200 bai lien quan KSHS LTDH nam 2012

Tìm đièu kiện để đồ thị (C) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương... Tìm đièu kiện để đồ thị (C) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ âm..[r]

(1)

TRẦN SĨ TÙNG ›š & ›š

TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG

(2)

KSHS 01: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ A Kiến thức

Giả sử hàm số y f x= ( ) có tập xác định D

· Hàm số f đồng biến D Û yÂ " ẻ0, x D v yÂ =0 ch xảy số hữu hạn điểm thuộc D

· Hàm số f nghịch biến D Û yÂ Ê " ẻ0, x D v yÂ =0 ch xảy số hữu hạn điểm thuộc D

· Nếu y'=ax2+bx c a+ ( ¹0) thì: + y' 0,³ " Ỵ Û í £x R ì >aD 00

ỵ +

a y' 0,£ " Ỵ Û í £x R ì <D 00

ỵ · Định lí dấu tam thức bậc hai g x( )=ax2+bx c a+ ( ¹0): + Nếu D < g x( ) ln dấu với a

+ Nếu D = g x( ) dấu với a (trừ x b a = - )

+ Nếu D > g x( ) có hai nghiệm x x1, 2 khoảng hai nghiệm g x( ) khác dấu với a, ngồi khoảng hai nghiệm g x( ) dấu với a

· So sánh nghiệm x x1, 2 tam thức bậc hai g x( )=ax2+bx c+ với số 0:

+ x x P

S

0

0 D ì ³ ï £ < Ûí >

ï < ỵ

+ x x P

S

0

0 D ì ³ ï < £ Ûí >

ï > ỵ

+ x1< <0 x2Û <P ·

a b

g x m x a b g x m

( ; )

( )£ ," Ỵ( ; )Ûmax ( )£ ;

a b

g x m x a b g x m

( ; ) ( )³ ," Ỵ( ; )Ûmin ( )³ B Một số dạng câu hỏi thường gặp

1 Tìm điều kiện để hàm số y f x= ( ) đơn điệu tập xác định (hoặc khoảng xác định)

· Hàm số f đồng biến trờn D yÂ " ẻ0, x D v y¢ =0 xảy số hữu hạn điểm thuộc D

· Hàm số f nghịch biến trờn D yÂ Ê " ẻ0, x D v y¢ =0 xảy số hữu hạn điểm thuộc D

· Nếu y'=ax2+bx c a+ ( ¹0) thì: + y' 0,³ " Ỵ Û í £x R ì >aD 00

ỵ +

a y' 0,£ " Ỵ Û í £x R ì <D 00

ỵ

2 Tìm điều kiện để hàm số y f x= ( )=ax3+bx2+cx d+ đơn điệu khoảng ( ; )a b Ta có: y¢= f x¢( ) 3= ax2+2bx c+

a) Hàm số f đồng biến ( ; )a b Û yÂ " ẻ0, x ( ; )a b v y¢ =0 xảy số hữu hạn điểm thuộc ( ; )a b

Trường hợp 1:

· Nếu bất phương trình f x¢( ) 0³ Ûh m( )³g x( ) (*) f đồng biến ( ; )a b Û h m g x

( ; ) ( ) max ( )³

(3)

· Nếu bất phương trình f x¢( ) 0³ Ûh m( )£g x( ) (**) f đồng biến ( ; )a b Û h m g x

( ; ) ( ) ( )£

a b

Trường hợp 2: Nếu bất phương trình f x¢( ) 0³ khơng đưa dạng (*) đặt t x= -a Khi ta có: y g t¢ = ( ) 3= at2+2(3aa+b t) 3+ aa2+2ba+c

– Hàm số f đồng biến khoảng ( ; )-¥a Û g t( ) 0,³ " <t Û

a a

S P

0

0 D D

ì > ïï ì > Ú > í £ í >

ỵ ï

³ ïỵ – Hàm số f đồng biến khoảng ( ;a +¥) Û g t( ) 0,³ " >t Û

a a

S P

0

0 D D

ì > ïï ì > Ú > í £ í <

ỵ ï

³ ïỵ

b) Hàm số f nghịch biến ( ; )a b yÂ " ẻ0, x ( ; )a b y¢ =0 xảy số hữu hạn điểm thuộc ( ; )a b

Trường hợp 1:

· Nếu bất phương trình f x¢( ) 0£ Ûh m( )³g x( ) (*) f nghịch biến ( ; )a b Û h m g x

( ; ) ( ) max ( )³

a b · Nếu bất phương trình f x¢( ) 0³ Ûh m( )£g x( ) (**) f nghịch biến ( ; )a b Û h m g x

( ; ) ( ) ( )£

a b

Trường hợp 2: Nếu bất phương trình f x¢( ) 0£ khơng đưa dạng (*) đặt t x= -a Khi ta có: y g t¢ = ( ) 3= at2+2(3aa+b t) 3+ aa2+2ba+c

– Hàm số f nghịch biến khoảng ( ; )-¥a Û g t( ) 0,£ " <t Û

a a

S P

0

0 D D

ì < ïï ì < Ú > í £ í >

ỵ ï

³ ïỵ – Hàm số f nghịch biến khoảng ( ;a +¥) Û g t( ) 0,£ " >t Û

a a

S P

0

0 D D

ì < ïï ì < Ú > í £ í <

ỵ ï

³ ïỵ

3 Tìm điều kiện để hàm số y f x= ( )=ax3+bx2+cx d+ đơn điệu khoảng có độ dài bằng k cho trước

· f đơn điệu khoảng ( ; )x x1 2 Û y¢ =0 có nghiệm phân biệt x x1 2, Û ì ¹í >aD 00 ỵ (1) · Biến đổi x1-x2 =d thành (x1+x2)2-4x x1 2=d2 (2)

· Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m · Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm 4 Tìm điều kiện để hàm số y ax bx c a d

dx e

(2), ( , 0) + +

= ¹

+ a) Đồng biến ( ; )-¥a

(4)

c) Đồng biến ( ; )a b Tập xác định: D R e d \ì- ü

= ý

ợ ỵ, ( ) ( )

adx aex be dc f x y

dx e dx e

2

2 ( )

'= + + - =

+ +

5 Tìm điều kiện để hàm số y ax bx c a d dx e

2

(2), ( , 0) + +

= ¹

+ a) Nghịch biến ( ; )-¥a b) Nghịch biến ( ;a +¥) c) Nghịch biến ( ; )a b Tập xác định: D R e

d \ì- ü

= í ý

ợ ỵ, ( ) ( )

adx aex be dc f x y

dx e dx e

2

2 ( )

'= + + - =

+ +

Trường hợp Trường hợp

Nếu: f x( ) 0³ Ûg x( )³h m i( ) ( ) Nếu bpt:f x( ) 0³ không đưa dạng (i) ta đặt: t x= -a

Khi bpt:f x( ) 0³ trở thành: g t( ) 0³ , với: g t( )=adt2+2 (a da+e t ad) + a2+2aea+be dc- a) (2) đồng biến khoảng ( ; )-¥a

e d

g x( ) h m( ), x a

a

ì-ï ³ Û í

ï ³ " < ỵ

e d

h m g x

( ; ] ( ) ( )

a a -¥ ì- ³ ï Û í £ ï ỵ

a) (2) đồng biến khoảng ( ; )-¥a e

d

g t( ) 0, t ( )ii a

ì-ï ³ Û í

ï ³ " < ỵ a a ii S P 0

( ) 0 0

0 ì > ïï ì > D >

Ûí Ú í

D £ >

ỵ ï

³ ïỵ

b) (2) đồng biến khoảng ( ;a +¥)

e d

g x( ) h m( ), x a

a

ì-ï £ Û í

ï ³ " > ỵ

e d

h m g x

[ ; ) ( ) ( )

a a +¥ ì- £ ï Û í £ ï ỵ

b) (2) đồng biến khoảng ( ;a +¥) e

d

g t( ) 0, t ( )iii a

ì-ï £ Û í

ï ³ " > ỵ a a iii S P 0

( ) 0 0

0 ì > ïï ì > D > ÛíD £ Ú í <

ỵ ï

³ ïỵ c) (2) đồng biến khoảng ( ; )a b

( ) e

d

g x h m x ; ( ) ( ), ( ; ) a b a b ì-ï Ï Û í

ù " ẻ ợ

( ) e

d

h m g x

[ ; ] ;

(5)

Trường hợp Trường hợp

Nếu f x( ) 0£ Ûg x( )³h m i( ) ( ) Nếu bpt:f x( ) 0³ khơng đưa dạng (i) ta đặt: t x= -a

Khi bpt:f x( ) 0£ trở thành: g t( ) 0£ , với: g t( )=adt2+2 (a da+e t ad) + a2+2aea+be dc- a) (2) nghịch biến khoảng ( ; )-¥a

e d

g x( ) h m( ), x a

a

ì-ï ³ Û í

ï ³ " < ỵ

e d

h m g x

( ; ] ( ) ( )

a a

-¥

ì- ³ ï Û í

£ ï ỵ

a) (2) đồng biến khoảng ( ; )-¥a e

d

g t( ) 0, t ( )ii a

ì-ï ³ Û í

ï £ " < ỵ

a a

ii S

P

0

( ) 0 0

0 ì < ïï ì < D >

Ûí Ú í

D £ >

ỵ ï

³ ïỵ

b) (2) nghịch biến khoảng ( ;a +¥)

e d

g x( ) h m( ), x a

a

ì-ï £ Û í

ï ³ " > ỵ

e d

h m g x

[ ; ) ( ) ( )

a a

+¥

ì- £ ï Û í

£ ï ỵ

b) (2) đồng biến khoảng ( ;a +¥) e

d

g t( ) 0, t ( )iii a

ì-ï £ Û í

ï £ " > ỵ

a a

iii S

P

0

( ) 0 0

0 ì < ïï ì < D >

Ûí Ú í

D £ <

ỵ ï

³ ïỵ c) (2) đồng biến khoảng ( ; )a b

( ) e

d

g x h m x ;

( ) ( ), ( ; ) a b

a b

ỡ-ù ẽ

ù " ẻ ợ

( ) e

d

h m g x

[ ; ] ;

( ) ( ) a b a b ì- Ï ï Û í

(6)

Câu 1. Cho hàm số y ( 1)m x3 mx2 (3m 2)x

= - + + - (1)

1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) m=2

2) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số (1) đồng biến tập xác định · Tập xác định: D = R y¢=(m-1)x2+2mx+3m-2

(1) đồng biến R Û y¢³ "0, x Û m³2

Câu 2. Cho hàm số y x= 3+3x2-mx-4 (1)

1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m=0

2) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số (1) đồng biến khoảng ( ;0)-¥ · Tập xác định: D = R y¢=3x2+6x m- y¢ có D¢ =3(m+3)

+ Nếu m£ -3 DÂ Ê0 ị yÂ "0, x ị hm s đồng biến R Þ m£ -3 thoả YCBT + Nu m> -3 thỡ DÂ >0 ị PT yÂ =0 có nghiệm phân biệt x x x1 2, ( 1<x2) Khi hàm số đồng biến khoảng ( ; ),( ;-¥ x1 x2 +¥)

Do hàm số đồng biến khoảng ( ;0)-¥ Û 0£x1<x2 Û P S

0 0 DÂ ỡ > ù

ù > ợ

Û mm 30 ì > -ï

- ³ í ï- > ỵ

(VN) Vậy: m£ -3

Câu 3. Cho hàm số y=2x3-3(2m+1)x2+6 (m m+1)x+1 có đồ thị (Cm)

1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = 2) Tìm m để hàm số đồng biến khoảng (2;+¥)

· Tập xác định: D = R y' 6= x2-6(2m+1)x+6 (m m+1) có D=(2m+1)2-4(m2+m) 0= > x m

y' 0= Û ê = +é =x m 1

ë Hàm số đồng biến khoảng ( ; ), (-¥ m m+ +¥1; ) Do đó: hàm số đồng biến (2;+¥ Û) m+ £1 2Û m£1

Câu 4. Cho hàm sốy x= 3+ -(1 )m x2+ -(2 m x m) + +2

1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m = 2) Tìm m để hàm đồng biến khoảng K=(0;+¥)

· Hàm đồng biến (0;+Ơ) yÂ=3x2+2(1 )- m x+ -(2 m) 0 vi " ẻx ( ;0 +Ơ)

f x x m

x x 2 ( )

4 +

Û = ³

+ +

với " ẻx ( ;0 +Ơ)

Ta cú: f x x x x x x x

x

2

6(2 1) 1

( )

(4 1) 1;

¢ = + - = Û + - = = - =

+ Û

Lập BBT hàm f x( ) (0;+¥), từ ta đến kết luận: f m m

2

ổ

ỗ ữ

è ø

Câu hỏi tương tự:

a) y ( 1) (2 1)m x3 m x2 3(2m 1)x

= + - - + - + (mạ -1), K = -Ơ -( ; 1). ĐS: m 11 ³ b) y ( 1) (2 1)m x3 m x2 3(2m 1)x

3

= + - - + - + (mạ -1), K =(1;+Ơ). S: m0 c) y ( 1) (2 1)m x3 m x2 3(2m 1)x

3

(7)

Câu 5. Cho hàm số y (m2 1)x3 (m 1)x2 2x

= - + - - + (1) (m¹ ±1) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m = 2) Tìm m để hàm nghịch biến khoảng K= -¥( ;2)

· Tập xác định: D = R; y¢ =(m2-1)x2+2(m-1)x -2

Đặt t x= –2ta được: y g t¢ = ( ) (= m2-1)t2+(4m2+2m-6)t+4m2+4m-10 Hàm số (1) nghịch biến khoảng ( ;2)-¥ Ûg t( ) 0,£ " <t

TH1: ì <íD £a 00

ỵ Û

m

m m

2

3

ìï - < í

- - £

ïỵ TH2:

a S P

0 0 ì < ïïD > í > ï

³ ïỵ

Û m

m m

2 2

1

3

4 10

2 3 0

1 ì - < ï

- - > ïï

í + - £

ï -ï >

ï +

ỵ Vậy: Với m

3 - £ <

hàm số (1) nghịch biến khoảng ( ;2)-¥

Câu 6. Cho hàm số y (m2 1)x3 (m 1)x2 2x

= - + - - + (1) (m¹ ±1) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m = 2) Tìm m để hàm nghịch biến khoảng K=(2;+¥)

· Tập xác định: D = R; y¢ =(m2-1)x2+2(m-1)x -2

Đặt t x= –2ta được: y g t¢ = ( ) (= m2-1)t2+(4m2+2m-6)t+4m2+4m-10 Hàm số (1) nghịch biến khoảng (2;+¥)Ûg t( ) 0,£ " >t

TH1: ì <íD £a 00

ỵ Û

m

m m

2

3

ìï - < í

- - £

ïỵ TH2:

a S P

0 0 ì < ïïD > í < ï

³ ïỵ

Û m

m m

2 2

1

3

4 10

2 3 0

1 ì - < ï

- - > ïï

í + - £

ï -ï <

ï +

ỵ Vậy: Với - < <1 m 1 hàm số (1) nghịch biến khoảng (2;+¥)

Câu 7. Cho hàm số y x= 3+3x2+mx m+ (1), (m tham số) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = 2) Tìm m để hàm số (1) nghịch biến đoạn có độ dài · Ta có y' 3= x2+6x m+ có D¢ = -9 3m

+ Nếu m ≥ thỡ yÂ " ẻ0, x R ị hm số đồng biến R Þ m ≥ khơng thoả mãn

+ Nếu m < y¢ =0 có nghiệm phân biệt x x x1 2, ( 1<x2) Hàm số nghịch biến đoạn x x1 2;

é ù

ë û với độ dài l x= 1-x2 Ta có: x1+x2 = -2;x x1 2=m3 YCBT Û l=1 Û x1-x2 =1 Û (x1+x2)2-4x x1 2=1 Û m

4 =

Câu 8. Cho hàm số y= -2x3+3mx2-1 (1)

1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m =

2) Tìm giá trị m để hàm số (1) đồng biến khoảng ( ; )x x1 2 với x2-x1=1 · y'= -6x2+6mx, y' 0= Û = Ú =x x m

(8)

+ Nu mạ0, yÂ " ẻ0, x (0; )m m>0 hoc yÂ " ẻ0, x ( ;0)m khi m<0 Vậy hàm số đồng biến khoảng ( ; )x x1 2 với x2-x1=1

Û x xx x1 mm

( ; ) (0; ) ( ; ) ( ;0)

é =

ê =

ë x2-x1=1 Û

m m

m0 1

0

é - = Û = ± ê - =

ë

Câu 9. Cho hàm số y x= 4-2mx2-3m+1 (1), (m tham số) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = 2) Tìm m để hàm số (1) đồng biến khoảng (1; 2)

· Ta có y' 4= x3-4mx=4 (x x2-m)

+ mÊ0, yÂ " ẻ +Ơ0, x (0; ) ị m£0 thoả mãn + m>0, y¢=0 có nghiệm phân biệt: - m m, 0,

Hàm số (1) đồng biến (1; 2) Û m£ < Ê1 m 1 Vy mẻ -Ơ û( ;1ù Câu hỏi tương tự:

a) Với y x= 4-2(m-1)x2+ -m 2; y đồng biến khoảng (1;3) ĐS: m£2

Câu 10. Cho hàm số y mx x m

4 + =

+ (1)

1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m= -1

2) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số (1) nghịch biến khoảng ( ;1)-¥ · Tập xác định: D = R \ {–m} y m

x m

2

( )

-¢=

+

Hàm số nghịch biến khoảng xác định Û y¢< Û - < <0 m 2 (1) Để hàm số (1) nghịch biến khoảng( ;1)-¥ thì ta phải có - ³ Û £ -m m 1 (2) Kết hợp (1) (2) ta được: - < £ -2 m 1

Câu 11. Cho hàm số y x x m x

2 (2).

1 - + =

-

Tìm m để hàm số (2) đồng biến khoảng ( ; 1)-¥ - · Tập xác định: D R {= \ 1} y x x m f x

x x

2

2 ( )

'

( 1) ( 1)

- +

-= =

-

-Ta có: f x( ) 0³ Û £m 2x2-4x+3 Đặt g x( ) 2= x2-4x+3 Þg x'( ) 4= x-4 Hàm số (2) đồng biến ( ; 1)-¥ - y x m g x

( ; 1] ' 0, ( ; 1) ( )

¥

-Û ³ " ẻ -Ơ - Ê Da vo BBT ca hm s g x( )," ẻ -Ơ -x ( ; 1] ta suy m£9 Vậy m£9thì hàm số (2) đồng biến ( ; 1)¥

-Câu 12. Cho hàm số y x x m x

2 (2).

1 - + =

-

Tìm m để hàm số (2) đồng biến khoảng (2;+¥) · Tập xác định: D R {= \ 1} y x x m f x

x x

2

2 ( )

'

( 1) ( 1)

- +

-= =

-

-Ta có: f x( ) 0³ Û £m 2x2-4x+3 Đặt g x( ) 2= x2-4x+3 Þg x'( ) 4= x-4 Hàm số (2) đồng biến (2;+¥) y x m g x

[2; ) ' 0, (2; ) ( )

+¥

(9)

Dựa vào BBT ca hm s g x( )," ẻ -Ơ -x ( ; 1] ta suy m£3 Vậy m£3 hàm số (2) đồng biến (2;+¥)

Câu 13. Cho hàm số y x x m x

2 (2).

1 - + =

-

Tìm m để hàm số (2) đồng biến khoảng (1;2) · Tập xác định: D R {= \ 1} y x x m f x

x x

2

2 ( )

'

( 1) ( 1)

- +

-= =

-

-Ta có: f x( ) 0³ Û £m 2x2-4x+3 Đặt g x( ) 2= x2-4x+3 Þg x'( ) 4= x-4 Hàm số (2) đồng biến (1;2) y x m g x

[1;2] ' 0, (1;2) ( ) Û ³ " Ỵ Û £

Dựa vào BBT ca hm s g x( )," ẻ -Ơ -x ( ; 1] ta suy m£1 Vậy m£1 hàm số (2) đồng biến (1;2)

Câu 14. Cho hàm số y x mx m m x

2 2 3

(2)

- +

=

-

Tìm m để hàm số (2) nghịch biến khoảng ( ;1)-¥ · Tập xác định: D R { m}= \ y x mx m f x

x m x m

2

4 ( )

'

( ) ( )

- +

-= =

- - Đặt t x= -1 Khi bpt:f x( ) 0£ trở thành: g t( )= - -t2 2(1 )- m t m- 2+4m- £1

Hàm số (2) nghịch biến ( ;1)-¥ Ûy' 0,Ê " ẻ -Ơx ( ;1) ớỡ2g t( ) 0,m>1 t 0 ( )i £ " < ỵ

i S

P '

'

( ) 0

0 éD = êìD > ê Û ï >êí

ï ³ êỵ ë

m m

m m2 m

0

4

4 é =

êì ¹ ê

Û ï - > í

ê ï

êỵ - + ³ ë

m m

0 é = Û ê ³ +

ë

Vậy: Với m³ +2 3thì hàm số (2) nghịch biến ( ;1)-¥

Câu 15. Cho hàm số y x mx m m x

2 2 3

(2)

- +

=

-

Tìm m để hàm số (2) nghịch biến khoảng (1;+¥) · Tập xác định: D R { m}= \ y x mx m f x

x m x m

2

4 ( )

'

( ) ( )

- +

-= =

- - Đặt t x= -1 Khi bpt:f x( ) 0£ trở thành: g t( )= - -t2 2(1 )- m t m- 2+4m- £1

Hàm số (2) nghch bin trờn (1;+Ơ) y' 0,Ê " ẻ +Ơ íx (1; ) ì2g t( ) 0,m<1 t 0 ( )ii £ " > ỵ

ii S

P '

'

( ) 0

0 éD = êìD > ê Û ï <êí

ï ³ êỵ ë

m m

m m2 m

0

4

4 é =

êì ¹ ê

Û ï - < í

ê ï

êỵ - + ³ ë

m

Û £

(10)

KSHS 02: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Dạng 1: Cực trị hàm số bậc 3: y f x= ( )=ax3+bx2+cx d+ A Kiến thức bản

· Hàm số có cực đại, cực tiểu Û phương trình y¢ =0 có nghiệm phân biệt · Hoành độ x x1 2, điểm cực trị nghiệm phương trình y¢ =0

· Để viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu, ta sử dụng phương pháp tách đạo hàm

– Phân tích y f x q x= ¢( ) ( )+h x( ) – Suy y1=h x y( ),1 2=h x( )2

Do phương trình đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu là: y h x= ( ) · Gọi a góc hai đường thẳng d y k x b d y k x b1: = 1 + 1, 2: = 2 + 2 k k

k k

1

tan

-=

+

a

B Một số dạng câu hỏi thường gặp

Gọi k hệ số góc đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu

1 Tìm điều kiện để đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu song song (vuông góc) với đường thẳng d y px q: = + .

– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu

– Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu – Giải điều kiện: k p= (hoặc k

p

1 = - )

2 Tìm điều kiện đểđường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu tạo với đường thẳng

d y px q: = + góc a

– Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu – Giải điều kiện: k p

kp tan

1 - =

+ a (Đặc biệt dº Ox, giải điều kiện: k =tana ) 3 Tìm điều kiện đểđường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu cắt hai trục Ox, Oy

tại hai điểm A, B cho DIAB có diện tích S cho trước (với I điểm cho trước).

– Viết phương trình đường thẳng Dđi qua điểm cực đại, cực tiểu – Tìm giao điểm A, B D với trục Ox, Oy

– Giải điều kiện SDIAB =S

4 Tìm điều kiện đểđồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B cho DIAB có diện tích S cho trước (với I điểm cho trước)

– Viết phương trình đường thẳng Dđi qua điểm cực đại, cực tiểu – Giải điều kiện SDIAB =S

5 Tìm điều kiện đểđồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B đối xứng qua đường thẳng d

cho trước.

– Viết phương trình đường thẳng Dđi qua điểm cực đại, cực tiểu – Gọi I trung điểm AB

– Giải điều kiện: ì ^í ỴI dD d

ỵ

5 Tìm điều kiện đểđồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B cách đường thẳng d cho trước.

(11)

– Giải điều kiện: d A d( , )=d B d( , )

6 Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B khoảng cách hai

điểm A, B lớn (nhỏ nhất).

– Tìm toạđộ điểm cực trị A, B (có thể dùng phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị)

– Tính AB Dùng phương pháp hàm sốđể tìm GTLN (GTNN) AB

7 Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu hoành độ điểm cực trị thoả hệ

thức cho trước.

– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu – Phân tích hệ thức để áp dụng định lí Vi-et

8 Tìm điều kiện để hàm số có cực trị khoảng K1= -¥( ; )a K2 =( ;a +¥).

y'= f x( ) 3= ax2+2bx c+

Đặt t x= -a Khi đó: y'=g t( ) 3= at2+2(3aa+b t) 3+ aa2+2ba+c

9 Tìm điều kiện để hàm số có hai cực trị x x1 2, thoả:

a) x1< <a x2 b) x1<x2 <a c) a <x1<x2 y'= f x( ) 3= ax2+2bx c+

Đặt t x= -a Khi đó: y'=g t( ) 3= at2+2(3aa+b t) 3+ aa2+2ba+c

Hàm số có cực trị thuộc K1= -¥( ; )a Hàm số có cực trị thuộc K2=( ;a +¥)

Hàm số có cực trị khoảng ( ; )-¥a f x( )

Û = có nghiệm ( ; )-¥a g t( )

Û = có nghiệm t < P

S P

0 '

0 é < êìD ³ ê Û ï <êí

ï ³ êỵ ë

Hàm số có cực trị khoảng ( ;a +¥)

f x( )

Û = có nghiệm ( ;a +¥) g t( )

Û = có nghiệm t > P

S P

0 '

0 é < êìD ³ ê Û ï >êí

ï ³ êỵ ë

a) Hàm số có hai cực trị x x1 2, thoả x1< <a x2 g t( )

Û = có hai nghiệm t t1 2, thoả t1< <0 t2 Û <P b) Hàm số có hai cực trị x x1 2, thoả x1<x2<a

g t( )

Û = có hai nghiệm t t1 2, thoả t1< <t2 S P

' 0

0 ìD > ï Ûí <

ï > î c) Hàm số có hai cực trịx1, x2 thoả a <x1<x2

g t( )

Û = có hai nghiệm t t1 2, thoả 0< <t1 t2 S P

' 0

0 ìD > ï Ûí >

(12)

Câu 1. Cho hàm số y= - +x3 3mx2+3(1-m x m2) + 3-m2 (1) 1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số (1) m=1

2) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số (1) · y¢= -3x2+6mx+3(1-m2)

PT yÂ=0 cú D= > "1 0, m ị th hàm số (1) ln có điểm cực trị ( ; ), ( ; )x y1 1 x y2 2 Chia y cho y¢ ta được: y 1x m y 2x m2 m

3

ổ ử Â

=ỗ - ữ + - +

è ø

Khi đó: y1=2x m1- 2+m; y2 =2x2-m2+m

PT đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số (1) y=2x m- 2+m Câu 2. Cho hàm số y x= 3+3x2+mx m+ -2 (m tham số) có đồ thị (Cm)

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số m =

2) Xác định mđể (Cm) có điểm cực đại cực tiểu nằm hai phía trục hồnh · PT hoành độ giao điểm (C) trục hoành:

x3+3x2+mx m+ - =2 (1) Û x

g x x2 x m

1

( ) 2 (2)

é =

-ê = + + - =

ë

(Cm) có điểm cực trị nằm phía trục Ox ÛPT (1) có nghiệm phân biệt Û (2) có nghiệm phân biệt khác –1 Û m

g( 1)3 m 00

D

ỡ Â= - >

- = -

ỵ Û m<3

Câu 3. Cho hàm số y= - +x3 (2m+1)x2-(m2-3m+2)x-4 (m tham số) có đồ thị (Cm) 1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số m =

2) Xác định mđể (Cm) có điểm cực đại cực tiểu nằm hai phía trục tung · y¢= -3x2+2(2m+1)x m-( 2-3m+2)

(Cm) có điểm CĐ CT nằm hai phía trục tung Û PT y¢ =0 có nghiệm trái dấu Û 3(m2-3m+ <2) Û 1< <m 2

Câu 4. Cho hàm số y 1x3 mx2 (2m 1)x 3

= - + - - (m tham số) có đồ thị (Cm) 1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số m =

2) Xác định mđể (Cm) có điểm cực đại, cực tiểu nằm phía trục tung · TXĐ: D = R ; y x¢= 2-2mx+2m-1

Đồ thị (Cm) có điểm CĐ, CT nằm phía trục tung Û y¢=0 có nghiệm phân biệt dấu Û m m

m

2 2 1 0

2

D

ì ¢ = - + > í

- >

ỵ

m m

1 ì ¹ ï Û í >

ïỵ

Câu 5. Cho hàm số y x= 3-3x2-mx+2 (m tham số) có đồ thị (Cm) 1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số m =

2) Xác định mđể (Cm) có điểm cực đại cực tiểu cách đường thẳng y x= -1 · Ta có: y' 3= x2-6x m-

Hàm số có CĐ, CT Ûy' 3= x2-6x m- =0 có nghiệm phân biệt x x1 2;

(13)

Gọi hai điểm cực trị A x( 1;y1) (;B x2;y2)

Thực phép chia y cho y¢ ta được: y 1x y' 2m x m

3 3

ổ ổ ổ

=ỗ - ữ +ỗ - ữ +ỗ + ữ

ố ứ è ø è ø

Þ y1 y x1 2m x1 m;y2 y x2 2m x2 m

3 3

) )

3

( ổỗ - ửữ + + ( ổỗ - ö÷ + +

è ø

=

è =

ø

= =

Þ Phương trình đường thẳng qua điểm cực trị D:y 2m x m

3

æ

=ỗ - ữ + +

ố ứ

Các điểm cực trị cách đường thẳng y x= - Û1 xảy trường hợp:

TH1: Đường thẳng qua điểm cực trị song song trùng với đường thẳng y x= -1

m m

2 2 1

3 - = Û =2

Û (không thỏa (*))

TH2: Trung điểm I AB nằm đường thẳng y x= -1

I I ( ) ( )

x m x x m x x

m

y m y y

m x

x

1 2

1 2 2 2 2 2

3

2

1 2

1

2

0

3

2

ỉ æ ö

- + + + = +

-ỗ ữ ỗ ữ

ố ứ ố ứ

ổ

+

ổ

ỗ - ữ + ỗ + ữ= =

ố ứ è

+

Û = - Û = - Û

ø

Vậy giá trị cần tìm m là: m=0

Câu 6. Cho hàm số y x= 3-3mx2+4m3 (m tham số) có đồ thị (Cm) 1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số m =

2) Xác định mđể (Cm) có điểm cực đại cực tiểu đối xứng qua đường thẳng y = x · Ta có: y¢ =3x2-6mx; y¢ = Û ê =0 é =xx 02m

ë Để hàm số có cực đại cực tiểu m ¹

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là: A(0; 4m3), B(2m; 0) Þ ABuuur=(2 ; )m - m3 Trung điểm đoạn AB I(m; 2m3)

A, B đối xứng qua đường thẳng d: y = x Û ìí ỴI dAB d^

ỵ Û

m m

3

2

ìï - =

í =

ïỵ Û m

2 = ±

Câu 7. Cho hàm số y= - +x3 3mx2-3m-1

2) Với giá trị m đồ thị hàm số có điểm cực đại điểm cực tiểu đối xứng với qua đường thẳng d: x+8y-74 0=

· y¢= -3x2+6mx; y¢= Û = Ú =0 x x 2m

Hàm số có CĐ, CT Û PT y¢=0 có nghiệm phân biệt Û m¹0

Khi điểm cực trị là: A(0; 3- m-1), (2 ;4B m m3-3m-1) Þ uuurAB m m(2 ;4 )3

Trung điểm I AB có toạ độ: I m m( ;2 3-3m-1)

Đường thẳng d: x+8y-74 0= có VTCP ur=(8; 1)- A B đối xứng với qua d ỡ ẻớI dAB d^

ợ

m m m

AB u

8(2 1) 74

ìï + - - - =

í =

ïỵuuur r Û m=2

a) y x3 3x2 m x m d y2 , : 1x

2

= - + + = - ĐS: m=0

(14)

2) Với giá trị m đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại điểm cực tiểu đối xứng với qua đường thẳng d: x-2y- =5

· Ta có y x= 3-3x2+mxÞ =y' 3x2-6x m+

Hàm số có cực đại, cực tiểu Û y¢=0 có hai nghiệm phân biệt ÛD¢= -9 3m> Û <0 m

Ta có: y 1x y 2m x 1m

3 3

ổ Â ổ

=ỗ - ữ +ỗ - ữ +

ố ứ ố ứ

Þ đường thẳng D qua điểm cực trị có phương trình y 2m x 1m

3

ổ

=ỗ - ữ +

è ø

nên D có hệ số góc k1 2m

= -

d: x-2y- =5 y 1x

2

Û = - Þ d có hệ số góc k2

2 =

Để hai điểm cực trị đối xứng qua d ta phải có d ^D Þ k k1 2 1 2m m

2

ỉ

= - ỗ - ữ= - =

ố ø

Với m = đồ thị có hai điểm cực trị (0; 0) (2; –4), nên trung điểm chúng I(1; –2) Ta thấy I Ỵ d, hai điểm cực trị đối xứng với qua d

Vậy: m =

Câu 9. Cho hàm số y x= 3-3(m+1)x2+9x m+ -2 (1) có đồ thị (Cm) 1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số m =

2) Với giá trị m đồ thị hàm số có điểm cực đại điểm cực tiểu đối xứng với qua đường thẳng d: y 1x

2 = · y' 3= x2-6(m+1)x+9

Hàm số có CĐ, CT D' 9(= m+1)2-3.9 0> ẻ -Ơ - -m ( ; 3) ( 1È - + 3;+¥)

Ta có y 1x m y 2(m2 2m 2)x 4m

3

ỉ + Â

=ỗ - ữ - + - + +

è ø

Giả sử điểm cực đại cực tiểu A x y B x y( ; ), ( ; )1 1 2 2 , I trung điểm AB y1 2(m2 2m 2)x1 4m

Þ = - + - + + ; y2 = -2(m2+2m-2)x2+4m+1

và: xx x1 x2 m

2( 1)

ì + = +

í =

ỵ

Vậy đường thẳng qua hai điểm cực đại cực tiểu y= -2(m2+2m-2)x+4m+1

A, B đối xứng qua (d): y 1x

2

= Û AB d

I d

ì ^

í Ỵ

ỵ Û m=1

Câu 10. Cho hàm số y x= 3-3(m+1)x2+9x m- , với m tham số thực 1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm sốđã cho ứng với m=1 2) Xác định m để hàm sốđã cho đạt cực trị x x1 2, cho x1-x2 £2 · Ta có y' 3= x2-6(m+1)x+9

(15)

m m

m

2

' ( 1)

1

D é > - +

Û = + - > Û ê

<

-ë (1)

+ Theo định lý Viet ta có x1+x2 =2(m+1);x x1 2=3. Khi đó:

( ) ( )

x1-x2 £ Û2 x1+x2 2-4x x1 2£ Û4 m+12-12 4£ Û(m+1)2£ Û - £ £4 m 1 (2) + Từ (1) (2) suy giá trị m cần tìm - £ < - -3 m 3 - +1 3< £m

Câu 11. Cho hàm số y x= 3+ -(1 )m x2+ -(2 m x m) + +2, với m tham số thực 1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm sốđã cho ứng với m=1 2) Xác định m để hàm sốđã cho đạt cực trị x x1, 2 cho x1 x2

3 - >

· Ta có: y' 3= x2+2(1 2- m x) + -(2 m)

Hàm số có CĐ, CT Ûy' 0= có nghiệm phân biệt x x1, 2 (giả sử x1<x2) m

m m m m

m

2

' (1 ) 3(2 ) 4

1

D éê >

Û = - - - = - - > Û

ê < -ë

(*) Hàm số đạt cực trị điểm x x1 2, Khi ta có: x1 x2 (1 )m ;x x1 2 m

3

-

-+ = - =

x1 x2 (x1 x2) (2 x1 x2)2 x x1 2

3

1

9

Û - = + - >

- >

4(1 )m 4(2 m) 16m2 12m m 29 m 29

8

+

-Û - - - > Û - - > Û > Ú <

Kết hợp (*), ta suy m 29 m

+

> Ú <

-Câu 12. Cho hàm số y 1x3 mx2 mx

= - + - , với m tham số thực

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm sốđã cho ứng với m=1 2) Xác định m để hàm sốđã cho đạt cực trị x x1, 2 cho x1-x2 ³8 · Ta có: y'=x2-2mx m+

Hàm số có CĐ, CT Ûy' 0= có nghiệm phân biệt x x1, 2 (giả sử x1<x2) Û D¢ =m2- >m Û m

m 10 é < ê >

ë (*) Khi đó: x1+x2 =2 ,m x x1 2=m

x1-x2 ³8 Û (x1-x2)2 ³64 Û m2- -m 16 0³ Û m m

1 65

2

1 65

2

é

-£ ê ê

+ ê ³ êë

(thoả (*))

Câu 13. Cho hàm số y 1x3 (m 1)x2 3(m 2)x

3

= - - + - + , với m tham số thực 1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm sốđã cho ứng với m=2 2) Xác định m để hàm sốđã cho đạt cực trị x x1, 2 cho x1+2x2 =1 · Ta có: y x¢= 2-2(m-1)x+3(m-2)

Hàm số có cực đại cực tiểu Û y¢=0có hai nghiệm phân biệt x x1, 2

(16)

Khi ta có: xx x1 x2 mm

2( 1)

3( 2)

ì + =

-í =

-ỵ Û ( )

x m

x22 x2 m

3

1 3( 2)

ì = -ï

í - =

-ïỵ

m2 m m 34

8 16

4 - ±

Û + - = Û =

Câu 14. Cho hàm số y=4x3+mx2-3x

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số m = 2) Tìm mđể hàm số có hai điểm cực trị x x1, 2 thỏa x1= -4x2

· y¢=12x2+2mx-3 Ta có: D¢ =m2+36 0,> "m Þ hàm số ln có cực trị x x1, 2 Khi đó: x1 ;x x2 1 x2 m;x x1 2

6

ì

= - + = - =

-í

ợ m

9 ị = ±

a) y x= 3+3x2+mx+1; x1+ 2x2=3 ĐS: m= -1 50 Câu 15. Cho hàm số y 1x3 ax2 3ax

3

= - - + (1) (a tham số) 1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số a =

2) Tìm ađể hàm số (1) đạt cực trị tạix1,x2 phân biệt thoả mãn điều kiện:

x ax a a

a x ax a

2

1

2

2 2

2

+ +

+ =

+ + (2)

· y¢ =x2-2ax-3a Hàm số có CĐ, CT Û y¢ =0 có nghiệm phân biệt x x1, 2

a2 a

4 12

D

Û = + > Û é < -ê >aa 03

ë (*) Khi x1+x2 =2a, x x1 2= -3a

Ta có: x12+2ax2+9a=2a x( 1+x2)+12a=4a2+12a>0

Tương tự: x22+2ax1+9a=4a2+12a>0

Do đó: (2) Û a a a

a a a

2

4 12 2

4 12

+ + =

+

a a

a

2

4 +12 1

Û = Û3a a( +4)=0 Û = -a

Câu 16. Cho hàm số y=2x3+9mx2+12m x2 +1 (m tham số) 1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) hàm số m = –1

2) Tìm giá trị mđể hàm số có cực đại xCĐ, cực tiểu xCT thỏa mãn: x2CĐ =xCT · Ta có: y¢ =6x2+18mx+12m2=6(x2+3mx+2 )m2

Hàm số có CĐ CT Û y¢ =0 có nghiệm phân biệt x x1 2, ÛD = m2 > Û m¹0

Khi đó: x1 1( 3m m x), 2 1( 3m m)

2

= - - = - +

Dựa vào bảng xét dấu y¢, suy xCĐ =x x1, CT =x2 Do đó: x2CĐ =xCT Û m m m m

2

3

2

ỉ- - - +

=

ỗ ữ

ố ứ m= -2

(17)

2) Tìm giá trị mđể điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm sốđã cho có hồnh độ số dương

· Các điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số cho có hồnh độ số dương

ÛPT y' 3(= m+2)x2+6x m = + 0 có nghiệm dương phân biệt a m

m m m m m

m m m m

P

m m m

S m

2

( 2)

' ( 2) ' 2 3 0 3 1

0

3( 2) 2 0 2

3 0

2

D D

ì = + ¹

ï = - + > ì = - - + > ì- < <

ïï ï ï

Ûí = > Ûí < Ûí < Û < < -+

ï ïỵ + < ïỵ <

-ï = >

ï +

ỵ

Câu 18. Cho hàm số y 1x3 1mx2 (m2 3)x

3

= - + - (1), m tham số 1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) hàm số m =

2) Tìm giá trị m để hàm số (1) có điểm cực trị x x1 2, với x1>0,x2 >0 x12 x22

2 + =

· y¢ =x2-mx m+ 2-3; y¢ = Û0 x2-mx m+ 2- =3 (2) YCBT Û PS

x12 x22

0 0

5

D

ì > ï > ï

> í ï

+ =

ï ỵ

Û m m

m

3 14

14 2

2 ì < <

ï Û =

í = ±

ïỵ

Câu 19. Cho hàm số y x= 3+ -(1 )m x2+ -(2 m x m) + +2 (m tham số) (1) 1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số (1) m =

2) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời hồnh độ điểm cực tiểu nhỏ

· y¢=3x2+2(1 )- m x+ - =2 m g x( )

YCBT Û phương trình y¢=0 có hai nghiệm phân biệt x x1, 2thỏa mãn: x1<x2<1

Û g m mm

S m

2

4

(1)

2 1 1

2

D

ì ¢ = - - > ïï = - + >

í

-ï = < ïỵ

Û m

4< <5

Câu 20. Cho hàm số y mx3 (m 2)x2 (m 1)x

= + - + - + (Cm) 1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số m =

2) Tìm mđể hàm số có cực đại x1, cực tiểu x2 thỏa mãn x1<x2<1 ·Ta có: y mx¢ = 2+2(m-2)x m+ -1; y¢ = Û0 mx2+2(m-2)x m+ - =1 (1)

Hàm số có CĐ ,CT thỏa mãn x1<x2<1 khi m > (1) có nghiệm phân biệt bé Đặt t x= -1 Þ x t= +1, thay vào (1) ta được:

m t( 1)+ 2+2(m-2)( 1)t+ + - =m Ûmt2+4(m-1) 4t+ m- =5

(18)

m P S 0 0 D ì > ï ¢ ï > Û í >ï < ïỵ

m

5

4

Û < <

Câu 21. Cho hàm số y x= 3+ -(1 )m x2+ -(2 m x m) + +2 (Cm) 1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số m =

2) Tìm mđể hàm số có điểm cực trị có hồnh độ thuộc khoảng ( 2;0)- · Ta có: y¢ =3x2+2(1 )- m x+ -2 m; y¢ = Û0 3x2+2(1 )- m x+ - =2 m (*)

Hàm số có cực trị thuộc ( 2;0)- Û(*) có nghiệm phân biệt x x1, 2 có nghiệm thuộc ( 2;0)- xx x x

x x

1

2 (1)

2 (2)

2 (3)

é- < < < ê

Û - <ê < £ £ - < < êë

Ta có:

( )( )

m m

m m m

x x m m m x x m x x 2 2

4

' 2 1

2

3 10

2

(1) 2 (2 1) 2

7

4

2 3 3

0 0

3

D ì - - >

ì = - - > ï

-ï + ï- < <

ï ï

ï- < < ï

Ûí Ûí - - Û - < <

-+ + >

ï + + > ï

ï > ï

-ï ï ỵ > ïỵ ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) m m

m m m

f m m

m x x m m x x 2 2

4

' 2

0 2 1

(2) 2 2 0 2

3

4

2

2 4 0

3

D ì - - >

ì = - - > ï ³

ï = - £ ï

ï ï

-Ûí + + + > Ûí > - Û ³

ï ï

-ï + + > ï

-ỵ ïỵ + + >

( )

m m

m m m

f m m m

x x m x x 2 2

4

' 3 5 0

5

2 10 2 1

(3) 0

3

0 3

2

0 0

3

D ì - - >

ì = - - > ï + ³

ïï - = + £ ïï

-Ûí Ûí < Û £ <

-+ <

ï ï

-ï > ï

ỵ ïỵ >

Tóm lại giá trị m cần tìm là: m 5; 2; )

3

é ộ

ẻ - - ẩờ ữ ở +Ơ

ë ø

Câu 22. Cho hàm số y x= 3-3x2+2 (1)

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số (1)

2) Tìm điểm M thuộc đường thẳng d: y=3x-2sao tổng khoảng cách từ M tới hai điểm cực trị nhỏ

· Các điểm cực trị là: A(0; 2), B(2; –2) Xét biểu thức g x y( , ) 3= x y- -2 ta có:

A A A A B B B B

g x y( , ) 3= x -y - = - <2 0; ( , ) 3g x y = x -y - = >2

Þ điểm cực đại cực tiểu nằm hai phía đường thẳng d: y=3x-2

Do MA + MB nhỏ Û điểm A, M, B thẳng hàng Û M giao điểm d AB Phương trình đường thẳng AB: y= -2x+2

Tọa độ điểm M nghiệm hệ: yy 3x2x 22 x 4;y

5

ì

ì = - Û = =

í = - +

ợ ợ ị M

4 2; 5

ổ

ỗ ữ

(19)

Câu 23. Cho hàm số y x= 3-3mx2+3(m2-1)x m- 3+m (1) 1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số (1) m =

2) Tìm mđể hàm số (1) có cực trịđồng thời khoảng cách từđiểm cực đại đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O lần khoảng cách từđiểm cực tiểu đồ thị hàm sốđến gốc tọa độ O

· Ta có y¢=3x2-6mx+3(m2-1) Hàm số (1) có cực trị Û PT y¢=0 có nghiệm phân biệt x2 2mx m2

Û - + - = có nhiệm phân biệt Û = > "D 0, m

Khi đó: điểm cực đại A m( -1;2 )- m điểm cực tiểu B m( + - -1; 2 )m

Ta có OA OB m m m

m

2 2

2

3 2 é = - +

= Û + + = Û ê

=

-ë

Câu 24. Cho hàm số y x= 3-3x2-mx+2 có đồ thị (Cm) 1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số m =

2) Tìm mđể (Cm) có điểm cực đại, cực tiểu đường thẳng qua điểm cực trị song song với đường thẳng d: y= -4x+3

·Ta có: y' 3= x2-6x m- Hàm số có CĐ, CT Ûy' 0= có nghiệm phân biệt x x1 2,

ÛD' 3= + m> Û0 m> -3 (*) Gọi hai điểm cực trị A x( 1;y1) (;B x2;y2)

3 3

ỉ ỉ ỉ

=ỗ - ữ -ỗ + ữ +ỗ - ữ

è ø è ø è ø

Þ y1 y( )x1 2m x1 m ;y2 y( )x2 2m x2 m

3 3

ỉ ỉ ỉ ỉ

- + + - - + +

= = ỗ ữ ỗ ữ = = ỗ ữ ỗ - ÷

è ø è ø è ø è ø

3

ổ ổ

= -ỗ + ữ +ỗ - ữ

ố ứ ố ứ

D // d: y= -4x+3

m

m m

2 2 4

3 3

2

3

ì ỉ

- + =

-ù ỗ ữ

ù ố ứ

ớổ =

ử ù -ỗ ữạ

ùố ø

ỵ

(thỏa mãn (*)) Câu hỏi tương tự:

a) y 1x3 mx2 (5m 4)x

= - + - + , d x: +3y+ =9 ĐS: m=0;m=5 Câu 25. Cho hàm số y x= 3+mx2+7x+3 có đồ thị (Cm)

2) Tìm m để (Cm) có điểm cực đại, cực tiểu đường thẳng qua điểm cực trị vng góc với đường thẳng d: y=3x-7

·Ta có: y' 3= x2+2mx+7 Hàm số có CĐ, CT Û y¢ =0 có nghiệm phân biệt x x1 2, ÛD'=m2-21 0> Û m > 21 (*)

Gọi hai điểm cực trị A x( 1;y1) (;B x2;y2)

Thực phép chia y cho y¢ ta được: y 1x y' 2(21 m x2) 7m

3 9

ỉ ổ

=ỗ + ữ + - +ỗ - ữ

ố ứ ố ứ

ị y1 y x( )1 2(21 m x2) 1 7m

9

ổ

= = - +ỗ - ÷

è ø;

m y2 y x( )2 2(21 m x2) 2

9

ổ

= = - +ỗ - ữ

(20)

Þ Phương trình đường thẳng qua điểm cực trị D:y 2(21 m x2) 7m

9

= - +

-D ^ d: y= -4x+3Û m

m2

21

2 (21 ).3

9 ì > ï

í - =

-ïỵ Û m

3 10 = ±

Câu 26. Cho hàm số y x= 3-3x2-mx+2 có đồ thị (Cm) 1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số m =

2) Tìm m để (Cm) có điểm cực đại, cực tiểu đường thẳng qua điểm cực trị tạo với đường thẳng d: x+4y- =5 góc a =450

·Ta có: y' 3= x2-6x m- Hàm số có CĐ, CT Ûy' 0= có nghiệm phân biệt x x1 2;

ÛD' 3= + m> Û0 m> -3 (*) Gọi hai điểm cực trị A x( 1;y1) (;B x2;y2)

3 3

ỉ ỉ ỉ

=ỗ - ữ -ỗ + ữ +ỗ - ữ

ố ứ ố ứ ố ứ

ị y1 y( )x1 2m x1 m ;y2 y( )x2 2m x2 m

3 3

ỉ ỉ ỉ ỉ

- + + - - + +

= = ỗ ữ ỗ ữ = = ỗ ữ ỗ - ÷

è ø è ø è ø è ø

3

ỉ ỉ

= -ỗ + ữ +ỗ - ữ

ố ứ ố ø

Đặt k 2m

ỉ

= -ỗ + ữ

ố ứ ng thng d: x+4y- =5 0 có hệ số góc -

Ta có: k k k k m

k k k m

k

1 1 39

4 4 10

tan 45 1 1 5 1

1 1

1 4 4 3

2

é é

é

+ ê + = - ê = ê =

-= Ûê Ûê Ûê

ê ê

ê + = - + = - =

ê ê ê

ë ë ë

o

Kết hợp điều kiện (*), suy giá trị m cần tìm là: m

2 = - Câu hỏi tương tự:

a) y x= 3-3(m-1)x2+(2m2-3m+2)x m m- ( -1), d y: 1x

-= + , a =450 ĐS: m 15

2 ± =

Câu 27. Cho hàm số y x= 3-3x2+2 (C)

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) hàm số

2) Tìm m để đường thẳng qua hai điểm cực trị (C) tiếp xúc với đường trịn (S) có phương trình (x m- )2+ - -(y m 1)2=5

· Phương trình đường thẳng D qua hai điểm cực trị 2x y+ - =2 0 (S) có tâm I m m( , +1) bán kính R= 5

D tiếp xúc với (S) Û 2m m 5

+ +

-= Û 3m- =1 m 2;m

3

-Û = = .

Câu 28. Cho hàm số y x= 3-3mx+2 (Cm)

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số m=1

(21)

· Ta có y' 3= x2-3m Hàm số có CĐ, CT Û PT y' 0= có hai nghiệm phân biệt Ûm>0

Vì y 2x y mx

3 ¢

= - + nên đường thẳng D qua điểm CĐ, CT đồ thị hàm số có phương trình là: y= -2mx+2

Ta có d I( ) m R m2

2

,

4

D = - < =

+ (vì m > 0) Þ D ln cắt đường trịn tâm I(1; 1), bán kính R

= điểm A, B phân biệt Với m

2

¹ : D khơng qua I, ta có:S ABI 1IA IB .sinAIB 1R2

2 2

D = £ =

Nên SDIAB đạt GTLN 1

2 sin·AIB=1 hay DAIB vuông cân I

R

IH

2

Û = =

m

m m2

2 1 2 3

2

4

- ±

Û = Û =

+ (H trung điểm AB)

Câu 29. Cho hàm số y x= 3+6mx2+9x+2m (1), với m tham số thực 1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số m =

2) Tìm m đểđồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị cho khoảng cách từ gốc toạđộ O đến đường thẳng qua hai điểm cực trị

5

· Ta có: y¢ =3x2 +12mx+9 Hàm số có điểm cực trị Û PT y¢ =0 có nghiệm phân biệt

m2 m

'

2

D

Û = - > Û > hoặc m

2

-< (*)

Khi ta có: y x 2m y (6 )m x2 4m

3

ổ ử Â

=ỗ + ữ + -

-è ø

Þ đường thẳng qua điểm cực trị đồ thị hàm số (1) có PT là: D:y= -(6 )m x2 -4m m

d O m m

m

4

2

4

( , ) 64 101 37

5

(6 )

D = - = Û - + =

- +

m

m loại

1

37 ( )

é = ± ê Û

ê = ± êë

Û m= ±1.

Câu 30. Cho hàm số y x= 3-3x2+(m-6)x m+ -2 (1), với m tham số thực 1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số m =

2) Tìm m đểđồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị cho khoảng cách từđiểm A(1; 4)- đến đường thẳng qua hai điểm cực trị 12

265

· Ta có: y¢ =3x2-6x m+ -6 Hàm số có điểm cực trị Û PT y¢ =0 có nghiệm phân biệt Û D¢ =32-3(m- > Û <6) m 9 (*)

Ta có: y 1(x 1).y 2m x 4m

3 3

æ

Â

= - +ỗ - ữ +

-è ø

Þ PT đường thẳng qua điểm cực trị D: y 2m x 4m

3

ổ

=ỗ - ữ +

-è ø

Þ d A m

m2 m

6 18 12

( , )

265

4 72 333

D = - =

- + Û

m m

1 1053

249 é = ê

= ê ë

(22)

Câu 31. Cho hàm số y x= 3-3x2+mx+1 (1), với m tham số thực 1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số m =

2) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị cho khoảng cách từ điểm I 11;

ổ

ỗ ữ

ố ứ

đến đường thẳng qua hai điểm cực trị lớn

· Ta có: y¢ =3x2-6x m+ Hàm số có điểm cực trị Û PT y¢ =0 có nghiệm phân biệt Û D¢ > Û <0 m 3

Ta có: y x y 2m x m

3 3

ỉ ¢ ỉ

=ỗ - ữ +ỗ - ữ + +

ố ø è ø

Þ PT đường thẳng qua hai điểm cực trị là: :y 2m x m

3

D =ổỗ - ö÷ + +

è ø

Dễ dàng tìm điểm cố định D A 1;2

2

ổ

-ỗ ÷

è ø AI 1;

4 æ = ỗố ữứ

uur

Gi H hình chiếu vng góc I D

Ta có d I( , )D =IH IA£ Dấu "=" xảy Û IA^D Û 1 2m m

3

æ

+ỗ - ữ = =

ố ø

Vậy max( ( , ))d I

4

D = m=1

Câu 32. Cho hàm số y x= 3+3(m+1)x2+3 (m m+2)x m+ 3+3m2 (Cm) 1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số m =

2) Chứng minh với m, đồ thị (Cm) ln có điểm cực trị khoảng cách điểm cực trị không đổi

· Ta có: y¢ =3x2+6(m+1)x+6 (m m+2); y¢ = Û ê = -0 é = - -xx m2 m

ë

Đồ thị (Cm) có điểm cực đại A( 2- -m;4) điểm cực tiểu B m(- ;0) Þ AB=2 5 Câu 33. Cho hàm số y=2x2-3(m+1)x2+6mx m+

2) Tìm mđểđồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B cho AB=

· Ta có: y¢ =6(x-1)(x m- ) Hàm số có CĐ, CT yÂ =0 cú nghim phõn bit mạ1 Khi điểm cực trị A m(1; 3+3m-1), ( ;3 )B m m2

AB= 2 Û (m-1)2+(3m2-m3-3m+ =1) 2Û m=0;m=2 (thoả điều kiện) Câu 34. Cho hàm số y x= 3-3mx2+3(m2-1)x m- 3+4m-1 (1)

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số (1) m= -1

2) Tìm mđểđồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B cho DOAB vuông O Ã Ta cú: yÂ=3x2-6mx+3(m2-1); yÂ= = - ị = +0 é = + Þ = -x mx m 11 y my m 13

ë

Þ A m( +1;m-3), B m( -1;m+1) Þ OAuuur=(m+1;m-3), OBuuur=(m-1;m+1) DOAB vuông O Û OA OBuuur uuur =0 Û 2m2-2m- = Û ê =4 é = -mm 21

(23)

Câu 35. Cho hàm số y=2x2-3(m+1)x2+6mx m+ (1) 1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số (1) m=1

2) Tìm mđểđồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B cho tam giác ABC vng C, với C(4;0)

· Ta có: y¢ =6(x-1)(x m- ) Hàm số có CĐ, CT Û y¢ =0 có nghiệm phân biệt Û m¹1 Khi điểm cực trị A m(1; 3+3m-1), ( ;3 )B m m2

DABC vuông C Û uuur uuurAC BC =0 Û (m+1)ëém m2( 2- + +m 1) 3m2-5m+4ùû=0 Û m= -1

Câu 36. Cho hàm số y x= 3+3x2+m (1)

2) Xác định mđểđồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B cho ·AOB=1200 · Ta có: y¢=3x2+6x; y¢= Û ê = Þ =0 é = - Þ = +xx 0 2 y my m

ë

Vậy hàm số có hai điểm cực trị A(0 ; m) B(-2 ; m + 4) OAuuur=(0; ),m OBuuur= -( 2;m+4) Để ·AOB=1200thì cosAOB

2 =

-( ) ( )

m

m m m m m m

m m

2

4

( 4) 4 ( 4) 2 ( 4)

2 24 44

4 ( 4)

ì- < < +

Û = - Û + + = - + Û í

+ + =

ỵ

+ +

m

m m

4 12 3

12 3

3

ì- < < - + ï

Ûí - ± Û =

= ïỵ

Câu 37. Cho hàm số y x= 3-3x2+m2- +m (1)

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số (1) m =

2) Tìm mđểđồ thị hàm số (1) có hai điểm cực đại, cực tiểu A B cho diện tích tam giác ABC 7, với điểm C(–2; )

· Ta có y' 3= x2-6x; y' 0= Û3x2-6x= Û =0 x 0;x=2 Þ Hàm số ln có CĐ, CT Các điểm CĐ, CT đồ thị là: A m(0; 2- +m 1), B m(2; 2- -m 3) , AB= 22+ -( 4)2 =2

Phương trình đường thẳng AB: x y m2 m

2

- - +

-=

- Û x y m m

2

2 + - + - =1

ABC m m

S 1d C AB AB( , ) 1.2 m2 m

2 5

D = = - + = - + = Û ê = -é =ëmm 32 Câu hỏi tương tự:

a) y x= 3-3mx+2, (1;1),C S= 18 ĐS: m=2

Câu 38. Cho hàm số y x= 3-3(m+1)x2+12mx-3m+4 (C) 1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm sốm = 0

2) Tìm m để hàm số có hai cực trị A B cho hai điểm với điểm C 1;

2

ổ

-ỗ ữ

ố ứlp thành tam giác nhận gốc tọa độO làm trọng tâm

(24)

DABC nhận O làm trọng tâm Û m m m3 m2 m

2 1

9

4 12

2 ì + - =

ï Û =

-í- + + + - =

ïỵ (thoả (*))

Câu 39. Cho hàm số y f x= ( ) 2= x3+3(m-3)x2+ -11 3m (Cm) 1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số m =

2) Tìm m để (Cm) có hai điểm cực trị M M1, 2 cho điểmM M1, 2và B(0; –1) thẳng hàng

· y¢ =6x2+6(m-3) y¢ =0 Û é =ê = -xx 03 m

ë Hàm số có cực trị Û m¹3 (*)

Chia f x( ) cho f x¢( ) ta được: f x( ) f x( ) 1x m (m 3)2x 11 3m

3

ỉ -

¢

= ỗ + ữ- - +

-ố ứ

Þ phương trình đường thẳng M1M2 là: y= -(m-3)2x+11 3- m M M B1, 2, thẳng hàng Û B M MỴ 1 2 Û m=4 (thoả (*))

Câu 40. Cho hàm số y 1x3 mx2 (m2 1)x (Cm)

= - + - +

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số m=2 2) Tìm mđể hàm số có cực đại, cực tiểu yCĐ+yCT >2 · Ta có: y¢ =x2-2mx m+ 2-1 y¢ = Û ê = -0 é = +x mx m 11

ë

CÑ CT

y +y >2 Û 2m3-2m+ > Û ê >2 é- < <m1 1m

ë

Câu 41. Cho hàm số y 1x3 (m 1)x2 4(m 1)3

3

= - + + + (1) (m tham số thực) 1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số m =

2) Tìm m để điểm cực đại cực tiểu đồ thị (1) nằm phía (phía phía ngồi) đường trịn có phương trình (C): x2+y2-4x+ =3

· y¢ =x2-2(m+1)x y¢ = Û ê =0 é =xx 02(m 1) +

ë Hàm số có cực trị Û m¹ -1 (1)

Gọi hai điểm cực trị đồ thị là: A 0; (4 m 1)3

ổ +

ỗ ữ

ố ứ, B m(2( +1);0)

(C) có tâm I(2; 0), bán kính R = IA 16(m 1)6

= + + , IB= 4m2

A, B nằm hai phía (C) Û (IA2-R IB2)( 2-R2) 0< Û 4m2 1 m

2

- < Û - < < (2)

Kết hợp (1), (2), ta suy ra: m

2

- < < .

Câu 42. Cho hàm số y x= 3-3mx2+3(m2-1)x m- (Cm)

2) Chứng minh (Cm) ln có điểm cực đại điểm cực tiểu chạy đường thẳng cốđịnh

(25)

Điểm cực đại M m( -1;2 )- m chạy đường thẳng cố định: ì = - +í = -xy 2 31 tt

ỵ

Điểm cực tiểu N m( + - -1; m)chạy đường thẳng cố định: ì = +í = - -xy 12 3t t

ỵ

Câu 43. Cho hàm số y 1x3 mx2 x m (Cm)

= - - + +

2) Tìm mđểđồ thị (Cm) có điểm cực trị khoảng cách điểm cực trị nhỏ · Ta có: y¢ =x2-2mx-1; y¢ =0 cú DÂ =m2+ > "1 0, m ị hm số ln có hai điểm cực trị

x x1 2, Giả sử điểm cực trị (Cm) A x y B x y( ; ), ( ; )1 1 2 2 Ta có: y 1(x m y) 2(m2 1)x 2m

3 ¢ 3

= - - + + +

Þ y1 2(m2 1)x1 2m

3

= - + + + ; y2 2(m2 1)x2 2m

3

= - + + +

Do đó: AB2 (x2 x1)2 (y2 y1)2 (4m2 4) 4(m2 1)2 4

9

é ù ỉ

= - + - = + ờ + + ỳ ỗ + ữ

ở ỷ ố ứ

ị AB 13

3

³ Dấu "=" xảy Û m=0 Vậy minAB 13

3

= m=0 Câu 44. Cho hàm số y x= 3-3x2-mx+2 (1)

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số (1) m =

2) Tìm mđể hàm số (1) có cực trị đường thẳng qua điểm cực trị đồ thị hàm số tạo với hai trục toạđộ tam giác cân

· y¢ =3x2-6x m- Hàm số có cực trị Û y¢ =0 có nghiệm phân biệt Û m> -3 Ta có: y 1(x 1).y 2m x m

3 3

ỉ

¢

= - + -ỗ - ữ +

-ố ø Þ Đường thẳng D qua điểm cực trị đồ

thị có phương trình: y 2m x m

3

ổ

= -ỗ - ữ +

-ố ø

D cắt Ox, Oy A m m ;0

2( 3)

æ -

ỗ + ữ

ố ứ,

m B 0;6

3

ỉ -

ỗ ữ

ố ứ (m 0)

Tam giác OAB cân Û OA = OB Û 2(mm-63) = 6-3m

+ Û m m m

9

6; ;

2

= = - = -

Đối chiếu điều kiện ta có m

2 = -

Câu 45. Cho hàm số : y = 1x3 mx2 (m2 m 1)x - + - + + (1)

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số (1) m = 2) Tìm mđể hàm số có cực trị khoảng ( ;1)-¥

· Tập xác định D = R y¢ =x2-2mx m+ 2- +m 1

Đặt t x= - Þ = +1 x t 1 ta : y'=g t( )= +t2 1( -m t m) + 2-3m+2

(26)

Ûg t( ) 0= có nghiệm t<0 P

S P

0 '

0 é < êìD ³ ê Û ï <êí

ï ³ êỵ ë

m m

2

3

1

2

3

é - + < êì - ³ ê

Û ï - < êí

êïỵ - + ³ ë

m

1

Û < <

Vậy: Với 1< <m 2thì hàm số (1) có cực trị khoảng ( ;1)-¥

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số (1) m = 2) Tìm mđể hàm số có cực trị khoảng (1;+¥)

Hàm số(1) có cực trị khoảng (1;+¥) Û f x( ) 0= có nghiệm khoảng(1;+¥) Ûg t( ) 0= có nghiệm t>0

P S P

0 '

0 é < êìD ³ ê Û ï >êí

ï ³ êỵ ë

m m

2

3

1

2

3

é - + < êì - ³ ê

Û ï - > êí

êïỵ - + ³ ë

Û <1 m Vậy: Với m>1 hàm số (1) có cực trị khoảng (1;+¥)

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số (1) m = 2) Tìm mđể hàm số có hai cực trị x x1 2, thoả mãn x1< <1 x2 · Tập xác định D = R y¢ =x2-2mx m+ 2- +m 1

Đặt t x= - Þ = +1 x t 1 ta được: y'=g t( )= +t2 2(1-m t m) + 2-3m+2

(1) có hai cực trị x x1 2, thoả x1< <1 x2 Ûg t( ) 0= có hai nghiệm t t1 2, thoả t1< <0 t2 P

Û < Ûm2-3m+ <2 Û < <1 m

Vậy: Với 1< <m 2thì hàm số (1) có hai cực trị x x1 2, thoả mãn x1< <1 x2 Câu 48. Cho hàm số : y = 1x3 mx2 (m2 m 1)x

3 - + - + + (1)

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số (1) m = 2) Tìm mđể hàm số có hai cực trị x x1 2, thoả mãn x1<x2<1 · Tập xác định D = R y¢ =x2-2mx m+ 2- +m 1

(1) có hai cực trị x x1 2, thoả x1<x2<1 Ûg t( ) 0= có hai nghiệm t t1 2, thoả t1< <t2

S P

' 0

0 ìD > ï Ûí <

ï > ỵ

m

m m m

m

2 03 2 0

2

ì - > ï

Ûí - + > ẻặ ù - <

ợ

Vậy: Khơng có giá trị m thoả YCBT

(27)

(1) có hai cực trị x x1 2, thoả 1<x1<x2 Ûg t( ) 0= có hai nghiệm t t1 2, thoả 0< <t1 t2 S

P

' 0

0 ìD > ï Ûí >

ï > ỵ

m

m m m

m

2 03 2 0 2

2

ì - > ï

Ûí - + > Û > ï - >

ỵ

(28)

Dạng 2: Cực trị hàm số trùng phương: y f x= ( )=ax4+bx2+c

A Kiến thức bản

· Hàm số nhận x=0 làm điểm cực trị

· Hàm số có cực trịÛ phương trình y¢ =0 có nghiệm

· Hàm số có cực trịÛ phương trình y¢ =0 có nghiệm phân biệt

· Khi đồ thị có điểm cực trị A c B x y C x y(0; ), ( ; ), ( ; )1 1 2 2 DABC cân A

1 Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân hoặc tam giác đều.

– Tìm điều kiện để phương trình y¢ =0 có nghiệm phân biệt

– Tìm toạđộ điểm cực trị A, B, C Lập luận DABC cân A – Giải điều kiện: DABC vuông A Û AB ACuuur uuur =0

DABC Û AB BC=

2 Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích S cho trước.

– Tìm điều kiện để phương trình y¢ =0 có nghiệm phân biệt

– Tìm toạđộ điểm cực trị A, B, C Lập luận DABC cân A – Kẻđường cao AH

– Giải điều kiện: S SABC 1AH BC

= =

Câu 50. Cho hàm số y x= 4-2(m2- +m 1)x2+ -m 1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) hàm số

2) Tìm mđểđồ thị (C) có khoảng cách hai điểm cực tiểu ngắn · y¢ =4x3-4(m2- +m 1)x; y x

x m2 m

0

1 é =

¢ = Û ê

= ± - +

êë

Khoảng cách điểm cực tiểu: d = m m m

2

ổ

- + = ỗố - ữứ +

ị mind= m = 1

2

Câu 51. Cho hàm số y 1x4 mx2

2

= - + (1)

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số (1) m=3

2) Xác định mđểđồ thị hàm số (1) có cực tiểu mà khơng có cực đại · y¢=2x3-2mx=2 (x x2-m) y x

x2 m

0

0 é =

¢= Û ê = ë

Đồ thị hàm số (1) có cực tiểu mà khơng có cực đại Û PT y¢=0 có nghiệm Û m£0

Câu 52. Cho hàm số y= -x4+2mx2-4 (Cm)

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) hàm số m=2

(29)

· Ta có: y¢ = -4x3+4mx; y x x2 m

0

0 é =

¢ = Û ê =

ë

+ Nếu m£0 đồ thị có điểm cực trị (0; 4)- ỴOy

+ Nếu m>0 (Cm) có điểm cực trị A(0; 4), (- B - m m; 2-4), (C m m; 2-4) Để A, B, C nằm trục toạ độ B, C Ỵ Ox Û m m

m2

0 2

4

ì > Û = í - =

ỵ

Vậy: m£0 m=2

Câu 53. Cho hàm số y x= 4+(3m+1)x2-3 (với m tham số) 1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số m= -1

2) Tìm tất giá trị m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác cân cho độ dài cạnh đáy

3 lần độ dài cạnh bên

· Ta có: y' 4= x3+2(3m+1)x; y' x 0,x2 3m

2 +

= Û = = -

Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị m

3

Û < - (*) Ba điểm cực trị là:

A(0; 3)- ;B 3m (3; m 1)2

2

æ - - - +

-ỗ ữ

ố ø;

m m

C (3; 1)2

2

æ - - - +

-

-ỗ ữ

ố ứ

ABC

D cân A;BC 2AB m m m

3

4

3 (3 1)

9.4

2 16

ỉ

ỉ- - - - +

= ỗ ữ= ỗ + ữ

ố ứ è ø m

5

Û = - , thoả (*)

Câu 54. Cho hàm số y f x= ( )=x4+2(m-2)x2+m2-5m+5 (Cm) 1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) hàm số m =

2) Tìm giá trị mđểđồ thị (Cm) hàm số có điểm cực đại, cực tiểu tạo thành tam giác vuông cân

· Ta có f x x m x x

x m

3

2

( ) 4( 2)

2 é =

¢ = + - = Û ê

= -ë

Hàm số có CĐ, CT Û PT f x¢( ) 0= có nghiệm phân biệt Û m<2 (*)

Khi toạ độ điểm cực trị là: A(0;m2-5m+5 ,) (B 2-m;1-m C) (, - 2-m;1-m) Þ uuurAB=( 2-m m;- 2+4m-4 ,) uuurAC= -( 2-m m;- 2+4m-4)

Do DABC cân A, nên tốn thoả mãn DABC vng A Û uuur uuurAB AC = Û0 (m-2)3= - Û =1 m (thoả (*))

Câu 55. Cho hàm số y x= 4+2(m-2)x2+m2-5m+5 ( )Cm 1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số m =

2) Với giá trị m đồ thị (Cm) có điểm cực đại điểm cực tiểu, đồng thời điểm cực đại điểm cực tiểu lập thành tam giác

·Ta có f x x m x x

x m

3

2

( ) 4( 2)

2 é =

¢ = + - = Û ê

= -ë

Hàm số có CĐ, CT Û PT f x¢( ) 0= có nghiệm phân biệt Û m<2 (*)

(30)

Do DABC cân A, nên tốn thoả mãn µA=600 Û cosA

2 =

Û AB AC AB AC

2

=

uuur uuur

uuur uuur Û m= -2 33

(Chú ý: Có thể dùng tính chất: DABC Û AB = BC = CA) Câu hỏi tương tự:

a) y x= 4-2mx2+2m m+ 4 ĐS: m=33 b) y x= 4-4(m-1)x2+2m-1 ĐS: m 33

2 = +

c) y x= 4-4(m-1)x2+2m-1

Câu 56. Cho hàm số y x= 4-2mx2+2m m+ có đồ thị (Cm) 1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số m =

2) Với giá trị m đồ thị (Cm) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị lập thành tam giác có diện tích S=4

· Ta có y x mx x

g x x m

2

0

' 4

( )

é =

= - = Û ê

= - =

ë

Hàm số có cực trịÛy' 0= có nghiệm phân biệtÛDg = > Û >m m 0 (*)

Với điều kiện (*), phương trình y¢=0có nghiệm x1= - m x; 2=0; x3 = m Hàm số đạt cực trị x x x1 3; ; Gọi A(0;2m m B m m+ 4); ( ; 4-m2+2 ;m C) (- m m; 4-m2+2m) điểm cực trị (Cm)

Ta có: AB2 =AC2 =m4+m BC; 2=4mÞDABC cân đỉnh A

Gọi M trung điểm BCÞM(0;m4-m2+2 )m ÞAM m= =m2 Vì DABC cân A nên AM đường cao, đó:

ABC

S AM BC m m m m m

5

2 2 5

1 . 1 4 4 4 16 16

2

D = = = Û = Û = Û = Vậy m=516

a) y x= 4-2m x2 2+1, S = 32 ĐS: m= ±2 b) y 1x4 2mx2 m

4

= - + , S=32 2 ĐS: m=2

c) y x= 4-2m x2 2+m4+m, S = 32 ĐS: m= ±2

d) y x= 4-2mx2+2m2-4,S=1 ĐS: m=1

Câu 57. Cho hàm số y x= 4+2mx2+m2+m có đồ thị (Cm) 1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số m = –2

2) Với giá trị m đồ thị (Cm) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị lập thành tam giác có góc 1200

· Ta có y¢ =4x3+4mx; y x x m x

x m

2

0 ( ) é =

¢ = Û + = Û ê

= ±

-êë (m < 0)

Khi điểm cực trị là: A m(0; 2+m B), ( -m m C; ) (, - -m m; )

AB=( - -m m; 2)

uuur

(31)

µA=120o A AB AC m m m

m m

AB AC

4

1

cos

2 . 2

- - - +

Û = - Û = - Û =

-uuur -uuur uuur uuur

m loại

m m m m m m m m

m

m m

4

4 4

4

3

0 ( )

1 2 2 3 0 1

2

3 é =

+ ê

Û = - Þ + = - Û + = Ûê =

êë Vậy m

1 = -

Câu 58. Cho hàm số y x= 4-2mx2+ -m có đồ thị (Cm) 1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số m =

2) Với giá trị m đồ thị (Cm) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị lập thành tam giác có bán kính đường trịn ngoại tiếp

· Ta có y x mx x x m x

x m

3

2

4 4 ( ) é =

¢= - = - = Û ê

= ë

Hàm số cho có ba điểm cực trị ÛPT y¢=0 có ba nghiệm phân biệt y¢ đổi dấu x đi qua nghiệm Û >m 0 Khi ba điểm cực trị đồ thị (Cm) là:

A m(0; -1),B(- m m;- 2+ -m ,) (C m m;- 2+ -m 1)

ABC B A C B

S y y x x m m2

2

= - - =

V ; AB AC= = m4+m BC, =2 m

ABC

m

AB AC BC m m m

R m m

S m m m

4

3

1

1 ( )2 1 2 1 0

5

4 4

2 é =

+ ê

= = Û = Û - + = Û

-ê = êë

V

a) y x= 4-2mx2+1 ĐS: m 1,m

2 - +

= =

Câu 59. Cho hàm số y x= 4-2mx2+2 (Cm)

2) Tìm giá trị m để (Cm) có điểm cực trị tạo thành tam giác có đường trịn ngoại tiếp qua điểm D 9;

5

ổ

ỗ ữ

ố ứ

· Ta có: y x mx y x x m

2

4 ; é =

¢= - ¢= Û ê =

ë Hàm số có điểm cực trị Û m>0

Khi điểm cực trị (Cm) là: A(0;2), (B - m m;- 2+2), (C m m;- 2+2) Gọi I x y( ; ) tâm đường tròn (P) ngoại tiếp DABC

Ta có:

IA ID IB IC IB IA

2

ì =

ï

í =

ï =

ỵ

Û

x y

x m x m

x m y m2 x2 y

3

2

( ) ( 2) ( 2)

ì - + = ï

= -í

ï + + + - = +

-ỵ

Û xy m

0 1 ì = ï

= í ï = î

Vậy m=1

Câu 60. Cho hàm số y x= 4-2(1-m x2) 2+ +m (Cm) 1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số m=0

2) Tìm mđểđồ thị (Cm) có điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích lớn · y¢ =4x3-4(1-m x2) ; y x

x2 m2

0

1 é = ¢ = Û ê =

-ë Hàm số có cực trị Û - < <1 m 1

Khi điểm cực trị (Cm) là:

(32)

Ta có: SABC ( , ).d A BC BC (1 m2 2)

= = - £ Dấu "=" xảy Û m=0 Vậy maxSABC = Û =1 m 0

Câu 61. Cho hàm số y 1x4 (3m 1)x2 2(m 1)

= - + + + (Cm)

2) Tìm mđểđồ thị (Cm) có điểm cực trị tạo thành tam giác có trọng tâm gốc toạđộ O

· y¢ =x3-2(3m+1)x; y x

x2 m

0

2(3 1) é =

¢ = Û ê = +

ë Hàm số có cực trị Û m > - (*)

Khi toạ độ điểm cực trị là:

A(0;2m+2), ( 6B - m+ -2; 9m2-4m+1), ( 6C m+ -2; 9m2-4m+1) DABC có trọng tâm O Û 18m2 6m m 2;m

3

- - + = Û = - = Đối chiếu với điều kiện (*), suy m

(33)

KSHS 03: SỰ TƯƠNG GIAO

Dạng 1: Sự tương giao đồ thị hàm số bậc 3: y f x= ( )=ax3+bx2+cx d a+ ( ¹0) A Kiến thức

· Cho hai đồ thị (C1): y f x= ( ) (C2): y g x= ( ) Để tìm hồnh độ giao điểm (C1) (C2) ta giải phương trình: f x( )=g x( ) (*) (gọi phương trình hồnh độ giao điểm)

Số nghiệm phương trình (*) số giao điểm hai đồ thị

· Số giao điểm đồ thị (C) hàm số bậc ba: y f x= ( )=ax3+bx2+cx d+ với trục hoành số nghiệm phương trình ax3+bx2+cx d+ =0 (1)

1 Tìm đièu kiện để đồ thị (C) trục hồnh có điểm chung nhất.

Û

CĐ CT

f khơng có cực trị f có cực trị y y2 é

êì

êí > êỵ

ë

Û Phương trình (1) có nghiệm

2.Tìm đièu kiện để đồ thị (C) trục hồnh có điểm chung phân biệt.

Û (C) tiếp xúc với Ox Û

CĐ CT

f có cực trị y y2 ì

í =

ỵ Û Phương trình (1) có nghiệm

3.Tìm đièu kiện để đồ thị (C) trục hồnh có điểm chung phân biệt.

Û

CÑ CT

f có cực trị y y2 ì

í <

ỵ Û Phương trình (1) có nghiệm phân biệt

4 Tìm đièu kiện để đồ thị (C) cắt trục hồnh điểm phân biệt có hồnh độ dương. Û CĐ CT

CĐ CT

f có cực trị y y

x x

a f hay ad

2

0,

(0) ( 0) ì

ï < ï

í > > ï

< < ïỵ

(34)

5 Tìm đièu kiện để đồ thị (C) cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ âm. Û CĐ CT

CĐ CT

f có cực trị y y

x x

a f hay ad

2

0,

(0) ( 0) ì

ï < ï

í < < ï

> > ïỵ

Û Phương trình (1) có nghiệm âm phân biệt

6 Tìm đièu kiện để đồ thị (C) cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ tạo thành cấp số cộng

a b c, , lập thành cấp số cộng Û a c+ =2b – Giả sử (1) có nghiệm x x x1 3, , lập thành cấp số cộng

– Viết (1) dạng: ax3+bx2+cx d+ =0 Û a x x x x x x( - 1)( - 2)( - 3) 0=

Û a xëé 3-(x1+x2+x x3) 2+(x x1 2+x x2 3+x x x x x x3 1) - 1 3ùû=0 – x x x1 3, , lập thành cấp số cộng Û x1+x3=2x2 Þ x b

a

2 = -3 nghiệm (1)

– Thế x b

a

2 = -3 vào (1) để suy điều kiện cần tìm

Chú ý: Đây điều kiện cần nên phải thử lại kết tìm được.

7 Tìm đièu kiện để đồ thị (C) cắt trục hồnh điểm phân biệt có hồnh độ tạo thành cấp số nhân

a b c, , lập thành cấp số nhân Û ac b= 2 – Giả sử (1) có nghiệm x x x1 3, , lập thành cấp số nhân

– Viết (1) dạng: ax3+bx2+cx d+ =0 Û a x x x x x x( - 1)( - 2)( - 3) 0=

Û a xëé 3-(x1+x2+x x3) 2+(x x1 2+x x2 3+x x x x x x3 1) - 1 3ùû=0 – x x x1 3, , lập thành cấp số nhân Û x x1 3=x22 Þ x d

a

3

2 = - nghiệm (1)

– Thế x d

a

3

2 = - vào (1) để suy điều kiện cần tìm

(35)

Câu 1. Cho hàm số y x= 3+mx+2 có đồ thị (Cm)

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số m = –3 2) Tìm mđểđồ thị (Cm) cắt trục hoành điểm

· PT hoành độ giao điểm (Cm) với trục hoành: x3+mx+ =2 m x x

x

2 ( 0)

Û = - - ¹

Xét hàm số: f x x f x x x

x x x

3

2

2 2

( )= - - Þ '( )= -2 + =- + Ta có bảng biến thiên:

f x¢( ) f x( )

-¥ +¥

-¥ -¥

x

Đồ thị (Cm) cắt trục hoành điểm Ûm> -3 Câu 2. Cho hàm số y f x= ( )=x3-mx2+2m (Cm) ( m tham số)

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số m = 2) Tìm mđểđồ thị (Cm) cắt trục hồnh điểm

· Ta có: y¢ =3x2-2mx x x= (3 -2 )m

+ Khi m = thỡ yÂ =3x2 ị0 (1) đồng biến R Þ thoả u cầu tốn + Khi m¹0thì (1) có cực trị x1 ,x2 2m

3

= = Do đồ thị cắt Ox điểm ( )

f x f x( ).1 2 >0 2m m2 4m3 4m2 2m2

27 27

ỉ ỉ

Û ç - ÷> Û ç - ÷>

è ø è ø

m

0

3 6

2

ì ¹ ï

Û í- < < ïỵ

Kết luận: m 6;

2

æ

ẻ -ỗ ữ

ố ứ thỡ thị (Cm) cắt Ox điểm Câu hỏi tương tự:

a) y x= 3+3(m+1)x2+3(m2+1)x+1 ĐS: m RỴ Câu 3. Cho hàm số y=2x3-3(m+1)x2+6mx-2 có đồ thị (Cm)

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số m = 2) Tìm mđểđồ thị (Cm) cắt trục hồnh điểm

· y¢ =6x2-6(m+1)x+6m; Dy¢ =' 9(m+1)2-36m=9(m-1)2

+ Nếu m=1 y¢ ³ "0, x Þ hàm số đồng biến R Þđồ thị cắt trục hoành điểm duy Þ m=1 thoả mãn YCBT

+ Nếu m¹1 hàm số có điểm cực trị x x1, 2 (x x1, 2 nghiệm PT y¢ =0) Þ x1+x2= +m 1;x x1 2=m

Lấy y chia cho y¢ ta được: y x m y (m 1)2x m m( 1)

3

ổ + Â

=ỗ - ữ - - - + +

è ø

Þ PT đường thẳng qua điểm cực trị là: y= -(m-1)2x- +2 m m( +1) Đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm Û yCÑ CT.y >0

Û (-(m-1)2x1- +2 m m( +1) () (- m-1)2x2- +2 m m( +1))>0

(36)

Câu 4. Cho hàm số y x= 3-3m x2 +2m có đồ thị (Cm)

2) Tìm mđểđồ thị (Cm) cắt trục hoành hai điểm phân biệt

·Để (Cm) cắt trục hoành hai điểm phân biệt (Cm) phải có điểm cực trị

ị yÂ=0 cú nghim phõn bit 3x2-3m2=0 cú nghiệm phân biệt Û m¹0

Khi y' 0= Û = ±x m

(Cm) cắt Ox điểm phân biệt ÛyCĐ = yCT =

Ta có: + y m(- ) 0= Û2m3+2m= Û =0 m 0 (loại) + y m( ) 0= Û -2m3+2m= Û = Ú = ±0 m m

Vậy: m= ±1

Câu 5. Cho hàm số y x= 3-3x2+1

2) Tìm m để đường thẳng (D): y ( m= -1)x-4m-1 cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt

· Phương trình hồnh độ giao (C) (D): x3-3x2-( m2 -1)x+4m+ =2

Û (x-2)(x2- -x 2m- =1) x

f x x2 x m

2

( ) (1)

é =

Û ê = - - - =

ë

(D) cắt (C) điểm phân biệt Û (1) phải có nghiệm x x1, 2 thỏa mãn: x x1 xx2

1

2 é ¹ = ê = ¹

ë

Û ba

f

0 2

0 (2) D D

éì =ï êí ê -ïỵ ¹ ê

êì > í êỵ = ë

Û m m m

8

1 2

8

2

ộỡù + = ờớ

ờùợ

êì + > í

ê - + =ỵ ë

Û m

m

5 é

= -ê ê ê = êë

Vậy: m

8

= - ; m

2 =

Câu 6. Cho hàm số y x= 3-6x2+9x-6 có đồ thị (C) 1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) hàm số

2) Định mđểđường thẳng ( ) :d y mx= -2m-4 cắt đồ thị (C) ba điểm phân biệt

· PT hoành độ giao điểm (C) (d): x3-6x2+9x- =6 mx-2m-4

Û (x-2)(x2-4x+ -1 m) 0= Û x

g x x2 x m

2

( )

é =

ê = - + - =

ë

(d) cắt (C) ba điểm phân biệt Û PT g x( ) 0= có nghiệm phân biệt khác Û m> -3 Câu 7. Cho hàm số y x= 3-3mx2+3(m2-1)x m-( 2-1) (m tham số) (1)

2) Tìm giá trị mđểđồ thị hàm số (1) cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ dương

·Đồ thị (1) cắt trục Ox điểm phân biệt có hồnh độ dương Û CĐ CT CĐ CT

có cực trị y y

x x

a y

(1)

0,

(0) ì

ï < ï

í > > ï

< ïỵ

(*)

+ y¢ =3x2-6mx+3(m2-1) + Dy¢ =9(m2-m2+ = > "1) 0, m + CÑ CT

x m x

(37)

Suy ra: (*)

m m

m

m m m m

m

2 2

2 1

3

( 1)( 3)( 1)

( 1) ì - > ï + > ï

Ûí Û < < +

- - - - <

ï

ï- - < î

Câu 8. Cho hàm số y 1x3 mx2 x m

3

= - - + + có đồ thị (Cm) 1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số m = –1

2) Tìm mđể (Cm)cắt trục hồnh điểm phân biệt có tổng bình phương hồnh độ lớn 15

· YCBT Û 1x3 mx2 x m

3 - - + + =3 (*) có nghiệm phân biệt thỏa x12+x22+x32 >15

Ta có: (*) Û(x-1)(x2+ -(1 )m x- -2 ) 0m = Û x

g x x2 m x m

1

( ) (1 )

é =

ê = + - - - =

ë

YCBT Û g x( ) 0= có nghiệm x x1, 2 phân biệt khác thỏa x12+x22>14 Û m >1

a) Với y x= 3-3mx2-3x+3m+2

Câu 9. Cho hàm số y x= 3-3x2-9x m+ , m tham số thực 1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) hàm sốđã cho m=0

2) Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số cho cắt trục hồnh điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số cộng

·Đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số cộng ÛPhương trình x3-3x2-9x m+ =0 có nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng ÛPhương trình x3-3x2-9x= -m có nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng ÛĐường thẳng y= -m đi qua điểm uốn đồ thị (C) Û - = - Ûm 11 m=11 Câu 10. Cho hàm số y x= 3-3mx2+9x-7 có đồ thị (Cm), m tham số thực

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) hàm sốđã cho m=0

2) Tìm m để (Cm) cắt trục hồnh điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số cộng

· Hoành độ giao điểm nghiệm phương trình: x3-3mx2+9x- =7 0 (1) Gọi hoành độ giao điểm x x x1 3; ; ta có: x1+x2+x3=3m

Để x x x1 3; ; lập thành cấp số cộng x2=m nghiệm phương trình (1) Þ -2m3+9m- =7 Û

m m m

1

1 15 15

2 é = ê - + ê = ê

ê -= ê ë

Thử lại ta có m 15

2

-= giá trị cần tìm

a) y x= 3-3mx2+2 (m m-4)x+9m2-m ĐS: m=1 Câu 11. Cho hàm số y x= 3-3mx2-mx có đồ thị (Cm), m tham số thực

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) hàm sốđã cho m=1

(38)

· Xét phương trình hoành độ giao điểm (Cm) d:

x3-3mx2-mx x= + Û2 g x( )=x3-3mx2-(m+1)x- =2

Đk cần: Giả sử (C) cắt d điểm phân biệt có hồnh độ x x x1 3; ; lập thành cấp số nhân Khi ta có: g x( ) (= x x x x x x- 1)( - 2)( - 3)

Suy ra:

x x x m

x x x x x x m x x x

1 2 3

3

1

ì + + =

ï + + =

-í

ï =

ỵ

Vì x x1 3=x22Þx23= Þ2 x2=32 nên ta có: m 32.3m m 3

3

- - = + Û =

-+ Đk đủ: Với m 3

3 =

-+ , thay vào tính nghiệm thấy thỏa mãn Vậy: m 3

3 =

-+ Câu hỏi tương tự:

a) y x= 3-(3m+1)x2+(5m+4)x-8, d Oxº ĐS: m=2 Câu 12. Cho hàm số y x= 3-3x2+2

2) Tìm giá trị tham sốmđểđường thẳng d y m x: = ( - -2) cắt đồ thị (C) điểm phân biệt A(2; –2), B, D cho tích hệ số góc tiếp tuyến B D với đồ thị (C) đạt giá trị nhỏ

· PT hoành độ giao điểm (C) d: x3-3x2+ =2 m x( - -2)

Û x

g x x2 x m

2

( ) (1)

é =

ê = - - - =

ë

(C) cắt d điểm phân biệt A(2; –2), B, D Û g(2)9 4mm 00 m

D

ì = + > Û - < ¹ í = - ạ

ợ (*)

Vi iu kiện (*), gọi x x1 2, nghiệm (1) x1+x2 =1,x x1 2= - -2 m Ta có: k y x y x= ¢( ) ( ) (31 ¢ 2 = x12-6 )(3x1 x22-6 )x2 = 9(m+1)2- ³ -9 9 với m

4

- < ¹ Dấu "=" xảy Û m= -1 Vậy giá trị m cần tìm m= -1 Khi kmin= -9 Câu 13. Cho hàm số y= -2x3+6x2+1 (C)

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số (C) hàm số

2) Tìm mđểđường thẳng d y mx: = +1 cắt (C) điểm phân biệt A(0; 1), B, C cho B trung điểm đoạn thẳng AC

· PT hoành độ giao điểm (C) d: -2x3+6x2+ =1 mx+1 Û é =ê2xx20 (-6yx m=+ =1) 0 (1) ë

d cắt (C) điểm phân biệt A(0; 1), B, C Û (1) có nghiệm phân biệt x x1 2, ¹0

Û m 00 m 9;m

2

D¢ ì

ì > Û <í ¹

í ¹ ỵ

ỵ Khi B x mx( ;1 1+1), ( ;C x mx2 2+1) Vì B trung điểm AC nên x2 =2x1 (2) Mặt khác: xx x1 x2m

1 ì + = ï

í =

(39)

Câu 14. Cho hàm số y x= 3-6x2+9x (1)

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) hàm số (1)

2) Tìm m để đường thẳng d y mx: = cắt (C) điểm O(0; 0), A, B phân biệt Chứng tỏ m thay đổi, trung điểm I đoạn AB nằm đường thẳng song song với trục tung

· PT hoành độ giao điểm (C) d: x3-6x2+9x mx= Û x y

x2 x m

0 ( 0)

6 (1)

é = =

ê - + - =

ë

d cắt (C) điểm phân biệt O(0; 0), A, B Û (2) có nghiệm phân biệt x xA, B khác ỡ >ớ - ạ9DÂ m0 0 < ạ0 m (*)

ỵ Vì I trung điểm AB nên

A B I

x x

x

2 +

= =

ị I ẻD: x=3 (D // Oy).

Câu 15. Cho hàm số y x= 3-3mx2+(m-1)x m+ +1 (Cm) 1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số m=1

2) Tìm giá trị mđểđường thẳng d y: =2x m- -1 cắt đồ thị (Cm) điểm phân biệt có hồnh độ lớn

· PT hoành độ giao điểm (Cm) d: x3-3mx2+(m-1)x m+ + =1 2x m- -1 (1) Û é =êxx2+ -1(1 )m x-2m- =2 (2)

ë

YCBT Û (1) có nghiệm phân biệt lớn Û (2) có nghiệm phân biệt lớn hơn

Xét PT (2) ta có: D=9m2+2m+ > "9 0, m Þ (2) ln có nghiệm phân biệt x x1 2, Do đó: (2) có nghiệm phân biệt lớn Û1<x1<x2 Û 0<x1- <1 x2-1 (*) Đặt t x= -1 Khi (2) Û t2+3(1-m t) 5- m=0 (3)

(*) Û (3) có nghiệm dương phân biệt Û S m

P m

0

3( 1)

5

D

ì > ï

= - > í

ï = - > ỵ

(vơ nghiệm) Kết luận: khơng có giá trị m thoả YCBT

Câu 16. Cho hàm số y x= 3-3x+2

2) Viết phương trình đường thẳng d cắt đồ thị (C) điểm phân biệt A, B, C cho A

x =2 BC=2

· Với xA =2 Þ yA=4 PT đường thẳng d đia qua A(2; 4) có dạng: y k x= ( - +2) 4 PT hoành độ giao điểm (C) d: x3-3x+ =2 k x( - +2) Û é =êg xx( )2=x2+2x k- + =1 0

ë d cắt (C) điểm phân biệt Û ớỡgD(2) 0Â>0 ớỡkk>90

ạ

ợ ợ Khi toạ độ B x y C x y( ; ), ( ; )1 2 thoả hệ phương trình: x x k

y kx k

2 2 1 (1)

2 (2)

ì + - + = í = - + ợ

Ta cú: (1) ị x1-x2 =2 k ; (2) Þ y1-y2 = k x( 1-x2) 2= k k

(40)

Câu 17. Cho hàm số y=4x3-6mx2+1 (C) (m tham số)

2) Tìm giá trị m đểđường thẳng d y: = - +x cắt đồ thị (C) điểm A(0; 1), B, C phân biệt cho B, C đối xứng qua đường phân giác thứ

· PT hoành độ giao điểm (C) d: 4x3-6mx2+ = - +1 x Û x

x2 mx

0

4 (1)

é =

ê - + =

ë

d cắt (C) điểm phân biệt A(0; 1), B, C Û (1) có nghiệm phân biệt khác

Û m

m

2 3 é

< -ê ê ê > êë

(*) Khi giả sử B x( ;1 - +x1 1), ( ;C x2 - +x2 1)

B, C đối xứng qua đường thẳng y x= Û xy1 yx2

ì = í =

ỵ Û

x x

x12 x21

1 ì = - + í = - +

ỵ Û x1+x2 =1

Û 3m m

2 = Û =3 (khơng thoả (*)) Vậy khơng có giá trị m thoả YCBT Câu 18. Cho hàm sốy x= 3+2mx2+(m+3)x+4 có đồ thị (Cm) (m tham số)

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C1) hàm số m =

2) Cho đường thẳng (d): y x= +4 điểm K(1; 3) Tìm giá trị mđể (d) cắt (Cm) ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C cho tam giác KBC có diện tích

· Phương trình hồnh độ giao điểm (Cm) d là: x3+2mx2+(m+3)x+ = +4 x

x y

g x x2 mx m

0 ( 4)

( ) 2 (1)

é = =

Û ê = + + + =

ë

(d) cắt (Cm) ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C Û(1) có nghiệm phân biệt khác

m m

m

g m

/ 2 0 1 2

2

(0)

D

ì = - - > ì < - Ú >

Ûí Ûí ¹

-= + ợ

ợ (*)

Khi đó: xB+xC = -2 ;m x xB C = +m 2 Mặt khác: d K d( , ) 2

- +

= = Do đó:

KBC

S 1BC d K d ( , ) BC 16 BC2 256

D = Û = Û = Û =

B C B C

x x y y

( ) ( ) 256

Û - + - = Û(xB-xC)2+((xB+ -4) (xC+4))2 =256

B C B C B C

x x x x x x

2( ) 256 ( ) 128

Û - = Û + - =

m2 m m2 m m 137

4 4( 2) 128 34

2 ±

Û - + = Û - - = Û = (thỏa (*)) Vậy m 137

2 ±

=

a) y x= 3+2mx2+3(m-1)x+2, d y: = - +x 2, K(3;1), (0;2),A S=2 2 ĐS: m=0,m=3 Câu 19. Cho hàm số y x= 3-3x2+4 có đồ thị (C)

2) Gọi dk đường thẳng qua điểm A( 1;0)- với hệ số góc k (kỴ¡) Tìm k để đường thẳng dk cắt đồ thị (C) ba điểm phân biệt A, B, C giao điểm B, C với gốc toạ độ O tạo thành tam giác có diện tích

· Ta có: d y kx kk: = + Û kx y k- + =0

(41)

x3-3x2+ =4 kx k+ Û(x+1) (ëé x-2)2-kûù= Û = -0 x 1 (x-2)2=k

k

d cắt (C) điểm phân biệt Û ạỡ >kk 09

ợ (*)

Khi giao điểm A( 1;0), 2- B( - k k k k C;3 - ) (, 2+ k k k k;3 + )

k k

BC k k d O BC d O d

k

2

2 , ( , ) ( , )

1

= + = =

+ OBC k

S k k k k k k

k

2

1 1 1

2

D = + = Û = Û = Û =

+ (thoả (*))

a) y x= 3-3x2+4; ( 1;0),A - SOBC=8 ĐS: k=4

Câu 20. Cho hàm số y= -(2 m x) 3-6mx2+9(2-m x) -2 (Cm) (m tham số) 1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số m =

2) Tìm mđểđường thẳng d y: = -2 cắt (Cm) ba điểm phân biệt A(0; 2)- , B C cho diện tích tam giác OBC 13

· Phương trình hồnh độ giao điểm là: (2-m x) 3-6mx2+9(2-m x) - = -2 2 (1)

x

m x2 mx m

0

(2 ) 9(2 ) (2)

é =

Û ê - - + - =

ë

d cắt (C) điểm phân biệt A(0; –2), B, C Û (2) có nghiệm phân biệt khác Û íì2D- ¹=m9m20-9(2-m)2 > ớ ạỡ >mm 12

ợ

ợ (*) Giả sử B x( ; 2), ( ; 2)B - C xC - (xB¹xC) Khi đó: B C

B C

m x x

m x x

6 ì

ï + =

í

-ï =

ỵ

Ta có: S OBC ( , ).d O BC BC 13

D = =

( B C) B C

BC 13 x x 4x x 13

Þ = Û + - = Û mm m

m

2 14

6 36 13

13

2 14

é

ổ ờ =

- =

ỗ - ÷ ê

è ø ë = (thoả (*)) Câu 21. Cho hàm số y x= 3-3x2+2 có đồ thị (C)

2) Gọi E tâm đối xứng đồ thị (C) Viết phương trình đường thẳng qua E cắt (C) ba điểm E, A, B phân biệt cho diện tích tam giác OAB

· Ta có: E(1; 0) PT đường thẳng D qua E có dạng y k x= ( -1) PT hồnh độ giao điểm (C) D: (x-1)(x2-2x- -2 k) 0=

D cắt (C) điểm phân biệt Û x2-2x- - =2 k 0 có nghiệm phân biệt khác Û k> -3 OAB

S ( , ).d O AB k k

D = D = + Þ k k+ =3 Û é = -ê = - ±kk 11 3 ë

Vậy có đường thẳng thoả YCBT: y= - +x 1;y= - ±( () x-1) Câu 22. Cho hàm số y x= 3+3x2+mx+1 (m tham số) (1)

1) Khảo sát vẽđồ thị hàm số m =

(42)

· PT hoành độ giao điểm (1) d: x3+3x2+mx+ = Û1 x x( 2+3x m+ ) 0= d cắt (1) điểm phân biệt A(0; 1), B, C Û m ,m

4 < ¹

Khi đó: x xB, C nghiệm PT: x2+3x m+ =0 Þ xB+xC = -3;x xB C =m

Hệ số góc tiếp tuyến B k1=3xB2+6xB+m C k2 =3xC2 +6xC +m

Tiếp tuyến (C) B C vng góc với Û k k1 2 = -1 Û 4m2-9m+ =1

Û m 65 m 65

8

- +

= Ú =

Câu 23. Cho hàm số y x= 3-3x+1 có đồ thị (C) đường thẳng (d): y mx m= + +3 1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) hàm số

2) Tìm m để (d) cắt (C) M(–1; 3), N, P cho tiếp tuyến (C) N P vng góc với

· Phương trình hồnh độ giao điểm (C) (d): x -(m3 +3)x m- - =2

Û (x+1)(x2- - - =x m 2) Û x y

g x x2 x m

1( 3)

( )

é = - =

ê = - - - =

ë

d cắt (1) điểm phân biệt M(–1; 3), N, P Û m ,m > - ¹

Khi đó: x xN, P nghiệm PT: x2- - - =x m Þ xN +xP =1;x xN P = - -m

Hệ số góc tiếp tuyến N k1=3xN2 -3 P k2 =3xP2 -3

Tiếp tuyến (C) N P vng góc với Û k k1 2 = -1 Û 9m2+18m+ =1

Û m 2 m 2

3

- +

-= Ú =

Câu 24. Cho hàm số y x= 3-3x2+4 (C)

2) Gọi (d) đường thẳng qua điểm A(2; 0) có hệ số góc k Tìm k để (d) cắt (C) ba điểm phân biệt A, M, N cho hai tiếp tuyến (C) M N vng góc với

· PT đường thẳng (d): y k x= ( -2)

+ PT hoành độ giao điểm (C) (d): x3-3x2+ =4 k x( -2)

Û (x-2)(x2- - -x k) 0= Û x xA

g x x2 x k

2

( )

é = =

ê = - - - =

ë

+ (d) cắt (C) điểm phân biệt A, M, N Û PT g x( ) 0= có nghiệm phân biệt, khác

Û f(2) 00 k

ìD > - < ạ

ớ ạ

ợ (*)

+ Theo định lí Viet ta có: M N M N

x x

x x k

1

ì + =

í =

-ỵ

+ Các tiếp tuyến M N vng góc với nhauÛ y x¢( M) ( )y x¢ N = -1

Û (3xM2 -6xM)(3x2N -6 )xN = -1 Û 9k2+18k+ =1 k 2

3 - ±

Û = (thoả (*)) Câu 25. Cho hàm số y x= 3-3x (C)

(43)

2) Chứng minh m thay đổi, đường thẳng (d): y m x= ( + +1) cắt đồ thị (C) điểm M cốđịnh xác định giá trị mđể (d) cắt (C) điểm phân biệt M, N, P cho tiếp tuyến (C) N P vng góc với

· PT hoành độ giao điểm (x+1)(x2- - -x m) 0= (1) Û x

x2 x m

1

2 (2)

é + =

ê - - - =

ë

(1) ln có nghiệm x= -1 (y=2) Þ (d) ln cắt (C) điểm M(–1; 2) (d) cắt (C) điểm phân biệt Û (2) có nghiệm phân biệt, khác –1

Û m ; 0m

4

> - ¹ (*)

Tiếp tuyến N, P vng góc Û y x'( ) '( )N y xP = -1 Û m 2

3 - ±

= (thoả (*))

Câu 26. Cho hàm số y 1x3 x2 3x

3

= - - +

2) Lập phương trình đường thẳng d song song với trục hoành cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B cho tam giác OAB cân O (O gốc toạđộ)

· Giả sử phương trình đường thẳng d: y = m

PT hoành độ giao điểm (C) d: 1x3 x2 3x m

3 - - + =3 Ûx3-3x2-9x+ -8 3m=0(1) Để d cắt (C) điểm phân biệt A, B cho DOAB cân O (1) phải có nghiệm

x x1, 2= -x1(x1,–x1 hoành độ A, B) Þ x1, x2 nghiệm phương trình:

x2 x12 x x2

( - )( - ) 0= Û x3-x x2 2-x x x x12 + 1 22 =0 (2) Đồng (1) (2) ta được:

x x

x x m

2 2

3

8 ì =

ï = í

ï =

-ỵ

Û xx

m

1

3

19 ì = ± ïï = í ï = -ïỵ

Kết luận: d: y 19

3 = -

Câu 27. Cho hàm số y x= 3-5x2+3x+9 (1)

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) hàm số (1)

2) Gọi D đường thẳng qua A( 1;0)- có hệ số góc k Tìm k để D cắt đồ thị (C) ba điểm phân biệt A B C, , cho tam giác OBC có trọng tâm G(2;2) (O gốc toạđộ)

·PT đường thẳng D: y k x= ( +1) PT hoành độ giao điểm (C) D:

x3-5x2+3x+ =9 k x( +1) Û é = -ê - =(xx 3)12 k ë

D cắt (C) ba điểm phân biệt Û(x-3)2 =k có hai nghiệm phân biệt khác -1 Û ì >ớ ạkk 160 ợ Khi ú to cỏc giao im là: A( 1;0)- , B(3+ k k; 4( + k)), C(3- k k; 4( - k)) Do tọa độ trọng tâm DOBC: G

G

x k y

2

8 2

3 ì = ï

í = =

ïỵ Û k

3

(44)

Dạng 2: Sự tương giao đồ thị hàm số trùng phương: y f x= ( )=ax4+bx2+c a( ¹0) A Kiến thức

Số giao điểm (C): y ax= 4+bx2+c với trục Ox = số nghiệm ax4+bx2+ =c 0 (1)

ax bx c t x t

at bt c

2

4

2 , 0 (1)

0 (2) ìï = ³

+ + = Û í

+ + = ïỵ

Để xác định số nghiệm (1) ta dựa vào số nghiệm (2) dấu chúng · (1) vơ nghiệm Û vô nghiệmcó nghiệm kép âm

có nghiệm âm

(2) (2) (2) é

ê ê ë

· (1) có nghiệm Û éêë(2)(2)có nghiệm kép bằngcó nghiệm bằng1 0,nghiệm lại âm0 · (1) có nghiệm Û éêë(2)(2)có nghiệm kép dươngcó nghiệm dương nghiệm âm1 1 · (1) có nghiệm Û (2)có nghiệm bằng1 0,nghiệm lại dương

· (1) có nghiệm Û (2)có nghiệm dương phân biệt2 B Một số dạng câu hỏi thường gặp

1 Tìm điều kiện để đồ thị (C) cắt trục hoành k điểm phân biệt.

Dựa vào trường hợp nêu

2 Tìm điều kiện để đồ thị (C) cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số cộng.

Û ax4+bx2+ =c (1) có nghiệm phân biệt

Û at2+ + =bt c (t x= 2) (2) có nghiệm dương phân biệt t t1 2, (giả sử t t1< 2) – Khi nghiệm (1) là: - t2;- t1; t1; t2

– Vì - t2;- t1; t1; t2 lập thành cấp số cộng nên t2 - t1 = t1- -( )t1 Û =t2 9t1

– Giải điều kiện:

b t t

a c t t

a

t t

1 2 92

ì

+ = -ï

ï

í =

ï ï = ỵ

(45)

Câu 28. Cho hàm số y x= 4-mx2+ -m có đồ thị ( )Cm

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) hàm số m=8 2) Định mđểđồ thị ( )Cm cắt trục hoành bốn điểm phân biệt

· PT hoành độ giao điểm (Cm) với trục hoành: x4-mx2+ - =m 0 (1) Đặt t x t= 2, ³0 Khi đó: (1) Û t2-mt m+ - =1 0 (2) Û é =ê = -tt m1 1

ë

YCBT Û (1) có nghiệm phân biệt Û (2) có nghiệm dương phân biệt Û 0< - ¹m 1 Û ì >í ¹mm 12

ỵ

Câu 29. Cho hàm số y x= 4-2(m+1)x2+2m+1 có đồ thị ( )Cm 1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm sốđã cho m=0

2) Định m để đồ thị ( )Cm cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số cộng

· Xét phương trình hồnh độ giao điểm: x4-2(m+1)x2+2m+ =1 0 (1) Đặt t x t= 2, ³0 (1) trở thành: f t( )= -t2 2(m+1) 2t+ m+ =1 0

Để (Cm) cắt Ox điểm phân biệt f t( ) 0= phải có nghiệm dương phân biệt

( )

m

S m

m

P m

2

' 1

2 2

0

2

D

ì = > ì

ï ï >

-Ûí = + > Ûí ï = + > ù ạợ ợ

(*)

Với (*), gọi t1<t2 nghiệm f t( ) 0= , hồnh độ giao điểm (Cm) với Ox lần

lượt là: x1= - t x2; 2 = - t x1 3; = t x1; 4= t2

x x x x1, , ,2 3 4 lập thành cấp số cộng Ûx2-x1=x3-x2 =x4-x3 Û =t2 9t1

( ) ( ) m m m

m m m m m m

m m m

4

5 4

1 5 4 4

9 é =

é = + ê

Û + + = + - Û = + Ûê- = Û

+ ê =

-ë ë (thoả (*)) Vậy m 4;

9

ì ü

=ớ - ý

ợ ỵ

Cõu hi tương tự:

a) Với y= -x4+2(m+2)x2-2m-3 ĐS: m 3,m 13

9 = = - . Câu 30. Cho hàm số y x= 4-(3m+2)x2+3m có đồ thị (Cm), m tham số

2) Tìm mđể đường thẳng y= -1 cắt đồ thị (Cm) điểm phân biệt có hồnh độ nhỏ

· Phương trình hồnh độ giao điểm (Cm) đường thẳng y= -1:

x4-(3m+2)x2+3m= -1 Û x4-(3m+2)x2+3m+ =1 0Û x x2 m

1

3 (*)

é = ±

ê = +

ë

Đường thẳng y= -1cắt (Cm) điểm phân biệt có hồnh độ nhỏ

phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác ±1 nhỏ

Û m

m

0

3 1

ì < + < ï

ớ

+

ùợ m m

1 1; 0

3 ì

- < < ¹ í

(46)

Câu 31. Cho hàm số y x= 4-2(m+1)x2+2m+1 có đồ thị (Cm), m tham số 1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số m =

2) Tìm mđểđồ thị (Cm) cắt trục hồnh điểm phân biệt có hồnh độ nhỏ

· Xét phương trình hồnh độ giao điểm: x4-2(m+1)x2+2m+ =1 0 (1) Đặt t x t= 2, ³0 (1) trở thành: f t( )= -t2 2(m+1) 2t+ m+ =1 0

(Cm) cắt Ox điểm phân biệt có hồnh độ nhỏ

( )

f t

Û có nghiệm phân biệt t t1 2, cho: tt1 t2 t

1

0

é = < < ê < < £ ë

m m

f m

f m hoặc m m

S m

P m

2

2 0

1 (3) 4

(0) 1

2 2( 1)

2( 1)

2

D

D ì ¢ = >

ì ¢ = > ï

ï ï = - £

Ûí = + = í Û = - Ú ³

= + >

ï = + < ï

ỵ ïỵ = + >

Vậy: m m

= - Ú ³

Câu 32. Cho hàm số y x= 4-2m x2 2+m4+2m (Cm), với m tham số 1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số m=1

2) Chứng minh đồ thị (Cm) cắt trục Ox hai điểm phân biệt, với m<0

· PT hoành độ giao điểm (Cm) với trục Ox: x4-2m x2 2+m4+2m=0 (1) Đặt t x t= ( ³0), (1) trở thành : t2-2m t m2 + 4+2m=0 (2)

Ta có : D = -' 2m>0 S=2m2>0 với m>0 Nên (2) có nghiệm dương

Þ (1) có nghiệm phân biệt Þ đồ thị hàm số (1) ln cắt trục Ox hai điểm phân biệt

Câu 33. Cho hàm số y x= 4+2m x2 2+1 (m tham số) (1) 1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số m =

2) Chứng minh đường thẳng y x= +1 cắt đồ thị hàm số (1) hai điểm phân biệt với giá trị m

· Xét PT hoành độ giao điểm:

x4+2m x2 2+ = +1 x 1Û x x( 3+2m x2 - =1 0) Û x

g x x3 m x2

0

( ) (*)

é =

ê = + - =

ë

Ta có: g x¢( ) 3= x2+2 0m2³ (với x m ) Þ Hàm số g(x) ln đồng biến với giá trị m

Mặt khác g(0) = –1 ¹0 Do phương trình (*) có nghiệm khác

Vậy đường thẳng y x= +1 cắt đồ thị hàm số (1) hai điểm phân biệt với giá trị của m

Câu 34. Cho hàm số y x= 4-(m2+2)x2+m2+1 (Cm)

2) Tìm giá trị mđể (Cm) cắt trục hồnh điểm phân biệt cho hình phẳng giới hạn (Cm) với trục hồnh phần phía trục hồnh có diện tích 96

15

· PT hoành độ giao điểm (Cm) với trục Ox: x4-(m2+2)x2+m2+ =1 0Û x

x m2

1 é = ±

ê

(47)

Þ (Cm) cắt trục Ox điểm phân biệt Û m ¹ (*)

Khi đó: diện tích hình phẳng giới hạn (Cm) với trục hồnh phần phía trục hồnh là: S x4 m2 x2 m2 dx

1

( ( 2) 1)

-= ò - + + + Û 20m152+16 96=15 Û m= ±2 (thoả (*))

Câu 35. Cho hàm số y x= 4-4x2+m (Cm)

2) Tìm giá trị mđể (Cm) cắt trục hoành điểm phân biệt cho hình phẳng giới hạn (Cm) với trục hồnh có diện tích phần phía trục hồnh diện tích phần trục hồnh

· PT hoành độ giao điểm (Cm) với trục hoành: x4-4x2+ =m 0(1) Û t x t

t t m

2

2 4, 0 (2)

ìï = ³ í

- + =

ïỵ

(Cm) cắt Ox điểm phân biệt Û (1) có nghiệm phân biệt Û (2) có nghiệm dương phân biệt Û S m m

P m

4

4 0

0 D¢

ì = - > ï

= > Û < < í

ï = > ỵ

(*)

Giả sử (2) có nghiệm t t1 2, (0< <t1 t2) Khi (1) có nghiệm phân biệt theo thứ tự tăng dần là: x1= - t x2; 2 = - t x1 3; = t x1; 4= t2 Do tính đối xứng (Cm) nên ta có:

x x

x

x x m dx x x m dx

3

4

0

( -4 + ) = (- +4 - )

ò ò Û x54 x34 mx x4 x2 m

4 4

4

0 20 15

5 - + = Û - + =

Suy x4 nghiệm hệ: x x m

x x m

4

4 (3)

3 20 15 (4)

ì - + =

ï í

- + =

ïỵ Û

m m

0 20

9 é = ê

= ê ë

Đối chiếu điều kiện (*) ta suy m 20

9 =

Câu 36. Cho hàm số y x= 4-2(m+1)x2+2m+1 (Cm)

2) Tìm giá trị mđể (Cm) cắt trục hoành điểm phân biệt A, B, C, D có hồnh độ x x x x1 4, , , (x1<x2<x3<x4) cho tam giác ACK có diện tích S=4, biết

K(3; 2)-

· PT hoành độ giao điểm (Cm) với trục hoành: x4-2(m+1)x2+2m+ =1 (1) Đặt t x t= 2, ³0 (1) trở thành: t2-2(m+1) 2t+ m+ =1 0 (2)

(Cm) cắt Ox điểm phân biệt Û (2) có nghiệm dương phân biệt

Û S mm m

P m

2

( 1) (2 1) 2( 1)

2

D

ì ¢ = + - + > ï

í = + > ï = + > ỵ

Û m

m

1 ìï > -ớ ù ợ

Khi ú (Cm) ct Ox điểm phân biệt có hồnh độ theo thứ tự là: - t1;- t2; t2; t1, với

t1>t2

Ta có: SACK 1AC d K AC ( , )

= (3), với d K AC( , )= yK =2

(48)

Dạng 3: Sự tương giao đồ thị hàm số: y f x ax b cx d

( ) +

= =

+

Câu 37. Cho hàm số y x

x

2 + =

+ có đồ thị (C)

2) Chứng minh đường thẳng d: y= - +x m cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B Tìm mđểđoạn AB có độ dài nhỏ

· PT hoành độ giao điểm (C) d:

x x m

x

2 +

= - +

+ Û

x

f x x2 m x m

2

( ) (4 ) (1)

ì ¹

-í = + - + - =

ỵ

Do (1) có D=m2+12 0> f( 2) ( 2)- = - 2+ -(4 m).( 2) 2- + - m= - ¹ "3 0, m

nên đường thẳng d luôn cắt đồ thị (C ) hai điểm phân biệt A, B Ta có: yA = -m x yA; B= -m xB nên AB2 =(xB-xA)2+(yB-yA)2 =2(m2+12)

Suy AB ngắn Û AB2 nhỏ Û m=0 Khi đó: AB= 24 Câu hỏi tương tự:

a) y x x

2 -=

- ĐS: m=2 b)

x y

x

1

-= ĐS: m

2 =

Câu 38. Cho hàm số y x x 31

-=

+

2) Viết phương trình đường thẳng d qua điểm I( 1;1)- cắt đồ thị (C) hai điểm M, N cho I là trung điểm đoạn MN

· Phương trình đường thẳng d y k x: = ( + +1)

d cắt (C) điểm phân biệt M, N x kx k x

3 1

1

-Û = + +

+ có nghiệm phân biệt khác -1

Û f x( )=kx2+2kx k+ + =4 0 có nghiệm phân biệt khác -1Û k k k f

0

4 0

( 1) D

ì ¹

ï = - > Û < í

ù - = ợ

Mt khỏc: xM +xN = - =2 2xI Û I trung điểm MN với " <k 0 Kết luận: Phương trình đường thẳng cần tìm y kx k= + +1 với k<0

x

2

1 + =

- (C)

2) Gọi (d) đường thẳng qua A(1; 1) có hệ số góc k Tìm kđể (d) cắt (C) hai điểm M, N cho MN =3 10

· Phương trình đường thẳng ( ) :d y k x= ( - +1)

Bài toán trở thành: Tìm k để hệ phương trình sau có hai nghiệm ( ; ), ( ; )x y1 1 x y2 2 phân biệt sao cho (x2-x1) (2+ y2-y1)2 =90 (a)

x k x

x y k x

2 ( 1) 1

1

( 1)

ì + = - +

ï - + í

ï = - +

ỵ

(I) Ta có: I kx k x k y k x

2 (2 3) 3 0

( )

( 1)

ìï - - + + =

Û í

= - +

ïỵ

(49)

Û k 0,k ¹ <

Ta biến đổi (a) trở thành: (1+k2)(x2-x1)2 =90Û +(1 k2)éëê(x2+x1)2-4x x2 1ùúû=90 (c) Theo định lí Viet cho (b) ta có: x x k x x k

k k

1+ =2 -3, 2= +3, thế vào (c) ta có phương

trình: 8k3+27k2+8k- = Û3 (k+3)(8k2+3k- =1)

k 3; k 41; k 41

16 16

- +

-Û = - = =

Kết luận: Vậy có giá trị k thoả mãn Câu 40. Cho hàm số y x

x

2

1 -=

+ (C)

2) Tìm m để đường thẳng (d): y=2x m+ cắt (C) hai điểm phân biệt A, B cho

AB=

· PT hoành độ giao điểm: x x m x

2 2 2

1

- = +

+ Û x mx m x

2

2 + + + =2 ( ¹ -1) (1) d cắt (C) điểm phân biệt A, B Û (1) có nghiệm phân biệt x x1, 2 khác –1

Û m2-8m-16 > (2) Khi ta có:

m x x

m x x

1 2

2 2 ì

+ = -ïï

í +

ï =

ïỵ

Gọi A x x( 1;2 1+ m B x) (, 2;2x2+ m)

AB2 = Û (x1-x2)2+4(x1-x2)2 =5 Û (x1+x2)2-4x x1 2=1 Û m2-8m-20 0= Û é =ê = -mm 102

ë (thoả (2)) Vậy: m=10;m= -2

a) y x d y x m AB x

2 1, : , 2 2

2

-= = + =

+ ĐS: m= -1;m=7

Câu 41. Cho hàm số y x x m

1 -=

+ (1)

2) Tìm giá trị tham sốm cho đường thẳng (d): y x= +2 cắt đồ thị hàm số (1) hai điểm A và B cho AB=2

· PT hoành độ giao điểm: x x x m

x m x2 m x m

1 2

( 1) (*)

ì ¹

-= + Û í

+ ỵ + + + + =

d cắt đồ thị hàm số (1) hai điểm A, B phân biệt Û (*) có hai nghiệm phân biệt khác -m

m m

x m m m

2

0 3 3

1

D ì ì

ì > - - > < - Ú > +

Ûí Ûí Ûí

¹ - ¹ - ¹

-ỵ ỵ ỵ (**)

Khi gọi x x1, 2 nghiệm (*), ta có xx x1 x2 m m

( 1)

ì + = - +

í = +

ỵ

(50)

Theo giả thiết ta 2(m2-6m- = Û3) m2-6m- = Û ê =7 é = -mm 71 ë Kết hợp với điều kiện (**) ta m=7 giá trị cần tìm Câu 42. Cho hàm số y x

x

2 1 + =

+

2) Tìm giá trị tham sốk cho đường thẳng (d): y kx= +2k+1 cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A và B cho khoảng cách từ A B đến trục hoành

· PT hoành độ giao điểm: x kx k x

x kx2 k x k

1

2 2 1

1 (3 1) (*)

ì ¹ -+

= + + Û í

+ ỵ + - + =

d cắt (C) hai điểm phân biệt A B Û (*) có nghiệm phân biệt Û k

k2 k

0

6 D

ì ¹

í = - + > ỵ

Û ì ¹í < -kk 3 20 Ú > +k 3 3

ỵ (**) Khi đó: A x kx( ;1 1+2k+1), ( ;B x kx2 2+2k+1) Ta có: d A Ox( , )=d B Ox( , ) Û kx1+2k+ =1 kx2+2k+1 Û k x( 1+x2) 4+ k+ =2 Û k = -3 (thoả (**)

Câu 43. Cho hàm số y x x

2 =

-

2) Tìm m để đường thẳng d y mx m: = - +2 cắt (C) hai điểm phân biệt A, B cho độ dài AB ngắn

· PT hoành độ giao điểm: x mx m x

2 2

1= - +

- Û

x

g x mx2 mx m

1

( ) 2 (2)

ì ¹

í = - + - =

ỵ

d cắt (C) điểm phân biệt A, B Û (2) có nghiệm phân biệt khác Û m>0

Khi đó: A x mx m( ;1 1- +2), ( ;B x mx2 2- +m 2) Þ AB2 = +(1 m x) (2 2-x1)2

Theo định lí Viet, ta có: x x x x m m

1+ =2; 2= -2 ị AB2 =8ổỗốm+m1 ö÷ø³16

Dấu "=" xảy Û m=1 Vậy minAB=4 m=1

Câu 44. Cho hàm y x

x

2

+ =

-

2) Tìm m để đường thẳng d y x m: = + cắt (C) hai điểm phân biệt A, B cho

OA2 OB2 37

2

+ =

· PT hoành độ giao điểm (C) d: x x m x

2

+

= +

-x

g x x2 m x m

1

( ) (2 3) 2( 1) ì ¹

Û í = + - - + =

ỵ

Vì g m m m

g

2

4 25 0,

(1) D

ìï = + + > "

=

ùợ nờn d luụn cắt (C) điểm phân biệt A, B Gọi A x x m B x x( ;1 1+ ), ( ;2 2+m) Theo định lí Viet, ta có: x x m

x x m

1 2 2 ( 1)

ì

-ï + = -í

ï = - +

(51)

Ta có: OA2 OB2 37

2

+ = Û 1(4m2 2m 17) 37

2 + + = Û m= -5;2 m=2

Câu 45. Cho hàm y x

x

1 =

-

2) Tìm m để đường thẳng d y mx m: = - -1 cắt (C) hai điểm phân biệt M, N cho

AM2+AN2 đạt giá trị nhỏ nhất, với A( 1;1)-

· PT hoành độ giao điểm (C) d: x mx m x

x mx2 mx m

1

1 (2)

ì ¹ = - - Û í

- ỵ - + + =

d cắt (C) điểm phân biệt Û (2) có nghiệm phân biệt khác Û m<0 Gọi I trung điểm MN Þ I(1; 1)- cốđịnh

Ta có: AM2 AN2 2AI2 MN2

2

+ = + Do AM2+AN2nhỏ Û MN nhỏ

MN x x m m

m

2 2

2

( ) (1 )

= - + = - - ³ Dấu "=" xảy Û m= -1 Vậy: min(AM2+AN2) 20= m= -1

2 1 -=

- (C)

2) Tìm m để đường thẳng d: y x m= + cắt (C) hai điểm phân biệt A, B cho DOAB vuông O

· PT hoành độ giao điểm (C) d: x2+(m-3)x+ - =1 m 0, x¹1 (*) (*) có D=m2-2m+ > " Ỵ5 0, m R (*) khơng có nghiệm x =

Þ (*) ln có nghiệm phân biệt x xA, B Theo định lí Viét: A B A B

x x m

x x 13m

ì + =

-í =

-ỵ Khi đó: A x x( A; A+m B x x) (, B; B+m)

OAB

D vuông O OA OBuuur uuur = Û0 x xA B+(xA+m x)( B+m)=0

Û2x xA B+m x( A+xB)+m2 = Û0 m= -2

Vậy: m = –2

Câu 47. Cho hàm số y f x x x

2 ( )

1 +

= =

-

2) Tìm giá trị m cho đường thẳng (d): y x m= + cắt (C) điểm phân biệt M, N cho diện tích tam giác IMN (I tâm đối xứng (C))

· Tâm đối xứng (C) I(1; 2) Xét phương trình hồnh độ giao điểm (d) (C):

x

x x m

x f x x2 m x m

1

1 ( ) ( 3) 1 0

ì ¹

+ ï

= + Û í

- ïỵ = + - - - =

d cắt (C) điểm phân biệt M, N Û f x( ) 0= có hai nghiệm phân biệt x xM, N khác

m m

f

2 2 13 0 (1) D

ìï = - + > Û í

= - ¹

(52)

M N M N

MN= (ëé x +x )2-4x x ûù = 2(m2-2m+13); d d I d( , ) m

-= =

IMN

S 1MN d m m2 2m 13

= Û = Û - - + = Û m=3;m= -1

Câu 48. Cho hàm số y x m x - + =

+ có đồ thị (Cm) (m tham số) 1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số m=1

2) Tìm giá trị m đểđường thẳng d x: +2y- =1 cắt (Cm) hai điểm A B cho tam giác OAB có diện tích (O gốc tọa độ)

· PT hoành độ giao điểm d (Cm): x m x x x m x

x

1 2 2 (1), 2

2

- + = - Û - + - = ¹

-+

d cắt (Cm) điểm A, B Û (1) có nghiệm phân biệt khác –2 Û m

8 - ¹ < (*) Khi giao điểm là: A x1;1 x1 ,B x2;1 x2

2

ổ ổ

-

-ỗ ữ ç ÷

è ø è ø AB= 2(9 )- m OAB

S 1AB d O d ( , ) 2(9 ).m 1 8m m

2 2 2

= = - = - = Û = - (thảo (*))

2 1 + =

- có đồ thị (C)

2) Tìm giá trị m đểđường thẳng y= - +3x m cắt (C) A B cho trọng tâm tam giác OAB thuộc đường thẳng d x: -2y- =2 (O gốc tọa độ)

· PT hoành độ giao điểm: x x m x

2 3

1 +

= - +

- x m x m

2

3 (1 )

Û - + + + = (1), (x¹1) d cắt (C) A B Û (1) có nghiệm phân biệt khác Û ê < -é >mm 111

ë (*) Gọi x x1 2, nghiệm (1) Khi A x( ; 31 - x1+m B x), ( ; 32 - x2+m)

Gọi I trung điểm AB xI x1 x2 m,yI 3xI m m

2

+ +

-Þ = = = - + =

Gọi G trọng tâm tam giác OAB OG 2OI G m m;

3

ỉ + -

ị = ị ỗ ữ

ố ứ

uuur uur

m m

G d 2 m 11

9

ổ

+

-ẻ - ỗ ữ = Û =

-è ø (thoả (*)) Vậy m 11

5 = -

3 + =

- (C)

2) Tìm mđểđường thẳng d y: = - + +x m cắt (C) hai điểm phân biệt A, B cho ·AOB

nhọn

· PT hoành độ giao điểm (C) d: x x m x

3 1

2

+ = - + +

-

Û x2-(m+2)x+2m+ =5 (x¹2) (1)

(1) có nghiệm phân biệt Û x m m m

m m

2

0 16

2 2 2( 2) 2 5 0

D ìï

ì > Û - + > Û "

í ¹ í

- + + + ¹

(53)

Gọi A x( ;1 - + +x1 m 1), ( ;B x2 - + +x2 m 1) giao điểm (C) d

Ta có: ·AOB nhọn Û AB2<OA2+OB2 Û 2(x2-x1)2 < - + +( x1 m 1)2+ - + +( x2 m 1)2 Û -2x x1 2+(m+1)(x1+x2) (- m+1)2 <0 Û m> -3

3 2 + =

+ (C)

2) Đường thẳng y x= cắt (C) hai điểm A, B Tìm mđểđường thẳng d y x m: = + cắt (C) hai điểm C, D cho ABCD hình bình hành

· Hoành độ điểm A, B nghiệm PT: x x xx x

3

2

+ é =

-= Û ê -=

+ ë

Þ A( 1; 1), (2;2)- - B ÞAB=3 Þ CD=3 2

PT hoành độ giao điểm (C) d: x x m x m x m

x

3 ( 1) 2 2 0

2

+ = + Û + - + - =

+ (*)

d cắt (C) điểm phân biệt Û m m

x

2 10 9 0

D

ì = - + >

-ợ

m m

0

9 é ¹ < ê >

ë

Khi giao điểm C c c m D b b m( ; + ), ( ; + ) với a, b nghiệm PT (*)

CD=3 2Û 2(c d- )2 =3 Û m2-10m= Û ê =0 é =mm 100 (loại) ë

Vậy: m=10

3 + =

+

2) Tìm m để đường thẳng d y: =2x+3m cắt (C) hai điểm phân biệt A, B cho

OA OBuuur uuur = -4 với O gốc toạđộ

· PT hoành độ giao điểm (C) (d): x x m x 23

+

= + +

Û 2x2+3(1+m x) +6m- =3 (1) (x¹2)

d cắt (C) điểm phân biệt Û (1) có nghiệm phân biệt x x1 2, khác –2

Û m m m

m m

2

9 30 33

8 6(1 ) D

ì = - + > Û " - + + - ợ

Khi ú: A x x( ;21 1+3 ), ( ;2m B x2 x2+3 )m OA OB 12m 15

-= - Û =

-uuur -uuur

Û m

12 =

Câu 53. Cho hàm số: y x x

2 + =

-

2) Chứng minh với giá trịm (C) ln có cặp điểm A, B nằm hai nhánh (C) thỏa A A

B B

x y m

0

ì - + =

í - + =

ỵ

· Ta có: A A A A

B B B B

x y m y x m A B d y x m

x y m y x m

0 , ( ) :

0

ì - + = ỡ = + ị ẻ = +

í - + = í = +

ỵ ỵ

(54)

x

x m f x x m x m x

x

2 ( ) ( 3) (2 2) ( 2)

2 +

+ = Û = + - - + = ¹

- (*)

(*) có D=m2+2m+17 0,> "m Þ (d) ln cắt (C) hai điểm phân biệt A, B Và 1 (2)f = - < Þ4 xA< <2 xB xB< <2 xA (đpcm)

2 + =

-

2) Gọi d đường thẳng qua điểm A(1; 0) có hệ số góc k Tìm k để d cắt (C) hai điểm phân biệt M, N thuộc hai nhánh khác (C) cho AM=2AN

· PT đường thẳng d: y k x= ( -1) PT hoành độ giao điểm (C) d:

x k x

x

2 ( 1)

+

=

Û kx2-(2k+1)x- =2 (x¹1) (1)

Đặt t x= - Û = +1 x t 1 Khi (1) trở thành kt2- - =t 0 (2)

d cắt (C) hai điểm phân biệt M, N thuộc hai nhánh khác Û (1) có nghiệm x x1 2, thoả x1< <1 x2 Û (2) có nghiệm t t1 2, thoả t1< <0 t2 Û -3k< Û >0 k 0 (*)

Vì A nằm đoạn MN AM =2ANnên uuurAM= -2AN Þ x1+2x2=3 (3) Áp dụng định lí Viet cho (1) ta có: x x k x x k

k k

1+ =2 +1(4), 2= -2 (5)

Từ (3), (4) Þ x k x k

k k

1= +2; 2= -1 Thay vào (5) ta được: k=23 (thoả (*))

Câu 55. Cho hàm số y x m mx

2 -=

+ (m tham số) (1)

2) Chứng minh với m¹ 0, đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng d y: =2x-2m hai điểm phân biệt A, B thuộc đường (H) cố định Đường thẳng d cắt trục Ox, Oy điểm M, N Tìm mđể SDOAB=3SDOMN

· PT hoành độ giao điểm (C) (d): x m x m mx

2 2 2

1

-= -+

Û mx m x m x

m

2

2 -2 - =0 (2), ¹ - Û f x x mx x

m

2

( ) 2= -2 - =1 (*), ¹ -Xét PT (*) có m

f

m m

2 2

1 2 0

D

ì ¢ = + > ï

ỉ

í - = + ạ

ỗ ữ

ù ố ứ ợ

"mị d luụn ct (C) ti điểm phân biệt A, B

Ta có:

A B A B A A B B

x x m

x x

y x m

1

2

ì + =

ï

ï =

-í

ï =

-ù =

-ợ

ị A A

B B

y x y

x

1 ì

= ïï í ï = ïỵ

Þ A, B nằm đường (H): y x

1

= cốđịnh

m

h d O d( , ) 2 m

5

-= = = , AB= m2+2, M m( ;0), (0; )N - m

Þ SOAB h AB m m2 2

= = + , SOMN 1OM ON m 2

= = ; SOAB=3SOMN Û m

(55)

KSHS 04: TIẾP TUYẾN A Kiến thức

· Ý nghĩa hình học đạo hàm: Đạo hàm hàm số y f x= ( ) điểm x0 hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị (C) hàm số điểm M x f x0( 0; ( )0 )

Khi phương trình tiếp tuyến (C) điểm M x f x0( 0; ( )0 ) là: y y– 0= f x¢( ).( – )0 x x0 (y0 = f x( )0 )

· Điều kiện cần đủ để hai đường (C1): y f x= ( ) (C2): y g x= ( ) tiếp xúc hệ phương trình sau có nghiệm:

ìíf xf x'( )( )==g xg x( )'( )

ỵ (*)

Nghiệm hệ (*) hồnh độ tiếp điểm hai đường · Nếu (C1):y px q= + (C2): y ax= 2+bx c+

(C1) (C2) tiếp xúc Û phương trình ax2+bx c px q+ = + có nghiệm kép

1 Viết phương trình tiếp tuyến D (C): y f x= ( ) điểm M x y( ; ) ( )0 0 Ỵ C :

· Nếu cho x0 tìm y0 = f x( )0

Nếu cho y0 tìm x0 nghiệm phương trình f x( )=y0

· Tính y¢= f x¢( ) Suy y x¢( )0 = f x¢( )0

· Phương trình tiếp tuyến D là: y y– 0 = f x¢( ).( – )0 x x0

2 Viết phương trình tiếp tuyến D (C): y f x= ( ), biết D có hệ số góc k cho trước Cách 1: Tìm toạđộ tiếp điểm

· Gọi M x y( ; )0 0 tiếp điểm Tính f x¢( )0

·D có hệ số gúc kị f xÂ( )0 =k (1)

Ã Gii phương trình (1), tìm x0 tính y0= f x( )0 Từđó viết phương trình D Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc

· Phương trình đường thẳng D có dạng: y kx m= +

·D tiếp xúc với (C) hệ phương trình sau có nghiệm: ìíf xf x( )'( )==kx mk +

ỵ (*)

· Giải hệ (*), tìm m Từđó viết phương trình D

Chú ý: Hệ số góc k tiếp tuyến D có thểđược cho gián tiếp sau: + D tạo với trục hồnh góc a k =tana

+ D song song với đường thẳng d: y ax b= + k a= + D vng góc với đường thẳng d y ax b a: = + ( ¹0) k

a

= + D tạo với đường thẳng d y ax b: = + góc a k a

ka tan

1 a

-= +

3 Viết phương trình tiếp tuyến D (C): y f x= ( ), biết Dđi qua điểm A x y( ; )A A Cách 1: Tìm toạđộ tiếp điểm

· Gọi M x y( ; )0 0 tiếp điểm Khi đó: y0 = f x y x( ), ( )0 ¢ 0 = f x¢( )0

· Phương trình tiếp tuyến D M: y y– 0 = f x¢( ).( – )0 x x0 ·Dđi qua A x y( ; )A A nên: yA–y0 = f x¢( ).(0 xA– )x0 (2)

(56)

Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc

· Phương trình đường thẳng Dđi qua A x y( ; )A A có hệ số góc k: y y– A =k x x( – )A

·D tiếp xúc với (C) hệ phương trình sau có nghiệm:

f x k x xA yA

f x( )'( ) k( )

ì = - +

í =

ỵ (*)

· Giải hệ (*), tìm x (suy k) Từđó viết phương trình tiếp tuyến D

4 Viết phương trình tiếp tuyến D (C): y f x= ( ), biết D tạo với trục Ox góc a.

· Gọi M x y( ; )0 0 tiếp điểm Tiếp tuyến có hệ số góc k f x= ¢( )0

· D tạo với trục Ox góc a Û f x¢( ) tan0 = a Giải phương trình tìm x0 · Phương trình tiếp tuyến D M: y y– 0 = f x¢( ).( – )0 x x0

5 Viết phương trình tiếp tuyến D (C): y f x= ( ), biết D tạo với đường thẳng d:

y ax b= + góc a.

· Gọi M x y( ; )0 0 tiếp điểm Tiếp tuyến có hệ số góc k f x= ¢( )0 · D tạo với d góc a Û k a

ka tan

1 a

-=

+ Giải phương trình tìm x0 · Phương trình tiếp tuyến D M: y y– 0 = f x¢( ).( – )0 x x0

6 Viết phương trình tiếp tuyến D (C): y f x= ( ), biết D cắt hai trục toạđộ A B sao cho tam giác OAB vuông cân có diện tích S cho trước.

· Gọi M x y( ; )0 0 tiếp điểm Tiếp tuyến có hệ số góc k f x= ¢( )0 · DOAB vuông cân Û D tạo với Ox góc 450 O Ï D.(a) · SDOAB = ÛS OA OB =2S (b)

· Giải (a) (b) tìm x0 Từđó viết phương trình tiếp tuyến D

8 Lập phương trình tiếp tuyến chung hai đồ thị ( ) :C1 y f x C= ( ), ( ) :2 y g x= ( ) a) Gọi D: y ax b= + tiếp tuyến chung (C1) (C2)

u hoành độ tiếp điểm D (C1), v hoành độ tiếp điểm D (C2)

·D tiếp xúc với (C1) (C2) hệ sau có nghiệm:

f u au b

f u a

g v av b

g v a

( ) (1)

'( ) (2)

( ) (3)

'( ) (4)

ì = +

ïï =

í = +

ï = ïỵ

· Từ (2) v (4) ị f uÂ( )=g vÂ( )ịu h v= ( ) (5)

· Thếa từ (2) vào (1) Þ b k u= ( ) (6)

· Thế (2), (5), (6) vào (3) ÞvÞaÞuÞb Từđó viết phương trình D

b) Nếu (C1) (C2) tiếp xúc điểm có hồnh độ x0 tiếp tuyến chung (C1) (C2) tiếp tuyến (C1) (và (C2)) điểm

9 Tìm điểm đồ thị (C): y f x= ( ) cho tiếp tuyến (C) song song hoặc vng góc với đường thẳng d cho trước

· Gọi M x y( ; )0 0 Ỵ (C) D tiếp tuyến (C) M Tính f x¢( )0

· Vì D // d nên f x¢( )0 =kd (1) D^ d nên

d

f x k

0

( )

¢ = - (2)

· Giải phương trình (1) (2) tìm x0 Từđó tìm M x y( ; )0 0 Ỵ (C)

(57)

Giả sử d ax by c: + + =0 M x y( M; M)Ỵd

· Phương trình đường thẳng D qua M có hệ số góc k: y k x x= ( – M)+yM

·D tiếp xúc với (C) hệ sau có nghiệm:

f x k x xM yM

f x k

( ) ( ) (1)

'( ) (2)

ì = - +

í =

ỵ

· Thếk từ (2) vào (1) ta được: f( )x =( –x xM) (f x¢ M)+yM (3)

· Số tiếp tuyến (C) vẽ từ M = Số nghiệm x (3)

11 Tìm điểm mà từđó vẽđược tiếp tuyến với đồ thị (C): y f x= ( ) tiếp tuyến vng góc với nhau.

Gọi M x y( M; M)

· Phương trình đường thẳng D qua M có hệ số góc k: y k x x= ( – M)+yM ·D tiếp xúc với (C) hệ sau có nghiệm:

f x k x xM yM

f x( )'( ) k( ) (1) (2)

ì = - +

í =

ỵ

· Thếk từ (2) vào (1) ta được: f( )x =( –x xM) (f x¢ M)+yM (3)

· Qua M vẽđược tiếp tuyến với (C) Û (3) có nghiệm phân biệt x x1, 2

· Hai tiếp tuyến vng góc với Û f x f x¢( ) ( ) –11 ¢ 2 = Từđó tìm M

Chú ý: Qua M vẽ tiếp tuyến với (C) cho tiếp điểm nằm hai phía với trục hồnh f x f xcó nghiệm phân biệt

1

(3)

( ) ( )

ì

í <

(58)

Dạng 1: Tiếp tuyến đồ thị hàm số bậc ba y ax= 3+bx2+cx d+ Câu Cho hàm số y=2x3-3x2+1

2) Tìm (C) điểm M cho tiếp tuyến (C) M cắt trục tung điểm có tung độ

· Giả sử M x y( ; ) ( )0 0 ẻ C ị y0=2x03-3x02+1 Ta có: y¢ =3x2-6x PTTT D M: y=(6x20-6 )(x x x0 - 0) 2+ x03-3x02+1

D qua P(0;8)Û 8= -4x30+3x02+1 Û x0 = -1 Vậy M( 1; 4)- -

Câu Cho hàm số y x= 3-3x2+1 có đồ thị (C)

2) Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) cho tiếp tuyến (C) A B song song với độ dài đoạn AB =

· Giả sử A a a( ; 3-3a2+1), ( ;B b b3-3b2+1) thuộc (C), với a b¹ Vì tiếp tuyến (C) A B song song với nên:

y a¢( )=y b¢( ) Û 3a2-6a=3b2-6bÛa2-b2-2(a b- ) 0= Û(a b a b- )( + - =2)

Û a b+ - = Û = -2 b a Vì a b¹ nên a¹ - Û ¹2 a a

Ta có: AB= (b a- )2+(b3-3b2+ -1 a3+3a2-1)2= (b a- )2+(b3-a3-3(b2-a2 2))

b a2 b a3 ab b a b a b a

( ) é( ) ( ) 3( )( )ù

= - +ë - + - - - + û

b a2 b a b a2 ab

( ) ( ) (é ) 3.2ù

= - + - ë - + - û

b a2 b a b a ab

( ) ( ) (é ) 6ù

= - + - ë + - - û = (b a- )2+ -(b a) ( 22 - -ab)2

2

AB =(b a- ) ( 22ëé + - -ab)2ûù= -(2 ) (a 2ëé + a2-2a-2)2ùû

a a 2 a a a

4( 1) (é é 1) 3ù ù 4( 1) (é 1) 6( 1) 10ù

= - êë +ë - - û úû= - ë - - - + û

a a a

4( 1) 24( 1) 40( 1)

= - - - +

-Mà AB=4 nên 4(a-1)6-24(a-1)4+40(a-1)2=32

a a a

( 1) 6( 1) 10( 1)

Û - - - + - - = (*)

Đặt t=(a-1) ,2 t>0 Khi (*) trở thành:

t3-6t2+10 0t- = Û -( 4)(t t2- +2 2) 0t = Û =t Þ(a-1)2 = Û ê = - Þ =4 é = Þ = -aa 31 bb 31

ë

Vậy điểm thoả mãn YCBT là: A(3;1), ( 1; 3)B - - Câu hỏi tương tự:

a) Với y x= 3-3x2+2;AB=4 2 ĐS: A(3;2), ( 2; 2)B - -

Câu Cho hàm số y f x= ( )=x3+6x2+9x+3 (C) 1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) hàm số

2) Tìm tất giá trị k, để tồn tiếp tuyến với (C) phân biệt có hệ số góc k,

đồng thời đường thẳng qua tiếp điểm hai tiếp tuyến cắt trục Ox, Oy tương

ứng A B cho OA=2011.OB

(59)

f x¢( )0 = Ûk 3x20+12x0+ - =9 k 0 (1)

Để tồn tiếp tuyến phân biệt phương trình (1) phải có nghiệm phân biệt Û D¢ = +9 3k > Û > -0 k 3 (2)

Þ Toạđộ tiếp điểm ( ; )x y0 0 tiếp tuyến nghiệm hệ:

y x x x

x x k

3 0 0

2 0

6

3 12

ì = + + + ï í + + = ïỵ Û k k y x

x x k

0

2 0

6

3

3 12

ì - -= + ï í ï + + = ỵ

Þ Phương trình đường thẳng d qua tếp điểm là: y k 6x 2k

3

-

-= +

Do d cắt trục Ox, Oy tương ứng A B cho: OA=2011.OB nên xảy ra: + Nếu A Oº B Oº Khi d qua O Þ k

2

= + Nếu A O¹ thì DOAB vng O Ta có: ·OAB OB

OA

tan = =2011 Þ k 2011

-= ±

Þ k=6039 (thoả (2)) k = -6027 (không thoả (2)) Vậy: k ; 6039k

2

= =

Câu Cho hàm số y x= 3+ -(1 )m x2+ -(2 m x m) + +2 (1) (m tham số) 1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) hàm số (1) với m =

2) Tìm tham sốmđểđồ thị hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d:x y+ + =7

góc a, biết cos 26

a =

· Gọi k hệ số góc tiếp tuyến Þ tiếp tuyến có VTPT nr1=( ; 1)k

-Đường thẳng d có VTPT nr2=(1;1)

Ta có n n k k k k k

n n k

1 2

2

1 1 3 2

cos 12 26 12

2

26 2 1

a = Û = - Û - + = Û = Ú =

+

r r r r

YCBT thoả mãn Û hai phương trình sau có nghiệm: y y 2 é ¢= ê ê ê ¢= êë

Û x m x m

x m x m

2

3 2(1 )

2 2(1 )

3 é + - + - = ê ê ê + - + - = êë

Û /1

/ 0 D D é ³ ê ³ êë Û m m m m 2

8

4

é - - ³

ê

- - ³ êë

Û m m

m m

1;

4

3 ; é £ - ³ ê ê ê £ - ³ êë

Û m

4

£ - m

³

a) Với y x3 3mx 2; :d x y 0; cos 26

a

= - + + + = = ĐS: m

9

³ -

Câu Cho hàm số y f x( ) 1mx3 (m 1)x2 (4 )m x

= = + - + - + có đồ thị (Cm) 1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số m =

2) Tìm giá trịm cho đồ thị (Cm) tồn điểm có hồnh độ âm mà tiếp tuyến vng góc với đường thẳng (d): x+2y- =3

· (d) có hệ số góc

(60)

f x'( ) 2= Ûmx2+2(m-1)x+ -(4 ) 2m = Ûmx2+2(m-1)x+ -2 3m=0 (1) YCBT Û (1) có nghiệm âm

+ Nếu m=0 (1)Û -2x= - Û =2 x 1 (loại)

+ Nếu m¹0thì dễ thấy phương trình (1) có nghiệm x hay x= m m

1

-=

Do đĩ để (1) cĩ nghiệm âm m m hoặc m m

2 0 0

3

- < Û < >

Vậy m 0hay m

< >

Câu Cho hàm số y 1mx3 (m 1)x2 (4m 3)x

= + - + - + (Cm) 1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) hàm số m=1

2) Tìm giá trị m cho (Cm) tồn hai điểm có hồnh độ dương mà tiếp tuyến vng góc với đường thẳng d x: +2y- =3

· Ta có: y mx¢ = 2+2(m-1)x+ -4 3m; d y: 1x

2

= - +

YCBT Û phương trình y¢ =2 có nghiệm dương phân biệt Û mx2+2(m-1)x+ -2 3m=0 có nghiệm dương phân biệt

Û m S P

0 0

0

D ỡ ù Â ù > > ï

> ïỵ

Û m

m

2

1

2

é

< < ê

ê

ê < < êë

Vậy m 0;1 2;

2

ỉ ổ

ẻỗ ữ ỗẩ ữ ố ứ ố ø

Câu Cho hàm số y x= 3-mx m+ -1 (Cm)

2) Tìm mđể tiếp tuyến đồ thị (Cm) điểm M có hồnh độx= -1 cắt đường trịn (C) có phương trình (x-2)2+ -(y 3)2 =4 theo dây cung có độ dài nhỏ

· Ta cú: yÂ =3x2-m ị yÂ - = -( 1) m; y( 1) 2- = m-2 (C) có tâm I(2;3), R = PTTT d M( 1;2- m-2): y= -(3 m x m) + +1 Û (3-m x y m) - + + =1

m m

m

d I d R

m m m

2

2 2

1 (3 ) (3 )

( , )

(3 ) (3 ) (3 )

+ - - +

-= = £ = <

- + - + - +

Dấu "=" xảy Û m=2 Dó d I d( , ) đạt lớn Û m=2

Tiếp tuyến d cắt (C) điểm A, B cho AB ngắn Û d I d( , ) đạt lớn Û m=2 Khi đó: PTTT d: y x= +3

a) y x3 mx m 1;xM 1;( ) : (C x 2)2 (y 3)2

= - + - = - + - = ĐS: m 1;m

2

= =

Câu Cho hàm số y=3x x- (C)

2) Tìm đường thẳng (d): y= -x điểm M mà từ kẻđược tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C)

(61)

D tiếp tuyến (C) Û hệ PT sau có nghiệm: x x k x m m

x k

3

3 ( ) (1)

3 (2)

ìï - = -

-í

- =

ïỵ (*)

Thay (2) vào (1) ta được: 2x3-3mx2+4m=0 Û m x x

3

2

3

=

- (**)

Từ M kẻđược tiếp tuyến với (C) Û (**) có nghiệm phân biệt Xét hàm số f x x

x

3

2 ( )

3

=

- Tập xác định D R

2 3

\ ;

3

ì ü

í ý

=

-ợ ỵ

x x

f x x

4 2

6 24 ( )

(3 4)

-¢ =

- ;

x f x¢( ) 0= Û ê = ±é =x 02

ë

Dựa vào BBT, (**) có nghiệm phân biệt Û é = -ê =mm 22

ë Vậy: M( 2;2)- M(2; 2)-

Câu Cho hàm số y x= 3-3x+2

2) Tìm đường thẳng d y: =4 điểm mà từđó kẻđược tiếp tuyến với (C) · Gọi M m( ;4)Ỵd PT đường thẳng D qua M có dạng: y k x m= ( - ) 4+

D tiếp tuyến (C) Û hệ PT sau có nghiệm: x x k x m

x k

3

2 ( ) (1)

3 (2)

ìï - + = - +

í

- =

ïỵ (*)

Thay (2) vào (1) ta được: (x+1) 2ëé x2-(3m+2)x+3m+2ùû=0 (3) Û é = -ê2xx2-1(3m+2)x+3m+ =2 0 (4)

ë

YCBT Û (3) có nghiệm phân biệt

+ TH1: (4) có nghiệm phân biệt, có nghiệm –1 Û m= -1 + TH2: (4) có nghiệm kép khác –1 Û m m

3

= - Ú =

Vậy điểm cần tìm là: ( 1;4)- ; ;4

ổ-

ỗ ÷

è ø; (2;4)

Câu 10 Cho hàm số y x= 3-2x2+(m-1)x+2m (Cm)

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) hàm số m=1 2) Tìm mđể từđiểm M(1;2) kẻđược tiếp tuyến với (Cm)

· PT đường thẳng D qua M có dạng: y k x= ( - +1) 2 D tiếp tuyến (Cm) Û hệ PT sau có nghiệm: x x m x m k x

x x m k

3

2 ( 1) ( 1)

3

ìï - + - + = - +

í

- + - = ïỵ

Þ f x( ) 2= x3-5x2+4x-3(m- =1) (*)

Để qua M kẻđược hai tiếp tuyến đến (Cm) (*) có nghiệm phân biệt Ta có f x( ) 6x2 10x f x( ) x 1;x

3

¢ = - + ị Â = = =

Þ Các điểm cực trị (Cm) là: A(1;4 ),m B 109; 3m 27

ổ

- ỗ - ữ

ố ứ

Do (*) có nghiệm phân biệt Û B OxA Ox m m

4 109

81

é = ê é Ỵ Û ê ê Ỵ

ë ê =

êë

(62)

Câu 11 Cho hàm số y= - +x3 3x2-2 (C)

2) Tìm đường thẳng (d): y = điểm mà từđó kẻđược tiếp tuyến phân biệt với đồ

thị (C)

· Gọi M m( ;2) ( )Ỵ d PT đường thẳng Dđi qua điểm M có dạng : y k x m= ( - ) 2+ D tiếp tuyến (C) Û hệ PT sau có nghiệm x x k x m

x x k

3

2 ( ) (1)

3 (2)

ìï- + - = - +

í

- + =

ïỵ (*)

Thay (2) (1) ta được: 2x3-3(m+1)x2+6mx- = Û4 (x-2) 2ëé x2-(3m-1)x+2ùû=0

Û x

f x x2 m x (3)

2

( ) (3 1)

é =

ê = - - + =

ë

Từ M kẻđược tiếp tuyến đến đồ thị (C)Û hệ (*) có nghiệm x phân biệt

Û(3) có hai nghiệm phân biệt khác f m m m

5

0

3

(2) 2

D ìï

ì > < - >

ớ ớ

ạ

ợ ù ¹ỵ

Vậy từ điểm M(m; 2) Ỵ (d) với m m m

5

3

ìï < - Ú >

ù ợ

cú th kẻđược tiếp tuyến với (C) Câu hỏi tương tự:

a) y= - +x3 3x2-2,d Oxº ĐS: M m( ;0) với m m

2

3

é > ê

¹ < -ê

(63)

Dạng 2: Tiếp tuyến đồ thị hàm số trùng phương y ax= 4+bx2+c Câu 12 Cho hàm số y f x= ( )=x4-2x2

2) Trên (C) lấy hai điểm phân biệt A B có hồnh độ a b Tìm điều kiện a bđể hai tiếp tuyến (C) A B song song với

· Ta có: f x'( ) 4= x3-4x

Hệ số góc tiếp tuyến (C) A B kA = f a'( ) 4= a3-4 ,a kB = f b'( ) 4= b3-4b Tiếp tuyến A, B có phương trình là:

y f a x a= ¢( )( - +) f a( )Û =y f a x f a af a¢( ) + ( )- ¢( ) y f b x b= ¢( )( - +) f b( )Û =y f b x f b bf b¢( ) + ( )- ¢( )

Hai tiếp tuyến (C) A B song song trùng khi:

3 3

A B

k =k Û4a -4a = 4b -4bÛ(a b a- )( 2+ab b+ 2- =1) 0 (1) Vì A B phân biệt nên a b¹ , (1) Û a2+ab b+ 2- =1 0 (2) Mặt khác hai tiếp tuyến (C) A B trùng khi:

a ab b a b a ab b

a a b b

f a af a f b bf b

2 2

4

1 ( )

3

( ) ( ) ( ) ( )

ì ì

ï + + - = ï + + - =

Ûí ¹ Ûí

¢ ¢ - + = - +

- = - ï

ï ỵ

ỵ

Giải hệ ta nghiệm ( ; ) ( 1;1)a b = - ( ; ) (1; 1)a b = - , hai nghiệm tương ứng với cặp điểm đồ thị ( 1; 1)- - (1; 1)

-Vậy điều kiện cần đủđể hai tiếp tuyến (C) A B song song với là:

a ab b

a a b

2 1 0

1;

ì + + - = ợ

Cõu 13 Cho hm số y x= 4-2mx2+m (1) , m tham số

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) hàm số m =

2) Gọi A điểm thuộc đồ thị hàm số (1) có hồnh độ Tìm mđể khoảng cách từ

điểm B ;1

4

æ

ỗ ữ

ố ứ n tip tuyn đồ thị hàm số (1) A lớn · A CmỴ( ) nên A(1;1-m) y' 4= x3-4mxÞy'(1) 4= - m

Phương trình tiếp tuyến (Cm) A: y- -(1 m)=y¢(1).(x-1) Û (4 )- m x y- -3(1-m) 0=

Khi d B

m

( ; )

16(1 )

D = - £

- + , Dấu ‘=’ xảy Û m =

Do d B( ; )D lớn m = 1.

Câu 14 Cho hàm số y=(x +1 ) (2 x -1)2

2) Cho điểm A a( ;0) Tìm ađể từ A kẻđược tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C) · Ta có y x= 4-2x2+1 PT đường thẳng d qua A a( ;0) có hệ số góc k : y k x a= ( - ) d tiếp tuyến (C) Û hệ phương trình sau có nghiệm: x x k x a I

x x k

4

2 ( ) ( )

4

ì - + =

-ï í

- =

ïỵ

Ta có: I k A

x2

( ) ( )

1

ì = Û í - =

ỵ hoặc

x x k B

f x x ax

2

4 ( 1) ( )

( ) (1)

ìï - =

í

= - + =

(64)

+ Từ hệ (A), cho ta tiếp tuyến d y1: =0

+ Vậy để từ A kẻđược tiếp tuyến phân biệt với (C) điều kiện cần đủ hệ (B) phải có nghiệm phân biệt ( ; )x k với x¹ ±1, tức phương trình (1) phải có nghiệm phân biệt khác ±1 Û a

f

2

4

( 1)

D

ì ¢ = - > í ± ¹

ỵ Û a hoặc a

3

1

2

(65)

Dạng 3: Tiếp tuyến đồ thị hàm số biến y ax b cx d

+ =

+

Câu 15 Cho hàm số y x x

1

+ =

2) Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm thuộc đồ thị có khoảng cách

đến đường thẳng d x: +4y- =2 · Giả sử M x y( ; ) ( )0 0 Ỵ C Þ y x

x0 0 + = +

Ta có: d M d x0 y0

2

3

( , ) 2

3

+

-= Û =

+ Û3x0+4y0-12 0= 3x0+4y0+ =8

· Với x y x x

x0

0 0

0

2

3 12 12

1 ỉ + + - = + ỗỗ ữữ- = + ố ø x M x M (0;3) 1 11;

3

é = ị ổ ử = ị ỗ ữ ê è ø ë

· Với 3x0+4y0+ =8 x x x0

0

2

3

1 æ + + ỗỗ ữữ+ = + ố ứ x M x M 5;

4 4; 1

3 é ổ = - ị ỗ- ữ ố ứ ổ = - ị ỗ- - ữ ố ứ

ị PTTT ti M1(0;3) y= - +x 3; PTTT M2 11;

ổ

ỗ ữ

è ø y x

9 47 16 16

= - + ; PTTT M3 5;7

4

ổ

-ỗ ữ

è ø y x

1 23 16 16

= - + ; PTTT M4 4;

ổ

-ỗ ÷

è ø y= -9x-13.

Câu 16 Cho hàm số y x x 1 -= -

2) Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết khoảng cách từđiểm I(1; 2) đến tiếp tuyến

2

· Tiếp tuyến (C) điểm M x f x( ; ( )) ( )0 0 Ỵ C có phương trình:

y f x x x= '( )(0 - 0)+ f x( )0 Û x+(x0-1)2y-2x02+2x0- =1 0 (*) Khoảng cách từđiểm I(1; 2) đến tiếp tuyến (*) x

x 2 ( 1)

-Û =

+ - Û

x x00 20

é = ê = ë

Các tiếp tuyến cần tìm : x y+ - =1 0 x y+ - =5

2

=

+ (C)

2) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết khoảng cách từ tâm đối xứng đồ

thị (C) đến tiếp tuyến lớn

· Tiếp tuyến (d) đồ thị (C) điểm M có hồnh độ a¹ -2 thuộc (C) có phương trình: a

y x a x a y a

a a

2 2

4 ( ) 4 ( 2) 2 0

2 ( 2)

= - + Û - + + =

+ +

Tâm đối xứng (C) làI(-2;2) Ta có:

a a a

d I d

a

a a

8 8

( , ) 2

2 2 16 ( 2) 2.4.( 2)

+ + +

= £ = =

+

(66)

d I d( , ) lớn (a+2)2 = Û ê = -4 é =aa 04

ë

Từđó suy có hai tiếp tuyến y x= y x= +8 Câu hỏi tương tự:

a) Với y x x

=

- ĐS: y= -x y; = - +x 4

1

+ =

+

2) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết tiếp tuyến cách hai điểm

A(2; 4), B(-4; -2)

· Gọi x0 hoành độ tiếp điểm (x0 ¹ -1)

PTTT (d) y x x x

x x

0

2

1 ( )

1 ( 1)

+

= - +

+

+ Û x x y x x

2

0 0

( 1) 2

- + + + + =

Ta có: d A d( , )=d B d( , ) Û 4(- x0+1)2+2x02+2x0+ = - +1 2(x0+1)2+2x02+2x0+1

Û x0= Ú1 x0 = Ú0 x0 = -2

Vậy có ba phương trình tiếp tuyến: y 1x 5; y x 1; y x

4

= + = + = +

1

-=

-

2) Gọi I giao điểm hai tiệm cận (C) Tìm điểm M thuộc (C) cho tiếp tuyến (C) M vng góc với đường thẳng MI

· Giao điểm hai tiệm cận I(1; 2) Gọi M(a; b) Ỵ (C) Þ b a a

1

-=

- (a ¹ 1)

PTTT (C) M: y x a a a

a

1 ( )

1 ( 1)

-= - - +

-PT đường thẳng MI: y x

a

1 ( 1) 2 ( 1)

= - +

-Tiếp tuyến M vuông góc với MI nên ta có:

a a

1 . 1

( 1) ( 1)

- =

- Û

a b

a (2 (b 1)3)

é = =

ê = =

ë

Vậy có điểm cần tìm M1(0; 1), M2(2; 3)

Câu 20 Cho hàm số y m x m x

2

(2 1)

-

-=

-

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) hàm số m = –1 2) Tìm mđểđồ thị hàm số tiếp xúc với đường thẳng y x= · TXĐ: D = R \ {1}

Đểđồ thị tiếp xúc với đường thẳng y x= thì:

m x m x

x m

x

2 2

(2 1) (*)

1

( 1) 1 (**)

( 1)

ì -

-= ï

ï

-í

-ï =

ï -ỵ

(67)

· Với x = m, thay vào (*) ta được: 0m=0 (thoả với m) Vì x ¹ nên m ¹

· Với x = – m, thay vào (*) ta được: (2m-1)(2-m m)- = -(2 m)(2- -m 1)

Û 4(m-1)2 =0 Û m=1 Þ x = (loại)

Vậy với m ¹ đồ thị hàm số tiếp xúc với đường thẳng y x=

Câu 21 Cho hàm số: y x x

2

+ =

- (C)

2) Cho điểm A a(0; ) Tìm ađể từ A kẻđược tiếp tuyến tới đồ thị (C) cho tiếp điểm tương ứng nằm phía trục hồnh

· Phương trình đường thẳng d qua A a(0; ) có hệ số góc k: y kx a= +

d tiếp tuyến (C) Û Hệ PT

x kx a

x k x 2 ( 1) ì + = + ïï -í -= ï ï -ỵ

có nghiệm

Û PT: (1-a x) 2+2(a+2)x a- +( 2) 0= (1) có nghiệm x¹1

Để qua A có tiếp tuyến (1) phải có nghiệm phân biệt x x1, 2

Û a aa

a

1

2

D

ỡ ỡ

ớ Â= + > > -ỵ

ỵ (*)

Khi ta có: x x a x x a

a a

1+ 2=2( -+12); 2= +-12 y1 x y2 x

1

3

1 ;

1

= + = +

-

-Để tiếp điểm nằm phía trục hồnh y y1 2 <0

Û

x1 x2

3

1

ỉ ổ

+ + <

ỗ - ữ ç - ÷

è ø è ø Û

x x x x

x x1 21 2 x11 x22

2( )

0

( )

+ + +

<

- + + Û 3a+ >2 Û a

2

>

-Kết hợp với điều kiện (*) ta được: a a

2

ỡù > -ớ ù ợ

Câu 22 Cho hàm số y = x

x

+ +

2) Gọi I giao điểm đường tiệm cận, D tiếp tuyến đồ thị (C) d khoảng cách từ I đến D Tìm giá trị lớn d

· y x ( 1) -¢ =

+ Giao điểm hai đường tiệm cận I(–1; 1) Giả sử

x

M x C

x0 0 ; ( ) æ + ẻ ỗ ữ ỗ + ữ ố ứ

Phương trình tiếp tuyến D với đồ thi hàm số M là:

( )

x

y x x

x x 0 0

1 ( )

1 + -= - + +

+ x (x ) y x (x )(x )

2

0 0

Û + + - - + + =

Khoảng cách từ I đếnD d =

( ) x x 1 + + + =

(x ) (x ) 2 2 1 £ + + +

(68)

1

- + =

-

2) Chứng minh với m, đường thẳng d y x m: = + cắt (C) điểm phân biệt A, B Gọi k k1 2, hệ số góc tiếp tuyến với (C) A B Tìm m để tổng

k k1+ 2 đạt giá trị lớn

· PT hoành độ giao điểm d (C): x x m x

1

- + = +

- Û

x

g x x2 mx m

1

( ) 2 (*)

ì ¹ ï í

ï = + - - =

ỵ

Vì g m m m

g

2 2 2 0,

1 0

2

D

ì ¢ = + + > " ï

ớ ổ ỗ ữ ù ố ứ ợ

nên (*) ln có nghiệm phân biệt x x1 2,

Theo định lí Viet ta có: x1 x2 m x x; 1 2 m

-+ = - = Giả sử: A x y B x y( ; ), ( ; )1 1 2 2 Tiếp tuyến A B có hệ số góc là: k k

x x

1 2 2

1

1 ;

(2 1) (2 1)

= - =

-Þ k k1+ 2 = -4(m+1)2- £ -2 2 Dấu "=" xảy Û m= -1 Vậy: k k1+ 2 đạt GTLN -2 m= -1

2

+ =

+ (1)

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số (1)

2) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến cắt trục hoành, trục tung hai điểm phân biệt A, B tam giác OAB cân gốc tọa độ O

· Gọi ( ; )x y0 0 toạđộ tiếp điểm Þ y x

x

0 2

0

1

( )

(2 3)

-¢ = <

+

DOAB cân O nên tiếp tuyến D song song với đường thẳng y= -x (vì tiếp tuyến có hệ số

góc âm) Nghĩa là: y x

x

0 2

0

1

( )

(2 3)

-Â = =

-+ ị

x y

0

1

2

é = - Þ = ê

= - Þ =

êë

+ Với x0= -1;y0 =1 ÞD: y- = - + Û = -1 (x 1) y x (loại) + Với x0= -2;y0=0 ÞD: y- = - +0 (x 2)Û = - -y x 2 (nhận) Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y= - -x 2

Câu 25 Cho hàm số y = x

x

1

2) Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) cho tiếp tuyến cắt trục Ox, Oy điểm A B thoả mãn OA = 4OB

· Giả sử tiếp tuyến d (C) M x y( ; ) ( )0 0 Ỵ C cắt Ox A, Oy B cho OA=4OB Do DOAB vuông O nên A OB

OA tan

4

= = Þ Hệ số góc d 1 4

1

-

Hệ số góc d y x

x x

0 2 2

0

1 1

( )

4

( 1) ( 1)

Â = - < ị - =

- Û

x y

0 0

3

1 ( )

2

3 ( )

2

é

= - =

ê ê

ê = =

(69)

Khi có tiếp tuyến thoả mãn là: y x y x

y x y x

1( 1)

4 4

1( 3) 13

4 4

é é

= - + + = - +

ê ê

Û

ê ê

ê = - - + ê = - +

ê ê

ë ë

2

=

-

2) Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến cắt trục Ox, Oy A B cho AB OA=

· Gọi M x y( ; ) ( ),0 0 Î C x0 ¹2 PTTT M: y x x x x x

0

2

0

2

4 ( )

2 ( 2)

-= - +

-Tam giác vng OAB có AB OA= 2 nên DOAB vng cân O Do d vng góc với một hai đường phân giác d y x d y1: = ; 2: = -x không qua O

+ Nếu d d^ 1 x

x0

4 1 4

( 2)

- = - Û =

- Þ d y: = - +x 8

+ Nếu d d^ 2

x0

4 1

( 2)

- =

- Þ vơ nghiệm

Vậy PTTT cần tìm là: y= - +x 8

1

+ =

-

2) Tìm giá trị nhỏ m cho tồn điểm M Ỵ (C) mà tiếp tuyến (C) M tạo với hai trục toạđộ tam giác có trọng tâm nằm đường thẳng d y: =2m-1 · Gọi M x y( ; ) ( )0 0 Ỵ C PTTT M: y x x y

x0 0

3 ( )

(2 1)

-= - +

-Gọi A, B giao điểm tiếp tuyến với trục hoành trục tung Þ yB x x x

2 0

2

(2 1)

+

-=

-

Từđó trọng tâm G DOAB có: yG x x x

2 0

2

3(2 1)

+

-=

- Vì G Ỵ d nên

x x

m x

2 0

2

3(2 1)

+

-=

-Mặt khác: x x x x x

x x x

2 2

0 0 0

2 2

0 0

2 (2 1)

1

(2 1) (2 1) (2 1)

+ - -

-= = ³

-

-Do để tồn điểm M thoả YCBT 2m 1 m

3

- ³ - Û ³ Vậy GTNN m 1

3

2

-=

- (C)

2) Viết phương trình tiếp tuyến điểm M thuộc (C) biết tiếp tuyến cắt tiệm cận đứng tiệm cận ngang A, B cho cơsin góc ·ABI

(70)

· I(2; 2) Gọi M x x C x 0 ; ( ) æ - ẻ ỗ ữ ỗ - ữ

ố ø , x0 ¹2

Phương trình tiếp tuyến D M: y x x x x x 0 0

1 ( )

2 ( 2) -= - - +

Giao điểm D với tiệm cận:A x x00

2 2; æ - ỗ ữ ỗ - ữ

ố ứ, B x(2 0-2;2)

Do cos·ABI 17

= nên ·ABI IA

IB tan

4

= = Û IB2 =16.IA2 Û (x0-2)4 =16 Û xx0 0 é = ê = ë

Kết luận: Tại M 0;3

ỉ ç ÷

è ø phương trình tiếp tuyến: y x

1

4

= - +

Ti M 4;5

ổ ỗ ÷

è ø phương trình tiếp tuyến: y x

1

4

= - +

Câu hỏi tương tự: a) y x ·BAI

x

3 2;cos

1 26

-= =

+ ĐS: D: y=5x-2 D: y=5x+2

2

-=

2) Tìm (C) điểm M cho tiếp tuyến M (C) cắt hai tiệm cận (C) A, B cho AB ngắn

· Lấy điểm M m m ; 2 ổ + ỗ - ữ

è øỴ( )C Ta có: y m m

1 ( )

( 2)

¢ =

-Tiếp tuyến (d) M có phương trình: y x m

m

1 ( ) 2

2 ( 2)

= - - + +

-Giao điểm (d) với tiệm cận đứng là: A

m 2;2 ổ + ỗ - ữ ố ø

Giao điểm (d) với tiệm cận ngang là: B m(2 -2;2) Ta có: AB m

m

2

1

4 ( 2)

( 2)

é ù

= ê - + ú³

-ê ú

ë û Dấu “=” xảy Û

m m 13

é = ê = ë

Vậy điểm M cần tìm có tọa độ là: M(3;3) M(1;1)

Câu 30 Cho hàm số

2) Gọi M điểm (C), I là giao điểm đường tiệm cận Tiếp tuyến d (C) M cắt đường tiệm cận A B. Tìm toạ độđiểm M cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích 2p

· Ta có: I(2; 2) Gọi M x x C x x

0

2

; ( ),

2

ỉ -

ẻ

ỗ ữ

ỗ - ữ

è ø PTTT d:

x

y x x

x x 0 0

1 ( )

2 ( 2) -= - +

-d cắt tiệm cận A x B x

x00

2

2; , (2 2;2)

2 ỉ - -ỗ ữ ỗ - ữ ố ứ IAB

D vuông I SIAB x xx MM

x

2

( ) 2

0

1 (1;1)

2 ( 2) 3 (3;3)

( 2)

p é = Þ

= Û - + = Û ê = Þ

(71)

Câu 31 Cho hàm số y x x -= -

2) Gọi M điểm (C) Tiếp tuyến (C) M cắt đường tiệm cận (C) A B. Gọi I là giao điểm đường tiệm cận Tìm toạđộ điểm M cho đường trịn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ

· Giả sử M x x C x

x0

0

2

; ( )

2

æ -

ẻ

ỗ ữ

ỗ - ÷

è ø , y x0 (x0 )2

1 '( ) -=

-Phương trình tiếp tuyến (D) với ( C) M:

( )

x

y x x

x x 0 0

1 ( )

2 -= - +

-Toạđộ giao điểm A, B (D) với hai tiệm cận là: A x B x( )

x00

2

2; ; 2;2

2 ỉ - -ỗ ữ ỗ - ữ ố ứ

Ta thy xA xB x0 x xM

0

2 2

2

+

-+

= = = , yA yB x yM

x00

2

-+

= =

- Þ M trung điểm AB

Mặt khác I(2; 2) DIAB vuông I nên đường trịn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích

S = IM x x x

x x

2

2 2

0 2

0 0

2

( 2) ( 2)

2 ( 2)

p =pờộờ - +ỗỗổ - - ÷÷ư úùú=pêé - + ùú³ p

- ê - ú

è ø ë û

ë û

Dấu “=” xảy x xx

x 0 2 0 1

( 2) 3

( 2)

é =

- = Û ê =

- ë

Do điểm M cần tìm M(1; 1) M(3; 3) Câu hỏi tương tự:

a) Với y x x

2

+ =

+ ĐS: M(0;1), ( 4;5)M -

Câu 32 Cho hàm số y mx x m +3

=

-

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) hàm số m =

2) Gọi I giao điểm hai tiệm cận (C) Tìm mđể tiếp tuyến diểm (C) cắt hai tiệm cận A B cho DIAB có diện tích S=64

· (C) có tiệm cận đứng x m= , tiệm cận ngang y=2m Giao điểm tiệm cận I m m( ;2 )

Gọi M x mx C

x 0m

0 ; ( ) ỉ + Ỵ ç ÷ ç - ÷

è ø PTTT D (C) M:

mx m

y x x

x m x m 0 0

2 3 ( )

( ) + + = - +

D cắt TCĐ A m mx m

x m

2

0

2

;

æ + +

ỗ ữ

ỗ - ữ

è ø, cắt TCN B x(2 0-m m;2 )

Ta có: IA m

x m

2

4 +6

=

+ ; IB=2 x0-m Þ SIAB =1 2IA IB=4m2+ =6 64Û m

58

= ±

= -

2) Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến tạo với đường tiệm cận (C) tam giác có chu vi P=2 2( + 2)

(72)

Gọi M x x C x x

0

; ( ) ( 1)

1

ổ

ẻ

ỗ ữ

ỗ - ữ

ố ứ PTTT D (C) M:

x

y x x

x x

0

1 ( )

1 ( 1)

= - - +

D cắt TCĐ A x x00

1 1;

1

ỉ +

ỗ ữ

ỗ - ữ

ố ứ, ct TCN B x(2 0-1;1)

Ta có: PIAB IA IB AB x x

x 0 x

0 0

2 2 1 ( 1)

1 ( 1)

= + + = + - + - +

- - ≥ 2+

Dấu "=" xảy Û x xx0

0

0 1 é =1

- = Û ê =ë

+ Với x0=0 Þ PTTT D: y= -x; + Với x0=2 Þ PTTT D: y= - +x 4

1

+ =

2) Gọi I giao điểm hai tiệm cận Tìm điểm M thuộc (C) cho tiếp tuyến (C) M cắt tiệm cận A B với chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ

· Giao điểm tiệm cận I(1;2) Gọi M x x

0

3 ;2

1

ổ

+

ỗ ữ

ỗ - ữ

ố ứẻ (C)

+ PTTT M có dạng: y x x

x

x0 0

3 ( ) 2

1 ( 1)

-= - + +

-+ Toạđộ giao điểm tiếp tuyến với tiệm cận: A

x0 1;2

1

ỉ

+

ỗ ữ

ỗ - ữ

ố ứ, B(2x0-1;2)

+ Ta có: S IAB IA IB x

x0

1 . 2 1 2.3 6

2

D = = × - × - = = (đvdt)

+ DIAB vng có diện tích khơng đổi Þ chu vi DIAB đạt giá trị nhỏ IA= IB

Û x x

x0 x00

1

6 2 1

1

é = +

= - Þ ê

- êë =

-Vậy có hai điểm M thỏa mãn điều kiện M1(1+ 3;2+ 3), M2(1- 3;2- 3) Khi chu vi DAIB = 4 6+

Chú ý: Với số dương a, b thoả ab = S (khơng đổi) biểu thức P = a b+ + a2+b2 nhỏ

nhất a = b

Thật vậy: P = a b+ + a2+b2 ³ ab+ 2ab =(2+ 2) ab=(2+ 2) S Dấu "=" xảy Û a = b

Câu hỏi tương tự: a) y x

x

1

-=

- ĐS: M1(0; 1),- M2(2;3)

2

-=

+

2) Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến cắt tiệm cận A B cho bán kính đường trịn nội tiếp tam giác IAB lớn nhất, với I giao điểm tiệm cận

(73)

Gọi M x x C x0

0

2

; ( )

1

æ -

ẻ

ỗ ữ

ỗ + ÷

è ø PTTT D (C) M:

x

y x x

x x

0

2

3 ( )

1 ( 1)

-= - +

+

D cắt hai tiệm cận A x B x

x00

5

1; , (2 1;1)

ỉ -

- +

ỗ ữ

ỗ + ữ

ố ứ Ta có: IA x0 IB x0

6 ;

1

= = +

+

Þ SIAB IA IB

= = Gọi p, r nửa chu vi bán kính đường trọn nội tiếp DIAB

Ta có: S pr r S

p p

6

= Þ = = Do r lớn Û p nhỏ Mặt khác DIAB vuông I nên: p IA IB AB IA IB IA2 IB2 IA IB IA IB

2 = + + = + + + ³2 + =4 6+ Dấu "=" xảy Û IA IB= Û (x0+1)2 = Û3 x0= - ±1 3

+ Với x= - -1 3 Þ PTTT D: y x= +2 1( + 3) + Với x= - +1 Þ PTTT D: y x= +2 1( - 3)

1

+ =

-

2) Tìm hai nhánh đồ thị (C), điểm M, N cho tiếp tuyến M N cắt hai đường tiệm cận điểm lập thành hình thang

· Gọi M m y( ; M), ( ; ) N n yN điểm thuộc nhánh (C) Tiếp tuyến M cắt hai tiệm cận tại A, B Tiếp tuyến N cắt hai tiệm cận C, D

PTTT M có dạng: y y m x m= Â( ).( - )+yM ị A m B m m

2

1; , (2 1;2)

ổ +

-ỗ - ữ

è ø

Tương tự: C n D n n

2

1; , (2 1;2)

ổ +

-ỗ - ÷

è ø

Hai đường thẳng AD BC có hệ số góc: k

m n

3 ( 1)( 1)

-=

- - nên AD // BC

Vậy điểm M, N thuộc nhánh (C) thoả mãn YCBT

3

+ =

-

2) Cho điểm M x yo( ; )o o thuộc đồ thị (C) Tiếp tuyến (C) M0 cắt tiệm cận (C) điểm A B Chứng minh Mo trung điểm đoạn thẳng AB

· M x yo( ; )o o Ỵ (C) Þ y

x

0

4

1

= +

- PTTT (d) M0 : y y0 x x x0

4 ( )

( 1)

- = -

-Giao điểm (d) với tiệm cận là: A x(2 0-1;1), (1;2B y0-1)

Þ xA xB x yA yB y 0;

2

+ +

= = Þ M0 trung điểm AB

Câu 38 Cho hàm số : y x x

2

+ =

- (C)

(74)

· Giả sử M a a a ; ổ + ỗ - ữ

è ø Ỵ (C)

PTTT (d) (C) M: y y a x a a a ( ).( ) + ¢ = - + - Û a a y x a a 2

3

( 1) ( 1)

- +

-= +

-

-Các giao điểm (d) với tiệm cận là: A a a 1; ổ + ỗ - ÷

è ø, B a(2 -1;1)

IA a 0; đ ổ ử = ỗ - ÷

è ø ÞIA a

6

=

- ; IB (2a 2;0)

®

= - Þ IB=2a-1 Diện tích DIAB: SDIAB= 1 IA IB

2 = (đvdt) ÞĐPCM Câu hỏi tương tự:

a) y x x

1

-=

+ ĐS: S = 12

Câu 39 Cho hàm số y x x 1 -= -

2) Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận, A điểm (C) có hoành độ a Tiếp tuyến A (C) cắt hai đường tiệm cận P Q Chứng tỏ A trung điểm PQ tính diện tích tam giác IPQ

· I A a a

a (1; 2), ;

1

ổ -

- ỗ ữ

-è ø PT tiếp tuyến d A:

a

y x a

a a

1 ( )

1 (1 ) -= - +

-Giao điểm tiệm cận đứng tiếp tuyến d: P a a 1; ổ ỗ - ữ ố ứ

Giao im tiệm cận ngang tiếp tuyến d: Q a(2 - -1; 2) Ta có: xP+ xQ=2a=2xA Vậy A trung điểm PQ

IP = a

a a

2 2

1- + = 1- ; IQ = 2(a-1) Suy ra: SIPQ =

1

2IP.IQ = (đvdt)

Câu 40 Cho hàm số y x x 1 -= +

2) Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận (C) Tìm đồ thị (C), điểm M có hồnh

độ dương cho tiếp tuyến M với đồ thị (C) cắt hai đường tiệm cận A B thoả

mãn: IA2+IB2 =40

· (C) có TCĐ: x= -1; TCX: y=2 Þ I(–1; 2) Giả sử M x x x0 0 ; ổ - ỗ ữ ỗ + ÷

è ø Ỵ (C), (x0 > 0)

PTTT với (C) M: y x x x x x 0 0

3 ( )

1 ( 1) -= - + + + Þ x A

x00

2 1; ổ - -ỗ ữ ỗ + ÷

è ø, B((2x0+1;2)

IA2+IB2 =40 Û x x

x 2 0

36 4( 1) 40

( 1) ì + + = ï + í ï > ỵ

Û x0 =2 (y0 = 1) Þ M(2; 1)

1

+ =

(75)

2) Tìm Oy tất điểm từđó kẻđược tiếp tuyến tới (C) · Gọi M(0; )yo điểm cần tìm PT đường thẳng qua M có dạng: y kx y= + o (d)

(d) tiếp tuyến (C) o o o o

x kx y y x y x y

x

x k

k x

x

2 2

1 ( 1) 2( 1) 1 (1)

1 2

2 1;

( 1) ( 1)

ì + = + ì - - + + + =

ïï - ï

Ûí - Ûí ¹ - =

=

ï ï

-ỵ ï

-ỵ

(*) YCBT Û hệ (*) có nghiệmÛ(1) có nghiệm khác

o o

o

o o o o

y y x y k

x y y y x y k

1 1 1; 1 8

1 ' ( 1) ( 1)( 1) 0

0;

2 D

ì = ì ¹ é

ï ï ê = = Þ =

-Ûí Ú í Û

ê

= ï = + - - + =

ù ợ = = ị =

-ợ

Vậy có điểm cần tìm là: M(0; 1) M(0; –1)

3

+ =

- (C)

2) Tìm đường thẳng d y: =2x+1 điểm từ kẻ tiếp tuyến tới (C)

· Gọi M m m( ;2 + Ỵ1) d PT đường thẳng D qua M có dạng: y k x m= ( - ) 2+ m+1 PT hoành độ giao điểm D (C): k x m m x

x

( )

1

+

- + + =

-

Û kx2-[(m+1)k-2m x] [+ mk-(2m+4)]=0 (*) D tiếp xuc với (C) Û (*) có nghiệm kép Û

[ ] [ ]

k

m k m k mk m

0

( 1) (2 4)

D ì ¹ ï í

= + - - - + =

ùợ

ớỡ ạkg k( ) (0= m-1)2 2k -4(m2- -m 4)k+4m2 =0 ỵ

Qua M m m( ;2 + Ỵ1) d kẻđược tiếp tuyến đến (C)

Û g k( ) 0= có nghiệm k¹0 Û

m m g m

m k k

2

32( 2) 0; (0) 32( 2) 0; (0)

1 16

4

D D

é ¢ = - - - > = =

ê

¢ = - - - > = =

ê ê

- = Þ + = Þ = -êë

Û

m M

0 (0;1) ( 1; 1) (2;5) (1;3)

é = Þ

ê = Þ

-ê = Þ

ê

= Þ

êë

(76)

KSHS 05: BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH

Câu 1. Cho hàm số y= - +x3 3x2+1

2) Tìm mđể phương trình x3-3x2= m3-3m2 có ba nghiệm phân biệt

· PT x3-3x2= m3-3m2 Û - +x3 3x2+ = -1 m3+3m2+1 Đặt k= -m3+3m2+1

Số nghiệm PT số giao điểm đồ thị (C) với đường thẳng d: y k=

Dựa vào đồ thị (C) ta có PT có nghiệm phân biệt Û1< <k Û mỴ -( 1;3) \ 0;2}{ Câu 2. Cho hàm số y x= 3-3x2+2

2) Biện luận theo m số nghiệm phương trình : x x m x

2 2 2

1

- - =

-

· Ta có x x m (x x ) x m x

x

2 2 2 2 2 1 , 1.

1

- - = Û - - - = ¹

- Do số nghiệm phương trình

bằng số giao điểm y=(x2-2x-2) x-1 , ( ')C đường thẳng y m x= , ¹1

Với y=(x2-2x-2) x- = í-1 ìf x( )f x x( ) khi x>11

<

ỵ nên ( )C' bao gồm:

+ Giữ nguyên đồ thị (C) bên phải đường thẳng x=1

+ Lấy đối xứng đồ thị (C) bên trái đường thẳng x=1 qua Ox Dựa vào đồ thị ta có:

m < –2 m = –2 –2 < m < m ≥

vô nghiệm 2 nghiệm kép nghiệm phân biệt nghiệm phân biệt

Câu 3. Cho hàm số y x= 4-5x2+4 có đồ thị (C)

2) Tìm mđể phương trình x4-5x2+ =4 log12m có nghiệm

· Dựa vào đồ thị ta có PT có nghiệm Û m m

9 4 12

log 12 144 12

4

= Û = = .

Câu 4. Cho hàm số: y x= 4-2x2+1

2) Biện luận theo m số nghiệm phương trình: x4-2x2+ +1 log2m=0 (m > 0)

· x4-2x2+ +1 log2m=0 Û x4-2x2+ = -1 log2m (*)

+ Số nghiệm (*) số giao điểm đồ thị y x= 4-2x2+1 y= -log2m

+ Từđồ thị suy ra:

m

0

2

< < m

2

= m

2< < m=1 m>1

2 nghiệm 3 nghiệm 4 nghiệm 2 nghiệm vô nghiệm

Câu 5. Cho hàm số y f x= ( ) 8= x4-9x2+1

(77)

x x m

4

8cos -9cos + =0 với xỴ[0; ]p

· Xét phương trình: 8cos4x-9cos2x m+ =0 với xỴ[0; ]p (1)

Đặt t=cosx, phương trình (1) trở thành: 8t4-9t2+ =m 0 (2)

Vì xỴ[0; ]p nên tỴ -[ 1;1], x t có tương ứng đối một, số nghiệm phương trình (1) (2)

Ta có: (2)Û8t4-9t2+ = -1 m (3)

Gọi (C1): y=8t4-9t2+1 với tỴ -[ 1;1] (d): y= -1 m Phương trình (3) phương trình

hồnh độ giao điểm (C1) (d)

Chú ý (C1) giống nhưđồ thị (C) miền - £ £1 x 1

Dựa vào đồ thị ta có kết luận sau:

m<0 m=0 0< <m 1 m 81

32

£ < m 81

32

= m 81

32

> vô nghiệm 1 nghiệm 2 nghiệm 4 nghiệm 2 nghiệm vô nghiệm

x

3

2

-=

- (C)

2) Tìm giá trị mđể phương trình sau có nghiệm đoạn 0;2

p

é ù

ê ú

ë û:

x x m ( x x

6 4

sin +cos = sin +cos )

· Xét phương trình: sin6x+cos6x m (= sin4x+cos )4x (*)

x m x

2

3

1 sin sin

4

ỉ

Û - = ỗ - ữ

ố ứ x m x

2

4 3sin 2- =2 (2 sin )- (1)

Đặt t=sin 22 x Với x 0;2

p

é ù

Ỵ ê ú

ë û tỴ[ ]0;1 Khi (1) trở thành:

t m

t

3

2

-=

- với tỴ ë ûé0;1ù

Nhận xét : với tỴ ë ûé0;1ùta có : x t x t

x t

sin2 sin2

sin2

é =

-Û =

ê

= ë

Để (*) có nghiệm thuộc đoạn 0;2

p

é ù

ê ú

ë ûthì t t

3;1 3;1

2

é é ư

Ỵê ữữị ẻờ ữ

ở ứ

ờở ứ

Dưa vào đồ thị (C) ta có: y(1) 2m y 2m

4

ỉ

< Ê ỗ ữ < Ê

ố ứ Û m

1

2< £10

x 1.1

+ =

-1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) hàm số 2) Biện luận theo m số nghiệm phương trình x m

x

1

+ =

-· Số nghiệm x m x

1

+ =

- số giao điểm đồ thị (C¢):

x y

x

1

+ =

- y m= Dựa vào đồ thị ta suy được:

m< -1;m>1 m= -1 - < £1 m

(78)

KSHS 06: ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA ĐỒ THỊ

Kiến thức bản:

1) Khoảng cách hai điểm A, B: AB = (xB-xA)2+(yB-yA)2

2) Khoảng cách từđiểm M x y( ; )0 0 đến đường thẳng D: ax by c+ + =0:

d M d ax by c

a b

0 2 ( , )= + +

+

Đặc biệt: + Nếu D: x a= d M( , )D = x0-a

+ Nếu D: y b= d M( , )D = y0-b

+ Tổng khoảng cách từ M đến trục toạđộ là: x0 + y0 3) Diện tích tam giác ABC: S = 1AB AC .sinA AB AC2 (AB AC )2

2 =2

-uuur -uuur 4) Các điểm A, B đối xứng qua điểm I Û IA IBuur uur+ =0 Û A B I

A B I

x x x

y y 22y ì + = í + = ỵ

5) Các điểm A, B đối xứng qua đường thẳng D Û ìí ỴABI D^D

ỵ (I trung điểm AB)

Đặc biệt: + A, B đối xứng qua trục Ox Û B A B A

x x

y y

ì = í = -ỵ

+ A, B đối xứng qua trục Ox Û B A B A

x x

y y

ì = í = -ỵ

6) Khoảng cách đường thẳng D với đường cong (C) khoảng cách nhỏ điểm M Ỵ D điểm N Ỵ (C)

(79)

Câu 1. Cho hàm số y= - +x3 3x+2 (C)

2) Tìm điểm đồ thị hàm số cho chúng đối xứng qua tâm M(–1; 3) · Gọi A x y( 0 0; ), B điểm đối xứng với A qua điểm M( 1;3)- ịB(- -2 x0;6-y0)

A B C, ẻ( ) y x x

y x x

3

0 0

3

0 0

3

6 ( ) 3( )

ì = - + + ï

í

- = - - - + - - + ïỵ

( ) ( )

x30 x0 x0 x0 x20 x0

6 2 2 12

Û = - + + - - - + - - + Û + + = Û x0 = - Þ1 y0 =0

Vậy điểm cần tìm là: ( 1;0)- ( 1;6)

-Câu 2. Cho hàm số y x3 x2 3x 11

3

= - + + -

2) Tìm đồ thị (C) hai điểm phân biệt M, N đối xứng qua trục tung · Hai điểm M x y N x y( ; ), ( ; ) ( )1 1 2 2 Ỵ C đối xứng qua Oy Û x x

y21 y21

0

ì = - ¹ ï

í = ïỵ

Û

x x

x x x x2

2

3

2

1

0

11 11

3

3 3

ì = - ¹ ï

í

- + + - = - + + -ï

ỵ

Û x

x21

3

ì = ï í =

-ïỵ x

x12

3

ì = -ï í = ïỵ Vậy hai điểm thuộc đồ thị (C) đối xứng qua Oy là: M 3;16 ,N 3;16

3

æ ổ- ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ố ø

Câu 3. Cho hàm số y= - +x3 3x+2 (C)

2) Tìm (C) hai điểm đối xứng qua đường thẳng d: 2x y- + =2 · Gọi M x y N x y( 1 1; ) (; 2 2; ) thuộc (C) hai điểm đối xứng qua đường thẳng d I trung điểm AB nên I x1 x y2; y2

2

ổ + +

ỗ ữ

ố ứ, ta có I dỴ Có: y y ( x x ) ( x x ) x x

3

1 2

1 3 2. 2

2 2

- + + + - + +

+ +

= = +

(x x ) x x x( x ) (x x ) (x x ) x x

x x x x

3 1 2

2

1 2 2

1 2

3

1

é + =

Þ - + + + + + = + Þ ê

- + = êë

Mặt khác: MN d^ Þ(x2-x1) (.1+ y2-y1).2 0=

(x2 x1) (x2 x1)(x12 x x1 2 x22) x12 x x1 2 x22

7

2

Þ - - - + + = Þ + + =

- Xét x1+x2 =0 x1 7;x2

2

Þ = ± =m

- Xét x x x x x x

x x x x x x

2

1 1 2

2

1 2 1 2

4

7 5

2 4

ì

ì - + = ï + =

ï Ûï Þ

í í

+ + =

ï ï =

ỵ ïỵ

vơ nghiệm

Vậy điểm cần tìm là: 7;2 ; 7;2 2 2 2

æ ổ

- - +

ỗ ữ ç ÷

ç ÷ ç ÷

(80)

Câu 4. Cho hàm số y 1x3 x2 3x

3

= + - +

2) Gọi A, B giao điểm (C) với trục Ox Chứng minh đồ thị (C) tồn hai điểm nhìn đoạn AB góc vng

· PT hoành độ giao điểm (C) với trục hoành: 1x3 x2 3x xx 15

3

é = + - + = Û ê =

-ë

Þ A( 5;0), (1;0)- B Gọi M a a;1 a2 3a ( ),C M A B,

3

ỉ

+ - + ẻ

ỗ ữ

ố ứ

Þ AM a 5;1a3 a2 3a

3

ổ

=ỗ + + - + ÷

è ø

uuur

, BM a 1;1a3 a2 3a

3

ỉ

=ỗ - + - + ữ

ố ứ

uuur

AM BM^ Ûuuur uuurAM BM =0 Û (a 5)(a 1) 1(a 5) (2 a 1)4

+ - + + - =

Û 1(a 1) (3 a 5)

+ - + = Û a4+2a3-12a2+14a+ =4 (*)

Đặt y a= 4+2a3-12a2+14a+ =4 0, có tập xác định D = R

y¢ =4a3+6a2-12a+14; y¢ =0 có nghiệm thực a0 y0 2043

2 16

» - Þ » -Dựa vào BBT ta suy (*) ln có nghiệm khác –5

Vậy tồn điểm thuộc (C) nhìn đoạn AB góc vng

Câu 5. Cho hàm số y x= 4-2x2+1

2) Tìm toạđộ hai điểm P, Q thuộc (C) cho đường thẳng PQ song song với trục hoành khoảng cách từđiểm cực đại (C) đến đường thẳng PQ

·Điểm cực đại (C) A(0;1) PT đường thẳng PQ có dạng: y m m= ( ³0)

Vì d A PQ( , ) 8= nên m=9 Khi hồnh độ điểm P, Q nghiệm phương trình: x4-2x2- = Û = ±8 x 2

Vậy: P( 2;9), (2;9)- Q P(2;9), ( 2;9)Q -

Câu 6. Cho hàm số y x= 4+mx2- -m (Cm)

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) hàm số m = –2

2) Chứng minh m thay đổi (Cm) ln ln qua hai điểm cốđịnh A, B Tìm m

để tiếp tuyến A B vng góc với

· Hai điểm cốđịnh A(1; 0), B(–1; 0) Ta có: y¢ =4x3+2mx

Các tiếp tuyến A B vng góc với Û y¢(1) ( 1)y¢ - = -1 Û (4 )+ m =1

Û m 3;m

2

= - = -

x

2

+ =

-

2) Tìm điểm đồ thị (C) cách hai điểm A(2; 0) B(0; 2) · PT đường trung trực đọan AB: y x=

Những điểm thuộc đồ thị cách A B có hồnh độ nghiệm PT:

x x

x

2

+ =

- Û x2 x x x

1 5

1 ;

2

- +

(81)

Hai điểm cần tìm là: 1, ; 1,

2 2

æ - - ổ + +

ỗ ữ ỗ ữ

ố ứ ố ứ

x

3

-=

- (C)

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) hàm số 2) Tìm điểm thuộc (C) cách tiệm cận

· Gọi M x y( ; )Ỵ (C) cách tiệm cận x = y =

Ta có: x y x x x x

x x

3

2 2

2

= Û = - Û - =

-

-x x x

x

x ( 2) é =14

Û = ± - Û ê =

- ë

Vậy có điểm thoả mãn đề : M1( 1; 1) M2(4; 6)

x 1 + = + (C)

2) Tìm (C) điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận (C) nhỏ · Gọi M x y( ; )0 0 ẻ (C), (x0ạ -1) thỡ y x

x0 x

0

2 2

1

+

= =

-+ +

Gọi A, B hình chiếu M TCĐ TCN thì:

MA x MB y

x

0

1 ,

1

= + = - = +

Áp dụng BĐT Cô-si ta có: MA MB MA MB x x

0

1

2

1

+ ³ = + =

+ Þ MA + MB nhỏ x xx

x 0 0 1 2 é = + = Û ê = -+ ë Vậy ta có hai điểm cần tìm (0; 1) (–2; 3)

Câu hỏi tương tự: a) y x

x

2 1

-=

+ ĐS: x0= - ±1 b) x y x -=

- ĐS: M(1;2), (3;4)M

x

2 1

-=

+ (C)

2) Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) để tiếp tuyến (C) M với đường thẳng qua M giao điểm hai đường tiệm cận có tích hệ số góc –9

· Giao điểm tiệm cận I( 1;2)-

Gọi M I

IM

M I

y y

M x C k

x x x x

0 2

0 0

3

;2 ( )

1 ( 1)

-æ - ửẻ ị = =

-ỗ + ữ

-+

è ø

+ Hệ số góc tiếp tuyến M:

( ) M

k y x

x 2 ( ) ¢ = = + + YCBT Ûk kM IM = -9 Û xx0

0

2

é = ê =

-ë Vậy có điểm M thỏa mãn: M(0; –3) M(–2; 5)

(82)

2) Tìm điểm M (C) cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d x y: + - =2

k

5

=

· Gọi M m m C

m ; ( ) ổ + ửẻ ỗ - ÷

è ø Ta có: d M d m m m

2

( , )

= Û - + = -

Û m 2;m 5;m 2;m

2

= = = - = Þ M(2;4);M 5;3 ; ( 2;0);M M 1;

2

ỉ - ỉ -

ỗ ữ ỗ ữ

ố ứ ố ø

a) y x d x y k

x

3 1; : 3 4 1 0; 12

2

-= - + = =

- ĐS: M M M M

16 15 11 (1; 2); ; ; 2; ; ;6

3 4

ỉ ỉ ỉ

- ỗ ữ ỗ- ữ ỗ ữ ố ø

è ø è ø

x 1 + = +

2) Tìm điểm M đồ thị (C) cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d x: -4y+ =8

là ngắn

· Gọi D tiếp tuyến (C) song song với d

Þ PTTT (C) 1:y x

4

D = + 2:y x 13

4 D = + Các tiếp điểm tương ứng: M1 1;3 ,M2 3;5

2

ổ ổ- ỗ ữ ỗ ÷

è ø è ø Ta tính d M( , )1 D <d M( 2, )D

ị M1 1;3

ổ ỗ ữ

è ø điểm cần tìm Cách 2: Giả sử M x x C

x ; ( ) ổ + ửẻ ỗ + ữ

è ø Tính f d M d= ( , ) Sử dụng phương pháp hàm sốđể tìm f

min

x 1 -= +

2) Tìm tọa độđiểm M Ỵ (C) cho khoảng cách từđiểm I( 1; 2)- tới tiếp tuyến (C) M lớn

· Giả sử M x C

x

0

3

; ( )

ổ

- ẻ

ỗ ữ

ỗ + ữ

ố ứ PTTT D (C) M là:

y x x

x x

0 0

3

2 ( )

1 ( 1)

- + =

-+ + Û x x x y x

2

0 0

3( - ) (- +1) ( - -2) 3( + =1)

Khoảng cách từ I( 1;2)- tới tiếp tuyến D là:

( )

x x x

d

x

x x

x

0 0

4 2

0

0 2 0

0

3( ) 3( 1) 6

9 ( 1)

( 1) - - - + + = = = + + + + + + +

Theo BĐT Cô–si: x x

2

9 ( 1) 2 6

( +1) + + ³ = Þ d£ 6

Khoảng cách d lớn 6 x x x x

2

0 0

2

(83)

Vậy có hai điểm cần tìm là: M(- +1 3;2- 3) M(- -1 3;2+ 3)

x

2

-=

+

2) Tìm (C) hai điểm đối xứng qua đường thẳng MN biết M(–3; 0) N(–1; –1) · MNuuuur=(2; 1)- Þ Phương trình MN: x+2y+ =3 0

Phương trình đường thẳng (d) ^ MN có dạng: y=2x m+ Phương trình hồnh độ giao điểm (C) (d):

x x m

x

2 4 2

- = +

+ Û 2x2+mx m+ + =4 (x¹ -1) (1) (d) cắt (C) hai điểm phân biệt A, B Û D=m2-8m-32 0> (2) Khi A x x( ;21 1+m B x), ( ;22 x2+m) với x x1, 2 nghiệm (1) Trung điểm AB I x1 x2 x x m

1 ;

ỉ +

+ +

ỗ ữ

ố ứ

m m

I ;

4

ỉ

-ỗ ữ

ố ứ (theo nh lý Vi-et) A, B đối xứng qua MN Û I Ỵ MN Û m= -4

Suy (1) Û 2x2-4x= Û ê =0 é =xx 20

ë Þ A(0; –4), B(2; 0)

x

1

= -

2) Tìm đồ thị (C) hai điểm B, C thuộc hai nhánh cho tam giác ABC vuông cân

đỉnh A với A(2; 0) · Ta có C y

x

( ) :

1

= +

- Gọi B b b C c c

2

;2 , ;2

1

+ +

-

-ổ ổ

ỗ ữ ỗ ữ

è ø è ø với b< <1 c Gọi H, K hình chiếu B, C lên trục Ox

Ta có: AB AC BAC= ;· =900 Þ·CAK BAH+· =900=·CAK ACK+· · ·ÞBAH ACK= và: · ·BHA CKA ABH CAK {AH CK

HB AK

0

90 D D =

= = Þ = Þ

=

Hay: {

b

b c

c c

b

2

1

2

1

- = +

=

Û

=

+ =

-ì ïï í ï ïỵ

Vậy B( 1;1), (3;3)- C

x

3

-=

+

2) Tìm hai nhánh đồ thị (C) hai điểm A B cho AB ngắn · Tập xác định D = R {\ -1} Tiệm cận đứng x= -1

Giả sử A a B b

a b

4

1 ;1 , ;1

ỉ- - + ổ- + -

ỗ ữ ỗ ữ

è ø è ø (với a>0,b>0) điểm thuộc nhánh (C)

AB a b a b ab ab

a b a b a b ab

2

2 2

1 16 16 64

( ) 16ỉ ( ) 1é ù é1 ù 32

= + + ỗ + ữ = + ê + ú³ ê + ú= + ³

è ø ë û ë û

H K

B

A

(84)

AB nhỏ Û AB a b a b a b

ab a

ab

4

4 4 16

4 ì = ì = ï = Ûí Ûí Û = = = ỵ = ïỵ

Khi đó: A(- -1 44;1+464 ,) (B - +1 44;1-464) Câu hỏi tương tự:

a) y x x

4

-=

- ĐS: A(3- 3;4- ,) (B 3+ 3;4+ 3)

x - + = -

2) Tìm đồ thị (C), điểm A, B cho độ dài đoạn AB đường thẳng AB vng góc với đường thẳng d y x: =

· PT đường thẳng AB có dạng: y= - +x m PT hồnh độ giao điểm (C) AB:

x x m

x

1

- +

= - +

- Û g x x m x m x

2

( )= -( +3) +2 + =1 (1) ( ¹2)

Để có điểm A, B (1) phải có nghiệm phân biệt khác Û g

g (2) D ỡ > ạ ợ

ỡớ - +(4 (m+m3)23).2 2-4(2mm+ >1) 01 0

+ + ¹

ỵ Û "m Ta có: A B

A B

x x m

x x 2m 13

ì + = +

í = +

ỵ Mặt khác yA = -xA+m y; B = -xB+m

Do đó: AB = Û (xB-xA)2+(yB-yA)2=16 Û m2-2m- =3 Û é = -ê =mm 31

ë + Với m=3, thay vào (1) ta được: x x x y

x y

2 6 7 0 2

3 2

é = + Þ = + = Û ê

= - Þ = ë

Þ A(3+ 2;- 2), (3B - 2; 2) A(3- 2; 2), (3B + 2;- 2)

+ Với m= -1, thay vào (1) ta được: x x x y

x y

2 2 1 0 2

1 2

é = + Þ = - = Û ê

= - Þ = - + ë

Þ A(1+ 2; 2- - 2); (1B - 2; 2- + 2) A(1- 2; 2- + 2); (1B + 2; 2- - 2)

x

2

3 14

+ + =

Tìm tất các điểm (C) có toạđộ nguyên · Ta có: y x

x

1 2 3 53

4

ổ

= ỗ + + ữ + è ø

Điểm M x y( ; ) ( )Ỵ C có toạđộ ngun Û x Z

y x Z

x

1 2 3 53

4

ì Ỵ ï ỉ = ỗ + + ữẻ ù ố + ø ỵ Û x Z x Z x x x 53 53

2

6 ỡ ẻ ùổ ùỗ + + ữẻ ớố + ứ ùổ + + ùỗ + ÷ è ø ỵ M Û x Z Z x x x 53 53

2

6 ì Ỵ ï ï Ỵ í + ùổ + + ỗ ữ ùố + ứ ợ M

Û x Zx x

x

6 1 53 53

2

(85)

Û é = Þ =ê = - Þ = -xx 09 yy 144

ë Vậy có hai điểm thoả YCBT: (0;14), ( 9; 4)- -

x

2 3 6

- + =

Tìm cặp điểm đồ thị (C) đối xứng qua điểm I ;1

ổ

ỗ ữ

ố ứ Ã Gi M x y N x y( ; ), ( ; ) ( )1 1 2 2 Ỵ C đối xứng qua điểm I ;1

2

æ

ỗ ữ

ố ứ

Khi ta có: yx1 yx2 xy2 xy1 N x1 y1

1 2

1 (1 ;2 )

2

ì + = ì =

-Û Þ -

-í + = í =

-ỵ ỵ

Vì M x y N x y( ; ), ( ; ) ( )1 1 2 2 Ỵ C nên ta có:

x x

y

x

x x

y

x

2

1

1 1

1

3

4

1

ì - +

ï =

-ï

í

- + ï - =

ï

-ỵ

Û xx1 yy1

1

2; 3;

é = - =

-ê = =

ë

Vậy (C) có cặp điểm thoả YCBT: M( 2; 4), (3;6)- - N

x

2 1

+ + =

Tìm cặp điểm đồ thị (C) đối xứng qua đường thẳng d:16x+17y+33 0=

·ĐS: A 5; 21 ,B 3;13

4

ổ- - ổ

ỗ ữ ç ÷

è ø è ø

Chân thành cảm ơn bạn đồng nghiệp em học sinh đã đọc tập tài liệu

Định dạng
Số trang	85
Dung lượng	2,51 MB