Bài viết thiết lập được phương trình dao động của dầm sử dụng nguyên lý D’alembert. Xác định được độ võng của dầm và tần số dao động riêng của dầm. Sử dụng phần mềm matlab tính toán và mô phỏng số.
TẠP CHÍ ISSN: 1859-316X KHOA HỌC CƠNG NGHỆ HÀNG HẢI KHOA HỌC - CÔNG NGHỆ JOURNAL OF MARINE SCIENCE AND TECHNOLOGY NGHIÊN CỨU DAO ĐỘNG CỦA ĐƯỜNG RAY XE LỬA TRÊN NỀN ĐÀN HỒI KHI CĨ ĐỒN TÀU CHẠY STUDYING THE RAILROAD TRACK’S OSCILLATION ON ELASTIC FOUNDATION WHEN THE TRAIN IS RUNNING NGUYỄN HỮU DĨNH*, VŨ THỊ PHƯƠNG THẢO, PHẠM THỊ THÚY Khoa Cơ sở bản, Trường Đại học Hàng hải Việt Nam *Email liên hệ: huudinhcohoc@vimaru.edu.vn Tóm tắt Dao động đường ray xe lửa đàn hồi có đồn tàu chạy tác giả xây dựng tốn mơ hình nghiên cứu dao động dầm Euler Bernoulli đàn hồi chịu tác dụng lực F0 = const di động với vận tốc v Bài báo thiết lập phương trình dao động dầm sử dụng nguyên lý D’alembert Xác định độ võng dầm tần số dao động riêng dầm Sử dụng phần mềm matlab tính tốn mơ số Từ khóa: Dao động dầm, dao động dầm đàn hồi Abstract Oscillation of train tracks on elastic foundation when the train is running, the author constructs the problem by studying the Euler-Bernoulli beam on elastic foundation under the effect of force F0 = const moved with velocity v The article sets up the beam oscillation equation using the D’alembert principle Determine the deflection of the beam and the specific frequency of the beam oscillation Using matlab software to calculate and simulate numbers Keywords: Vibration of the beam, Vibration of the beam on elastic foundation Mở đầu Đường ray yếu tố vận tải đường sắt, giúp định hướng cho tàu hỏa chạy mà không cần quan tâm nhiều đến việc bẻ lái phương tiện giao thơng khác Khi đồn tàu chạy qua, đường ray chịu áp lực lớn đồn tàu có tổng khối lượng lên đến hàng chục ngàn Nếu đường ray dao động mạnh với áp lực đoàn tàu chạy lớn làm đường ray cong vênh biến dạng làm an toàn cho hành khách hàng hóa tàu, chí làm tàu bị lật Dao động đường ray gây tiếng ồn lớn lực ma sát tàu lớn Do nhằm đảm bảo an toàn cho đoàn tàu hành khách hàng hóa tàu việc nghiên SỐ 64 (4-2021) cứu dao động đường ray cần thiết Trong nội dung báo này, tác giả coi dao động đường ray xe lửa có đồn tàu chạy đưa xây dựng mơ hình dao động dầm đàn hồi có tải trọng di động với vận tốc không đổi Phương pháp nghiên cứu Sử dụng nguyên lý D’alembert để thiết lập phương trình dao động dầm đàn hồi có tải trọng di động khác với phương pháp trước có nhiều tác giả nghiên cứu sử dụng phần tử hữu hạn[8] Từ phương trình dao động dầm tính tốn nghiệm giải tích độ võng dầm tần số dao động Sử dụng phần mềm Matlab tính tốn số Xây dựng mơ hình dao động đường ray xe lửa 3.1 Nghiên cứu dao động tự dầm đàn hồi với hệ số cứng phân bố k a Thiết lập phương trình dao động Để thiết lập phương trình vi phân dao động uốn dầm, tưởng tượng tách phân tố nhỏ dầm có chiều dài dx (Hình 1) Áp dụng ngun lý d’Alembert Từ điều kiện cân lực theo phương z ta có −dm 𝜕2 𝑊 𝜕𝑡 +Q+ 𝜕Q 𝜕𝑥 𝑑𝑥 − 𝑄 − 𝑘𝑊𝑑𝑥 = (1) Trong 𝑑𝑚 = 𝜇(𝑥)𝑑𝑥, với 𝜇(𝑥) khối lượng đơn vị dài dầm: Hình Lực tác dụng phân tố dầm Từ điều kiện cân mơmen lực, ta nhận phương trình: M+ 𝜕M 𝜕𝑥 𝑑𝑥 − 𝑀 − 𝑄 𝑑𝑥 − (Q + 𝜕Q 𝜕𝑥 𝑑𝑥) 𝑑𝑥 =0 (2) 41 TẠP CHÍ KHOA HỌC - CƠNG NGHỆ JOURNAL OF MARINE SCIENCE AND TECHNOLOGY Từ phương trình (2) ta thu được: 𝑄− 𝜕M 𝜕𝑥 uốn triệt tiêu hai biên x = 0, x = l =0 (3) Trong toán coi đường ray dầm EulerBernoulli, bỏ qua lực quán tính quay biến dạng trượt trục dầm ta có: 𝜑= 𝜕𝑊 𝜕𝑥 ; 𝑀 = −𝐸𝐼(𝑥) 𝜕𝜑 𝜕𝑥 𝜕𝑄 ; =− 𝜕𝑥 𝜕2 𝜕𝑥 [𝐸𝐼(𝑥) 𝜕2 𝑊 𝜕𝑥 ] (4) Thế (4) vào phương trình (1) ta phương trình dao động dầm: 𝜇(𝑥) 𝜕2 𝑊 𝜕𝑡 + 𝑘𝑊 + 𝜕2 𝜕𝑥 ISSN: 1859-316X KHOA HỌC CÔNG NGHỆ HÀNG HẢI 𝜕2 𝑊 [𝐸𝐼(𝑥) 𝜕𝑥 ]=0 X(0)=0; X(l)=0; 𝑋 " (0) = 0; 𝑋 " (𝑙) = (14) Từ điều kiện ta có C1 = C3 =C4 = 0, mặt khác để 𝐶2 ≠ Ta có phương trình đặc trưng: 𝑠𝑖𝑛 = => = 𝑛𝜋 với n = 1, 2, 3… (15) Hàm riêng viết dạng 𝑋 = 𝐶2 𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑛2 = 𝐸𝐼 𝑛𝜋 𝑘 𝜇 𝜇 ( ) + 𝑙 𝑥 𝑙 (16) (5) Đối với dầm đồng chất, thiết diện khơng đổi phương trình dao động tự dầm đàn hồi thu là: 𝜕2 𝑊 𝜕𝑡 + 𝐸𝐼 𝜕4 𝑊 𝜇 𝜕𝑥 𝑘 + 𝑊=0 (6) 𝜇 b Nghiệm tổng quát phương trình dao động Áp dụng phương pháp Bernoulli, tìm nghiệm phương trình (6) dạng: 𝑊(𝑥, 𝑡) = ∑∞ (7) 𝑖=1 𝑋𝑖 (𝑥)𝑞𝑖 (𝑡) Hình Dao động tự dầm đàn hồi 3.2 Nghiên cứu dao động uốn dầm đồng chất tiết diện không đổi đặt đàn hồi tuyến tính với hệ số cứng phân bố k, chịu tác dụng lực phân bố p(x,t) Thế (7) vào phương trình (6) ta có: − (𝐼𝑉) 𝑞̈ 𝑖 (𝑡) 𝐸𝐼 𝑋𝑖 𝑞𝑖 𝜇 = (𝑡) (𝑥) 𝑋𝑖 (𝑥) 𝑘 + = 𝜔2 𝜇 𝑞̈ (𝑡) + 𝜔2 𝑞(𝑡) = 𝑘 𝑋 (𝐼𝑉) (𝑥) − (𝜔2 − ) 𝜇 𝜇 𝐸𝐼 𝑘 Với 4 = (𝜔2 − ) (8) (9) 𝑋(𝑥) = (10) 𝜇 𝜇 𝐸𝐼 𝑙 Phương trình (10) viết lại: Phương trình dao động dầm có dạng: 𝑋 (𝐼𝑉) (𝑥) − ( ) 𝑋(𝑥) = (11) 𝑙 Nghiệm phương trình (11) tìm dạng 𝑥 𝑥 𝑙 𝑙 𝑋(𝑥) = 𝐶1 𝑐𝑜𝑠 ( ) + 𝐶2 𝑠𝑖𝑛 ( ) + 𝑥 𝑥 𝑙 𝑙 +𝐶3 𝑐𝑜𝑠ℎ ( ) + 𝐶4 𝑠𝑖𝑛ℎ ( ) (12) Trong C1, C2, C3, C4 xác định từ điều kiện biên Nghiệm phương trình (9) tìm dạng: 𝑞(𝑡) = 𝐴𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 + 𝐵𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡 (13) Trong A, B số xác định từ điều kiện đầu c Xét dao động uốn tự dầm đàn hồi hai đầu tựa lề Đối với toán dao động uốn tự dầm hai đầu tựa lề điều kiện biên độ võng mơmen 42 Hình Dầm chịu lực phân bố đàn hồi 𝜕2 𝑤 𝜕𝑡 + 𝐸𝐼 𝜕4 𝑤 𝜇 𝜕𝑥 𝑘 𝜇 𝜇 + 𝑤 = 𝑝(𝑥, 𝑡) (17) Giả sử toán cho lực phân bố p(x,t) = F0cosΩt, nghiệm bình ổn phương trình tìm dạng 𝑤(𝑥, 𝑡) = 𝐹0 cos Ωt Thế vào phương trình (17) ta thu được: 𝑋 𝐼𝑉 − 4 𝑋 = 𝐹0 𝐸𝐼 Với: 𝜇 𝑘 = √𝐸𝐼 (Ω2 − 𝜇) (18) Nghiệm phương trình (18) có dạng: 𝑋(𝑥) = 𝐶1 cos 𝑥 + 𝐶2 sin 𝑥 + 𝐶3 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥 𝐹0 + 𝐶4 𝑠𝑖𝑛ℎ𝑥 − 𝑘 𝜇(Ω2 − ) 𝜇 SỐ 66 (4-2021) TẠP CHÍ ISSN: 1859-316X KHOA HỌC CÔNG NGHỆ HÀNG HẢI KHOA HỌC - CÔNG NGHỆ JOURNAL OF MARINE SCIENCE AND TECHNOLOGY Từ điều kiện biên X(0) = X”(0) = X(l) = X”(l)= Ta xác định được: 𝐶1 = 𝐶3 = 𝑘 𝜇 2𝜇(Ω2 − ) 𝐹0 𝑋𝑛 (𝑥) = sin 𝑙 𝑘 𝜇 2𝜇(Ω2 − ) 𝑡𝑔ℎ ( ) (19) 𝑐 𝑤= 𝑙 cos ( −𝑥) 𝑘 𝜇(Ω2 − ) 𝜇 { 𝑙 cos( ) + 𝑙 cosh ( −𝑥) 𝑙 cosh( ) 𝑛𝜋𝑥 𝑙 𝑙 𝑙 Do ∫0 𝑋𝑛2 (𝑥)𝑑𝑥 = Do tính chất hàm Delta-Dirac ta có: 𝐹0 Vậy nghiệm bình ổn phương trình là: 𝐹0 (26) Đối với dầm chịu liên kết hai đầu lề 𝑙 𝑡𝑔 ( ) 𝑘 𝑐 2𝜇(Ω2 − ) 𝜇 𝐶4 = − 𝐹0 𝑙 ∫ 𝛿(𝑥−𝑣𝑡)𝑋𝑛(𝑥)𝑑𝑥 𝜇 𝑙 (𝑥)𝑑𝑥 ∫0 𝑋𝑛 𝑞̈ 𝑛 (𝑡) + 𝜔𝑛2 𝑞𝑛 (𝑡) = 𝐹0 𝐹0 𝐶2 = Do điều kiện trực giao hàm riêng ta suy ra: 𝜇 𝑙 ∫0 𝛿(𝑥 − 𝑣𝑡)𝑋𝑛 (𝑥)𝑑𝑥 = 𝑣𝑡)𝑑𝑥 = − 1} cos Ωt (20) 𝐹0 𝜇 𝑠𝑖𝑛 ( 𝑛𝜋𝑣 𝑙 𝑡) = 𝐹0 𝜇 𝐹0 𝜇 𝑙 ∫0 𝑠𝑖𝑛 𝑛𝜋 𝑠𝑖𝑛 𝑛𝜋𝑥 𝑙 𝛿(𝑥 − 𝑣𝑡 𝑙 (27) Phương trình (26) viết lại sau: 3.3 Một toa xe chạy đường ray thẳng mơ hình hóa lực F0 = const chuyển động với vận tốc v không đổi dọc theo dầm đồng chất đàn hồi tuyến tính với hệ số k 𝑞̈ 𝑛 (𝑡) + 𝜔𝑛2 𝑞𝑛 (𝑡) = 2𝐹0 𝜇𝑙 𝑠𝑖𝑛 𝑛𝜋 𝑙 𝑣𝑡 (28) Nghiệm tổng quát phương trình (28) là: 𝑞𝑛 (𝑡) = 𝐴𝑛 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑛 𝑡 + 𝐵𝑛 𝑠𝑖𝑛𝜔𝑛 𝑡 + 𝜇𝑙 (𝜔𝑛2 2𝐹0 𝑛𝜋 𝑛𝜋 𝑠𝑖𝑛 𝑙 𝑣𝑡 − ( 𝑣) ) 𝑙 Các số 𝐴𝑛 𝐵𝑛 xác định từ điều kiện đầu Giả sử cho điều kiện đầu: ∞ 𝑊0 (𝑥) = 𝑊(𝑥, 0) = ∑ 𝑋𝑖 (𝑥)𝑞𝑖 (0) = Hình Dầm chịu tải trọng di động đàn hồi Tương tự ta thu phương trình dao động dầm Sử dụng hàm Delta-Dirac, tải trọng p(x,t) tốn có dạng 𝑝(𝑥, 𝑡) = 𝐹0 𝛿(𝑥 − 𝑣𝑡) 𝜕2 𝑤 𝜕𝑡 + 𝐸𝐼 𝜕4 𝑤 𝜇 𝜕𝑥 𝑘 𝐹0 𝜇 𝜇 + 𝑤= 𝛿(𝑥 − 𝑣𝑡) (21) Áp dụng phương pháp Bernoulli, tìm nghiệm phương trình (21) dạng: 𝑊(𝑥, 𝑡) = ∑∞ (22) 𝑖=1 𝑋𝑖 (𝑥)𝑞𝑖 (𝑡) (𝐼𝑉) 𝐸𝐼 𝑋𝑖 𝐹0 𝜇 𝜇 (𝑥) 𝑋𝑖 (𝑥) 𝑖=1 Do tính chất trực giao hàm riêng, từ điều kiện đầu ta suy ra: 𝑞𝑛 (0) = , 𝑞̇ 𝑛 (0) = ta xác định An, Bn: 𝐴𝑛 = 0, 𝐵𝑛 = − 𝑛𝜋𝑣 𝑙 𝑛𝜋𝑣 2 𝜇𝑙𝜔𝑛 (𝜔𝑛 −( ) ) 𝑙 2𝐹0 𝑛𝜋 𝑘 + ) 𝑞𝑖 (𝑡)] 𝑋𝑖 (𝑥) = 𝑊(𝑥, 𝑡) = 𝜇 𝛿(𝑥 − 𝑣𝑡) (29) 2𝐹0 𝜇𝑙 ∑∞ 𝑛=1 𝑠𝑖𝑛 𝑛𝜋 𝑛𝜋𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑙 𝑣𝑡−𝑙𝜔𝑛𝑠𝑖𝑛𝜔𝑛 𝑡 𝑛𝜋 𝑙 𝜔2 −( 𝑣) 𝑛 (30) 𝑙 (23) Với tần số dao động riêng 𝜔𝑛2 = Phương trình (23) suy ra: ∑∞ 𝑖=1[𝑞̈ 𝑖 (𝑡) + 𝜔𝑖 𝑞𝑖 (𝑡)] 𝑋𝑖 (𝑥) = 𝐹0 𝜇 𝛿(𝑥 − 𝑣𝑡) (24) Nhân hai vế phương trình với hàm riêng Xn(x) lấy tích phân dọc theo chiều dài dầm ∑∞ 𝑖=1[𝑞̈ 𝑖 (𝑡) + ∞ 𝜕𝑊(𝑥, 0) 𝑣0 (𝑥) = = ∑ 𝑋𝑖 (𝑥)𝑞𝑖̇ (0) = 𝜕𝑡 Vậy ta xác định độ võng dầm có dạng: Thế (22) vào phương trình (21) ta có: ∑∞ 𝑖=1 [𝑞̈ 𝑖 (𝑡) + ( 𝑖=1 𝑙 𝜔𝑖2 𝑞𝑖 (𝑡)] ∫0 𝑋𝑖 (𝑥)𝑋𝑛 (𝑥)𝑑𝑥 = SỐ 64 (4-2021) 𝐹0 𝜇 𝑙 = ∫0 𝛿(𝑥 − 𝑣𝑡)𝑋𝑛 (𝑥)𝑑𝑥 (25) tần số dao động cưỡng Ω𝑛 = 𝑛𝜋𝑣 𝑙 𝐸𝐼 𝑛𝜋 𝑘 𝜇 𝜇 ( ) + 𝑙 Áp dụng số liệu mô số Xét đường ray xe lửa thẳng có chiều dài L = 100 ̅ = 54 106 Nm2 , khối m, độ cứng uống trung bình EI lượng đơn vị dài trung bình = 750kg/m Xe lửa coi lực F = 4000N chuyển động với vận tốc v không đổi dọc theo dầm đồng chất 43 TẠP CHÍ KHOA HỌC - CƠNG NGHỆ đàn hồi tuyến tính với hệ số k = 1,5.106N/m2 Ta xác định tần số dao động riêng dầm tựa khớp ω1 = 44.7221rad/s ISSN: 1859-316X KHOA HỌC CÔNG NGHỆ HÀNG HẢI JOURNAL OF MARINE SCIENCE AND TECHNOLOGY tính tốn với vận tốc di động khác cho kết Nếu vận tốc chạy tàu nhanh thời gian chuyển vị dầm lớn Do vậy, vận tốc chạy tàu lớn đường ray dao động mạnh Lời cảm ơn Nghiên cứu tài trợ Trường Đại học Hàng hải Việt Nam đề tài mã số DT20-21.89 TÀI LIỆU THAM KHẢO Chuyển vị dầm với v =30 km/h Chuyển vị dầm với v =40 km/h [1] Nguyễn Văn Khang, Thái Mạnh Cầu, Vũ Văn Khiêm, Nguyễn Nhật Lệ Bài tập dao động kỹ thuật NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội 2002 [2] Nguyễn Văn Khang Dao động kỹ thuật NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội 1998 [3] Nguyễn Văn Khang Động lực học hệ nhiều vật NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội 2007 Chuyển vị dầm với v =50 km/h Chuyển vị dầm với v =60 km/h [4] Đỗ Sanh, Nguyễn Văn Đình, Nguyễn Nhật Lệ: Bài tập học Tập (in lần thứ 16) NXB Giáo dục Việt Nam, Hà Nội 2011 [5] Đỗ Sanh, Lê Doãn Hồng Bài tập học Tập 2(in lần thứ 13) NXB Giáo dục Việt Nam, Hà Nội 2011 [6] Hoàng Mạnh Cường, Nguyễn Hữu Dĩnh, Phạm Thị Thúy: Cơ học lý thuyết NXB Hàng hải, Hải Phòng 2018 Chuyển vị dầm với v =70 km/h Chuyển vị dầm với v =80 km/h Hình Chuyển vị dầm với vận tốc di động khác Vận tốc di động coi vận tốc tàu chạy với tốc độ 30km/h, 40km/h, 50km/h, 60km/h, 70 km/h, 80km/h sử dụng phần mềm matlab cho ta biết chuyển vị dầm Qua đồ thị cho ta thấy với vận tốc cao chuyển vị dầm lớn Tác giả thấy kết chương trình với suy luận thực tế, với khối lượng tàu lớn chạy dầm đàn hồi với tốc độ cao chuyển vị, dao động dầm lớn Dao động dầm xẩy tượng cộng hưởng tần số ωk = Ωn Kết luận Bài báo nghiên cứu dao động đường ray xe lửa có tàu chạy Trong tốn đưa nghiên cứu dao động dầm đàn hồi có tải trọng di động với vận tốc khơng đổi Tác giả thiết lập phương trình dao động dầm đàn hồi với tải trọng di động sử dụng ngun lý D’alembert, tính tốn tần số dao động dầm chuyển vị dầm Tác giả áp dụng số sử dụng phần mềm matlab để 44 [7] Nguyễn Hữu Dĩnh, Vũ Xuân Trường Nghiên cứu ảnh hưởng gió, động đất tới dao động tịa nhà cao tầng, Tạp chí khoa học công nghệ Trường Đại học sư phạm kỹ thuật Hưng Yên Số 23 tháng 9/2019 [8] Nguyễn Duy Hưng, Tạ Duy Hiển, Nguyễn Trung Kiên Nghiên cứu dao động dầm đàn hồi chịu khối lượng di động xét đến đặc trưng ngẫu nhiên hệ mơ Monte Carlo, Hội nghị Cơ học tồn quốc lần thứ X, Hà Nội, tập 3, 8-9/12/2017 Ngày nhận bài: Ngày nhận sửa: Ngày duyệt đăng: 05/3/2021 19/3/2021 29/3/2021 SỐ 66 (4-2021) ... lượng tàu lớn chạy dầm đàn hồi với tốc độ cao chuyển vị, dao động dầm lớn Dao động dầm xẩy tượng cộng hưởng tần số ωk = Ωn Kết luận Bài báo nghiên cứu dao động đường ray xe lửa có tàu chạy Trong... tàu chạy Trong tốn đưa nghiên cứu dao động dầm đàn hồi có tải trọng di động với vận tốc khơng đổi Tác giả thiết lập phương trình dao động dầm đàn hồi với tải trọng di động sử dụng ngun lý D’alembert,... tính tốn với vận tốc di động khác cho kết Nếu vận tốc chạy tàu nhanh thời gian chuyển vị dầm lớn Do vậy, vận tốc chạy tàu lớn đường ray dao động mạnh Lời cảm ơn Nghiên cứu tài trợ Trường Đại học