Phân tích và khắc phục sai lầm của học sinh lớp 11 khi giải bài toán xác suất

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT LÊ VĂN HƯU SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHÂN TÍCH VÀ KHẮC PHỤC SAI LẦM CỦA HỌC SINH LỚP 11 KHI GIẢI BÀI TOÁN XÁC SUẤT Người thực hiện: Nguyễn Phi Tuấn Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THPT Lê Văn Hưu SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn THANH HOÁ NĂM 2021 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu NỘI DUNG .2 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.1.1 Cơ sở tâm lý học 2.1.2 Cơ sở lý thuyết 2.1.2.1 Biến cố phép thử biến cố 2.1.2.2 Định nghĩa cổ điển xác suất 2.1.2.3 Tính chất xác suất 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Phân tích khắc phục sai lầm học sinh đến từ khả trực giác xác suất .4 2.3.2 Phân tích khắc phục sai lầm học sinh đến từ việc áp dụng sai khái niệm tổ hợp, chỉnh hợp giải toán xác suất 2.3.3.Phân tích khắc phục sai lầm học sinh đến từ lực tư suy luận, phân chia trường hợp riêng giải toán xác suất 2.3.4 Phân tích khắc phục sai lầm học sinh đến từ việc chưa nắm vững ngữ nghĩa, cú pháp 12 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường 14 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ .16 3.1 Kết luận 16 3.2 Kiến nghị 16 TÀI LIỆU THAM KHẢO 17 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Xác suất, thống kê ngành tốn học có nhiều ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khoa học, cơng nghệ, kinh tế…Vì lý thuyết xác suất đưa vào chương trình toán lớp 11 nhằm cung cấp cho học sinh THPT kiến thức ngành toán học quan trọng Do đặc thù chuyên ngành nên tốn xác suất có nhiều điểm khác biệt so với tốn đại số, giải tích, hình học Chính vậy, đứng trước tốn xác suất học sinh thường lúng túng, cách giải nào, chí có nhiều em làm xong khơng dám làm Việc nhận diện sai lầm thân khó khăn Qua thực tiễn giảng dạy nhiều năm trường THPT Lê Văn Hưu, nhận thấy rõ yếu điểm em học sinh lớp 11 học chương tổ hợp, xác suất Tuy nhiên q trình tìm tịi, nghiên cứu giải pháp nâng cao chất lượng giảng dạy cho chủ đề nguồn tài liệu, đề tài nghiên cứu có nhiều vấn đề phân tích sai lầm em học sinh từ đề xuất giải pháp khắc phục cho em, để định hướng cho em có lời giải đắn chưa nhiều, có tính thực tiễn giảng dạy chưa cao, tơi mạnh dạn đề xuất sáng kiến kinh nghiệm có tên đề tài: “Phân tích khắc phục sai lầm học sinh lớp 11 giải toán xác suất” 1.2 Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu khó khăn, sai lầm thường gặp em học sinh lớp 11 làm tốn xác suất Phân tích nguyên nhân dẫn đến sai lầm em, từ nghiên cứu, đề xuất số hướng khắc phục sai lầm học sinh giải tốn xác suất Góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy học tập giáo viên học sinh 1.3 Đối tượng nghiên cứu Nghiên cứu toán xác suất sai lầm thường gặp học sinh khối 11 giải chúng Từ nghiên cứu đề xuất giải pháp khắc phục sai lầm cho học sinh 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết - Phương pháp điều tra khảo sát thực tế,thu thập thông tin - Phương pháp thống kê, xử lý số liệu - Phương pháp thực nghiệm NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.1.1 Cơ sở tâm lý học Dựa nguyên tắc trình nhận thức người từ: “ sai đến gần đúng, đến khái niệm đúng”, nguyên tắc dạy học phát triển lực đặc điểm trình nhận thức học sinh G.Polya viết “Con người phải biết học từ sai lầm thiếu sót mình” [12,tr116] Thơng qua sai lầm, ta biết cách nhìn nhận nó, kịp thời uốn nắn sửa chữa giúp ta ghi nhớ lâu tri thức học, đồng thời giúp ta tránh sai lầm tương tự bồi dưỡng thêm mặt tư cho thân người Kinh nghiệm giảng dạy cho thấy với học sinh việc phát lỗi sai lầm người khác dễ cịn việc phát lỗi sai thân lại khó Trong q trình giảng dạy chủ đề xác suất, cho em học sinh chủ động tự làm theo lối tư logic riêng mình, để em theo dõi nhận xét lời giải từ phát lỗi sai từ phân tích ngun nhân dẫn đến sai lầm, đề xuất giải pháp khắc phục sai lầm Qua việc làm thường xuyên em học sinh đúc rút kinh nghiệm cho thân giải toán xác suất 2.1.2 Cơ sở lý thuyết 2.1.2.1 Biến cố phép thử biến cố Phép thử ngẫu nhiên phép thử mà ta khơng đốn trước kết nó, biết tập hợp kết có phép thử Tập hợp kết xảy phép thử gọi khơng gian mẫu phép thử kí hiệu Ω Biến cố tập khơng gian mẫu Biến cố thường kí hiệu chữ in hoa A, B, C , cho dạng mệnh đề xác định tập hợp diễn đạt lời dạng mệnh đề xác định tập Trong phép thử ln có hai biến cố đặc biệt: Tập ∅ gọi biến cố (gọi tắt biến cố không) Tập Ω gọi biến cố chắn Phép toán biến cố Trước hết ta giả thiết biến cố xét liên quan đến phép thử kết phép thử đồng khả • Tập Ω \ A gọi biến cố đối biến cố A , kí hiệu A Và A xảy A không xảy • Tập A ∪ B gọi hợp biến cố A B • Tập A ∩ B gọi giao biến cố A B , viết A.B • Nếu A ∩ B = ∅ ta nói A B xung khắc • Hai biến cố A B gọi độc lập với việc xảy hay không xảy biến cố không làm ảnh hưởng tới xác suất xảy biến cố 2.1.2.2 Định nghĩa cổ điển xác suất Giả sử A biến cố liên quan đến phép thử có số hữu hạn kết đồng khả xuất n( A) Ta gọi tỉ số xác suất biến cố A , kí hiệu P ( A) n (Ω) n( A) P ( A) = n (Ω) 2.1.2.3 Tính chất xác suất a Tính chất • P (∅) = • P (Ω) = • ≤ P ( A) ≤ , với biến cố A • P ( A) = − P( A) b Quy tắc cộng xác suất • Nếu A B xung khắc thì: P ( A ∪ B) = P ( A) + P( B ) • Mở rộng P ( A ∪ B) = P ( A) + P( B ) − P ( A ∩ B ) c Quy tắc nhân xác suất Hai biến cố A B độc lập P ( A ∩ B) = P ( A).P ( B ) 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Từ thực tiễn giảng dạy mơn tốn lớp 11 trường THPT Lê Văn Hưu năm qua, nhận thấy em học sinh học làm tập xác suất gặp nhiều khó khăn, thường em dễ mắc sai lầm dẫn đến kết không Nguyên nhân xuất phát từ nhiều phía - Về kiến thức: Các toán xác suất toán khó, kiến thức trừu tượng, tập lại có hướng tư độc lập Nguồn tài liệu chủ đề nhiều, vấn phân tích sai lầm thường gặp giải toán xác suất hướng khắc phục chưa có, có thiếu tính thực tế giảng dạy - Về học sinh: Nhiều em học sinh nắm kiến thức chưa chắc, số em học sinh dù có kiến thức tốt dễ mắc sai lầm làm toán xác suất Đồng thời mắc sai lầm em khó tự nhận biết đề giải pháp khắc phục sai lầm - Về giáo viên: Trong trình giảng dạy, nhiều giáo viên chưa quan tâm mức để phân tích tỉ mỉ sai lầm khắc phục sai lầm cho em học sinh học chủ đề 2.3 Giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Phân tích khắc phục sai lầm học sinh đến từ khả trực giác xác suất Trực giác toán học hiểu với nhiều nghĩa khác thực tế tồn nhiều dạng khác Trực giác coi bừng sáng đột ngột chưa nhận thức được, trực quan cảm tính “Nhận thức trực tiếp khơng suy luận lý trí”, “thấy trực tiếp” khái niệm kiện tình tốn học [ 11, tr 46] Ở mức độ cao, trực giác toán học cho khả định hướng nghiên cứu tình tốn học khơng quen biết, dự đốn kết nghiên cứu đường lối tìm kiếm kết đó, phát sai lầm rõ ràng, trực giác toán học nhân tố quan trọng trình nhận thức logic yếu tố tốn học, q trình vận dụng tốn học vào thực tiễn Nếu yếu tố Đại số Hình học có chỗ dựa trực giác số trực giác khơng gian tương ứng học sinh, yếu tố lý thuyết xác suất sở tương tự khơng có Chính điều dẫn đến khó khăn học sinh học yếu tố lý thuyết xác suất Trực giác xác suất trực giác toán học thể nghiên cứu tình xác suất Việc hướng dẫn học sinh nắm bắt, sử dụng để tránh sai lầm sử dụng yếu tố trực giác xác suất quan trọng Thực tiễn dạy học cho thấy học sinh dễ mắc sai lầm sử dụng yếu tố trực giác xác suất Dưới tơi trình bày vài ví dụ tình sai lầm em học sinh sử dụng trực giác xác suất, từ phân tích nguyên nhân sai lầm, đề xuất giải pháp khắc phục, định hướng để học sinh làm tốn cách đắn Ví dụ 1: [ 9, tr 8] Gieo ngẫu nhiên hai đồng xu đồng chất cân đối Tính xác suất biến cố sau A : “Mặt sấp không xuất hiện” B : “Mặt sấp xuất lần” C : “Mặt sấp xuất hai lần”  Lời giải sai lầm học sinh sau Kết phép thử T : “Gieo ngẫu nhiên hai đồng xu đồng chất cân đối”, xảy biến cố ngẫu nhiên biến cố ngẫu nhiên sau đây: A; B; C biến cố đồng khả Do đó, ta có xác suất biến cố A; B; C P ( A) = P ( B ) = P(C ) =  Phân tích nguyên nhân dẫn đến sai lầm học sinh Bài toán đòi hỏi em học sinh cần phải tưởng tượng khả xảy gieo hai đồng xu cân đối đồng chất, cụ thể Biến cố A có khả xảy hai đồng xu xuất mặt ngửa Biến cố B có hai khả xảy ra, Trường hợp : Đồng xu thứ xuất mặt ngửa, đồng xu thứ hai xuất mặt sấp Trường hợp : Đồng xu thứ xuất mặt sấp, đồng xu thứ hai xuất mặt ngửa Biến cố C có khả xảy hai đồng xu xuất sấp Do đó: biến cố B có hai khả xảy nhiều biến cố A C biến cố A; B; C không đồng khả Điều cho ta thấy em học sinh chưa hiểu khơng gian mẫu, em cịn thiếu khả trực giác xác suất nên dẫn đến em ngộ nhận biến cố đồng khả  Đề xuất giải pháp khắc phục sai lầm Giáo viên hướng dẫn em học sinh tưởng tượng ta gieo ngẫu nhiên hai đồng xu khả xảy nào? Xác định không gian mẫu để phân tích, đánh giá tình xác suất khác nhằm phát điều chỉnh trực giác sai lầm ban đầu Nêu rõ sai lầm khâu xác định khơng gian mẫu, có nhiều em học sinh sai này, em coi không gian mẫu có phần tử SS , NN , NS Việc nhận diện sai lầm tưởng đơn giản giải thích cho em hiểu sai khó Tơi phải lấy ví dụ “Một hộp có 99 viên bi đỏ viên bi xanh, lấy ngẫu nhiên viên bi, khơng gian mẫu có phần tử, xác xuất để lấy bi đỏ bao nhiêu, bi xanh bao nhiêu” Đến lúc nhiều em khẳng định khơng gian mẫu có hai phần tử, xác suất bi đỏ 0,99 Có thể thấy chọn giải pháp phân tích sai lầm ví dụ minh họa gần gủi với sai lầm em quan trọng, thơng qua ví dụ ta phân tích để em thấy tương đồng sai lầm trực giác xác suất mà em gặp phải  Lời giải Không gian mẫu Ω = { SS , SN , NS , NN } Vì đồng xu cân đối đồng chất nên kết đồng khả xảy Biến cố A có khả năng, nên xác suất P ( A) = Biến cố B có hai khả năng, nên xác suất P ( B) = Biến cố C có khả năng, nên xác suất P (C ) = Ví dụ 2: (Đề thi HK I THPT Lê Văn Hưu 2019 – 2020) Hai ơng An Bình tham gia trị chơi theo quy tắc lượt chơi sau, ông An tung hai xúc sắc 24 lần tính điểm có lần xuất mặt chấm; cịn ơng Bình tung xúc sắc lần tính điểm mặt chấm xuất Hỏi lượt chơi hai ơng người có khả chiến thắng cao (Biết xúc sắc giống nhau, đồng chất nhiều điểm người thắng)  Lời giải sai lầm em học sinh sau Vì ơng An tung xúc sắc tới 24 lần ơng Bình tung xúc sắc có lần nên hiên ta thấy ơng An có khả nhiều điểm ơng Bình, ơng An thắng lượt chơi  Phân tích nguyên nhân dẫn đến sai lầm Rõ ràng đầy vấn đề mà nhiều em học sinh trực giác dẫn đến sai lầm Nguyên nhân em vội vàng kết luận chưa hiểu rõ không gian mẫu, giá trị thuận lợi biến cố toán  Đề xuất giải pháp khắc phục sai lầm Giáo viên hướng dẫn em học sinh tưởng tượng ông An tung ngẫu nhiên hai xúc sắc khả xảy lần tung, sau 24 lần nào? Trong khi ơng Bình tung xúc sác lần khả xảy mặt chấm Từ có sở xác đáng để so sánh đưa kết luận xác Từ phân tích, đánh giá tình xác suất khác nhằm phát điều chỉnh trực giác sai lầm ban đầu  Lời giải Biến cố A : “Có lần xuất mặt chấm sau tung xúc sắc 24 lần” Biến cố B : “Xuất mặt chấm sau tung xúc sắc lần” 24  35  5 Ta có P ( A) = −  ÷ ; 0,49 ; P ( B) = −  ÷ ; 0,52  36  6 Như rõ ràng ta thấy P ( A) < P ( B ) , nên ơng Hịa có khả thắng ông An chơi 2.3.2 Phân tích khắc phục sai lầm học sinh đến từ việc áp dụng sai khái niệm tổ hợp, chỉnh hợp giải toán xác suất Kiến thức xác suất có nhiều khái niệm, quy tắc mà việc phân tích để học sinh hiểu rõ phân biệt khái niệm khó học sinh dễ sai lầm sử dụng khái niệm Qua thực tiễn dạy học nhận thấy sai lầm sử dụng quy tắc công hay quy tắc nhân, sử dụng chỉnh hợp hay tổ hợp sai lầm phổ biến học sinh giải toán xác suất Nhận thức rõ điều nên q trình giảng dạy tơi ý để phân tích sai lầm mà em thường gặp, từ đề xuất biện pháp khắc phục, định hướng lời giải cho học sinh Dưới tơi xin trình bày vài ví dụ mà tơi sử dụng q trình giảng dạy Ví dụ 3: [ 4, tr 68] Một nhóm 10 học sinh có học sinh nam học sinh nữ Chọn ngẫu nhiên học sinh từ nhóm 10 học sinh lao động Tính xác suất để học sinh chọn có học sinh nữ  Lời giải sai lầm học sinh thứ Giá trị không gian mẫu n(Ω) = C103 Xét biến cố A : “Chọn học sinh nhóm 10 học sinh có học sinh nữ” Trường hợp 1: Có1 học sinh nữ, học sinh nam có C31 + C72 = 24 cách chọn Trường hợp : Có học sinh nữ, học sinh nam có C32 + C71 = 10 cách chọn Trường hợp : Chọn học sinh nữ có C33 = cách chọn Suy giá trị biến cố n( A) = 24 + 10 + = 25 n( A) 25 = = Vậy xác suất cần tìm P ( A) = n(Ω) 120 24  Lời giải sai lầm học sinh thứ hai Giá trị không gian mẫu n(Ω) = C103 Xét biến cố A : “Chọn học sinh nhóm 10 học sinh có học sinh nữ” Do học sinh chọn có học sinh nữ nên có xếp nên n( A) = A103 n( A) = vô lý Vậy xác suất cần tìm P ( A) = n (Ω)  Phân tích nguyên nhân sai lầm học sinh Do học sinh chưa lựa chọn khái niệm áp dụng đắn để giải toán, nhận định tốn có xếp hay khơng cịn sai dẫn đến em vận dụng kiến thức tổ hợp chỉnh hợp nhầm lẫn  Đề xuất giải pháp khắc phục sai lầm Trong trình giảng dạy, tơi nhận có nhiều học sinh sai lầm tương tự trường hợp Các em lúng túng việc nhận dạng quy tắc cộng hay quy tắc nhân, áp dụng khái niệm chỉnh hợp hay tổ hợp toán Giải pháp tốt để khắc phục sai lầm em phân tích sai lầm thân em toán cụ thể mà em sai lầm từ nhấn mạnh, khắc sâu việc áp dụng quy tắc, khái niệm  Lời giải Giá trị không gian mẫu n(Ω) = C103 Xét biến cố A : “Chọn học sinh nhóm 10 học sinh có học sinh nữ” Trường hợp : có học sinh nữ, học sinh nam có C31.C72 cách chọn Trường hợp : có học sinh nữ, học sinh nam có C32C71 cách chọn Trường hợp : chọn học sinh nữ có C33 = cách chọn Suy giá trị biến cố n( A) = C31C72 + C32C71 + C33 = 85 n( A) 85 17 = = Vậy xác suất cần tìm P ( A) = n(Ω) 120 24 Ngoài cách làm học sinh lựa chọn làm cách sử dụng công thức biến cố đối P A = − P ( A ) ( ) Ví dụ 4: (Đề thi thử TN THPT QG trường chuyên Lai Châu – 2019) Cho tập hợp A = {1;2;3;4;5} Gọi S tập hợp tất số tự nhiên có chữ số đơi khác lập từ tập A Chọn ngẫu nhiên số từ tập S Tính xác suất để số chọn có tổng chữ số 10  Lời giải sai lầm học sinh Giá trị không gian mẫu n(Ω) = C53 + C54 + C55 Xét biến cố A : “Số chọn có tổng chữ số 10 ” Trường hợp : Số chọn có chữ số Ta có hai số sau có tổng 10 ( 1;4;5 ) , ( 2;3;5 ) Suy có 2.3! số loại Trường hợp : Số chọn có chữ số Ta có số có tổng 10 ( 1;2;3;4 ) Suy có 4! số loại Vậy n( A) = 4!+ 2.3! n( A) = Xác suất P ( A) = n (Ω)  Phân tích nguyên nhân dẫn đến sai lầm học sinh Do học sinh sử dụng sai kiến thức tổ hợp chỉnh hợp Đây nguyên nhân sai lầm phổ biến mà học sinh thường gặp  Đề xuất giải pháp khắc phục Giáo viên cần chủ động phân tích sai lầm học sinh, thơng qua việc phân tích nhấn mạnh khái niệm tổ hợp chỉnh hợp Yêu cầu học sinh so sánh hai khái niệm này, từ rút kinh nghiệm q trình giải tốn xác suất  Lời giải Giá trị không gian mẫu n(Ω) = A53 + A54 + A55 Xét biến cố A : “Số chọn có tổng chữ số 10 “ Trường hợp : Số chọn có chữ số Ta có hai số sau có tổng 10 ( 1;4;5 ) , ( 2;3;5 ) Suy có 2.3! số loại Trường hợp : Số chọn có chữ số Ta có số có tổng 10 ( 1;2;3;4 ) Suy có 4! số loại Vậy n( A) = 4!+ 2.3! n( A) = Xác suất P ( A) = n(Ω) 25 2.3.3.Phân tích khắc phục sai lầm học sinh đến từ lực tư suy luận, phân chia trường hợp riêng giải tốn xác suất Khi học lí thuyết xác suất em học sinh buộc phải làm việc với suy luận diễn dịch lẫn suy luận hợp lí Các em cần phải rèn luyện tốt khả tư logic, suy luận phân chia trường hợp cách hợp lí Trong q trình giảng dạy chủ đề xác suất nhận thấy nhiều em học sinh suy luận phân chia trường hợp để xác định không gian mẫu xác định biến cố thuận lợi Vấn đề làm để em có khả suy luận phân chia trường hợp cho hợp lí tránh sai lầm thường gặp Thực tiễn giảng dạy giúp nhận cách tốt để giúp em hạn chế sai lầm thân phân tích từ sai lầm em, từ đề xuất giải pháp khắc phục, định hướng để em đến suy luận đắn Sau tơi xin trình bày vài ví dụ mà thực q trình thực đề tài Ví dụ 5: [ 2, tr 84] Cho đa giác có 18 đỉnh nội tiếp đường tròn tâm O Gọi X tập hợp tất tam giác có đỉnh đỉnh đa giác Lấy ngẫu nhiên tam giác từ tập X Tính xác suất để tam giác chọn tam giác cân không  Lời giải sai lầm em học sinh sau Giá trị không gian mẫu n(Ω) = C183 = 816 Xét biến cố A : “Lấy ngẫu nhiên tam giác cân không từ tập X ” 18 = tam giác Lấy đỉnh 18 đỉnh đa giác làm đỉnh tam giác có 18 cách lấy Sau có cách lấy đỉnh cịn lại để lập thành tam giác cân Từ suy số cách lấy tam giác cân không n( A) = 18.8 − = 138 cách lấy Ta có số tam giác Xác suất biến cố A P ( A) = n( A) 138 23 = = n(Ω) 816 136  Phân tích nguyên nhân dẫn đến sai lầm học sinh Ở tốn địi hỏi học sinh cần phải có tưởng tượng khả xảy xét tam giác cân mà không để lọt tam giác mà không đếm lặp tam giác nhiều lần Cụ thể toán số tam giác , tam giác đếm tương ứng với đỉnh chọn bị lặp lần Điều cho thấy học sinh không lường hết tam giác bị lặp đếm số tam giác tình xét trường hợp, chứng tỏ khả suy luận em kém, cần rèn luyện rõ để hạn chế sai lầm tương tự  Đề xuất giải pháp khắc phục sai lầm Giáo viên hướng dẫn học sinh tưởng tượng, phân tích kỹ khả đếm bị lặp, nhằm đưa kết Xác định không gian mẫu để phân tích, đánh giá tình xác suất khác nhằm phát điều chỉnh khả suy luận logic học sinh tránh sai lầm tương tự giải toán  Lời giải Giá trị không gian mẫu n(Ω) = C183 = 816 Xét biến cố A : “Lấy ngẫu nhiên tam giác cân không từ tập X “ 18 = tam giác Lấy đỉnh 18 đỉnh đa giác làm đỉnh tam giác có 18 cách lấy Sau có cách lấy đỉnh lại để lập thành tam giác cân Từ suy số cách lấy tam giác cân không n( A) = 18.8 − 3.6 = 126 cách lấy n( A) 126 21 = = Xác suất biến cố A P ( A) = n(Ω) 816 136 Ta có số tam giác Ví dụ 6: (Đề thi HK I trường Lương Tài Bắc Ninh – 2020) Một hộp chứa 11 viên bi đánh số thứ tự từ đến 11 Chọn ngẫu nhiên viên bi Tính xác suất để lấy viên bi có tổng chữ số số lẻ  Lời giải sai lầm em học sinh sau Số phần tử không gian mẫu n(Ω) = C116 = 462 Xét biến cố A : “Lấy viên bi có tổng chữ số ghi số lẻ” 10 Trong số từ đến 11 có chữ số lẻ chữ số chẳn nên ta xét trường hợp sau Trường hợp 1: chữ số ghi viên bi số lẻ Khi có C66 = cách lấy Trường hợp : chữ số ghi viên bi số lẻ, chữ số ghi viên lại số chẳn Khi có C65 C51 cách lấy Trường hợp : chữ số ghi viên bi số lẻ, chữ số ghi viên cịn lại số chẳn Khi có C64 C52 cách lấy Trường hợp : chữ số ghi viên bi số lẻ, chữ số ghi viên lại số chẳn Khi có C63 C53 cách lấy Trường hợp : chữ số ghi viên bi số lẻ, chữ số ghi viên lại số chẳn Khi có C62 C54 cách lấy Trường hợp : chữ số ghi viên bi số lẻ, chữ số ghi viên cịn lại số chẳn Khi có C61.C55 cách lấy C66 + C65 C51 + C64 C52 + C63 C53 + C62 C54 + C61.C55 =1 Từ có xác suất P ( A) = C116 vơ lý  Phân tích ngun nhân dẫn đến sai lầm học sinh Việc sai lầm ngớ ngẩn em học sinh không đọc kỷ đề nên xét tất khả việc lấy viên bi mà không để ý đến việc suy xét tổng chữ số số lẻ  Đề xuất giải pháp khắc phục sai lầm Giáo viên cần khai thác triệt để yếu tố dẫn đến sai lầm học sinh để từ phân tích ngun nhân dẫn đến sai lầm Cụ thể tốn ta thấy học sinh sai lầm nghiêm trọng, học sinh không đọc kỷ đề yêu cầu, chưa hiểu rõ yếu tố cần xem xét liên quan đến toán  Lời giải Số phần tử không gian mẫu n(Ω) = C116 = 462 Xét biến cố A : “Lấy viên bi có tổng chữ số ghi số lẻ” Trong số từ đến 11 có chữ số lẻ chữ số chẳn nên ta xét trường hợp sau Trường hợp : chữ số ghi viên bi số lẻ, chữ số ghi viên lại số chẳn Khi có C65 C51 cách lấy Trường hợp : chữ số ghi viên bi số lẻ, chữ số ghi viên cịn lại số chẳn Khi có C63 C53 cách lấy 11 Trường hợp : chữ số ghi viên bi số lẻ, chữ số ghi viên lại số chẳn Khi có C61.C55 cách lấy C65 C51 + C63.C53 + C61.C55 118 P ( A ) = = Từ có xác suất C116 231 2.3.4 Phân tích khắc phục sai lầm học sinh đến từ việc chưa nắm vững ngữ nghĩa, cú pháp Theo A.A.Stooliar thì, khơng học sinh cịn yếu việc nắm cú pháp ngơn ngữ Tốn học Học sinh nhầm kí hiệu với khái niệm định nghĩa Theo Nguyễn Bá Kim: “Trong Toán học, người ta phân biệt kí hiệu kí hiệu, biểu diễn biểu diễn Nếu xem xét phương tiện kí hiệu, biểu diễn, vào cấu trúc hình thức quy tắc hình thức để xác định biến đổi chúng, phương diện cú pháp Nếu xem xét kí hiệu, biểu diễn phương diện ngữ nghĩa” [ 10, tr.54] Nhiều thuật ngữ kí hiệu tốn học người thừa nhận sử dụng thống Nhưng quan niệm thói quen, số nhà Tốn học số quốc gia sử dụng kí hiệu thuật ngữ khác ứng với khái niệm, sử dụng thuật ngữ kí hiệu với khái niệm khác G.V.Leibnitz ví ngơn ngữ kí hiệu sợi đỏ nàng Ariane, ông cho rằng: “Chúng ta sử dụng kí hiệu khơng phải để diễn đạt suy nghĩ cho người khác, mà cịn để đơn giản hóa q trình suy nghĩ chúng ta” [ 11, tr.25] Trên tinh thần hiểu rõ tầm quan trọng việc hướng dẫn học sinh hiểu đúng, nắm vững ngữ nghĩa cú pháp toán học, đặc biệt trình giảng dạy chủ đề xác suất việc hướng dẫn học sinh hiểu rõ tránh sai lầm ngữ nghĩa cú pháp xác suất lại trở nên quan trọng Sau tơi xin trình bày vài ví dụ thường gặp mà học sinh mắc sai lầm trình giải, đồng thời phân tích nguyên nhân sai lầm, đề xuất giải pháp khắc phục, định hướng để học sinh có cách giải đắn cho tốn Ví dụ 7: [ 6, tr 95] Lấy ngẫu nhiên số có chữ số Tính xác suất để số lấy có chữ số mà chữ số xuất hai lần chữ số 0;2;3;4;5 xuất lần  Lời giải sai lầm em học sinh sau Giá trị không gian mẫu n(Ω) = 9.106 Xét biến cố A : “Lấy có chữ số mà chữ số xuất hai lần chữ số 0;2;3;4;5 xuất lần” Gọi số cần tìm có dạng abcdefg , a ≠ 12 Với vị trí có chữ số có 2! hốn vị Ta có a có cách viết b có cách viết c có cách viết d có cách viết e có cách viết f có cách viết g có cách viết Vậy số abcdefg có 5.6.5.4.3.2.1 = 3600 ⇒ n( A) = 3600 3600 Suy xác suất P ( A) = 9.106  Phân tích nguyên nhân dẫn đến sai lầm học sinh Ở tốn số lấy có chữ số có mặt lần nên lúc ta coi hai số khác Khi tập hợp chữ số số lấy {0;1;1;2;3;4;5} Do số a phải có cách chọn Tuy nhiên, học sinh không để ý đến điều kiện chữ số có mặt hai lần dẫn đến chọn số a có cách sai  Đề xuất giải pháp khắc phục sai lầm Giáo viên cần có câu hỏi gợi ý giúp em học sinh phát sai lầm Chẳng hạn: Nếu coi hai chữ số khác tập hợp số ban đầu thay đổi nào? Khi a có cách chọn? Từ giáo viên hướng dẫn để em học sinh trình bày lời giải  Lời giải Giá trị không gian mẫu n(Ω) = 9.106 Xét biến cố A : “Lấy có chữ số mà chữ số xuất hai lần chữ số 0;2;3;4;5 xuất lần” Gọi số cần tìm có dạng abcdefg , a ≠ Với vị trí có chữ số có 2! hốn vị Ta có a có cách viết b có cách viết c có cách viết d có cách viết e có cách viết f có cách viết g có cách viết 6.6.5.4.3.2.1 = 2160 ⇒ n( A) = 2160 Vậy số abcdefg có 2! 2160 = Suy xác suất P ( A) = 9.10 12500 13 Ví dụ 8: [ 7, tr124] Có 20 thẻ đánh số từ đến 20 Chọn ngẫu nhiên thẻ Tính xác suất để thẻ chọn có thẻ mang số lẻ, thẻ mang số chẳn có thẻ mang số chia hết cho  Lời giải sai lầm em học sinh sau = 15504 Giá trị không gian mẫu n(Ω) = C20 Xét biến cố A : “Chọn có thẻ mang số lẻ, thẻ mang số chẳn, có thẻ mang số chia hết cho ” C202 Khi n( A) = C20 n( A) 475 = Xác suất P ( A) = (Vô lý) n(Ω) 34  Phân tích nguyên nhân dẫn đến sai lầm học sinh Do học sinh hiểu nhầm thẻ mang số lẻ 10 thẻ mang số lẻ 20 thẻ cho Ngoài học sinh chưa xét hết khả thẻ mang số chia hết cho Điều nói lên em học sinh chưa nắm vững ngữ nghĩa cú pháp xác suất  Đề xuất giải pháp khắc phục sai lầm Cần tăng cường gướng dẫn học sinh nắm vững ngữ nghĩa cú pháp xác suất, để em hiểu rõ vận dụng đơn vị kiến thức xác suất  Lời giải = 15504 Giá trị không gian mẫu n(Ω) = C20 Xét biến cố A : “Chọn có thẻ mang số lẻ, thẻ mang số chẳn có thẻ mang số chia hết cho ” Khi đó, 20 thẻ có 10 thẻ mang số lẻ có thẻ mang số chẳn , chia hết cho thẻ mang số chẳn khơng chia hết cho Ta có n( A) = C103 C51.C51 n( A) 3000 125 = = Xác suất P ( A) = n(Ω) 15504 646 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Đề tài đồng nghiệp tổ toán nghiên cứu, thảo luận tổ chức áp dụng vào thực tế giảng dạy cho học sinh lớp 11B1 , 11B8 trường THPT Lê Văn Hưu năm học 2020 − 2021 Sau áp dụng kết nghiên cứu đề tài vào giảng dạy lớp 11B1 11B8 , tiến hành khảo sát thực nghiệm thông qua tổ chức khảo sát kiểm tra 14 cuối chương lớp có áp dụng đề tài 11B1 , 11B8 lớp chưa áp dụng đề tài 11B , 11B9 , nhận kết sau: Tại lớp 11B1 11B8 có áp dụng kết nghiên đề tài thu kết sau Điểm Lớp 11B1 11B8 Điểm Điểm 5;6 Điểm 7;8 Điểm 9;10 0,3% 7,5% 22,5% 40,4% 56,7% 45,5% 20,5% 6,6% Tại lớp 11B 11B9 chưa áp dụng kết nghiên cứu đề tài thu kết sau Điểm Lớp 11B2 11B9 Điểm Điểm 5;6 Điểm 7;8 Điểm 9;10 3,3% 11,5% 37,5% 46,2% 46,7% 39,7% 12,5% 2,6% Từ kết lớp áp dụng đề tài kết lớp chưa áp dụng đề tài, nhận thấy rõ ràng kết học tập em học sinh lớp có áp dụng đề tài tiến rõ rệt so với lớp chưa áp dụng đề tài Tuy ý kiến chất lượng học tập lớp khác nhau, qua phân tích chất lượng đầu vào lớp chất lượng học tập qua kỳ trước đó, chúng tơi đến kết luận đề tài có tính hiệu rõ ràng Với kết em học sinh trên, nhận thấy kết đáng mừng, thể qua việc áp dụng đề tài “Phân tích khắc phục sai lầm học sinh lớp 11 giải toán xác suất” em học sinh tự tin giải toán xác suất tốt Bản thân với đồng nghiệp tổ tốn tích lũy nhiều kinh nghiệm giảng dạy chủ đề tổ hợp xác suất, từ nâng cao chất lượng giảng dạy, đưa chất lượng giáo dục nhà trường ngày phát triển 15 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Thông qua thực tiễn giảng dạy áp dụng đề tài này, đồng nghiệp tổ thảo luận, phân tích số sai lầm thường gặp học sinh giải toán xác suất Từ đó, chúng tơi tiến hành phân tích rõ nguyên nhân sai lầm, sau đề xuất số giải pháp khắc phục sai lầm học sinh Những giải pháp nêu giúp em học sinh có nhìn đắn giải toán xác suất, rèn kĩ phân tích giải tốn tránh sai lầm thường gặp phải q trình giải tốn xác suất 3.2 Kiến nghị Qua đề tài mong ủng hộ góp ý nhiệt thành quý đồng nghiệp để đề tài trở thành công cụ thiết thực cho việc dạy học Nhằm đẩy mạnh việc đổi nâng cao chất lượng dạy học theo xu đại Cho dù có cố gắng khơng thể tránh khỏi sai sót, mong nhận đóng góp quý báu quý thầy giáo, cô giáo bạn đồng nghiệp Tôi xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 20 tháng năm 2021 Tơi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác Tác giả Nguyễn Phi Tuấn 16 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Văn Hạo (Tổng Chủ biên) - Vũ Tuấn (Chủ biên) nhóm tác giả (2007) Đại số & Giải tích 11 NXB Giáo dục [2] Vũ Tuấn (Chủ biên) nhóm tác giả (2007) Bài tập Đại số & Giải tích 11 NXG Giáo dục [3] Nguyễn Thái Hịe (1990) Tìm tịi lời giải tốn NXB Giáo dục [4] Trần Đức Huyên - Đặng Phương Thảo (2007) Giải toán tổ hợp xác suất trường THPT NXB Giáo dục [5] Nguyễn Vĩnh Cận (Chủ biên) - Lê Thống - Phan Thành Quang (2002) Sai lầm phổ biến giải toán NXB Giáo dục [6] Lê Thống Nhất (1996) Rèn luyện lực giải toán cho học sinh phổ thơng trung học thơng qua việc phân tích sửa chữa sai lầm học sinh giải Tốn Luận văn phó tiến sĩ Giáo dục học Trường Đại học Vinh [7] Vũ Văn Thuận (Chủ biên) - Nguyễn Hữu Hậu (2010) Phát sửa chữa sai lầm cho học sinh dạy học Đại số - Giải tích trường phổ thơng NXB Đại học Sư phạm [8] Nguyễn Hữu Điển (2002) Sáng tạo toán học NXB Giáo dục [9] Tạp chí Giáo dục, số 446 (Kì – 1/2019) [10] Nguyễn Bá Kim (2002) Phương pháp dạy học mơn Tốn NXB Đại học Sư phạm Hà nội [11] Nguyễn Văn Thuận (2004) Góp phần phát triển lực tư logic sử dụng xác ngơn ngữ tốn học cho học sinh đầu cấp Trung học phổ thông dạy học Đại số Luận án Tiến sĩ Giáo dục học Vinh [12] G Polya (1995) Tốn học suy luận có lý NXB Giáo dục, Hà nội 17 ... tỉ mỉ sai lầm khắc phục sai lầm cho em học sinh học chủ đề 2.3 Giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Phân tích khắc phục sai lầm học sinh đến từ khả trực giác xác suất Trực giác toán học hiểu... hợp giải toán xác suất 2.3.3 .Phân tích khắc phục sai lầm học sinh đến từ lực tư suy luận, phân chia trường hợp riêng giải toán xác suất 2.3.4 Phân tích khắc phục sai. .. 2.3 Giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Phân tích khắc phục sai lầm học sinh đến từ khả trực giác xác suất .4 2.3.2 Phân tích khắc phục sai lầm học sinh đến từ việc áp dụng sai