn chấm trình bày ý bản, học sinh có cách giải... -2 => x =-1 (thỏa mãn) KL: Vậy x = A có giá trị nguyên Ta có: x + y + z = => x + y = -z Do đó: xy z = xy z z ( x y ) = (z - x)(z - y) Tương tự : yz x =(x - y)(x - z) zx y =(y -