bán kính đtròn ngoại tiếp tứ giác ADEF... Đtròn ngoại tiếp ADM cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại E và F. Trên cung nhỏ AB lấy E. Gọi F là giao điểm của MC và BN.. Gọi M là điểm chính g[r]
(1)ĐỀ 1:
Câu 1(4d): Cho biểu thức :
1 x +3
A = +
-2 - x x - x - x +
a) Rút gọn A b) Tìm x để A A
c) Tìm x nguyên để A nguyên
Câu 2(6đ):
2.1/ Cho PT: x2 – (3m + 1) x + 2m2 + m – =
a) Chứng minh PT ln có nghiệm phân biệt với m
b) Gọi x1, x2 hai ngiệm PT Tìm m để biểu thức sau đạt GTLN: A
= x12 + x22 – 3x1x2
2.2/ Giải hệ phương trình sau:
1 1
x y 4 0
x y
1 x y
xy 4 0
xy y x
Câu 3(2d):
a) Cho n số nguyên, chứng minh A = n3 + 11n chia hết cho 6
b) Tìm tất số tự nhiên n để B = n4 – 3n2 + số nguyên tố
Câu 4(6d): Từ điểm P nằm (O; R) kẻ hai tiếp tuyến PA, PB tới đtròn Gọi H chân đường vng góc kẻ từ A đến đường kính BC
a) Cmr: PC cắt AH trung điểm E AH b) Giả sử OP = d Tính độ dài AH theo d R
Câu 5(2d):
a) Cho a, b, c > 2
1 1 1
a b c cmr : 9
a 2bc b 2ac c 2ab
b) Giải PT sau: x4 – 3x3 – 2x2 + 6x + = 0
ĐỀ 2:
Câu 1: Giải PT sau: a)
x 8
x x 1 x x 1
5
b) Tìm GTNN
2 1
M 4x 3x 2011
4x
Câu 2: a) Giải HPT:
2
x y 2(x y) 23
x y xy 11
b) Cho Pt: x4 – 2mx2 + m2 – = 0 Giải PT với m = 3
2 Tìm m để PT có nghiệm phân biệt
Câu 3: a) Đem số có hai chữ số nhân với tổng chữ số 405 Nếu lấy chữ số viết theo thứ tự ngược lại nhân với tổng chữ số 468 Tìm số có hai chữ số
b) Tìm nghiệm ngun dương PT: x2 + y2 – 13(x – y) = 0
Câu 4: Cho (O; R); đường kính AB Gọi d1; d2 hai tiếp tuyến A, B Gọi I trung điểm OA E điểm thuộc (O) (E ≠ A, B) Đường thẳng d qua E vng góc EI cắt d1, d2 M, N
a) Cm: AMEI nội tiếp
b) Cm: ENI = EBI; MIN = 900
c) Cm: AM BN = AI BI
d) F điểm cung AB khơng chứa E Tính diện tích MIN
theo R ba điểm E, I, F thẳng hàng
Câu 5:
a) Cho M ¿√x+3−4√x −1+√x+15−8√x −1 Tìm giá trị nhỏ M giá trị tương ứng x
b) Cho a, b, c > 0:
1 1 1
2
1 a b c Chứng minh rằng:
1 abc
8
(2)ĐỀ 3:
Câu 1(4d): Tính
1 1 1 1
A
2 1 2 3 4 100 99 99 100
Câu 2(6d):
1 a) Giải PT sau: 2 2x2 3x 2x 2 3(x 2) b) Cho x,y hai số nguyên dương thỏa mãn hệ PT:
2
xy x y 71
x y xy 880
Tính x2 + y2
2 Trong mptđ xOy cho đường thẳng (d) : 2x – y – a2 = (P): y = ax2
a) Tìm a để (d) cắt (P) điểm phân biệt A, B Chứng minh A B nằm bên phải trục tung
b) Gọi xA, xB hồnh độ A B, tìm GTNN A B A B
4 1
T
x x x x
Câu 3(2d):
a) Tìm a cho PT: (x – a)(x – 10) + = có nghiệm nguyên
b) Hai trường A, B có 250 HS lớp dự thi vào lớp 10, kết có 210 HS trúng tuyển Tính riêng tỉ lệ đỗ trường A đạt 80%, trường B đạt 90% Hỏi trường có HS lớp dự thi vào lớp 10
Câu 4(6d):
1 Cho ABC có AC = 6cm, AB = 4cm, đường cao AH, BK, CI, biết CI BK
AH
2
Tính BC
2 Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O), hai đường chéo AC BD cắt I Vẽ đtròn ngoại tiếp ABI Tiếp tuyến I đtròn cắt AD BC M, N Chứng minh:
a/ MN // DC
b/ Tứ giác ABNM nội tiếp c/ AN BM = AM.BN + AB.MN
Câu 5(2d):
a/ Cho a,b,c số không âm Cmr: (a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc b/ Tìm GTLN, GTNN
3 4x A
x 1
ĐỀ 4:
Câu 1: Cho ≤ x ≤ Hãy rút gọn biểu thức :
M x 2 x 3 x x 3
Câu 2: Giải PT sau: 3x218x 28 4x2 24x 45 5 x26x
Câu 3: Giải HPT:
x 2 y 8
x 5y 1
Câu 4: Trong mptđ Oxy cho điểm A(-2; 2) đường thẳng (d): y = -2x – a) Cmr: A D
b) Tìm a để (P): y = ax2 qua A
c) Tìm đường thẳng (d1) qua A vng góc với (d)
d) Gọi A, B giao điểm (P) đường thẳng (d1) C giao điểm (d)
với trục Oy Tìm tọa độ điểm B, C tính SABC
Câu 5: Cho PT: x2 – (2m + 1)x + m2 + m = 0
a) Biết PT có nghiệm x1 = 2, tìm m tìm nghiệm cịn lại
b) Tìm m để nghiệm PT thỏa: -2 <x1 < x2 <
Câu 6: Tìm m n để hai PT sau tương đương: x2 + (4m + 3n)x – = 0
x2 + (3m + 4n)x + 3n = 0
Câu 7: Cho hai PT: x2 + 2x + a = (1)
Và (1 + a)(x2 + 2x + a) – 2(a – 1)(x2 + 1) = (2)
Cmr: PT (1) có hai nghiệm phân biệt PT (2) vơ nghiệm
Câu 8: Tìm nghiệm ngun dương PT: 4x2 + 4x + y2 – 6y = 24
Câu 9: Cho ABC nhọn Vẽ (O) đkính BC cắt AB, AC D, E; BE CD c8át
H
a) Chứng minh: ADHE nội tiếp b) Chứng minh: AE.AC = AB.AD
c) AH kéo dài cắt BC F Cmr: H tâm đtròn nội tiếp DEF
d) Gọi I trung điểm AH Cmr: IE tiếp tuyến (O)
Câu 10: Chứng minh rằng: x2 + y2 + z2 + ≥ 2(x + y + z)
(3)ĐỀ 5:
Câu 1: Giải PT sau:
a) (x+1)(x+2)(x+3)(x+6) = 120x2
b) x25x x 25x 28 0
Câu 2: Giải HPT:
2
2
2x 3xy y 3x 1
2y 3xy x 3y 1
Câu 3: Tìm m để PT sau có nghiệm phân biệt : x4 – 2(m+1)x2 + 4m = 0
Câu 4: Tìm giá trị nguyên m để HPT
2mx 3y m
x y m 2
có nghiệm ngun. Tìm nghiệm ngun
Câu 5: Chứng minh: (x+y+z)2 ≤ 3(x2 + y2 + z2)
Câu 6: Cho (O; R) dây cung BC = R 3 Lấy điểm A tùy ý thuộc cung lớn BC Chứng minh: AB + AC ≤2 R 3
Câu 7: Cho ABC cân A nội tiếp (O), đường cao AG, BE, CF cắt H
a) Cm: AEHF nội tiếp Xác định tâm I đtròn ngoại tiếp b) Cm: AF.AC = AH.AG
c) Cm: GE tiếp tuyến (I)
d) Cho bán kính (I) 2cm, BAC = 500 Tính độ dài cung FHE (I) diện
tích hình quạt trịn IFHE
Câu 8: Cho điểm A nằm (O; R), kẻ hai tiếp tuyến AB, AC cát tuyến ADE (O) Gọi H trung điểm DE
a) Cm: A, B, H, O, C thuộc đtròn b) Cm: HA tia phân giác BHC
c) DE cắt BC I Cm: AB2 = AI AH
d) Cho AB = R 3> tính SABC theo R
ĐỀ 6:
Câu 1: Tìm k để hai PT sau
2
2
2x (3k 1)x 0
6x (7k 1)x 19 0
có nghiệm chung, tìm nghiệm chung đó:
Câu 2: Cho PT: x2 – 2(m -1)x – = 0
a) Tìm m để PT có nghiệm tìm hệ thức liên hệ nghiệm khơng phụ thuộc vào m
b) Tìm m để PT có nghiệm trái dấu
c) Tìm m để PT có hai nghiệm dương phân biệt
Câu 3: Giải PT:
1 1
x x x 2
2 4
Câu 4: a) Cho x,y > Chứng minh:
1 1 4
xyx y
b) AD câu a Chứng minh:
1 1 1 1 1
2
p a p b p c a b c
Với a,b,c cạnh p nửa chu vi ABC
Câu 5: Cho ABC nhọn nội tiếp (O; R) H trực tâm Biết BAC = 600 Tính AH
Câu 6: Cho (O), từ điểm A nằm ngồi đtrịn, vẽ hai tiếp tuyến AB, AC Kẻ dây CD // AB Đường thẳng AD cắt (O) E
a) Cm: ABOC nội tiếp b) Cm: AB AC = AE AD
c) Cm: AOC = ACB BDC cân
d) CE kéo dài cắt AB I Chứng minh IA = IB
Câu 7: Cho (O; R), hai dây AB, CD vng góc (AB<2R) a) Cm: IA.IB = IC.ID
b) Kẻ đkính AM, Cm: BM//CD
(4)ĐỀ 7:
Câu 1(4d):
a) Tính giá trị biểu thức: P = x3 + y3 – 3(x + y) + 2004
Trong đó: x33 2 33 2 ; y 317 12 2 317 12 2 b) Rút gọn:
1 1 1 1
A
1 5 5 9 9 13 2001 2005
Câu 2(6d):
2.1 a) Cho PT: x3 – m(x+2) + = Tìm m để PT có nghiệm phân biệt x 1, x2, x3
và Cmr: x13 + x23 + x33 = 3x1x2x3
b) Tìm nghiệm nguyên hệ PT:
2
3
2y x xy 2y 2x 7
x y x y 8
2.2 Trong mptđ Oxy, cho (P): y = -x2 đường thẳng (d) qua I(0; -1) có hệ
số góc k
a) Viết PT đường thẳng (d) Cmr với k, (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A,B
b) Gọi hoành độ A B x1 x2, Cmr: x1 x2 2
c) Chứng minh AOB vuông
Câu 3(2d):
a) Tìm nghiệm nguyên PT sau: 2y2x + x + y + = x2 + 2y2 + xy
b) Tìm số tự nhiên có chữ số thỏa mãn đồng thời hai tính chất sau: - Khi chia số cho 100 ta số dự
- Khi chia số cho 51 ta số dự 17
Câu 4(6d):
4.1: Cho ABC có AB = 3; BC = 4; AC = Đường cao, đường phân giác, đường
trung tuyến tam giác kẻ từ đỉnh B chia tam giác thành phần Hãy tính diện tích phần
4.2: Cho nửa đtrịn (O) đkính AB CD dây cung tùy ý nửa đtròn cho số đo cung CD 900, điểm C thuộc cung nhỏ AD Nối AD cắt BC E, AC cắt BD
tại F
a) Cm: FE AB
b) Cm: AE.AD + BE.BC = AB2
c) Khi cung CD di chuyển nửa đtròn (O) , tìm quỹ tích điểm F
Câu 5(2d):
a/ Cho a,b,c số dương Cmr:
1 1 1 1 1
3
a b c a 2b b 2c c 2a
b/ Cho x,y >0,
4 x y
3
Tìm GTNN :
1 1 S x y
x y
ĐỀ 8:
Câu 1(4d):
a) Tìm x,y,z thỏa mãn:
1
x 2000 y 2001 z 2002 (x y z) 3000
b) Cho đẳng thức sau
(x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2 = (x+y – 2z)2 + (y+z – 2x)2 + (x+z – 2y)2
Cmr: x = y = z
Câu 2(6d):
2.1 a) Tìm m để hai PT sau có nghiệm chung:
x2 + x +m – = x2 +(m – 2)x + =
b) Cho x, y thỏa mãn:
3
2 2
x 2y 4y 0
x x y 2y 0
Tính Q = x2 + y2
2.2 Cho PT:
2
1 1
m
x x 1
a) Giải PT m = 15
b) Tìm m để PT có nghiệm phân biệt
2.3: Tìm m để PT sau có nghiệm số nguyên: (m + 1)x2 – (m – 1)x + m + = 0
Câu 3(2d):
a) Tìm nghiệm nguyên PT sau: x + xy + y =
b) Giải PT: x2 3x 2 x 3 x 2 x22x 3 c) Cho n N*, Cmr: A = 2n + 11n – 22n – 32n chia hết cho 14
Câu 4(6d):
4.1: Cho ABC nhọn có BC = a; AC = b; AB = c Cmr: a2 = b2 + c2 – 2bccosA
4.2: Cho ABCnội tiếp (O); D E điểm cung AB; AC Gọi giao điểm
của DE với AB AC H K a) Cm: AHK cân
b) Gọi I giao điểm BE CD Cm: AI DE
c) Cm: CEKI nội tiếp d) Cm: IK // AB
Câu 5(2d):
a/ Cho a,b,c số dương Cmr:
1 1 1 1 1
3
a b c a 2b b 2c c 2a
(5)b/ Cho x,y,z > thỏa:
1 2 3
6
xy z Xét biểu thức : P = x + y2 + z2
1/ Cm: P x + 2y + 3z –
2/ Tìm GTNN P
ĐỀ 9:
Câu 1(4d): Cho biểu thức: N= a
√ab+b+
b √ab−a−
a+b
√ab với a b >0
1 Rút gọn biểu thức N
2 Tính giá trị N khi: a=√6+2√5;b=√6−2√5
Câu 2(6d):
2.1 a) Tìm m để PT: (2m – 1)x2 – 2mx + = có hai n
0 thuộc khoảng (-1; 0)
b) Lập PT bậc hai có hai nghiệm
3 5
x ; x
2
2.2 : a) Giải HPT:
2
(x y) 3(x y) 2x 3y 12
b) Giải PT: 3x26x – 20 x22x 8 Câu 3(2d):
a) Tìm x,y nguyên dương: 5x22xy y 2 4x 40 0 b) Tìm x,y biết : x 2005 x 2006 y 2007 x 2008 3
Câu 4(6d):
4.1: Cho ABC nhọn, BC = a, CA = b, AB = c Cmr:
a b c
sin A sinB sinC
4.2: Cho (O) (O’) cắt A, B phân biệt Đường thẳng OA cắt (O), (O’) C, D Đường thẳng O’A cắt (O), (O’) E,F
a) Cm: AB, CE, DF đồng quy b) Cm: BEIF nội tiếp
c) Cho PQ tt chung (O) (O’) (P (O); Q (O’)) Cm: đường
thẳng AB qua trung điểm PQ
Câu 5(2d):
a) Tìm GTLN GTNN A=
2
x 3x x
b) Cho a,b,c> Cmr:
a b c
1
a b b c c a
ĐỀ 10: Câu 1:
a) Rút gọn : 2
1
A
a (a 1)
với a>0
b) Tính : 2 2 2
1 1 1
B 1
1 2 99 100
Câu 2:
2.1: Cho PT: x4 – (m2 + 4m)x2 + 7m – = Tìm m để PT có nghiệm phân biệt
và tổng bình phương nghiệm 10 2.2: a) Giải HPT:
2
x y x y 18 x(x 1).y(y 1) 72
b) Giải PT sau: x(x 1) x(x 2) x(x 3) 2.3: Cho hàm số: (P) : y = -2x2 (d): y = 3x + 2m – 5
a) Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B Tìm tọa độ A, B b) Tìm quỹ tích trung điểm I AB m thay đổi
Câu 3:
1) Tìm tất số nguyên dương n cho n2 – 9n – chia hết cho n – 11
2) Tìm số nguyên dương x,y thỏa mãn : x2 + x + 2y2 + y = 2xy2 + xy +
Câu 4:
4.1 : Cho ABC, đường phân giác AI, biết AB = c, AC = b, A 900
Cmr:
2bc cos AI
b c
Biết sin2 = 2SinCos
4.2: Cho ABC vuông A, đường cao AH Biết BH = a, HC = b Cmr:
a b ab
2 Câu 5:
(6)b) Cho x 1; y Chứng minh :
2
1
1 xy x 1 y
ĐỀ 11:
Câu 1(4d): a) Tính :
1 1
S
2 1 2 2000 1999 1999 2000
b) Cmr ax3 = by3 = cz3
1 1 1
x y z 3ax2 by2cz2 3a3b 3c
Câu 2(6d):
1 Trên mptđ cho hai điểm A(5; 2) B(3; -4) a) Viết ptđt AB
b) Xác định điểm M trục hoành để MAB cân M
2 Tìm số tự nhiên m để PT: x2 – m2x + m + = có nghiệm nguyên
3 Cho (P): y = ax2 Xác định a để (P) qua điểm A( -1; -2) Tìm toạ độ giao
điểm (P) đường trung trực đoạn OA
Câu 3(2d): Tìm nghiệm nguyên PT: a) x2 + 2y2 +3xy – x – y + = 0
b) 5x – 3y = 2xy – 11
Câu 4(6d):
1. Cho (O; R) AB, AC hai dây cung (O) cho tia AO nằm hai tia AB, AC có sdAB = 900, sđAC = 1200 Tính độ dài đtrịn đkính BC theo R.
2. Cho (O; R), S điểm cho OS = 2R Vẽ cát tuyến SCD đến (O) C, D thuộc (O) Cho biết CD = R Tính SC, SD theo R
Câu 5(2d):
a) Cho x,y,z >0 thỏa:
1 1 4
x y z Cmr:
1 1 1
2x y z x 2y z x y 2z
b) Tìm GTNN
2
x 2x 2006
B (x 0)
x
ĐỀ 13:
Câu 1(4d): Cho E =
1 xy xy
x y x y
Tính giá trụ E biết:
x 2 2
3 12 20
y
3 18 27 45
Câu 2(6d):
a) Giải HPT:
2
2
2
x y 2(x y)
y z 2(y z)
z x 2(z x)
b) Giải PT: 3x26x 7 5x2 10x 14 4 2x x
c) Vẽ đths sau: y x2 2x 1 x2 6x 9 tìm GTNN y Câu 3(2d):
a) Tìm số tự nhiên abcd cho abcd ab.cd
b) Tìm nghiệm nguyên dương PT: 6x2 + 5xy – 25y2 – 221 = 0
Câu 4(6d):
a) Cho ABC nhọn, đường cao AH, I trực tâm Chứng minh rằng: HA HI
2 BC
4 b) Cho ABC vuông A Trên AC lấy điểm D Dựng CE BD
1- Cmr: ABD ECD đồng dạng
2- Cmr: tứ giác ABCE nội tiếp
3- Cmr: FD BC, F giao điểm BA CE
4- Cho ABC = 600, BC= 2a, AD = a Tính AC, đường cao AH cùa ABC
(7)Câu 5(2d):
a) Cho x,y > biết xy= Tìm GTLN 2
x y
A
x y x y
b) Với a,b> 0, chứng minh :
a a b b
b a
ĐỀ 14:
Câu 1(4d):
a Thu gọn biểu thức sau:
45 27 45 27 3
5 3
b Cho x,y,z >0 thỏa mãn : xyz = Tính :
x y 2z
B
xy x yz y zx 2z
Câu 2(6d):
1/ Giải HPT: 2
x y xy
x y xy
2/ Cho PT: x2 – 2mx – 16 + 5m2 =
a) Tìm m để PT có nghiệm
b) Gọi x1, x2 nghiệm PT Tìm GTLN GTNN biểu thức
1 2
A x (5x 3x 17) x (5x 3x 17)
Câu 3(2d): 1/ Cho HPT
ax by
(a,b ,a b) bx ay
Tìm a,b để hệ có nghiệm (x; y) Z+
2/ Chứng minh không tồn x,y,z nguyên thỏa hệ:
2 2
2
x 3xy 3y z 31
x xy 8z 100
Câu 4(6d):
1/ Cho ABC (AB < AC) có đường trung tuyến AM đường phân giác
AD Đtròn ngoại tiếp ADM cắt cạnh AB, AC E F C/m: BE = CF
2/ Cho ABCD hình thoi có cạnh Giả sử tồn M thuộc BC N thuộc CD cho CMN có chu vi BAD = 2.MAN Tính góc
hình thoi ABCD
Câu 5(2d):
1/ Cho a,b > thỏa:
a 2b 1
1 a b Chứng minh:
2 ab
8 2/ Cho số thực a,b,c Chứng minh:
2 2
2 2 (a b) (b c) (c a)
a b c ab bc ca
26 2009
ĐỀ 15:
Câu 1(4d): Cho
3
26 15 (2 3) x
9 80 80
Tính giá trị biểu thức M 3x 3 x2 1)2004
Câu 2(6d): 1/ a) Giải HPT:
2
2
2x y xy y 5x
x y x y
b) Giải PT sau: x2 5x x 5x 28 0
2/ Biết số đo độ dài hai cạnh góc vuông tam giác vuông nghiệm PT bậc hai: (m – 2)x2 – 2(m – 1)x + m = 0
Tìm giá trị m để số đo chiều cao ứng với cạnh huyền
5
Câu 3(2d):
a) Tìm số có hai chữ số, biết số chia hết cho thêm chữ số vào chữ số cộng số tạo thành với số hai lần chữ số hàng trăm số lớn gấp lần số phải tìm
b) Cmr: với n ta có: A = 7.52n + 12.62n chia hết cho 19
(HD: Dùng PP quy nạp toán học)
Câu 4(6d): Cho ABC nội tiếp (O) Trên cung nhỏ AB lấy E Đường thẳng AE
cắt tiếp tuyến B C (O) M, N Gọi F giao điểm MC BN Chứng minh rằng:
a) CAN MBA đồng dạng ; BM.CN = BC2
(8)c) EF qua điểm cố định E di chuyển cung nhỏ AB (O) (E khác A, B)
Câu 5(2d):
1) Tìm GTNN y x x 2003
2) Chứng minh BĐT sau:
4 3
2
a) a b a b ab , voi a,b
b)a b , voi a b
2
ĐỀ 16: Câu 1:
a) GPT: x3 + 3x – 140 =
b) Tính giá trị biểu thức : P370 4901370 4901
Câu 2: Cho
1
a :
7 1 1
Hãy lập phương trình bậc hai có hệ số ngun nhận a - nghiệm
Câu 3: a) Giải hệ phương trình:
x 16 xy
y y xy
x
b) Tìm m để phương trình
2
x 2x 3x 6xm0
có nghiệm phân biệt
Câu 4:
a) Chứng minh số nguyên k lớn thoả mãn k2 4
k 16 số nguyên tố k chia hết cho
b) Chứng minh a, b, c độ dài ba cạnh tam giác có p nửa chu vi p a p b p c 3p
Câu 5:
Cho đường tròn tâm O dây AB khơng qua O Gọi M điểm cung AB nhỏ D điểm thay đổi cung AB lớn (D khác A B) DM cắt AB C Chứng minh rằng:
a) MB.BDMD.BC
b) MB tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD
c) Tổng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD ACD không đổi
ĐỀ 17: Câu 1: Cho biểu thức:
x x x x x
P :
x x x x x x
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị x thỏa mãn P= c) Tìm giá trị nhỏ P
Câu 2: (Oxy) cho (P): y = 2x2 (d): y = 4x + Gọi E điểm thuộc (P) có
hồnh độ - Gọi F, G giao điểm (d) (P) , biết F có hồnh độ âm , G có hồnh độ dương Vẽ hình bình hành EFGH Xác định tọa độ điểm H CM điểm H không thuộc (P)
Câu 3: Giải PT:
a)
y - 2010 1
x - 2009 1 z - 2011 3
x - 2009 y - 2010 z - 2011 4
b) Giải phương trình:
4 1 5
x - x + 2x -
x x x
(9)Câu 5: Cho x, y> thỏa mãn :x + y = Tìm GTNN A = 2
1 1
x y xy
Câu 6: Chứng minh với a >
1
8 số sau số nguyên dương.
x =
3a + a + 1 8a - 1 + a - 3 a + 1 8a - 1.
3 3 3 3
ĐỀ 18: Câu 1: 1) Giải phương trình: x2 +
2
81x
= 40
(x + 9) .
2) Giải phương trình: x2 - 2x + 3(x - 3)
x + 1 x - 3 = 7.
Câu 2: 1) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A =
5 - 3x 1 - x .
2) Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh: a + b + b + c + c + a 2 2 2 2 (a + b + c).
Câu 3: Giải hệ phương trình:
2
2
y - xy + = 0 (1)
x + 2x + y + 2y + = (2)
Câu 4: Cho hình thang ABCD có đáy BC AD (BC AD) Gọi M, N điểm lần
lượt cạnh AB DC cho
AM CN
=
AB CD Đường thẳng MN cắt AC BD
tương ứng với E F Chứng minh EM = FN
Câu 5: Cho đường tròn tâm (O) dây AB, điểm M chuyển động đường trịn Từ M kẻ MH vng góc với AB (H AB) Gọi E, F hình chiếu vng góc H MA, MB Qua M kẻ đường thẳng vng góc với EF cắt AB D
1) C/m đường thẳng MD qua điểm cố định M thay đổi đ tròn 2) Chứng minh:
2
MA AH AD
=
MB BD BH .
ĐỀ 19: Câu 1: Giải phương trình:
a)
2
4 2
x 4 x - 9 0
x x
b)
2
x + 5 x + 1 x 7x + 10 3
Câu 2:
a) Cho số a, b, c khác thỏa mãn: abc =
3 3 3
a b c b c a
b c a a b c
(10)b) Cho x =
31 84 31 84
9 9
Chứng minh x có giá trị số nguyên
Câu 3: Cho số dương x, y, z thỏa mãn: x + y + z ≤ 3.Tìm giá trị lớn biểu thức:
A =
2 2
1 x 1 y 1 z 2 x y z
Câu 4: Cho đường tròn ( O; R ) điểm A nằm ngồi đường trịn cho OA = R 2 Từ A vẽ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C tiếp điểm) Lấy D thuộc AB; E thuộc AC cho chu vi tam giác ADE 2R
a) Chứng minh tứ giác ABOC hình vng
b) Chứng minh DE tiếp tuyến đường tròn (O; R) c) Tìm giá trị lớn diện tích ∆ADE
ĐỀ 20:
Câu 1: a) Cho a, b, c số đôi khác thoả mãn:
a b c
+ + = 0
b - c c - a a - b
Chứng minh rằng: 2
a b c
+ + = 0
(b - c) (c - a) (a - b)
b) Tính giá trị biểu thức:
A =
2
4
4
2
1 + + 2010 2010 - 2010 + 1 + 2010 - 2010
1 - 2010 2010 + 2010
Câu 2: a) Giải phương trình: x2 + 9x + 20 = 2 3x + 10.
b) Tìm x, y thoả mãn:
2 2
2
x y - 2x + y = 0 2x - 4x + = - y
.
Câu 3: a) Chứng minh nếu:
2 2
x + x y + y + x y = a
3 x + y = a2 3
b) Chứng minh phương trình x4 + ax3 + bx2 + ax +1 = có
nghiệm 5(a2 + b2) ≥ 4.
Câu 4: a) Cho x y số thực thoả mãn x2 + y2 = Tìm giá trị lớn
biểu thức : A =
xy x + y + 2.
b) Cho x, y, z số thực dương thoả mãn x2 + y2 + z2 = Chứng minh:
3 3 2 2 2
2 2 2 x + y + z
+ + + 3
x + y y + z z + x 2 xyz .
Câu 5: Cho nửa đường tròn tâm (O) đường kính AB = 2R bán kính OC vng góc với AB Tìm điểm M nửa đường trịn cho 2MA2 = 15MK2, K là
chân đường vng góc hạ từ M xuống OC
ĐỀ 21: Câu I (4đ)
Cho biểu thức P =
1 8 3 1 1 1
: 10
3 1 3 1 1 1
x x x
x
x x x x
ỉ - + ư ỉ÷ - + ư÷
ỗ + ữỗ - ữ
ỗ ữỗ ữ
ỗ ữữỗ ữữ
ỗ + - - ỗ - - -
-è ø è ø
1) Rút gọn P
2) Tính giá trị P x =
4
2 2 3
2 2 3 2 2 3
2 2 3
(11)Trong hệ toạ độ, cho đường thẳng d: y = x – parabol (P): y = -x2 Gọi A B giao điểm d (P).
1) Tính độ dài AB
2) Tìm m để đường thẳng d’: y =- x + m cắt (P) hai điểm C D cho CD = AB
Câu III (4đ)
1) Giải hệ phương trình . 2 1 2 2 y x y x y x
2) Tìm nghiệm nguyên phương trình 2x6 + y2 –2 x3y = 320
Câu IV (6đ)
Cho tam giác nhọn ABC có AB > AC Gọi M trung điểm BC; H trực tâm; AD, BE, CF đường cao tam giác ABC Kí hiệu (C1) (C2)
đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF DKE, với K giao điểm EF BC Chứng minh rằng:
1) ME tiếp tuyến chung (C1) (C2)
2) KH AM.
Câu V (2đ)
Với 0x;y;z1 Tìm tất nghiệm phương trình:
z y x yz x z xy z y zx y x 3 1 1 1 ĐỀ 21: Câu I (4đ)
Cho biểu thức P =
1 8 3 1 1 1
: 10
3 1 3 1 1 1
x x x
x
x x x x
ổ - + ử ổữ - + ửữ ỗ + ữỗ - ữ ỗ ữỗ ữ ỗ ữữỗ ữữ ỗ + - - ỗ - - - -ố ứ è ø
1) Rút gọn P
2) Tính giá trị P x =
4 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3
Câu II (4đ)
Trong hệ toạ độ, cho đường thẳng d: y = x – parabol (P): y = -x2 Gọi A B giao điểm d (P).
1) Tính độ dài AB
2) Tìm m để đường thẳng d’: y =- x + m cắt (P) hai điểm C D cho CD = AB
Câu III (4đ)
1) Giải hệ phương trình . 2 1 2 2 y x y x y x
2) Tìm nghiệm nguyên phương trình 2x6 + y2 –2 x3y = 320
Câu IV (6đ)
Cho tam giác nhọn ABC có AB > AC Gọi M trung điểm BC; H trực tâm; AD, BE, CF đường cao tam giác ABC Kí hiệu (C1) (C2)
đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF DKE, với K giao điểm EF BC Chứng minh rằng:
1) ME tiếp tuyến chung (C1) (C2)
2) KH AM.
Câu V (2đ)
Với 0x;y;z1 Tìm tất nghiệm phương trình:
z y x yz x z xy z y zx y x 3 1 1 1 ĐỀ 21: Câu I (4đ)
Cho biểu thức P =
1 8 3 1 1 1
: 10
3 1 3 1 1 1
x x x
x
x x x x
æ - + ử ổữ - + ửữ ỗ + ữỗ - ữ ỗ ữỗ ữ ỗ ữữỗ ữữ ỗ + - - ỗ - - - -ố ứ ố ø
1) Rút gọn P
2) Tính giá trị P x =
4 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3
(12)Trong hệ toạ độ, cho đường thẳng d: y = x – parabol (P): y = -x2 Gọi A B giao điểm d (P).
1) Tính độ dài AB
2) Tìm m để đường thẳng d’: y =- x + m cắt (P) hai điểm C D cho CD = AB
Câu III (4đ)
1) Giải hệ phương trình . 2 1 2 2 y x y x y x
2) Tìm nghiệm nguyên phương trình 2x6 + y2 –2 x3y = 320
Câu IV (6đ)
Cho tam giác nhọn ABC có AB > AC Gọi M trung điểm BC; H trực tâm; AD, BE, CF đường cao tam giác ABC Kí hiệu (C1) (C2)
đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF DKE, với K giao điểm EF BC Chứng minh rằng:
1) ME tiếp tuyến chung (C1) (C2)
2) KH AM.
Câu V (2đ)
Với 0x;y;z1 Tìm tất nghiệm phương trình:
z y x yz x z xy z y zx y x 3 1 1 1 ĐỀ 22: Câu (1,5 điểm)
Cho biểu thức A =
2 3 2
: (víi 0, 9)
9
3 3
x x x x
x x
x
x x x
a) Rút gọn A b) Tìm x để A =
1 3
Câu 2: a) Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác, chứng minh:
2
1 1 1 a + b + c
+ +
a + bc b + ac c + ab 2abc .
b) Cho biểu thức: A = x - xy +3y - x + 1 Tìm GTNN A
Câu (1,5 điểm)
a) Giải phương trình: 2 x - + - x = 13
b) Giải hệ phương trình:
2 2 10 1 20 11 y x y y x y Câu (1,5 điểm)
Cho PT: x22mx 1 0 (1) Tìm mđể X =x x12( 12 2012)x x22( 22 2012)
đạt GTNN, tìm giá trị nhỏ (x x1, 2 hai nghiệm phân biệt (1)) Câu (3 điểm)
Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB; nửa đường tròn lấy điểm C (cung BC nhỏ cung AB), qua C dựng tiếp tuyến với đường tròn tâm O cắt AB D Kẻ CH vng góc với AB (H AB), kẻ BK vng góc với CD (K CD); CH cắt BK E
a) Chứng minh: CB phân giác góc DCE b) Chứng minh: BK + BD < EC
c) Chứng minh: BH AD = AH BD
Câu (1 điểm)
Chứng minh rằng:
1 1
21. a 3. b 31
b a
, với a b, 0
ĐỀ 22: Câu (1,5 điểm)
Cho biểu thức A =
2 3 2
: (víi 0, 9)
9
3 3
x x x x
x x
x
x x x
(13)d) Tìm x để A = 1 3
Câu 2: a) Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác, chứng minh:
2
1 1 1 a + b + c
+ +
a + bc b + ac c + ab 2abc .
b) Cho biểu thức: A = x - xy +3y - x + 1 Tìm GTNN A
Câu (1,5 điểm)
a) Giải phương trình: 2 x - + - x = 13
b) Giải hệ phương trình:
2
2
10
5
1 20
3 11
1
y x
y y x
y
Câu (1,5 điểm)
Cho PT: x22mx 1 0 (1) Tìm mđể X =x x12( 12 2012)x x22( 22 2012)
đạt GTNN, tìm giá trị nhỏ (x x1, 2 hai nghiệm phân biệt (1)) Câu (3 điểm)
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB; nửa đường trịn lấy điểm C (cung BC nhỏ cung AB), qua C dựng tiếp tuyến với đường tròn tâm O cắt AB D Kẻ CH vng góc với AB (H AB), kẻ BK vng góc với CD (K CD); CH cắt BK E
d) Chứng minh: CB phân giác góc DCE e) Chứng minh: BK + BD < EC
f) Chứng minh: BH AD = AH BD
Câu (1 điểm)
Chứng minh rằng:
1 1
21. a 3. b 31
b a
, với a b, 0
ĐỀ 23: Bài (3,0 điểm)
Cho phương trình x2 – 2(m + 1) – m +1 = 0
1 Xác định m để phương trình có hai nghiệm khác
2 Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thoả:
1
1 1
2
x x .
Bài (3,5 điểm)
Cho parabol (P) :
2
2
x y
đường thẳng (d) : ymx2m; ( m tham số)
1 Tìm m để (d) tiếp xúc với (P) Xác định toạ độ điểm tiếp xúc Chứng minh (d) ln qua điểm cố định I, xác định toạ độ I Gọi A, B hai điểm tiếp xúc câu a) Tính diện tích tam giác AIB
Bài (3,5 điểm)
1 Giải phương trình: x2 4 x2 4 x2 4
2 Giải hệ phương trình:
3 3
2
4( )
1
x y x y
x y
Bài (2,5 điểm)
Cho A M hai điểm đường trịn tâm O, bán kính R; B điểm đối xứng O qua A D trung điểm OA
1 Chứng minh hai tam giác OMD OBM đồng dạng Tính độ dài MB MOA 600
3 Cho C điểm cố định nằm ngồi đường trịn, xác định vị trí M đường tròn để tổng 2MC + MB đạt giá trị nhỏ
Bài (2,0 điểm)
Tìm nghiệm nguyên phương trình: x3 y3 x y xy2 5
(14)Bài (3,0 điểm)
Cho phương trình x2 – 2(m + 1) – m +1 = 0
3 Xác định m để phương trình có hai nghiệm khác
4 Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thoả:
1
1 1
2
x x .
Bài (3,5 điểm)
Cho parabol (P) :
2
2
x y
đường thẳng (d) : ymx2m; ( m tham số)
4 Tìm m để (d) tiếp xúc với (P) Xác định toạ độ điểm tiếp xúc Chứng minh (d) qua điểm cố định I, xác định toạ độ I Gọi A, B hai điểm tiếp xúc câu a) Tính diện tích tam giác AIB
Bài (3,5 điểm)
3 Giải phương trình: x24 x2 4 x2 4
4 Giải hệ phương trình:
3 3
2
4( )
1
x y x y
x y
Bài (2,5 điểm)
Cho A M hai điểm đường trịn tâm O, bán kính R; B điểm đối xứng O qua A D trung điểm OA
4 Chứng minh hai tam giác OMD OBM đồng dạng Tính độ dài MB MOA 600
6 Cho C điểm cố định nằm ngồi đường trịn, xác định vị trí M đường trịn để tổng 2MC + MB đạt giá trị nhỏ
Bài (2,0 điểm)
Tìm nghiệm nguyên phương trình: x3y3 x y xy2 5
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HỆ THPT CHUYÊN NĂM 2012
MƠN THI: TỐN (cho tất thí sinh) Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian phát đề) Câu I 1) Giải phương trình
√x+9+2012√x+6=2012+√(x+9) (x+6) 2)Giải hệ phương trình
¿
x2+y2+2y=4
2x+y+xy=4 ¿{
¿
Câu II 1) Tìm tất cặp số nguyên (x ; y) thỏa mãn đẳng thức:
(x+y+1)(xy+x+y)=5+2(x+y)
2) Giả sử x, y la số thực dương thỏa mãn điêu kiện (√x+1) (√y+1)≥4
Tim giá trị nhỏ biểu thức :
P=x
2
y+ y2
x
Câu III.Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O Gọi M điểm cung nhỏ BC ( M khác B,C AM không qua O).Giả sử P điểm thuộc đoạn thẳng AM cho đường trịn đường kính MP cắt cung nhỏ BC điểm N khác M
1)Gọi D điểm đối xứng với điểm M qua O Chứng minh N,P,D thẳng hàng 2)Đường tròn đường kính MP cắt MD Q khác M.Chứng minh Q tâm đườn tròn nội tiếp tam giác AQN
Câu IV Giả sử a,b,c số thực dương thỏa mãn
a ≤ b ≤3≤ c ; c ≥ b+1;a+b ≥ c Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
(15)UBND TỈNH BẮC NINH- SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2011 – 2012
Mơn thi: Tốn ( Dành cho thí sinh thi vào chun Tốn, Tin)
Bài 1. (2,0 điểm)
Cho phương trình: x2 2 m x 6m 0 với x ẩn, m tham số a/ Chứng minh PT ln có hai nghiệm phân biệt với giá trị m b/ Tìm điều kiện m để PT có hai nghiệm phân biệt lớn
Bài 2. (3,0 điểm)
a/ Cho a, b hai số thực dương thỏa mãn a ab 6b 0
Tính giá trị biểu thức:
a b
P .
a ab b
b/ Giải hệ phương trình:
2
2
x 3y 2 9y 8x 8
Bài 3. (1,5 điểm)
a/ Cho số thực a, b thỏa mãn a b 0 Chứng minh rằng:
2 2 ab
a b
a b
.
b/ Cho số thực a, b, c dương thỏa mãn a b c 1 Tìm giá trị lớn biểu thức: M a2abc b2abc c2abc abc.
Bài 4. (3,0 điểm)
Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt hai điểm A B Vẽ đường thẳng (d) qua A cắt (O) C cắt (O’) D cho A nằm C D Tiếp tuyến (O) C tiếp tuyến (O’) D cắt E
a/ Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp b/ Chứng minh BE.DC CB.ED BD.CE.
Bài 5. (0,5 điểm)
Cho tam giác ABC, tia BA lấy điểm M, tia đối tia CA lấy điểm N BM CN Chứng minh đường trung trực MN qua điểm cố định
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TUYÊN QUANG
Câu (2 điểm)
1) Giải phương trình: x2 6x 9 x2 8x16 7 ;
2) Giải hệ phương trình: 2
3 17 x y xy
x y xy
.
Câu (1 điểm) Chứng minh biểu thức A = 370 4901370 4901 số nguyên
Câu (4 điểm). Cho tam giác ABC (AB AC) nội tiếp đường tròn (O) Một đường thẳng song song với tiếp tuyến (O) A cắt cạnh AB, AC theo thứ tự D, E cắt đường thẳng BC F
1) Chứng minh BDEC tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh:
a) AB.AD = AC.AE; b) FB.FC = FD.FE
3) Đường thẳng FD cắt (O) I J Chứng minh FI.FJ = FD.FE
Câu (2 điểm) Giải phương trình nghiệm nguyên (x, y ẩn số):
1) x22y2 2xy3x 3y 2 0 2) x2y2 2015
Câu (1 điểm) Cho số dương a b c, , thỏa mãn a b c 1 Chứng minh rằng:
2 2
2 2
3( )
a b c
a b c
(16)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TUYÊN QUANG
Câu (2 điểm)
1) Giải phương trình: x2 6x 9 x2 8x16 7 ;
2) Giải hệ phương trình: 2
3 17 x y xy
x y xy
.
Câu (1 điểm) Chứng minh biểu thức A = 370 49013 70 4901 số nguyên
Câu (4 điểm). Cho tam giác ABC (AB AC) nội tiếp đường tròn (O) Một đường thẳng song song với tiếp tuyến (O) A cắt cạnh AB, AC theo thứ tự D, E cắt đường thẳng BC F
1) Chứng minh BDEC tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh:
a) AB.AD = AC.AE; b) FB.FC = FD.FE
3) Đường thẳng FD cắt (O) I J Chứng minh FI.FJ = FD.FE
Câu (2 điểm) Giải phương trình nghiệm nguyên (x, y ẩn số):
1) x22y2 2xy3x 3y 2 0 2) x2y2 2015
Câu (1 điểm) Cho số dương a b c, , thỏa mãn a b c 1 Chứng minh rằng:
2 2
2 2
3( )
a b c
a b c
P