TÀI LIỆU BỔ SUNG PHÖÔNG TRÌNH QUI VEÀ DAÏNG ax + b = 0 Baøi 1: Giaûi vaø bieän luaän caùc phöông trình sau theo tham soá x laø aån soá... Kiến thức cơ bản đại số lớp 10.[r]
(1)Kiến thức đại số lớp 10 Chöông III : PHÖÔNG TRÌNH VAØ HEÄ PHÖÔNG TRÌNH §1.Khaùi nieäm phöông trình, phöông trình baäc nhaát moät aån A.KIẾN THỨC CƠ BẢN Phöông trình moät aån Là mệnh đề chứa biến x có dạng f(x) = g(x), x gọi là ẩn số, f(x) là vế trái; g(x) laø veá phaûi Điều kiện xác định (ĐKXĐ) phương trình là điều kiện cho ẩn x để các biểu thức hai vế coù nghóa Mỗi số x0 thoả mãn ĐKXĐ cho f(x0) = g(x0) là mệnh đề đúng, là nghiệm cuûa phöông trình Moät phöông trình coù taäp nghieäm baèng roãng goïi laø phöông trình voâ nghieäm Phöông trình töông ñöông (PTTÑ), phöông trình heä quaû (PTHQ) Cho hai phöông trình (PT): f1(x) = g1(x) (1) & f2(x) = g2(x) (2) + PT (2) laø (PTHQ) cuûa PT (1) , kí hieäu f1(x) = g1(x) f2(x) = g2(x) neáu taäp nghieäm cuûa (1) laø taäp cuûa taäp nghieäm cuûa (2) + Hai phöông trình (1) vaø (2) laø töông ñöông, kí hieäu f1(x) = g1(x) f2(x) = g2(x), neáu caùc taäp nghieäm cuûa (1) vaø cuûa (2) baèng Phép biến đổi tương đương Định lý : Gọi D là ĐKXĐ PT f(x) = g(x) và h(x) là biểu thức xác định x D thì a) f(x) = g(x) f(x) + h(x) = g(x) + h(x) b) f(x) = g(x) f(x) h(x) = g(x) h(x) , neáu h(x) , x D Phöông trình baäc nhaát moät aån + Phương trình bậc ẩn có dạng ax + b = 0, đó x là ẩn số, a, b R ; a x gọi laø aån coøn a, b laø caùc heä soá + PT ax + b = với a có nghiệm x = -b/a Giaûi vaø bieän luaän phöông trình ax + b = Neáu a 0, PT coù nghieäm nhaát x = -b/a Neáu a = 0, b 0, PT voâ nghieäm Neáu a = 0, b = 0, PT coù nghieäm x R B CÁC VÍ DỤ GIẢI TOÁN Baøi 3.1 Caùc caëp PT sau coù töông ñöông khoâng ? x 3x a) 2x + = – 3x vaø x2 1 x2 1 b) 2x + = – 3x vaø 2x + + 2 = – 3x + x 4 x 4 Lop10.com Nguyeãn Coâng Maäu (2) Kiến thức đại số lớp 10 Baøi 3.2 Giaûi caùc phöông trình : a) 2x – + x x ; b) x x 6x Bài 3.3 Cho các phương trình bậc với tham số m : 3mx – = 2(m – x) vaø m(4x – 1) = 5x + Xác định các giá trị m để hai phương trình có nghiệm chung aøi 3.4 Giaûi caùc phöông trình sau : 2x x 2x a) 10 1931 x 1925 x 1919 x 3 c) 75 81 87 ; b) ; d) x 1 x 1 x x x x x( x x 1) x 1 x x x 65 63 61 59 Bài 3.5 Giải và biện luận phương trình với ẩn số x : a) m2(x-1) = 9x + 3m ; b) xm x3 2 x3 xm mx m 3 xm ; d) mx x m c) Baøi 3.6 Giaûi vaø bieän luaän phöông trình theo hai tham soá a, b : b2 x2 x ab x x a ab a) x a x ; b) 2 ab a b b x x b Baøi 3.7 Tìm giaù trò cuûa tham soá cho phöông trình : a) m x m( x 1) voâ nghieäm b) m x m 25 x coù voâ soá nghieäm c) m(m 1) x m coù nghieäm nhaát C BAØI TẬP TỰ GIẢI Baøi 3.8 Caùc caëp PT sau coù töông ñöông khoâng ? a) 3x + = 2x + vaø b) 3x +1 = 2x + vaø 1 = 2x + + x 1 x 1 1 3x +1 + = 2x + + x3 x3 3x + + Baøi 3.9 Giaûi vaø bieän luaän caùc phöông trình sau theo tham soá ( x laø aån soá) 1a) m ( x 2) m(7 x) 3(2 x 1) ; 1b) m ( x 1) 3mx 2(5 x 2) Lop10.com Nguyeãn Coâng Maäu (3) Kiến thức đại số lớp 10 2a) 3a) 4a) 5a) 6a) mx m 2 x2 x x xm x2 xm xn 2 xn xm m m 1 mx x (m 1) x m x 3n m(3 x n) 7a) x m x m ; 2b) ; 3b) ; 4b) ; 5b) ; 6b) ; 7b) mx m 2 x 1 x 1 x 1 xm x3 x 1 x m 2 x m x 1 m m2 x mx (m 2) x m x mn 2(mx n) x x xm x 1 Baøi 3.10 Giaûi vaø bieän luaän phöông trình theo hai tham soá a, b : ax b a ( x 1) a) ; b) a ( x 1) b(2 x 1) x x 1 x 1 x2 1 Bài 3.11 Xác định m để các phương trình sau vô nghiệm : x m x 1 x 1 x m 2 2 a) ; b) x 1 x x x 1 Bài 3.12 Tìm a và b để phương trình sau có tập nghiệm là R : a) a ( x 2) x b(2 x 1) ; b) a ( x 1) b(2 x 1) x Bài 3,13 Tìm m là số nguyên để các phương trình sau có nghiệm : (3m 1) x m (3m 2) x (2m 1) x (2m 3) x m a) ; b) 2 1 x 1 x x2 x2 Bài 3.14 Tìm m để các phương trình sau có nghiệm âm : a) m ( x 1) x 2m ; b) m ( x 1) x 3m Lop10.com Nguyeãn Coâng Maäu (4) Kiến thức đại số lớp 10 §2 Phöông trình – heä phöông trình baäc nhaát hai aån soá A.KIẾN THỨC CƠ BẢN Phöông trình baäc nhaát hai aån soá + Phương trình bậc hai ẩn số có dạng : ax + by = c (1) , đó a, b, c là các số đã biết với a.b ; x, y laø hai aån soá + Cặp số (x0 ; y0) thoả mãn ax0 + by0 = c thì (x0 ; y0) gọi là nghiệm (1) + + Phương trình bậc hai ẩn số có vô số nghiệm, biểu diễn nghiệm trên mặt phẳng toạ độ là đường thẳng ax + by = c Giaûi vaø bieän luaän phöông trình ax + by = c (1) a) Nếu a , b 0, phương trình (1) có vô số nghiệm Công thức nghiệm tổng quát phương c ax c - by trình laø : x ; ; y , y R , x R b a Tập nghiệm (1) biểu diễn trên mặt phẳng toạ độ là đồ thị hàm số : a c y x Còn gọi là đường thẳng ax + by = c b b b) Nếu a = , b 0, phương trình có dạng by = c Công thức nghiệm tổng quát là : c x ; ; x R Tập nghiệm biểu diễn trên mặt phẳng toạ độ là đường thẳng song song với b c trục hoành và cắt trục tung điểm có tạo độ ; b c) Nếu a , b =0, phương trình có dạng ax = c Công thức nghiệm tổng quát là : c ; y ; y R Tập nghiệm biểu diễn trên mặt phẳng toạ độ là đường thẳng song song với a c trục tung và cắt trục hoành điểm có tạo độ ; a d) Neáu a = 0, b = 0, c thì heä voâ nghieäm e) Nếu a = b = c = thì cặp số (x ; y) , x R ; y R là nghiệm phương trình Heä phöông trình baäc nhaát hai aån soá + Heä hai phöông trình baäc nhaát hai aån (x vaø y) coù daïng : (1) a x b1 y c1 (I) : (2) a x b2 y c đó (1) và (2) là các phương trình bậc hai ẩn a b + Kí hiệu : D 1 a1b2 a b1 , gọi là định thức hệ (1) a b2 Dx c1 b1 c2 b2 c1b2 c b1 ; Dy a1 c1 a2 c2 a1c a c1 Ta có qui tắc Crame để giải hệ (I) sau : Lop10.com Nguyeãn Coâng Maäu (5) Kiến thức đại số lớp 10 a) Nếu D hệ (I) có nghiệm (x0 ; y0) xác định bỡi công thức : Dy D x0 x ; y D D b) Nếu D = va ø Dx (hoặc Dy 0) thì hệ (I) vô nghiệm c) Nếu D = Dx = Dy = thì hệ (I) có vô số nghiệm là tập nghiệm (1) (2) Bieåu dieãn hình hoïc taäp nghieäm cuûa heä phöông trình baäc nhaát hai aån Gọi d1 là đường thẳng a1x + b1y = c1 và d2 là đường thẳng a2x + b2y = c2 Heä (I) coù nghieäm nhaát d1 vaø d2 caét Heä (I) voâ nghieäm d1 // d2 Heä (I) coù voâ soá nghieäm d1 d2 y y y d1 d2 d1 d O x d1 O x O x d2 B CÁC VÍ DỤ GIẢI TOÁN Bài 3.15 Giải phương trình bậc hai ẩn và biểu diễn nghiệm trên mặt phẳng toạ độ : a) 4x – 3y = ; b) -3x + 2y = Baøi 3.16 Giaûi vaø bieän luaän theo tham soá m phöông trình baäc nhaát hai aån soá x vaø y : a) (3m - 2)x + (m+1)y = m – ; b) (m2 – 1)x + (m+1)y = m2 – m -2 Bài 3.17 Cho k là số thực xác định Hãy tìm phương trình bậc hai ẩn x, y cho k cặp số k ; là nghiệm phương trình đó 3 Baøi 3.18 Giaûi caùc heä phöông trình : 5 x y 3 x y a) ; b) 3 x y 5 x y x 3 c) x 2 y 1 29 y 20 2y 29 x x y 15 d) 2x y x y 15 ; Lop10.com Nguyeãn Coâng Maäu (6) Kiến thức đại số lớp 10 x y x e) 3 x y 3 x y z g) 2 x y z 11 x y z 10 ; (m 2) x y 2m Baøi 3.19 Cho heä phöông trình : (I) ; đó m là tham số Với giá trị 3 x my m nào m hệ (I) có nghiệm Tìm nghiệm đó (m 2) x y m Baøi 3.20 Cho heä phöông trình : (I) ; đó m là tham số Với giá trị x (m 4) y m nào m hệ (I) có vô số nghiệm Viết công thức nghiệm hệ trường hợp đó 6ax (2 a ) y Baøi 3.21 Giaûi vaø bieän luaän theo tham soá a heä phöông trình (I) (a 1) x ay Trong trường hợp hệ (I) có nghiệm nhất, hãy tìm hệ thức x và y độc lập với tham số a mx y m Bài 3.22 1) Cho hệ phương trình với tham số m : (I) 2 x (m 1) y 6m Tìm giá trị nguyên m để hệ (I) có nghiệm nguyên (m 1) x y m 2) Cho hệ phương trình với tham số m : (I) m x y m m Tìm giá trị nguyên m để hệ (I) có nghiệm nguyên C BAØI TẬP TỰ GIẢI Baøi 3.23 Giaûi vaø bieän luaän theo tham soá m phöông trình baäc nhaát hai aån soá x vaø y : a) (2m - 3)x + (m-1)y = m + ; b) (m2 – 4)x + (m-2)y = m2 + m -6 Bài 3.24 Cho k là số thực xác định Hãy tìm phương trình bậc hai ẩn x, y cho k cặp số k ; là nghiệm phương trình đó 2 Baøi 3.25 Giaûi caùc heä phöông trình : 2 x y 4 a) 3 x y x y b) 5y x ; Lop10.com Nguyeãn Coâng Maäu (7) Kiến thức đại số lớp 10 x y x y c) 1 x y x y x y e) 5 x y 9 ; x y 2x y d) x y x y ; 2 x y z g) x y z 3 x y z Baøi 3.26 Giaûi vaø bieän luaän caùc heä phöông trình sau (aån soá laø x vaø y) 4 x my m (2m 6) x y 2m mx y x my 2 1a) ; 1b) (m 1) x y m 2 x my 3(m 1) x 2m y 2a) ; 2b) (m 2) x my 2 nx my n m 3a) mx m y 4m (2m n) x (2m n) y n 4a) (m n) x (m n) y m x my m nx y n ; 3b) mx ny m n ; 4b) nx my 2mn (m 2) x 6my mx (m 1) y Baøi 3.27 1) Cho heä phöông trình : a) Giaûi vaø bieän luaän heä phöông trình theo tham soá m b) Giả sử (x;y) là nghiệm hệ ,tìm hệ thức x và y độc lập m 6mx (2 m) y (m 1) x my 2) Cho heä phöông trình : a) Giaûi vaø bieän luaän heä phöông trình theo tham soá m b) Giả sử (x;y) là nghiệm hệ ,tìm hệ thức x và y độc lập m Bài 3.28 Tìm m là số nguyên để hệ phương trình sau có nghiệm (x;y) với x, y là các số nguyên Lúc đó tìm (x;y) : (m 1) x (3m 1) y m 2 x (m 2) y mx y m 2a) 2 x my 2m mx y 3m x my 2m 2mx y m ; 2b) x y m 1a) ; 1b) Bài 3.29 Tìm m và n để hai hệ phương trình sau tương đương với : Lop10.com Nguyeãn Coâng Maäu (8) Kiến thức đại số lớp 10 mx y n x y 2 x y m x y vaø mx y Bài 3.30 Tìm m để hệ sau có nghiệm : x my x y m §3 Phöông trình baäc hai moät aån soá A.KIẾN THỨC CƠ BẢN Công thức nghiệm Phöông trình baâïc hai (moät aån x) coù daïng ax2 + bx + c = (1) đó a, b, c là các số đã biết gọi là các hệ số ; x là ẩn số Đặt b 4ac ' b' ac với b 2b' là biệt thức (1) a) Nếu > ( ’> 0), phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt tính bỡi công thức : b b b ' ' b' ' hay x1 x1 ; x2 ; x 2a 2a a a b) Nếu = ( ’= 0), phương trình (1) có nghiệm kép tính bỡi công thức : x1 = x2 = -b/2a ( hay x1 = x2 = -b’/a) c) Neáu < ( ’< 0), phöông trình (1) voâ nghieäm Định lý Vi-et và ứng dụng Ñònh lyù : Neáu phöông trình ax2 + bx + c = (a 0) coù caùc nghieäm laø x1 vaø x2 thì toång vaø tích caùc b c ; P x1 x nghieäm cuûa phöông trình laø : S = x1 x a a Ứng dụng : * Nhaåm nghieäm cuûa phöông trình ax2 + bx + c = (a 0) (1) - Nếu (1) có các hệ số thoả mãn a + b + c = thì nó có nghiệm x1 = và nghiệm x2 = c/a - Nếu (1) có các hệ số thoả mãn a - b + c = thì nó có nghiệm x1 = -1 và nghiệm x2 = -c/a * Tìm hai soá bieát toång vaø tích cuûa chuùng Neáu hai soá coù toång laø S vaø coù tích laø P thì caùc soá aáy laø nghieäm cuûa phöông trình : x2 -Sx + P = * Phân tích tam thức bậc hai thành thừa số Neáu f ( x) ax bx c x x1 x x f ( x) a ( x x1 )( x x ) 3.Giaûi vaø bieän luaän phöông trình ax2 + bx + c = Khi phương trình ax2 + bx + c = đó a b c có chứa tham số Bài toán giải và biện luận phương trình đượpc tiến hành sau : Bước 1: xét trường hợp a = (nếu a có chứa tham số ) (giả sử tham số là m) Lop10.com Nguyeãn Coâng Maäu (9) Kiến thức đại số lớp 10 Từ a = m = … thay giá trị m vào b và c Phương trình là bx + c = với b, c là số đã bieát Coù moät hai khaû naêng sau xaûy : Nếu b = và c ( 0x + c = với c 0) thì phương trình vô nghiệm Neáu b = vaø c = (0x + = ) thì phöông trình coù voâ nghieäm x TXÑ Bước 2: Xét trường hợp a m … Tính bieät soá b 4ac (hay ' b' ac) (Chuù yù daáu cuûa vaø ’nhö nhau) Biện luận theo dấu (hoặc ’) : - Neáu < thì phöông trình voâ nghieäm - Nếu = thì phương trình có nghiệm kép x0 = -b/2a (hoặc x0 = -b’/a) - Nếu > thì phương trình có hai nghiệm phân biệt tính theo công thức : b b b ' ' b' ' hay x1 x1 ; x2 ; x 2a 2a a a Bước 3: Tóm tắt lại các kết (Bước này có thể bỏ qua làm bài không kịp thời gian) Daáu caùc nghieäm soá cuûa phöông trình baäc hai : ax2 + bx + c = Nếu ac < x1 < < x2 (gt x1 < x2 ) (tức là phương trình có nghiệm trái dấu) Nếu ac > ta tính thì phương trình có hai nghiệm cùng dấu (tức là x1.x2 > 0) Ñaët S = x1 + x2 (= -b/a) ; P = x1.x2 (= c/a > 0) -Neáu S > thì < x1 < x2 (phöông trình coù hai nghieäm döông) -Neáu S < thì x1 < x2 < (phöông trình coù hai nghieäm aâm) Toùm taét muïc naøy nhö sau : Neáu P < x1 < < x2 Neáu P < x1 < x2 ; Neáu P x1 < x2 < S S Moät soá phöông trình qui veà caùch giaûi phöông trình baäc hai a) Phöông trình truøng phöông daïng ax4 + bx2 + c = (a 0) (1) -Ñaët aån phuï y = x2 , ñieàu kieän y -Vieát phöông trình theo y laø ay2 + by + c = (2) Bảng tóm tắt nghiệm (2) suy nghiệm tương ứng (1) sau : Phöông trình trung gian Phöông trình truøng phöông ay + by + c = ax4 + bx2 + c = 0 < y1 < y2 x1, y1 ; x 3, y y1 < < y2 x1, y y1 = < y2 x = vaø x1, y x o < y1 < y2 b) phương trình dạng ( x a )( x b)( x c)( x d ) k với a,b,c,d,k R (1) với điều kiện số a,b,c,d có tổng hai số tổng hai số còn lại giả sử a + b = c + d = m, khai triển (1) với nhóm tích hai thừa số : x (a b) x ab x (c d ) x cd k đặt ẩn phụ t = x2 + mx thì ta thu phương trình bậc hai theo t Giải tìm nghiệm t0 giải PT x2 + mx = t0 để tìm x Lop10.com Nguyeãn Coâng Maäu (10) Kiến thức đại số lớp 10 B CÁC VÍ DỤ GIẢI TOÁN Baøi 3.31 Giaûi caùc phöông trình sau : x 15 x a) x 3x ; c) ( x 3)( x 4)( x 5)( x 6) 120 e) x x b) 4 x x x 2x x 2x ; d) x x 2 x x ; g) x x Baøi 3.32 Cho phöông trình : (m2-4)x2 – 2(m+2)x + = ; m laø tham soá a) Với giá trị nào m phương trình có nghiệm ? b) Với giá trị nào m phương trình vô nghiệm ? Bài 3.33 Giải và biện luận phương trình với tham số m : a) (m+1)x2 – 2(m+2)x + m -3 = ; b) (m+1)x2 - (2m+1)x + m-2 = Bài 3.34 Cho hai phương trình chứa tham số m : x2 + mx + = vaø x2 + 2x + m = a) Xác định m để hai phương trình có ít nghiệm chung b) Xác định m để phương trình (x2 + mx + 2)( x2 + 2x + m) = có nghiệm phân biệt Bài 3.35 Cho hai phương trình : x2 + mx + n = x2 + px + q = thoả mãn điều kiện : mp 2(q n) Chứng minh có ít hai phương trình có nghiệm Baøi 3.36 Khoâng giaûi haõy nhaåm nghieäm cuûa phöông trình : a) 3x2 – 10x + = ; b) 45x2 + 2007x + 1962 = Baøi 3.37 Laäp caùc phöông trình baäc hai coù caùc nghieäm : a) Lớn các nghiệm phương trình 2x2 + x -3 = là b) Lớn các nghiệm phương trình x2 + px + p = là p/2 Bài 3.38 Rút gọn các phân thức : x 5x a) A = 6x 7x ; 3x x B= x x 15 Bài 3.39 Giả sử x1,x2 là hai nghiệm phương trình 2x2 – 11 x + 13 = Không giải phương trình , hãy tính giá trị các biểu thức sau : a) A = x13 x 23 ; b) B = x14 x 24 x x c) C = x14 x 24 ; d) D = 1 x 22 x12 x2 x1 10 Lop10.com Nguyeãn Coâng Maäu (11) Kiến thức đại số lớp 10 Baøi 3.40 Bieåu dieãn qua p, q : a) Toång caùc laäp phöông hai nghieäm cuûa phöông trình x2 + px + q = b) Hieäu caùc laäp phöông hai nghieäm cuûa phöông trình x2 + px + q = Bài 3.41 Xác định m để phương trình : (m + 2)x2 + 2(m + 3)x + m -1 = a) Coù hai nghieäm traùi daáu b) Có đúng nghiệm dương Bài 3.42 Xác định m để phương trình : a) 5x2 + mx - 28 = có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn hệ thức 5x1 + 2x2 = b) x2 - 4x + m2 + 3m = có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn hệ thức x12 x 22 4( x1 x ) Bài 3.43 Cho a, b, c là ba số thực không đồng thời a) Chứng minh phương trình sau luôn luôn có nghiệm : ax b ( x c) b( x c)( x a ) c( x a )( x b) (1) b) Hãy tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm Baøi 3.44 Cho phöông trình : x2 – 2(m+4)x + m2 - = (1) ; m laø tham soá a) Với giá trị nào m phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 ? b) Tìm hệ thức x1 và x2 không phụ thuộc m c) Tìm giá trị m để A = x1 + x2 - 3x1.x2 đạt giá trị lớn d) Tìm giá trị m để B = x12 x 22 x1 x đạt giá trị nhỏ C BAØI TẬP TỰ GIẢI Baøi 3.45 Giaûi caùc phöông trình sau : 2x 5x a) x 3x c) ( x 1)( x 1)( x 4)( x 6) 144 e) x x ; b) 3 x x 1 x x x x ; d) x x x x ; g) x x Baøi 3.46 Cho phöông trình : (m2 -1)x2 – 2(m+1)x + = ; m laø tham soá c) Với giá trị nào m phương trình có nghiệm ? d) Với giá trị nào m phương trình vô nghiệm ? Bài 3.47 Giải và biện luận phương trình với tham số m : a) (m2 -1)x2 – 2(m+1)x + = ; b) (m+2)x2 + 2(3m - 2)x + m + = c) mx2 + 2x + = ; d) (m2 - 5m - 36)x2 - 2(m + 4)x + = Bài 3.48 Chứng tỏ kb2 = (k+1)2.ac là điều kiện cần và đủ để phương trình ax2 + bx + c = (a 0) có hai nghiệm thoả mãn nghiệm này k lần nghiệm 11 Lop10.com Nguyeãn Coâng Maäu (12) Kiến thức đại số lớp 10 Bài 3.49 Tìm m và n để hai số m, n là nghiệm phương trình x2 + mx + n = Baøi 3.50 Cho a,b laø nghieäm cuûa phöông trình x2 + px + = vaø b, c laø nghieäm cuûa phöông trình x2 + qx + = Chứng minh : (b - a)(b - c) = pq - Baøi 3.48 Cho hai phöông trình x2 + p1x + q1 = (1) vaø x2 + p2x + q2 = (2) bieát p1p2 = 2(q1 + q2) Chứng minh có ít hai phương trình đã cho có nghiệm Baøi 3.51 Cho hai soá ; laø caùc nghieäm cuûa phöông rình x2 + px + q = Haõy laäp phöông trình baäc hai coù caùc nghieäm soá laø ( ) & ( ) Baøi 3.52 Cho phöông trình x2 + 4x + m + = (1) x12 x 22 a) Định m để (1) có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thoả mãn hệ thức x x1 b) Định m để phương trình (1) có đúng nghiệm âm c) Chứng tỏ phương trình (1) có nghiệm dương x1 thì phương trình : (m+1)x2 + 4x + = cuõng coù moät nghieäm döông x1 Baøi 3.53 Cho phöông trình 2x2 + 2(m+1)x + m2 + 4m + = Gọi x1,x2 là hai nghiệm phương trình Tìm giá trị lớn biểu thức : A = x1 x 2( x1 x ) Bài 3.54 Giả sử x1,x2 là các nghiệm phương trình x2+2mx+4=0 Hãy tìm các giá trị m 2 x x để xảy đẳng thức : x x1 Bài 3.55 Tìm các giá trị a để hiệu hai nghiệm phương trình : 2x2-(a+1)x+a+3=0 Bài 3.56 Hãy tìm các giá trị k để các nghiệm phương trình :2x2-(k+2)x+7=k2 trái dấu và là nghịch đảo giá trị tuyệt đối Bài 3.57 Giả sử a,b là hai số thoả mãn a > b > Không giải phương trình abx2 - (a+b)x +1 = Hãy tính tỉ số tổng hai nghiệm và hiệu hai nghiệm phương trình Bài 3.58 Tìm các giá trị m để phương trình : a) x 2(m 1) x 9m có hai nghiệm âm b) (m 2) x 2mx m có hai nghiệm dương Baøi 3.59 Giaûi vaø bieän luaän phöông trình : (m 1) x 2(2m 1) x Bài 3.60 Xác định m để phương trình (x -2)[x2 - 2(m+1)x + m2 + 5] = có ba nghiệm phân biệt 12 Lop10.com Nguyeãn Coâng Maäu (13) Kiến thức đại số lớp 10 Bài 3.61 Tìm các giá trị m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt : a) (m+ 3)x4 - 3(m -1)x2 + 4m = b) (m -1)x4 + (2m -3)x2 + m -1 = Baøi 3.62 Cho phöông trình : x2 - 2(m-1)x + m2 - 3m + = (1) a) Xác định m để (1) có hai nghiệm phân biệt x1,x2 và nghiệm này gấp đôi nghiệm b) Xác định m để x12 x 22 20 c) Xác định m để biểu thức x12 x 22 đạt giá trị nhỏ Baøi 3.63 Cho phöông trình (m 4) x 2(m 2) x Tìm m để phương trình có đúng nghiệm Bài 3.64 Cho phương trình x (m 5) x m Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x1 x đó x1,x2 là hai nghiệm phương trình Bài 3.65 Rút gọn các phân thức : x 5x a) A = 6x 7x ; B= 3x x x x 21 Bài 3.66 Giả sử x1,x2 là hai nghiệm phương trình 3x2 – 11x +10 = Không giải phương trình , hãy tính giá trị các biểu thức sau : a) A = x13 x 23 ; b) B = x14 x 24 x x c) C = x14 x 24 ; d) D = 1 x 22 x12 x2 x1 Baøi 3.67 Cho phöông trình (aån soá x) : x2 - (2m – 3)x + m2 – 3m – = a) Chứng minh phương trình có nghiệm với giá trị m b) Chứng minh có hệ thức các nghiệm không phụ thuộc m Baøi 3.68 Cho phöông trình (aån soá x) : x2 - (2m + 2)x + 2m + = coù hai nghieäm phaân bieät x1, x2 Tìm giá trị m để biểu thức A = x12 x 22 10 x1 x có giá trị nhỏ Bài 3.69 Cho phương trình : x2 + px + q = có hai nghiệm dương Chứng minh : r phương trình qy2 +(p – 2rq)y + – pr = có các nghiệm dương Bài 3.70 Tìm tất các số thực dương a, b, c, d cho các điều kiện sau đây thoả mãn : a) Phöông trình ax2 + bdx + c = coù hai nghieäm laø x1 vaø x2 b) Phöông trình bx2 + cdx + a = coù hai nghieäm laø x2 vaø x3 c) Phöông trình cx2 + adx + b = coù hai nghieäm laø x3 vaø x1 13 Lop10.com Nguyeãn Coâng Maäu (14) Kiến thức đại số lớp 10 §4 Moät soá heä phöông trình baäc hai , hai aån soá ñaëc bieät A.KIẾN THỨC CƠ BẢN Heä hai phöông trình, moät phöông trình baäc nhaát, moät phöông trình baäc hai Cách giải : Từ phương trình bậc nhất, biểu diễn ẩn qua ẩn còn lại Đem vào phương trình bậc hai giải phương trình nhận 2 x y Ví duï : Giaûi heä phöông trình : 2 x xy y Hệ phương trình đối xứng hai ẩn f ( x, y ) a) Hệ đối xứng loại I : có dạng đó f(x , y) , g(x , y) là các hàm hai biến x, g ( x, y ) y mà ta đổi x thành y và y thành x thì chúng không thay đổi Tức là: f(x , y) = f(y, x) vaø g(x , y) = g(y , x) Cách giải : Đặt ẩn phụ S = x + y , P = x.y Giải hệ phương trình với các ẩn phụ, sau đó tìm các nghiệm với ẩn số x, y Hệ đã cho có nghiệm theo x, y với điều kiện là S2 – 4P x xy y 11 Ví duï : Giaûi heä phöông trình : 2 xy x y f ( x, y ) (1) b) Hệ đối xứng loại II : có dạng đổi x thành y và đổi y thành x thì g ( x, y ) (2) phương trình này hệ trở thành phương trình hệ và ngược lại Tức là: f(y , x) = g(x, y) vaø g(y , x) = f(x , y) Cách giải : Trừ vế hai phương trình (1) và (2) hệ ta thu phương trình biến đổi dạng : (x - y).h(x, y) = (3) x y Phöông trình (3) h ( x, y ) + Với x = y thay vào (1) (2) thì phương trình ẩn x (hoặc y) + Với h(x , y) = ta giải tìm x theo y tìm y theo x thay vào (1) (2) thì thu phương trình ẩn, giải tìm ẩn đó tính ẩn còn lại Ví duï : Giaûi heä phöông trình : x x y x y a) ; b) y y x x y x y c) Heä ñaúng caáp baäc hai theo hai aån f ( x, y ) m (1) Heä coù daïng : ,trong đó m, n là số đã biết và các biểu thức g ( x, y ) n (2) f(x , y) và g(x , y) có tất các số hạng là bậc hai theo hai ẩn x , y 14 Lop10.com Nguyeãn Coâng Maäu (15) Kiến thức đại số lớp 10 Caùch giaûi: + kiểm tra x = y = có thoả mãn là nghiệm hệ hay không +Xét trường hợp x (hoặc y 0) Ta đặt y = kx (hoặc x = ty) đưa đến việc xác định k (hoặc t) và giải tiếp phương trình theo ẩn x (hoặc ẩn y) 2 3 x xy y 11 Ví duï : Giaûi heä phöông trình x xy y 17 B CÁC VÍ DỤ GIẢI TOÁN x y m Baøi 3.71 Cho heä phöông trình : (I) 2 x y m a) Giải hệ (I) với m = b) Với giá trị nào m thì hệ có nghiệm với m là tham số Bài 3.72 Xác định giá trị m để hệ phương trình sau đây có nghiệm : x y xy m 2 x y Baøi 3.73 Giaûi heä phöông trình : x y x y x xy y 1 a) ; b) y x y x 3 x xy y 13 Baøi 3.74 Giaûi heä phöông trình : x xy y a) 2 x xy y 3 Baøi 3.76 Giaûi heä phöông trình : x xy y 13 a) x y xy Baøi 3.77 Giaûi heä phöông trình : x xy y 11 xy ( x y ) 30 a) ; ; b) 2 x xy x y 3 x xy x y ; b) x y 3 2 x y x y x y x y 3 x y x y b) x y ; c) 2 x y xy 12 Baøi 3.78 Giaûi heä phöông trình : x y x 16 x a) y x y 16 y ; x2 x 1 y2 y 1 (1 x).(1 y ) b) 15 Lop10.com x y ; c) 3 x x y y Nguyeãn Coâng Maäu (16) Kiến thức đại số lớp 10 Baøi 3.79 Giaûi heä phöông trình : x x y y a) x x y x ( x y ).1 y 1 xy x xy ; b) y với x,y>0 ; c) x y 1 49 x xy y xy 78 x y Baøi 3.80 Giaûi heä phöông trình : 1 1 x y 4 a) x y x y (2 x x 1)( y 2) (2 y y 1)( x 2) ; b) x2 x y C BAØI TẬP TỰ GIẢI 3 x y 13 Baøi 3.81 Giaûi vaø bieän luaän theo tham soá m heä phöông trình : 2 x y m x xy y 2m Bài 3.82 Chứng minh hệ phương trình : luôn luôn có nghiệm với 2 x y xy m m moïi giaù trò cuûa tham soá m Baøi 3.83 Giaûi heä phöông trình : x y 6x y x y 65 a) ; b) x y ( x 1)( y 1) 18 x xy y x ; c) xy y y Baøi 3.84 Giaûi heä phöông trình : x y xy 13 x y a) ; b) 2 x y xy x y x y x xy y 1 ; c) 3 x xy y 13 Baøi 3.85 Giaûi heä phöông trình : x y x y 13 a) x y ; b) y x 16 Lop10.com x y ; c) 3 x y 26 Nguyeãn Coâng Maäu (17) Kiến thức đại số lớp 10 Baøi 3.86 Giaûi heä phöông trình : x x y x y x y y 18 a) x x y x y x y y xy y 12 x xy 28 ; b) Baøi 3.87 Giaûi heä phöông trình : y4 y x ; c) x x4 y 1 x y ; b) y y 6 x x x x y y x y a) 2 Baøi 3.88 Giaûi heä phöông trình : 2 x y xy 19x y a) x y xy 7( x y ) Baøi 3.89 Giaûi heä phöông trình : xy ( x 2)( y 2) 24 a) 2 ( x 1) ( y 1) 13 ; y xy 30 x 1 x y 35 x b) x y x y y x ; b) ; c) 4 x y 97 Baøi 3.90 Giaûi heä phöông trình : x xy 5 x 2y a) x 3 x y 1 x y x y ; c) x y x2 y2 2 x y x ; b) 2 y x y Baøi 3.91 Giaûi heä phöông trình : 1 x x y y x x y y a) ; b) x y y x3 3 x y x y ; c) x y x y TÀI LIỆU BỔ SUNG PHÖÔNG TRÌNH QUI VEÀ DAÏNG ax + b = Baøi 1: Giaûi vaø bieän luaän caùc phöông trình sau theo tham soá ( x laø aån soá) 1a) m ( x 2) m(7 x) 3(2 x 1) ; 1b) m ( x 1) 3mx 2(5 x 2) 2a) mx m 2 x2 ; 2b) 17 Lop10.com mx m 2 x 1 Nguyeãn Coâng Maäu (18) Kiến thức đại số lớp 10 3a) x x ; 3b) xm x2 xm xn 2 4a) xn xm m m 1 5a) mx x (m 1) x x 1 xm x3 x 1 x m 2 ; 4b) x m x 1 m m2 ; 5b) x mx (m 2) x 6a) m x 3n m(3x n) ; 6b) m x mn 2(mx n) Bài 2: Xác định m để các phương trình sau vô nghiệm : a) x 1 x m x 1 2 x 1 x ; b) x 1 x m 2 x x 1 Bài 3: Tìm a và b để phương trình sau có tập nghiệm là R : a) a( x 2) x b(2 x 1) ; b) a( x 1) b(2 x 1) x Bài 4: Tìm m là số nguyên để các phương trình sau có nghiệm : a) (3m 1) x m 1 x2 (3m 2) x ; b) 1 x2 (2m 1) x x2 (2m 3) x m x2 Bài 5: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm âm : a) m ( x 1) x 2m ; b) m ( x 1) x 3m BAÁT PHÖÔNG TRÌNH DAÏNG ax + b > ; ax + b < Baøi 1: Giaûi vaø bieän luaän baát phöông trình : a) m(2 x 1) x ; b) (m 2) x m Bài 2: Tìm m để các bất phương trình sau có nghiệm với x R a) (m 3m 2) x m(m 2) ; b) (m m 6) x m(m 3) Bài 3: Tìm tham số m để hai bất phương trình sau tương đương : a) (m 2) x m vaø (m 1) x m b) (m 1) x m vaø (m 1) x m Bài 4: Tìm các giá trị tham số m để các hệ bất phương trình sau có nghiệm : mx 2m m( x 1) x a) 3 x m mx 5m ; b) 18 Lop10.com Nguyeãn Coâng Maäu (19) Kiến thức đại số lớp 10 Bài 5: Tìm các giá trị tham số m để các hệ bất phương trình sau vô nghiệm : 2 x m m( x 1) x m mx m a) ; b) HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAI ẨN SỐ (ÔN CHO LỚP 10) ax by c a ' x b ' y c ' Heä phöông trình daïng Baøi 1: Giaûi vaø bieän luaän caùc heä phöông trình sau (aån soá laø x vaø y) 4 x my m (2m 6) x y 2m mx y x my 2 1a) ; 1b) (m 1) x y m 2 x my 3(m 1) x 2m y 2a) ; 2b) (m 2) x my 2 nx my n m 3a) mx m y 4m x my m 2 nx y n ; 3b) (2m n) x (2m n) y n 4a) (m n) x (m n) y m mx ny m n ; 4b) nx my 2mn (m 2) x 6my mx (m 1) y Baøi 2: 1) Cho heä phöông trình : a) Giaûi vaø bieän luaän heä phöông trình theo tham soá m b) Giả sử (x;y) là nghiệm hệ ,tìm hệ thức x và y độc lập m 6mx (2 m) y (m 1) x my 2) Cho heä phöông trình : a) Giaûi vaø bieän luaän heä phöông trình theo tham soá m b) Giả sử (x;y) là nghiệm hệ ,tìm hệ thức x và y độc lập m Bài 3: Tìm m là số nguyên để hệ phương trình sau có nghiệm (x;y) với x, y là các số nguyên Lúc đó tìm (x;y) : (m 1) x (3m 1) y m 2 x (m 2) y mx y m 2a) 2 x my 2m 1a) mx y 3m x my 2m 2mx y m ; 2b) x y m ; 1b) Bài 4: Tìm m và n để hai hệ phương trình sau tương đương với : 19 Lop10.com Nguyeãn Coâng Maäu (20) Kiến thức đại số lớp 10 mx y n x y 2 x y m x y vaø mx y Bài 5: Tìm m để hệ sau có nghiệm : x my x y m PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI-TAM THỨC BẬC HAI-BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Baøi 1)Giaûi vaø bieän luaän caùc baát phöông trình sau theo tham soá m 1) (m+1)x2-(2m+1)x+(m-2)=0 ; 2) mx2+2x+1=0 3) (m2-5m-36)x2-2(m+4)x+1=0 ; 4) 2x2-6x+3m-5=0 Bài 2)Giả sử x1,x2 là hai nghiệm phương trình 2x2-11x+13=0 Không giải phương trình , hãy tính giá trị các biểu thức sau : 1) A = x13 x 23 ; 2) B = x14 x 24 3) C = x14 x 24 ; 4) D = x1 x x 22 x12 x2 x1 Bài 3)Chứng tỏ kb2 = (k+1)2.ac là điều kiện cần và đủ để phương trình ax2+bx+c=0 (a 0) có hai nghiệm thoả mãn nghiệm này k lần nghiệm Bài 4)Tìm m và n để hai số m ,n là nghiệm phương trình x2+mx+n=0 Baøi 5)Cho a,b laø nghieäm cuûa phöông trình x2+px+1=0 vaø b,c laø nghieäm cuûa phöông trình x2+qx+2=0 Chứng minh : (b-a)(b-c)=pq-6 Baøi 6)Cho hai phöông trình x2+p1x+q1=0 (1) vaø x2+p2x+q2=0 (2) bieát p1p2=2(q1+q2) Chứng minh có ít hai phương trình đã cho có nghiệm Baøi 7)Cho hai soá ; laø caùc nghieäm cuûa phöông rình x2+px+q=0 Haõy laäp phöông trình baäc hai coù caùc nghieäm soá laø ( ) & ( ) Baøi 8)Cho phöông trình x2+4x+m+1=0 (1) x12 x 22 1.Định m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thoả mãn hệ thức x x1 2.Định m để phương trình (1) có đúng nghiệm âm 3.Chứng tỏ phương trình (1) có nghiệm dương x1 thì phương trình : 20 Lop10.com Nguyeãn Coâng Maäu (21)