Bài báo này trình bày việc thiết kế lập mô hình cơ học và mô hình toán học để xác định dao động thẳng đứng và lắc ngang của kết cấu có dạng con lắc ngược có sử dụng bộ hấp thụ dao động..
Trang 1Nghiên cứu dao động của hệ con lắc ngược có lắp đặt
hệ thống giảm dao động TMD
1 Mở đầu
Trong thực tế, nhiều công trình có mô hình ở dạng con lắc ngược như nhà cao tầng, tháp vô tuyến, giàn khoan, công trình biển…Cùng với sự phát triển của khoa học kỹ thuật, các công trình ngày càng lớn về chiều dài và chiều cao Sự gia tăng về quy mô kết cấu sẽ dẫn đến các đáp ứng động lực phức tạp của kết cấu và sẽ sinh ra các dao động Các dao động này thường
có ảnh hưởng xấu đến điều kiện làm việc, làm giảm độ bền của công trình, vì vậy nghiên cứu các dao động này và làm giảm dao động có hại là vấn đề đang được quan tâm Bài báo này trình bày việc thiết kế lập mô hình cơ học và mô hình toán học để xác định dao động thẳng đứng và lắc ngang của kết cấu có dạng con lắc ngược có sử dụng bộ hấp thụ dao động Trên
cơ sở phương trình thu được tác giả đã sử dụng phần mềm Maple 10 mô phỏng ảnh hưởng của bộ hấp thụ dao động đến dao động thẳng đứng và lắc ngang của con lắc ngược Các kết quả và quy luật chuyển động của hệ con lắc ngược thu được sẽ được tiếp tục sử dụng cho việc nghiên cứu, phân tích, tính toán, thiết kế tối ưu tìm các thông số của bộ hấp thụ dao động, để giảm dao động cho các công trình có dạng hệ con lắc ngược một cách tốt nhất
2 Mô hình tính toán của cơ cấu con lắc ngược có gắn bộ hấp thụ dao động.
Trên hình vẽ biểu diễn sơ đồ của con lắc ngược có khối lượng M, cách nền ngang một khoảng L4, thanh đỡ con lắc ngược có khối lượng m trọng tâm đặt tại G cách nền ngang một khoảng L3, liên kết giữa nền ngang và con lắc ngược được thay bằng hai lò xo – lò xo xoắn có độ cứng ks, và lò xo có độ cứng k3
Để giảm dao động cho cơ cấu ta có lắp vào hệ hai bộ hấp thụ dao động TMD Bộ hấp thụ dao động TMD –N để giảm dao động tắt ngang, bộ hấp thụ dao động TMD-D để giảm dao động theo phương thẳng đứng của con lắc ngược
Bộ hấp thụ dao động TMD-N được lắp tại vị trí cách nền ngang một khoảng L2, có khối lượng M1, liên kết với con lắc ngược bởi một lò xo có độ cứng k1 và một bộ cản nhớt tuyến tính có
hệ số cản c1
Bộ hấp thụ dao động TMD-D được lắp tại vị trí cách nền ngang một khoảng L5 gồm một vạt
có khối lượng M2, liên kết với con lắc ngược bởi một lò xo có độ cứng k2 và một bộ càn nhớt tuyến tính cs hệ số cản c2
3 Thiết lập phương trình vi phân chuyển động của hệ con lắc ngược.
Cớ hệ có 4 bậc tự do ta chọn φ1, U0, U1, U2 là toạ độ suy rộng của cơ hệ
Trong đó: φ1 là góc quay của con lắc ngược; U0 là dịch chuyển của bộ TMD-D; U1 là dịch chuyển của con lắc ngược theo phương thẳng đứng; U2 là dịch chuyển của bộ TMD-N
ta có phương trình Lagrăng II cho cơ hệ:
1 1 1
)
ϕ
T
T
dt
∂
∂
−
∂
∂
0 0
)
u
T u
T dt
∂
∂
−
∂
∂
1 1 )
u
T u
T dt
∂
∂
−
∂
∂
2 2
)
u
T u
T dt
∂
∂
−
∂
∂
Trong đó:
Qφ1 - lực suy rộng theo toạ độ φ1; Qu0 - lực suy rộng theo toạ độ u0;
Qu1- lực suy rộng theo toạ độ u1; Qu2 - lực suy rộng theo toạ độ u2; T- động năng của cơ hệ
Trang 23.1 Động năng của cơ hệ
Động năng của cơ hệ bằng tổng động năng các phần tử của cơ hệ:
+
+ + +
+ +
1
2 3
2 1
2 3 1
2 1
2 1
2 4 1
2
1
12
1 2
2
1 )
( 2
1
ϕ ϕ
U
M
T
1
2 2 5 1
2 2 1 2
2 0 1 2 1
2 1 0 1
1
2
1 )
( 2
1M U −U ϕ U +L ϕ +U + M U +U + U +L +U ϕ (3)
3.2 Lực suy rộng của cơ hệ.
Lực suy rộng của cơ hệ được xác định theo công thức sau:
1 1
ϕ
ϕ
ϕ ∂ +Q
Φ
∂
−
∂
Π
∂
−
0 0 0
u
Q u
∂
Φ
∂
−
∂
Π
∂
−
1 1 1
u
Q u
∂
Φ
∂
−
∂
Π
∂
−
* 2 2
2
u
Q u
∂
Φ
∂
−
∂
Π
∂
−
= (4)
Trong đó:
П- thế năng của hệ; Ф – hàm hao tán của hệ;
Qu0 - lực hoạt suy rộng theo toạ độ U0; Qu1 - lực hoạt suy rộng theo toạ độ u1;
Qu2 - lực hoạt suy rộng theo toạ độ u2; Qφ1- lực hoạt suy rộng theo toạ độ φ1;
Thế năng của cơ hệ:
Thế năng của cơ hệ bằng tổng thế năng của trọng lực và thế năng của lò xo
+
−
=
1
2 (
) (U L mg U L M g U L U M g ϕ M gu ϕ
Mg
10 1
2 10 1 3
2 20 2 2
2 00
0
2
1 ) (
2
1 ) (
2
1 2
1
ϕ
ϕ − +
− +
− +
U
Hàm hao tán
Năng lượng dao động có hại của con lắc ngược bị tiêu tán bởi các bộ cản nhớt được lắp vào hai bộ hấp thụ dao động: 2
2 2
2 0 1 2
1 2
1
U C U
=
Φ (6)
Lực hoạt suy rộng
Lực hoạt suy rộng đặc trưng cho lực bên ngoài tác dụng lên hệ con lắc ngược, một cách tổng quát giả sử có hai lực ngoài tác dụng lên con lắc ngược là: lực P tác dụng lên con lắc ngược gây ra dao động thẳng đứng phụ thuộc vào thời gian: P =P(t) Lực Q tác dụng lên con lắc ngược tại vị trí cách trục quay một khoảng L gây ra dao động lắc ngang của con lắc ngược phụ thuộc vào thời gian: Q =Q(t) Để tính lực hoạt suy rộng Qϕ*1;Q U*0;Q U*1;Q U*2 ta cho cơ hệ một di chuyển khả dĩ ứng với các đại lượng biến đổi δφ1 ≠ 0; δU0 ≠ 0; δU1 ≠ 0; δU2 ≠ 0; Khi
đó tổng cộng khả dĩ các lực hoạt trong di chuyển khả dĩ trên bằng:
δA = Q(t) Lδφ1+P(t)δU1 (7)
Từ (7) ta suy ra: ( )
1
*
δϕ
δ
0
*
U
A
Q U
δ
δ
1
*
U
A
δ δ
,
Trang 30 2
U
A
Q U
δ
δ
(8) Xét hệ tại vị trí cân bằng tĩnh ta có:
φ1=φ10=0; U1 = U10 ; U2 = U20 ; u0 = u00 = 0 (9)
Xét cân bằng cả hệ: Các lực tác dụng lên cơ hệ: Trọng lực khối lượng tập trung đầu thanh:
;
g
m
PM = Trọng lực bộ hấp thụ dao động TMD-N: PM1 =M1g; Trọng lực bộ hấp thụ dao động TMD-D: PM2 =M2g; Phản lực liên kết của lò xo xoắn Ms; và lò xo K3 FLX3 = K3 U10.
Hệ lực cân bằng đặt lên cơ hệ: (Ms,PM,Pm PM1,P M2,FLX3) ~
0 Phương trình cân bằng:
0 3 2
+
P (10)
Chiếu phương trình (10) lên phương thẳng đứng ta có:
PM + Pm + PM1 + PM2 – FLX3=0 (11)
→ K3 U10 = Mg + mg + M1g + M2 g (12)
Xét cân bằng bộ TMD: các lực tác dụng: Phản lực liên kết lên bốn bánh xe: N1,N2,N3,N4; Trọng lực bộ hấp thụ dao động TMD:
g
M
PM2 = 2; Phản lực liên kết của lò xo: FLX3 = K2U20 (13)
- Hệ lực cân bằng đặt lên cơ hệ:
) , , ,
,
,
(N1 N2 N3 N4 PM2 FLX2 ~
0
- Phương trình cân bằng :
0
3
2
1+N +N N +P M +F LX =
N (14)
Chiếu phương trình (5,6) lên phương thẳng đứng ta có: PM2 – FLX2 = 0 (15)
Thay (13) vào (15) ta có: M2g – FLX2 = 0 ⇒ K2 U20 = M2g (16)
Do dao động nhỏ nên: sin φ1 ≈ φ1 ; cosφ1 ≈ 1 (17)
Từ (1, 3, 4, 5, 8, 9, 12, 16, 17) ta có phương trình vi phân chuyển động của hệ dao động quanh
vị trí cân bằng tĩnh dạng tuyến tính như sau:
)
(t F X K X
C
X
M H + H + H = H (18)
Trong đó:
M H =
+ + +
+ + +
2 2
2 2
1
1 2
1
2 1
2 2 1
2 3 2 5 2
2
4
0 0
) (
0 0
0 0
0 0
3
M M
M m M M M
M L
M
L M L M
mL L
M
ML
(19)
Trang 4
−
−
=
2 3
1 1
1 2
2 1
3 4
0 0
0
0 0
0
0 0
0 0 2
K K
K g
M
g M gL
M gL M
mgL MgL
K
K
s s
=
2
1
0 0
0
0 0 0
0
0 0 0
0 0 0
0
C
C
=
2 1 0 1
U U
U X
ϕ
;
=
2 1 0 1
U U
U X
ϕ
;
=
2 1 0 1
U U
U X
ϕ
;
=
0
) ( 0
) (
t P
t LQ
F T (21)
Nhận xét:
Trong hệ phương trình vi phân ta thấy có chứa các địa lượng của bộ hấp thụ dao động là : M1, k1, c1, L2, M2, k2, c2, L5 đây chính là cơ sở để ta phân tích, tính toán tìm các thông số của bộ hập thụ dao động theo lý thuyết điều khiển chuyển động, nguyên lý cơ bản của lý thuyết hấp thụ là truyền năng lượng dao động có dạng con lắc ngược sang các bộ hấp thụ dao động được lắp thêm vào, khi đó dao động của các công trình có dạng con lắc ngược sẽ giảm, dao động của các bộ hấp thụ sẽ tăng lên và năng lượng này sẽ bị tiêu tán bởi bộ cản nhớt lắp vào các bộ hấp thụ dao động Từ các phương trình trên giúp các nhà nghiên cứu tìm các thông số:M1, k1, c1, L2, M2, k2, c2, L5 theo lý thuyết điều khiển chuyển động để các bộ TMD hấp thụ năng lượng dao động có hại là lớn nhất với mục đích không những giảm dao động cho công trình một cách tốt nhất mà công trình còn làm việc ổn định, an toàn và hiệu quả
4 Áp dụng kết quả nghiên cứu mô phỏng dao động cho tháp canh ngoài biển có lắp đặt
hệ thống giảm dao động.
Một trong những ví dụ của con lắc ngược là tháp khớp nối ở đại dương Những đế hai chiều như tháp khớp nối thì phù hợp ở nước sâu vì cấu trọng của chúng giảm xuống so với đế quy ước Cơ cấu tháp này không những phải chịu các lực do gió, sóng mà còn chịu lực đẩy theo phương thẳng đứng xuất hiện do lực đẩy Acsimet, bởi vậy tháp xuất hiện cả dao động lắc ngang và dao động theo phương thẳng đứng Công trình có thể hư hỏng do lắc ngang hoặc bị bồng bềnh hay bị nhổ cọc do dao động thẳng đứng Do vậy ta phải lắp hai bộ hấp thụ dao động vào để tăng đặc tính tắt dần cho tháp Quan sát tháp khớp nối trên hình vẽ, nó bao gồmg một tháp có khối tâm m1 tại đỉnh Giả sử độ cứng chống uốn của tháp là EJ, và độ cứng kéo nén của tháp là EF Để áp dụng các kết quả tính toán dao động của hệ con lắc ngược cho tháp,
ta tính độ cứng lò xo Ks, K3 của con lắc ngược thông qua đặc trưng của vật liệu cấ tạo nên tháp như sau:
- Tính hệ số lò xo Ks thông qua mômen chống uốn của vật liệu cấ tạo nên tháp:
Ta coi tháp như một dầm chịu uốn, chịu liên kết ngầm giữa nền và tháp Khi đó độ lệch s tại điểm lắp bộ hấp thụ dao động TMD-N như sau:
J 3
) ( 3 2
E
L t P
S = (22)
Trong đó: P(t)- lực tác dụng tại vị trí lắp bộ hấp thụ dao động: EJ - độ cứng chống uốn của vật liệu cấu tạo nên tháp
Trang 5Nếu xác định độ lệch s thông qua hệ số lò xo xoắn Ks:
S
K
L t P S
2 2 ) (
= (23)
Từ (22) và (23) ta suy ra:
2
3 2
3
2
L
J )
(
J
)
K K
L t
P
E
L
t
P
S S
=
⇒
= (24)
- Tính hệ số lò xo K3 thông qua đặc trưng kéo nén của vật liệu cấu tạo nên tháp
Gọi Z là biến dạng theo phương thẳng đứng tại vị trí lắp bộ hấp thụ dao động TMD-D ta có:
+ Tính Z thông qua lò xo K3:
3
) (
K
t Q
Z = (25)
+ Tính Z thông qua vật liệu đàn hồi cấ tạo nên tháp:
F
) ( 5
E
L t Q
Z = (26) Với Q(t): lực tác dụng tại vị trí lắp bộ hấp thụ dao động
EF: độ cứng kéo nén của vật liệu cấu tạo nên tháp
Từ (25) và (26) ta suy ra:
3
)
(
K
t
Q
Z =
F
) ( 5
E
L t Q
5 3 L
F
E
K = (27)
Từ các kết quả ở trên ta áp dụng vào tính toán dao động của tháp canh ngoài biển có lắp đặt
hệ thống giảm dao động với các thông số sau:
M=3.103 (kg); m=1500(kg); L3=50m; L4 = 100m; g = 9,81(m/s2); (28)
kS=5.109(KNm); k3=107(KNm); P0 = 9.104KN
Ta chọn các thông số của bộ hấp thụ dao động TMD như sau:
M1 = 5(kg); M2 = 7(kg); L1 = 20m; L2 = 90m; L5 = 50m; (29)
k1=15(KN/m); k2 = 25(KNm); c1 = 3(KNs/m); c2 = 4(KNs/m)
Từ (19-21, 28,29) sử dụng phần mềm Maple 10 mô phỏng ảnh hưởng của bộ hấp thụ dao động đến dao động thẳng đứng và lắc ngang của tháp canh ngoài biển như sau:
Trường hợp 1: với điều kiện đầu 1: φ1 = 0.005; u1 = 0.003; φ1 = 0.0; u1 = 0.0
Trường hợp 2: với điều kiện đầu 2: φ1 = 0.0; u1 = 0.0; φ1 = 0.2; u1 = 0.1
Qua kết quả mô phỏng số chúng ta có nhận xét sau:
- Ứng với điều kiện 1 biên độ dao động theo phương thẳng đứng và lắc ngang trong trường hợp lắp bộ hấp thụ dao động đều giảm theo thời gian so với trường hợp không lắp bộ hấp thụ dao động;
- Với điều kiện 2 trong những giây dầu biên độ dao động theo phương thẳng đứng và lắc ngang trong trường hợp lắp bộ hấp thụ dao động lớn hơn trong trường hợp không lắp bộ hấp thụ dao động và theo thời gian biên độ dao động giảm dần và nhỏ hơn so với trường hợp không lắp bộ hấp thụ dao động;
- Ứng với điều kiện ban đầu 3 đối với biên độ dao động theo phương thẳng đứng trong 10 giây đầu biên độ dao động trong trường hợp lắp bộ hấp thụ dao động lớn hơn biên độ dao
Trang 6động trong trường hợp không lắp bộ hấp thụ dao động, còn dao động lắc ngang trong trường hợp không lắp bộ hấp thụ dao động;
Nhận xét:
Việc lắp đặt bộ hấp thụ dao động vào cơ cấu tháp canh ngoài biển đã có tác dụng làm tắt dần dao động của tháp canh theo thời gian Vậy từ phương trình vi phân chuyển động của con lắc ngược có lắp hệ thống giảm dao động (18 ÷ 21) ta có thể nghiên cứu, phân tích, tính toán tìm các thông số của bộ hấp thụ dao động M1, k1, c1, L2, M2, k2, c2, L5 theo lý thuyết điều khiển chuyển động để giảm dao động cho tháp canh một cách tối ưu
5 Kết luận
Việc nghiên cứu lắp đặt bộ hấp thụ dao động vào cơ cấu con lắc ngược là bài toán mang tính thời sự cấp thiết ở nước ta hiện nay Trong bài báo này các tác giả đã giải quyết các vấn đề sau:
- Thiết lập mô hình cơ học và mô hình toán học để xác định dao động của cơ cấu con lắc ngược có sử dụng đồng thời hai bộ hấp thụ dao động TMD Từ mô hình toán học tiến hành tính toán tìm phương trình vi phân chuyển động của hệ Hệ phương trình vi phân tìm được là
hệ tuyến tính có hệ số thay đổi theo thời gian;
- Sử dụng phần mềm Maple 10 mô phỏng ảnh hưởng của bộ hấp thụ dao động đến dao động của con lắc ngược Từ việc mô phỏng này ta thấy việc gắn thêm các bộ hấp thụ dao động vào
cơ cấu con lắc ngược nó đã có tác dụng làm tăng hoặc giảm dao động của hệ con lắc ngược Vậy việc chọn các thông số hợp lý của bộ hấp thụ dao động TMD có thể làm giảm dao động cho hệ con lắc ngược một cách tối ưu;
- Từ các kết quả thu được và quy luật chuyển động của hệ con lắc ngược trong bài báo này là
cơ sở để các nhà nghiên cứu phân tích tính toán, thiết kế tối ưu tìm các thông số của bộ hấp thụ dao động TMD nhằm giảm dao động cho các công trình cs dạng con lắc ngược một cách tốt nhất
Sử dụng các bộ hấp thụ dao động là một lĩnh vực công nghệ hiện đại, mới được phát triển nhanh chóng trong vàig chục năm gần đây Với ưu điểm về kỹ thuật và kinh tế, công nghệ này
đã và đang được áp dụng rộng rãi trên thế giới Việc sử dụng các bộ hấp thụ dao động nhằm nâng cao chất lượng và tuổi thọ các máy móc, thiết bị, công trình…là một công nghệ còn khá mới ở nước ta, tuy nhiên cùng với sự phát triển của đất nước các máy móc, thiết bị, công trình…có quy mô ngày càng lớn về chiều dài và chiều cao Sự gia tăng về quy mô kết cấu dẫn tới sự gia tăng độ nhạy cảm dao động khi chịu kích động ngoài nên công nghệ này cần được quan tâm, đầu tư và phát triển
Nguồn: Tạp chí KHCN Xây dựng, số 4/2007