[r]
(1)CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ -
VẤN ĐỀ 1: TIẾP TUYẾN VỚI ĐỒ THỊ
Định lý : Đạo hàm hàm số y f(x)= tại điểm x0 hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị điểm M(x ; yo o =f(xo)): k f '(x )= o
yêu cầu toán Phương trình tiếp tuyến Tiếp tuyến tại M(x ; y ) (C)o o ∈ y f '(x ).(x x ) y= o − o + o (1)
'( )o
k = f x :hệ số góc Tiếp tuyến có
hệ số góc k cho trước _Gọi M(x ; y ) (C)o o ∈ là tiếp điểm _Giải pt : f '( )xo = ⇒k xo ⇒ yo _Áp Dụng (1)
Tiếp tuyến song song
với đường thẳng (d) cho trước : y = k xd +b
_Gọi M(x ; y ) (C)o o ∈ là tiếp điểm _Giải pt : f x'( )o =kd ⇒ xo ⇒ yo
_Áp Dụng (1) Tiếp tuyến vng góc
với đường thẳng (d) trước : y = k xd +b
_Gọi M(x ; y ) (C)o o ∈ là tiếp điểm _Giải pt : '( )
d
o o o
f x x y
k
= − ⇒ ⇒
_Áp Dụng (1) Tiếp tuyến qua điểm
( ;A A) ( )
A x y ∉ C cho trước
_Gọi M(x ; y ) (C)o o ∈ là tiếp điểm tt M ( )Δ : (1)
_ ( )Δ qua A: thay tọa độ A vào (1)⇒ xo ⇒ yo ⇒ PTTT
Lưu ý : hai đt : 1 vng góc với
2
y k x c y k x c
= +
⎧
⎨ = +
⎩ ⇔ k k1. = −1 ,
song song ⇔ k1 = k2 Với k k1, hệ số góc VD1: Cho hàm số y = x3 – 3x + Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số
tại M(2;3)
Lời giải: Ta có : y' 3x= −3
(2)VD2: Cho (C) y = x3 – 3x + Lập phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến song song với (d): y = 9x –
Lời giải : Ta có hệ số góc đường thẳng d Gọi M(x ;y ) (C)o o ∈ là tiếp điểm
Hệ số góc tiếp tuyến M y'( )x0 =3x20 −3
Tiếp tuyến song song với (d) ⇔ y'( )x0 = ⇔9 3x20 − = ⇔3 x0 = ±2
+ Với x0 = ⇒ y0 = ⇒ phương trình tiếp tuyến: y – = 9(x – 2) = 9x–15 + Với x0 = –2 ⇒ y0 = –1 ⇒Phương trình tiếp tuyến : y +1= 9(x–2)= 9x +17 VD : Cho hàm số y = x3 + 3x2 – 9x + (C)
Viết phương trình tiếp tuyến với (C) có hệ số góc nhỏ Giải : gọi M(x0; y0) ∈( )C tiếp điểm
Hệ số góc tiếp tuyến M k = f’(x0) =
0 + x −
x
Ta có 3( 1)2 12 12 suy
0 + − ≥−
= x
k kMIN = −12 x0 = – ⇔ M(–1; 16) Phương trình tiếp tuyến : y – 16 = – 12.(x + 1)
VD : y = x3 + mx2 + (Cm)
Tìm m để (Cm) cắt (d) y = – x + điểm phân biệt A(0; 1), B, C cho tiếp tiếp với (Cm) B C vng góc
Giải : Phương trình hồnh độ giao điểm (d) (Cm) : x3 + mx2 + = – x + x.(x2 + mx + 1) = (*) Đặt g(x) = x2 + mx +
⇔
(d) cắt (Cm) điểm phân biệt ⇔ g(x) = có hai nghiệm phân biệt khác
( ) ⎢⎣ ⎡
− < > ⇔
⎩ ⎨ ⎧
≠ =
> − = Δ ⇔
2
1
0
2
m m g
m g
Vì xB , xC nghiệm g(x) =
⎩ ⎨ ⎧
= =
− = + = ⇒
1
C B
C B
x x P
m x
x S
Tiếp tuyến B C vng góc ⇔ f ′( ) ( )xC f ′ xB = −1
( ) ( )
B C B C
x x x m x m
⇔ + + = −
( )
[9 +6 + +4 2]=−1
⇔ xBxC xBxC m xB xC m
( )
[9 ] 1 + − + = −
⇔ m m m ⇔ 2m2 =10⇔ m = ± 5 (thỏa điều kiện) VD : Cho hàm số y = x3 −3x2 +m (1)
(3)Giải Với x0 =1⇒ y0 = m−2 M(1 ; m – 2)
Tiếp tuyến M d: (3 0)( 0) 2
0 − − + −
= x x x x m
y
⇒ d: y = -3x + m + 2.
- d cắt trục Ox A: = −3xA +m+2 ⇔ xA = m3+ ⇒ A⎜⎛ +⎝m3 ; 0⎟⎠⎞
- d cắt trục Oy B : yB = m+2⇒ B(0; m+2)
- OAB
3
S | OA || OB | | OA||OB | 3 (
2 2
m
m m
+
= ⇔ = ⇔ = ⇔ + = ⇔ +2) =9
⎢ ⎣ ⎡
− = = ⇔
⎢ ⎣ ⎡
− = +
= + ⇔
5
2
m m m
m
Bài Tập :
Bài : Cho hàm số có đồ thị ( C ) Tìm hệ số góc viết pttt với (C) điểm
( )
y = f x
o M a) (C) :
2 3 3
1
x x y
x
+ + =
− với Mo∈(C)có hồnh độ xo =2
b) (C) : y = x3+ +x với Mo( 2; 9) ( )− − ∈ C
c) (C) : y= x4 −2x2 +5 với Mo∈(C)có tung độ yo =8
d) (C) : o
2 , M
x y
x
+ =
− − giao điểm (C) Oy e) (C) :
2
o
3
, M
x x y
x
− + =
− giao điểm (C) Ox
f) (C) : y = x3 −2x+2, Molà giao điểm (C) với đt y = 2 g) (C) : y = 2x3 −x,với Mo∈(C)là giao điểm (C) Oy h) (C) : y = 2x4 −5x2 +3 với Mo∈(C)là giao điểm của (C) Ox k) (C) : y= 3x 42x 3+− điểm M(1; -7) (TN – THPT – 2007)
Bài : Cho hàm số y x 32
x − =
+ ( C ),viết pttt với đths :
(4)4
Bài : Cho hàm số y = x3 −3x2 + ( C ),viết pttt với đths : b) Tại Mo∈(C)có hồnh độ xo = −2
c) Biết tiếp tuyến ( C ) qua điểm A(2;0) Bài : Viết pttt với (C) trường hợp sau :
a)
2
x 2x y
x + − =
− ,
x 2,
biết tiếp tuyến vng góc với đường phân giác thứ hệ trục Oxy (ĐH Nông Nghiệp – 98)
(ĐS : y = − +x y = − +x 9)
b) y = − +x3 , biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = −9x 1+
c) y = x3−3x biết tiếp tuyến vng góc với đt y
= x (ĐH An Ninh – 01)
(ĐS : y = − +3x 1) d)
2
2x 7x y
x
− + =
− ,biết tiếp tuyến song song với đt (d): y x 4= +
(ĐH Luật – 99) (ĐS : y = −x 3) e)
3
2
2
3
x
y = − x + x−1, biết tiếp tuyến đó qua K(0; 1)− f)
2 3 1 ,
x x
y
x
− +
=
− biết tiếp tuyến song song với đt y = 2x+3
Bài :cho (C) :
2 x 4x y
x − =
− , tìm pttt với (C) trường hợp sau :
a) Tiếp xúc với (C) A(2; 4)− b) Song song với ( ) :d1 y =13x+1
c) Vng góc với
1 ( ) :
4
d y = − x d)Vẽ từ M(1;5)
Bài :cho (C) :y x= −3x2 + 2
a) Lập pttt với (C) điểm có hịanh độ xo = −3
b) Lập pttt (C) qua i.A(2; 2)− ii.B(0;3)
c) Lập pttt với (C) biết tt vng góc với đường thẳng 19
y = − x+
(5)Bài : cho (C) y x 21
x
− =
+ Viết pttt với (C) biết tiếp tuyến :
a) Qua gốc tọa độ O b) Qua điểm A(2;1)
Bài : cho (C) : y = − +x3 3x2−5x+2
Viết phương trình tiếp tuyến với ( C ) biết tiếp tuyến : a) Song song với đt : 2x+ − =y
b) Vng góc với đt : x−29y + =2 Bài :
2 2
x y
x
=
−1
1
. Viết phương trình tiếp tuyến trường hợp sau :
a) Tại điểm có hồnh độ xo =1
b) Song song với đt 8x 9y 0− + = c)Vng góc với đt 25x 24y 0+ − =
Bài 10 : cho (C) : y = x3+4x2 +4x+ điểm A (C)∈ với xA = −1
Viết pttt với (C) biết tiếp tuyến qua A Bài 11 (Khối B – 2004) :cho (C) :
3
2
2
3
x
y = − x + x có đồ thị ( C ) Viết pttt
với ( C ) điểm uốn Chứng minh tiếp tuyến điểm uốn có hệ số góc nhỏ
Bài 12 : m
1 m
(C ) : y x x
3
= − +1
3.Gọi M điểm thuộc (Cm)có hồnh độ
1
− Tìm m để tiếp tuyến (C )m điểm M song song với đt 5x− =y 0 Lưu ý :
Hai đồ thị tiếp xúc phương trình hịanh độ giao điểm của chúng có nghiệm kép
Tiếp tuyến điểm uốn có hệ số góc lớn nhỏ nhất Bài 14: (C) : y x 31
x
− =
+ Viết pttt với ( C ) biết :
a) Tại M giao điểm ( C ) Oy b) Tại K có hồnh độ -2 c) Tiếp tuyến song song với đt y = 4x+2 d) Vng góc với đt 4x+ − =y
Bài 15: Cho hàm số: y = − +x3 3x2 −4 (C)
a) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm có hồnh độ x = 12
(6)c) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) , biết tiếp tuyến song song với đường thẳng ( )d : y = 3x+2010
Bài 16: Viết pt tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x3 + 3x2 + 2x + có hệ số góc nhỏ nhất
Bài 17: Viết pt tiếp tuyến đồ thị hàm số y = −x3 + 3x + có hệ số góc lớn nhất
Bài 18: Cho hàm số (C) :y = 2x 1x 1−− , Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến cắt trục hoành A trục tung B cho cho OA = 4OB Bài 19 (Khối A – 2009): Cho hàm số y 2x
x
+ =
+ (1)
Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến cắt trục hồnh, trục tung hai điểm phân biệt A, B tam giác OAB cân gốc tọa độ O
Bài 20 (Khối D – 2010): Cho hàm số : y = − − +x4 x2 6.Viết phương trình tiếp
tuyến (C), biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y = 16 x−1
Bài 21 : m ( )
m x m (C ): y
x m
− +
=
− Định m để tiếp tuyến với (Cm) điểm có hồnh
độ x0 = song song với đường phân giác thứ hệ trục tọa độ ( m = 2) Bài 22 : Cho hàm số (C) :y = x 4x 1−− , Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng (D1) : y = −2x 2013+ góc 450
HD :
1
k k
tanα
1 k k − =
− ta có k = sau viết tiếp tuyến
Bài 23 : Cho hàm số (C) : , Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến cắt Ox, Oy A B cho
3
y x= −3x +2
2
ΔOAB OB
18
S =
Bài 24 : Cho hàm số (C) :y = 2x 2x 1−+ , Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến :
(7)7
b/ Tạo với trục tọa độ tam giác vuông cân (ĐS : y = − −x 1, y= − +x ) Bài 25 : Cho hàm số (C) :y = x 22x+ ,
a/ Tìm (C) điểm mà tiếp tuyến song song với đường thẳng (ĐS : )
y 4x 3= + M( 1, 3)− −
b/ Khoảng cách từ I ( 2, 2)− đến tiếp tuyến
HD : Khoảng cách từ điểm M(x0, y0) đến đường thẳng (d) : ax + by + c =
( ) M M
2
a.x b.y c
d M,(d)
a +b
+ +
=
Bài 26 : Cho hàm số (C) : , Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến cắt Ox, Oy A B thỏa mãn
3
y x= −3x +2
OB 9.OA= (Đs : y 9x 7= + , y 9x 25= − )
Bài 27 : Cho hàm số (Cm) : ( )
3
y x= −2x + m x 2m− +
a/ Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị (Cm) điểm có hồnh độ x = song song với đường thẳng y 3x 12= +
b/ Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị (Cm) có hệ số góc nhỏ vng góc với
đường thẳng ( )Δ : y 2x 1= + (ĐS : m 11
= )
Bài 28 (TN – THPT – 2008) : Viết pttt với (C) điểm có hồnh độ x0 = –2
4
(C): y x= −2x2
Bài 29 : Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị: y 2x1 x
=
− , biết
a Hệ số góc tiếp tuyến −2 ĐS: y = −2x+8, y = −2x b Tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): x + 2y =
ĐS: 27,
2
y = − x+ y = − x−7
c Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng (Δ): 9x−2y +1=0
ĐS: y = −29 x+329 ,y = −92 x+8
9
Bài 30 : Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị (C): y 2x 13
x
+ =
+ điểm
(8)Bài 31 : Viết phương trình tiếp tuyến (d) với đồ thị (C) : y x 22
x
+ =
− , biết (d)
qua điểm A( 6;5) − ĐS: y = − x−1, y = − +4 2x
Bài 32 : Cho hàm số Tìm m để tiếp tuyến đồ thị hàm số tạiđiểm có hồnh độ qua điểm A(2; 1)
3
y x= −(m 1)x− +(3m 1)x m 2+ + −
−
ĐS: m = −
Bài 33 : Gọi (C) đồ thị hàm số y f(x)= = x 3x 1+−
Gọi M điểm thuộc (C) có khoảng cách đến trục hồnh độ Viết phương trình tiếp tuyến (C ) M ĐS: y = 4x + 21
Bài 34 : Cho hàm số
4
x x
y f(x)
4
= = + + (C)
Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến song song với (D): y = 2x−2 ĐS: y 2x= + 34
Bài 35 : Cho hàm số
3 2x
y x
3
= − + + x , g− ọi đồ thị của hàm số (C) a) Viết phương trình tiếp tuyến (C) có hệ số góc lớn nhất ĐS: y = 92x−1225
b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) đi qua điểm A(2;9) ĐS: y = −8x + 25 Bài 36 : Gọi (C) đồ thị hàm số
3 x
y f(x) x 2x
3
= = − + +
a) Viết phương trình tiếp tuyến (C) tại giao điểm (C) với trục tung Đs: y = 2x+1
b) Viết pttt (C) vng góc với đường thẳng y= − +x5 ĐS: y 5x= +83
y = 5x –
c) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến cắt trục hồnh, trục tung A,B cho tam giác OAB vng cân (O góc tọa độ)