a.Ñònh nghóa: Ñoù laø heä chöùa hai aån x,y maø khi ta thay ñoåi vai troø x,y cho nhau thì phöông trình naày trôû thaønh phöông trình kia cuûa heä.. Caùch giaûi:.[r]
(1)Chuyên đề : HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TĨM TẮT GIÁO KHOA I Hệ phương trình bậc nhiều ẩn
1 Hệ phương trình bậc hai ẩn
a Dạng :
1 1
2 2
a x b y c a x b y c
(1) Cách giải biết: Phép thế, phép cộng
b Giải biện luận phương trình : Quy trình giải biện luận Bước 1: Tính định thức :
D=|a1 b1
a2 b2|
=a1b2− a2b1 (gọi định thức hệ) Dx=|
c1 b1 c2 b2|
=c1b2− c2b1 (gọi định thức x)
Dy=| a1 c1 a2 c2|
=a1c2− a2c1 (gọi định thức y) Bước 2: Biện luận
Neáu D≠0 hệ có nghiệm
¿
x=Dx
D y=Dy
D
¿{
¿
Nếu D = Dx≠0 Dy≠0 hệ vơ nghiệm
Nếu D = Dx = Dy = hệ có vơ số nghiệm vơ nghiệm
Ý nghĩa hình học: Giả sử (d1) đường thẳng a1x + b1y = c1 (d2) đường thẳng a2x + b2y = c2
Khi đó:
1 Hệ (I) có nghiệm ⇔ (d1) (d2) cắt
2 Hệ (I) vơ nghiệm ⇔ (d1) (d2) song song với
3 Heä (I) có vô số nghiệm ⇔ (d1) (d2) trùng
Áp dụng:
Ví dụ1: Giải hệ phương trình:
¿
5x −2y=−9
4x+3y=2
¿{
(2)Ví dụ 2: Giải biện luận hệ phương trình :
¿
mx+y=m+1
x+my=2
¿{
¿
Ví dụ 3: Cho hệ phương trình :
¿
mx+2y=3
x+my=1
¿{
¿
Xác định tất giá trị tham số m để hệ có nghiệm (x;y) thỏa x >1 y > ( m0)
Ví dụ 4: Với giá trị nguyên tham số m hệ phương trình
4
mx y m x my m
có nghiệm (x;y) với x, y số nguyên
(m 1 m3)
Ví dụ 5: Cho hệ phương trình :
2
x m y m m x y m
Xác định tất giá trị tham số m để hệ có nghiệm (x;y) cho S x y đạt giá trị lớn
II Hệ phương trình bậc hai hai ẩn:
1 Hệ gồm phương trình bậc phương trình bậc hai hai ẩn: Ví dụ : Giải hệ:
a)
¿
x+2y=5
x2
+2y2−2 xy=5
¿{
¿
b) 2
x 2y
x 14y 4xy
Cách giải: Giải phép 2 Hệ phương trình đối xứng :
1 Hệ phương trình đối xứng loại I:
a.Định nghĩa: Đó hệ chứa hai ẩn x,y mà ta thay đổi vai trị x,y cho hệ phương trình khơng thay đổi
b.Cách giải:
Bước 1: Đặt x+y=S xy=P với S2 4Pta đưa hệ hệ chứa hai ẩn S,P. Bước 2: Giải hệ tìm S,P Chọn S,P thoả mãn S2 4P.
Bước 3: Với S,P tìm x,y nghiệm phương trình :
2 0
X SX P ( định lý Viét đảo ).
Chú ý: Do tính đối xứng, (x0;y0) nghiệm hệ (y0;x0) nghiệm hệ
Áp dụng:
(3)1)
¿
x2
+xy+y2=4
xy+x+y=2
¿{
¿
2) 2
7
3 16
x y xy x y x y
3)
¿
xy+x+y=11
x2y
+xy2=30
¿{
¿
4)
¿
x2
+y2=13
3(x+y)+2 xy+9=0
¿{
¿
5)
¿
x2y
+xy2=30
x3+y3=35
¿{
¿
6)
¿
x√y+y√x=6
x2 y
+xy2=20
¿{
¿
7)
¿
√x+√y=4
x+y −√xy=4
¿{
¿
8)
¿
x4
+y4=34
x+y=2
¿{
¿
1) (0;2); (2;0) 2) (2; 3),( 3;2),(1 10;1 10),(1 10;1 10) 3) (1;5),(5;1),(2;3),(3;2)
4)
10 10 10 10
(3; 2),( 2;3),( ; ),( ; )
2 2
5) (2;3);(3;2) 6) (1;4),(4;1)
7) (4;4) 8) (1 2;1 ),(1 2;1 )
Ví dụ2 : Với giá trị m hệ phương trình sau có nghiệm:
¿
√x+√y=1
x√x+y√y=1−3m
¿{
¿
Ví dụ 3: Với giá trị m hệ phương trình sau có nghiệm:
x y
x y m
2 Hệ phương trình đối xứng loại II:
a.Định nghĩa: Đó hệ chứa hai ẩn x,y mà ta thay đổi vai trò x,y cho phương trình nầy trở thành phương trình hệ
b Cách giải:
Trừ vế với vế hai phương trình biến đổi dạng phương trình tích số
Kết hợp phương trình tích số với phương trình hệ để suy nghiệm hệ Áp dụng:
Ví dụ: Giải hệ phương trình sau:
1)
2
2
2
2
x y y y x x
2)
¿
2x2
+xy=3x
2y2+xy=3y
¿{
¿
3)
2
2
3
3
y x x x
x y y y
4) 2 3 x y x y x y
5)
¿
3y=y
2
+2
x2
3x=x
2 +2 y2 ¿{ ¿ 6) 3
x 2x 2x 2y
y 2y 2y 2x
(4)a Daïng :
2
1 1
2
2 2
a x b xy c y d a x b xy c y d
b Cách giải:
Đặt ẩn phụ x ty y tx Giả sử ta chọn cách đặt x ty Khi ta tiến hành cách giải sau:
Bước 1: Kiểm tra xem (x,0) có phải nghiệm hệ hay khơng ?
Bước 2: Với y0 ta đặt x = ty Thay vào hệ ta hệ chứa ẩn t,y Từ phương trình ta khử y để phương trình chứa t
Bước 3: Giải phương trình tìm t suy x,y. Áp dụng:
Ví dụ: Giải hệ phương trình sau:
1)
2
2
3 11
2 25
x xy y x xy y
2)
¿
6x2−xy−2y2
=56
5x2−xy− y2=49
¿{
¿
3)
3
3
2
6
x x y y xy
IV Các hệ phương trình khác:
Ta sử dụng phương pháp sau: a Đặt ẩn phụ:
Ví dụ : Giải hệ phương trình : 1)
¿
xy− x+y=−3
x2+y2− x+y+xy=6
¿{
¿
2)
¿
x2
+y2− x − y=12
x(x −1)y(y −1)=36
¿{
¿
3)
2
3 2
5
x y x y x x y xy y
4)
2
x y(y x) 4y (x 1)(y x 2) y
b Sử dụng phép cộng phép thế:
Ví dụ: Giải hệ phương trình :
2
2
x y 10x
x y 4x 2y 20
c Biến đổi tích số:
(5)1)
¿
x2+x=y2+y
x2+y2=3(x+y)
¿{
¿
2)
¿
x3+7x=y3+7y
x2
+y2=x+y+2
¿{
¿
3)
x −1 x=y −
1
y
2y=x3+1
¿{
¿