Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 8 cấp trường năm 2020-2021 có đáp án - Trường THCS Đông Kinh

Tham khảo Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 8 cấp trường năm 2020-2021 có đáp án - Trường THCS Đông Kinh để các em làm quen với cấu trúc đề thi, đồng thời ôn tập và củng cố kiến thức căn bản trong chương trình học. Tham gia giải đề thi để ôn tập và chuẩn bị kiến thức và kỹ năng thật tốt cho kì thi học sinh giỏi cấp quốc gia sắp diễn ra nhé!

PHỊNG GD VÀ ĐT THÀNH PHỐ TRƯỜNG THCS ĐƠNG KINH ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP NĂM HỌC 2020-2021 MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 120 phút (Đề thi gồm có 01 trang, 04 bài) Bài 1: (4 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) 5x2 - 26x + 24 c) x2 + 6x + b) 3 x  x  x 1 d) x4 + 2015x2 + 2014x + 2015 Bài 2: (6 điểm) a) Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến: (6 x + 7)(2 x – 3) – (4 x + 1)  3x   4  x y b) Tính giá trị biểu thức P = Biết x – y = x y x y (x + y ≠ 0, y ≠ 0) c) Tìm số dư phép chia biểu thức  x   x   x   x  8  2015 cho đa thức x  10 x  21 d) Tính tổng hệ số khai triển (1−2x)2021 e) Chứng minh rằng: A  n  4n  3 8, n số tự nhiên lẻ f) Tìm hế số a để: ax  x  9 x  Bài : (7 điểm) Cho hình vng ABCD Qua A vẽ hai đường thẳng vng góc với cắt BC P R, cắt CD Q S a) Chứng minh  AQR  APS tam giác cân b) QR cắt PS H; M, N trung điểm QR PS Chứng minh tứ giác AMHN hình chữ nhật c) Chứng minh P trực tâm tam giác SQR d) Chứng minh MN đường trung trực AC Bài : (3 điểm) a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = 13x2 + y2 + 4xy - 2y - 16x + 2015 b) Cho hai số a,b thỏa mãn điều điều kiện a + b = Chứng minh a3 + b3+ ab  - Hết PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG THCS ĐƠNG KINH HDC CHÍNH THỨC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP NĂM HỌC 2020-2021 MƠN: TỐN (HDC gồm có 03 trang 04 bài) HƯỚNG DẪN CHẤM THANG ĐIỂM 2 Bài a) 5x - 26x + 24 = 5x - 6x - 20x + 24 = x(5x - 6) - 4(5x - 6) = (5x - điểm điểm 6)(x - 4) 3 điểm 3 1  1  1  1  b) x  x  x  =  x   3. x   3. x .1  =  x  1 BÀI NỘI DUNG 2  2 c) x + 6x + = x + x + 5x + = x(x + 1) + 5(x + 1) = x  1x  5 2  2  2  3 2 d) x + 2015x + 2014x + 2015 = x + x + x – x – x – x + 2015x + 2015x +2015 = x2 (x2 + x + 1) – x(x2 + x + 1) + 2015(x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x2 – x + 2015) 7 Bài a) ( x + 7)(2 x – 3) – (4 x + 1)  x   = 12x2 – 18x + 14x - 21 – 12x2  điểm 4  + 7x – 3x + điểm điểm điểm 77 = 4 b) x2 – 2y2 = xy  x2 – xy – 2y2 =  (x + y)(x – 2y) = Vì x + y ≠ nên x – 2y =  x = 2y Khi A = điểm 2y  y y   y  y 3y c) P( x)   x   x   x   x  8  2015   x  10 x  16  x  10 x  24   2015 điểm Đặt t  x  10 x  21 (t  3; t  7) , biểu thức P(x) viết lại: P( x)   t   t  3  2015  t  2t  2000 Do chia t  2t  2000 cho t ta có số dư 2000 d) Gọi f(x)= (1−2x)2020 => f(1)= (1−2.1)2020= (-1)2020 = Vậy tổng hệ số khai triển e) A   n  1 n  3 , Vì n số lẻ, Đặt n  2k  1,  k  N   A   2k   2k   điểm điểm f) Theo định lý Bơ- Zu ta có : Dư f  x   ax5  x  , chia cho x - f 1  a    a  Để có phép chia hết a    a  điểm Bài 7điểm 0, điểm Vẽ hình a)  ADQ =  ABR chúng hai tam giác vng (2 góc có cạnh t.ư điểm vng góc) DA = BD (cạnh hình vng) Suy AQ=AR, nên  AQR tam giác vuông cân Chứng minh tương tự ta có:  ABP =  ADS b) AM AN đường trung tuyến tam giác vuông cân AQR 1,5 điểm APS nên AN  SP AM  RQ   = 450 nên góc MAN vng Vậy tứ giác AHMN Mặt khác : P   PAM có ba góc vng, nên hình chữ nhật c) Theo giả thiết: QA  RS, RC  SQ nên QA RC hai đờng cao 1,5 điểm  SQR Vậy P trực tâm  SQR d) Trong tam giác vng cân AQR MA trung tuyến 1,5 điểm nên AM = QR  MA = MC, nghĩa M cách A C Chứng minh tương tự cho tam giác vuông cân ASP tam giác vng SCP, ta có NA = NC, nghĩa N cách A C Hay MN trung trực AC Bài a) A = 13x2 + y2 + 4xy - 2y - 16x + 2015 điểm = y2 + 4xy - 2y + 13x2 - 16x + 2015 1,5 điểm 2 = y + 2y(2x - 1) + (2x -1) + 9x - 12 x + 2015 = (y + 2x - 1)2 + (3x - 2)2 + 2010 Chứng tỏ A  2010, dấu " =" xảy (x = Vậy A = 2010 (x = ;y=  ) 3 ;y=  ) 3 1 (1)  a3+b3+ab -  2 1  (a+b)(a2+ b2-ab) + ab-   a2+b2-  (vì a + b =1) 2 2 2  2a +2b -1   2a +2(1-a) -1  (vì b = 1- a)  2a2+2 - 4a + 2a2 -   4(a2- a + )  b) Ta có a3+ b3 + ab  1,5 điểm 1   4 a    a 2  (2) đpcm ... TẠO TRƯỜNG THCS ĐƠNG KINH HDC CHÍNH THỨC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP NĂM HỌC 202 0-2 021 MƠN: TỐN (HDC gồm có 03 trang 04 bài) HƯỚNG DẪN CHẤM THANG ĐIỂM 2 Bài a) 5x - 26x + 24 = 5x - 6x -. .. SCP, ta có NA = NC, nghĩa N cách A C Hay MN trung trực AC Bài a) A = 13x2 + y2 + 4xy - 2y - 16x + 2015 điểm = y2 + 4xy - 2y + 13x2 - 16x + 2015 1,5 điểm 2 = y + 2y(2x - 1) + (2x -1 ) + 9x - 12 x... b2-ab) + ab-   a2+b 2-  (vì a + b =1) 2 2 2  2a +2b -1   2a +2(1-a) -1  (vì b = 1- a)  2a2+2 - 4a + 2a2 -   4(a 2- a + )  b) Ta có a3+ b3 + ab  1,5 điểm 1   4 a    a 2  (2)