Thông qua việc giải trực tiếp trên Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 7 cấp cụm năm 2020-2021 có đáp án - Phòng GD&ĐT Yên Định này các em sẽ nắm vững nội dung bài học, rèn luyện kỹ năng giải đề, hãy tham khảo và ôn thi thật tốt nhé! Chúc các em đạt kết quả cao trong kì thi chọn HSG sắp tới!
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO YÊN ĐỊNH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP CỤM Năm học 2020 - 2021 Mơn: Tốn Thời gian: 120 phút (khơng kể thời gian giao đề) Ngày 02 tháng 02 năm 2021 (Đề có 01 trang, gồm 05 câu) Đề thức Câu I: (5,0 điểm) 3 2 9 : 16 Thực phép tính: A 2 512 x 16 y 25 z Cho x 11 Tính B x y z 2021 16 25 x y z t với x, y, z, t số x y z x yt y zt x zt tự nhiên khác Chứng minh M 10 1025 Cho biểu thức M Câu II: (5,0 điểm) Tìm x, biết: 2 2 2013 2.3 3.4 4.5 xx 1 2015 z x y Cho x, y, z x y z Tính giá trị biểu thức P 1 1 1 Tìm số tự nhiên n để phân số x y z 7n có giá trị lớn 2n Câu III: (4,0điểm) Tìm số phương có chữ số biết chữ số đầu giống nhau, chữ số cuối giống nn 1 Tìm số nguyên dương n số nguyên tố p cho p Câu IV: (5,0 điểm) Cho ABC có góc A nhỏ 900 Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C vẽ đoạn thẳng AM cho AM vng góc với AB AM = AB, nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B vẽ đoạn thẳng AN cho AN vng góc với AC AN = AC a) Chứng minh rằng: AMC = ABN b) Chứng minh: BN CM c) Kẻ AH BC (H BC) Chứng minh AH qua trung điểm MN Câu V: (1,0 điểm) Cho số thực dương a b thỏa mãn: a 100 b100 a 101 b101 a 102 b102 Hãy tính giá trị biểu thức: P a 2014 b 2015 Hết Thí sinh khơng sử dụng máy tính cầm tay tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO YÊN ĐỊNH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP CỤM Năm học 2020 - 2021 Mơn: Tốn Ngày 02 tháng 02 năm 2021 (Hướng dẫn chấm có 03 trang, gồm 05 câu) Hướng dẫn chấm Câu Điểm Nội dung 3 2 9 : 16 A 2 512 2 9 : 33 16 12 7 7 2 2 2 2 2 Ta có: 2x3 – = 11 x3 = x = 0,5 16 y 25 z y 25 z Do đó: 2 16 25 16 25 I 0,75 y = 16.2 + 25 = 57; z = 25.2 – = 41 (5đ) Vậy B = – 57 + 41 + 2021 = 2007 y y x x z z ; ; x y t x y y z t z t x y z x y x y z t ( )( ) => M < xy xy zt zt + Ta có: M < ; t t x z t zt II (5đ) 0,25 0.5 0,5 0,25 0.25 + Có M10 < 210 (Vì M > 0) mà 210 = 1024 < 1025 Vậy M10 < 1025 2.0 2 2 2013 2.3 3.4 4.5 x x 1 2015 1 2013 1 1 1 2 x x 2015 2 3 4 2013 2013 2 1 2 1 x 2014 x 2015 x 2015 x 2015 1,0 1.0 z x y xz yx z y Ta có: P 1 1 1 0,5 Từ x y z x z y; y x z; z y x 0,5 x y z x y z y z x 1 (vì x, y, z 0) x y z Suy ra: P Ta có: 0,5 n 27 n 8 72n 3 2n 22n 3 22n 3 22n 3 Phân số cho có giá trị lớn 22n 3 0,5 lớn Từ suy ra: 2n-3=1 n Vậy giá trị lớn phân số cho n 0,5 0,5 III (4,0đ) Theo tốn ta có: N = aabb = 1100a + 11b = 11(100a + b) Để N số phương ta phải có:100a + b = 99a + (a + b) = 11t (t N) Mà 99a 11 nên a + b 11 => a + b = 11 Vậy 99a + 11 = 11(9a + 1) = 11t2 => 9a + = t2 (1) Cho a từ đến có a = thỗ mãn (1); Từ suy b = Số phải tìm 7744 = 882 Với n = p = 0, không số nguyên tố Với n = p = 2, số nguyên tố Với n = p = 5, số nguyên tố n n n 1n Với n 4, ta viết p dạng: p 2 Ta xét hai trường hợp: n 1 n 2 Nếu n lẻ (n 5) p , tích hai số nguyên lớn nên p hợp số n 2 Nếu n chẵn (n 4) p n 1 , tích hai số nguyên lớn nên p hợp số Đáp số: n 2; p n 3; p F 1,0 1,0 0.5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 N D M E A I K IV (5,0đ) B H C a) (2đ) Xét AMC ABN, có: AM = AB (gt) AC = AN (gt) MAC = NAC ( = 900 + BAC) Suy AMC = ABN (c - g - c) b) (2đ) Gọi I giao điểm BN với AC, K giao điểm BN với MC Xét KIC AIN, có: ANI = KCI ( AMC = ABN) AIN = KIC (đối đỉnh) IKC = NAI = 900, đó: MC BN 2,0 1.5 0,5 c) (1đ) Kẻ ME AH E, NF AH F Gọi D giao điểm MN AH - Ta có: BAH + MAE = 900(vì MAB = 900) Lại có MAE + AME = 900, nên AME = BAH Xét MAE ABH , vng E H, có: AME = BAH (chứng minh trên) MA = AB Suy MAE = ABH (cạnh huyền-góc nhọn) ME = AH - Chứng minh tương tự ta có AFN = CHA FN = AH Xét MED NFD, vuông E F, có: ME = NF (= AH) EMD = FND(phụ với MDE FDN, mà MDE = FDN) MED = NFD BD = ND Vậy AH qua trung điểm MN V (1,5đ) Ta có đẳng thức: a 102 b102 a 101 b101 a b aba100 b100 với a, b Kết hợp với: a 100 b100 a 101 b101 a 102 b102 Suy ra: a b ab a 1b 1 a b100 b101 b102 b 100 101 102 b a a a a Do P a 2014 b 2015 12014 12015 0.5 0.5 0,5 0,5 0,25 0.25 Chú ý: Thí sinh làm cách khác, điểm tối đa Nếu thí sinh chứng minh hình mà khơng vẽ hình khơng chấm điểm hình ...PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO YÊN ĐỊNH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP CỤM Năm học 2020 - 2021 Mơn: Tốn Ngày 02 tháng 02 năm 2021 (Hướng dẫn chấm có 03 trang, gồm 05 câu) Hướng... 7 7 2 2 2 2 2 Ta có: 2x3 – = 11 x3 = x = 0,5 16 y 25 z y 25 z Do đó: 2 16 25 16 25 I 0 ,75 y = 16.2 + 25 = 57; z = 25.2 – = 41 (5đ) Vậy B = – 57 + 41... 8 7? ??2n 3 2n 22n 3 22n 3 22n 3 Phân số cho có giá trị lớn 22n 3 0,5 lớn Từ suy ra: 2n-3=1 n Vậy giá trị lớn phân số cho n 0,5 0,5 III (4,0đ) Theo toán ta có: