DE THI HSG TOAN 9 MY LOC 1112

Tìm điểm P trong tam giác ABC sao cho tổng các khoảng cách từ P đến ba cạnh của tam giác ABC đạt giá trị nhỏ nhất ?... Vì vai trò a, b như nhau.[r]

TRƯỜNG THCS MỸ LỘC ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP CẤP HUYỆN Năm học: 2011- 2012 - Mơn: Tốn Ngày thi: 06/10/2011

ĐỀ ĐỀ XUẤT Thời gian làm bài: 150 phút (Khơng tính thời gian phát đề) Bài 1 : (6.0 điểm)

a- Tìm tất số nguyên tố a, b thỏa mãn : ab + ba = 2011 b- Tìm số tự nhiên a để (23 – a) ( a – ) số phương Bài 2 : (4.0 điểm)

a- Cho a,b,c độ dài ba cạnh tam giác CMR :

a b c a  +

b a c b  +

c

a b c   3

b- Giải phương trình :  

2 2

2

2

2

1 1

8 x x x x x

x x x x

       

       

       

       

Bài 3 :(3.0 điểm) Cho hai số x,y 0 thỏa đẳng thức sau :

2

2

1

4

y x

x

 

= Tìm giá trị x,y để biểu thức :

1

P xy



đạt giá trị lớn Bài 4 :(4.0 điểm)

Cho ABCcân A, gọi I giao điểm đường phân giác Biết IA = 2 5, IB =

Tính độ dài AB ? Bài 5 : (3.0 điểm)

TRƯỜNG THCS MỸ LỘC HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ THI HSG LỚP CẤP HUYỆN Năm học 2011 – 2012 - Mơn : Tốn

-Bài Đáp án Điểm

Bài (6.0 đ)

Câu a

Vì 2011 số lẻ, nên a b số nguyên tố khác tính chẳn, lẻ Vì vai trị a, b Giả sử a lẻ, b chẳn

=> b = Khi a2 + 2a = 2011 * Nếu a = 32 + 23 = 17 (vơ lí )

* Nếu a  a2 = 3n+1 với n nguyên dương

2a (3 1)a 1t

    a lẻ

Nên a2 + 2a = 3n + +3t – = 3(n + t) hợp số Mà 2011 số ngun tố

Vậy khơng có số ngun tố a , b thỏa mãn ab + ba = 2011.

0,5đ 0,5đ 0,5đ 0.5ñ 0.5ñ 0,25đ 0,25đ

Câu b

Đặt (23 – a) ( a – )= b2

Biến đổi được: 26a – a2 - 69 = b2 . ( a – 13) = 100 - b2. Suy 100 – b2 số phương. Tìm :

Trường hợp: b = 10  a = 13.

b =  a = 19

b =  a = 21.

Vậy số a 13; 19, 21

0.5đ 0,5đ 0,5đ 1,0đ 0,5đ Bài

(4.0 đ)

Câu a

Đặt x = b + c – a , y = a + c – b , z = a + b – c

Vì a,b,c độ dài cạnh tam giác nên x , y ,z > Khi ta có : , ,

z y x z y x

a  b  c 

Do : a b c a  +

b a c b  +

c a b c  =

1

x y y z z x

z x y

    

 

 

 

=

1

(2 2)

2

x y x z y z

y x z x z y

 

        

 

 

Đẳng thức xảy : x = y = z  a = b = c

0,5đ 0,5đ

0,75đ 0,25đ

Câu b

Ta có :  

2 2

2

2

2

1 1

8 x x x x x

x x x x

                                   2 2 2

1 1

8 x x x x x

x x x x

                                        2 2 1

8 x x x

x x

   

    

   

   

x 42 16

  

 8

x x   

0 ( )

8 x loai x      

Vậy phương trình có nghiệm : x = -8

0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ Bài (3.0 đ) Ta coù 2 2 1

2 4

4

y y

x x x xy

x x                      2 2 y

xy x x

x                  1 P xy    

Đẳng thức xảy khi:

1

1 ( )

0 2

1

0 ( )

2 2 x thoa x y x y x x thoa y                          

Do : MaxP=

1



Khi x = ; y = -2 x = -1 ; y =

1,0đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ Bài

(4.0đ) - Từ A kẻ AM

AC (Mtia CI)

- Chứng minh : AMI cân A  AM = AI = 2 5

Kẻ AHMI => MH = HI

Đặt HM = HI = x (x>0)

Tam giác AMC vuông A , có AM2 MH MC =>    

2

2 x x2 3

2

2x 3x 30

   

2x 5 x 4

   

=> x = 2,5 x = -4 (loại) Do : MC = 2.2,5+3=8 AC2 = MC2 – AM2 = 82 -  

2 = 44 1,0đ 1,0đ 1,0đ 0,5đ 0,5đ

C N B

I H

=> AC = AB = 11

Bài (3.0đ)

Gọi a,b,c độ dài cạnh đối diện A,B,C ha,hb,hc đường cao tương ứng

Giả sử : a b c  , ha hb hc

Ta có : SABC = SPAC + SPBC + SPAB

=> 2SABC =a.PH + b.PK + c.PI a(PH + PK + PI)

=> PH + PK + PI

2SABC a



=

Vập PH + PK + PI đạt giá trị nhỏ PA

0,5đ 0,5đ 0,5đ 1,0đ 0,5đ

P I

H K

C B