Giáo trình cơ lý thuyết ĐHBK HCM

1 ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Vũ Duy Cường GIÁO TRÌNH CƠ LÝ THUYẾT (Tái lần thứ nhất) NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH - 2002 MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU PHẦN I TĨNH HỌC VẬT RẮN Chương CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VÀ HỆ TIÊN ĐỀ TĨNH HỌC 1.1 Các khái niệm 1.2 Hệ tiên đề tónh học 10 1.3 Một số mô hình phản lực liên kết thường gặp 11 Chương THU GỌN HỆ LỰC PHƯƠNG TRÌNH CÂN BẰNG CỦA HỆ LỰC 16 2.1 Hai đại lượng đặc trưng hệ lực 16 2.2 Định lý tương đương 2.3 Các hệ 2.4 Điều kiện cân hệ lực 2.5 Bài toán cân vật rắn 17 19 22 23 2.6 Các ví dụ 25 2.7 Bài toán cân hệ vật rắn 2.8 Các ví dụ toán cân hệ vật rắn Chương CÁC BÀI TOÁN ĐẶC BIỆT 3.1 Bài toán đòn phẳng 3.2 Bài toán giàn Chương MA SÁT 4.1 Ma sát, lực ma sát tính chất chúng 4.2 Bài toán cân vật rắn kể đến ma sát trượt 4.3 Mô hình toán cân có kể đến ma sát lăn Chương TRỌNG TÂM 5.1 Các định nghóa 5.2 Các phương pháp xác định tọa độ trọng tâm vật 5.3 Trọng tâm số vật đồng chất PHẦN II ĐỘNG HỌC Chương ĐỘNG HỌC ĐIỂM 6.1 Khảo sát động học điểm phương pháp vector tọa độ Decartes 6.2 Khảo sát chuyển động điểm tọa độ cực 6.3 Khảo sát chuyển động điểm tọa độ tự nhiên 6.4 Một số chuyển động đặc biệt Chương CHUYỂN ĐỘNG CƠ BẢN CỦA VẬT RẮN 7.1 Chuyển động tịnh tiến vật rắn 7.2 Chuyển động quay quanh trục cố định vật rắn 7.3 Các cấu truyền động 7.4 Các ví dụ Chương CHUYỂN ĐỘNG PHỨC HP CỦA ĐIỂM 8.1 Mô hình toán định nghóa 8.2 Các định lý hợp vận tốc, gia tốc 8.3 Phương pháp giải toán chuyển động phức hợp 31 32 39 39 39 48 48 50 56 59 59 62 65 68 69 69 70 71 72 76 76 77 79 80 83 83 85 86 8.4 Các ví dụ Chương CHUYỂN ĐỘNG SONG PHẲNG CỦA VẬT RẮN 9.1 Khảo sát chuyển động vật 9.2 Khảo sát chuyển động điểm thuộc vật 9.3 Những chuyển động song phẳng đặc biệt 9.4 Phương pháp giải toán chuyển động song phẳng 9.5 Các ví dụ PHẦN III ĐỘNG LỰC HỌC Chương 10 MỞ ĐẦU ĐỘNG LỰC HỌC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG CỦA CHẤT ĐIỂM VÀ HỆ CHẤT ĐIỂM 10.1 Các khái niệm động lực học 10.2 Phương trình vi phân chuyển động chất điểm hệ chất điểm 86 95 95 96 101 103 104 120 121 121 123 ’ Chương 11 NGUYÊN LÝ D ALEMBERT 11.1 Các đặc trưng hình học khối lượng hệ 11.2 Lực quán tính, nguyên lý D’ Alembert 11.3 Thu gọn hệ lực quán tính 11.4 Phản lực động lực trục quay 11.5 Nội dung áp dụng ví dụ Chương 12 CÁC ĐỊNH LÝ TỔNG QUÁT ĐỘNG LỰC HỌC 12.1 Các định lý chuyển động khối tâm - động lượng mômen động lượng 12.2 Định lý động Chương 13 NGUYÊN LÝ DI CHUYỂN KHẢ DĨ 13.1 Một số khái niệm 13.2 Nguyên lý di chuyển khả dó Chương 14 PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT ĐỘNG LỰC HỌC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LAGRANGE II 14.1 Phương trình tổng quát động lực học 14.2 Phương trình Lagrange II Chương 15 LÝ THUYẾT VA CHẠM 15.1 Định nghóa, đặc điểm tượng va chạm giả thiết lý thuyết va chạm 15.2 Các định lý tổng quát động lực học trình va chạm 15.3 Va chạm thẳng xuyên tâm hai vật chuyển động tịnh tiến 15.4 Va chạm vật quay quanh trục cố ñònh 129 129 132 133 135 136 147 147 155 172 172 179 185 185 189 199 199 201 204 209 PHẦN IV BÀI TOÁN TỰ GIẢI A PHẦN TĨNH HỌC B PHẦN ĐỘNG HỌC C PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC 212 212 224 230 TÀI LIỆU THAM KHẢO 254 LỜI NÓI ĐẦU Giáo trình biên soạn nhằm phục vụ sinh viên ngành khí xây dựng Tuy nhiên, sinh viên, kỹ sư ngành khác muốn tìm hiểu kiến thức học dùng tài liệu tham khảo Để đáp ứng yêu cầu trên, tác giả mạnh dạn đưa số thay đổi phần trình bày nội dung số vấn đề đáng ý sau: 1- Phần tónh học Lý thuyết xây dựng lấy định lý tương đương làm trung tâm Các toán cân có kể đến hai loại ma sát (trượt, lăn) đánh giá xác trạng thái cân Nếu vật khởi động sử dụng điều kiện cân tónh 2- Động lực học Nguyên lý D’ ALEMBERT trình bày trước để giải đầy đủ yêu cầu động lực hệ, xác định miền giới hạn tham số phù hợp với trạng thái chuyển động hệ từ đầu, tránh ngộ nhận kết tính toán 3- Để tạo điều kiện thuận lợi cho người đọc, giáo trình dành khoảng 60% nội dung cho ví dụ tập tự làm Trong có số tập tổng hợp xuyên suốt nội dung môn học Để hoàn thành giáo trình này, tác giả nhận hỗ trợ nhiệt tình đồng nghiệp Nguyễn Quốc Việt, Vũ Công Hòa, Nguyễn Đắc Thiện việc đánh máy thảo Tác giả xin chân thành cảm ơn giúp đỡ quý báu Những suy nghó hoàn toàn dựa vào chủ quan tác giả nên không tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận đóng góp đồng nghiệp bạn đọc nhằm giúp tác giả xây dựng giáo trình ngày hoàn thiện Mọi ý kiến xin gởi về: Bộ môn Cơ Kỹ thuật - Trường Đại học Bách khoa Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh - 268 Lý Thường Kiệt, F14, Q10 Tác giả Thạc só VŨ DUY CƯỜNG PHẦN I TĨNH HỌC VẬT RẮN Tónh học phần đầu học lý thuyết khảo sát cân vật thể chịu tác dụng lực Hai vấn đề giải tónh học thu gọn hệ lực điều kiện cân hệ lực Nhờ phương pháp trừu tượng hóa mô hình hóa xây dựng khái niệm tiên đề làm sở để giải vấn đề đặt Những khái niệm nêu mô hình đối tượng khảo sát Những tiên đề nêu lên chân lý khách quan dễ nhận thấy, quan hệ mô hình Tất đánh giá, kết luận có sau phải chứng minh chặt chẽ từ hệ tiên đề Chương CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VÀ HỆ TIÊN ĐỀ TĨNH HỌC Nội dung - Các mô hình hệ tiên đề - Khái niệm liên kết, phản lực liên kết - Các mô hình phản lực liên kết Yêu cầu - Hiểu nhớ khái niệm bản, hệ tiên đề tónh học - Nắm vững mô hình phản lực liên kết, nguyên tắc chung để biểu diễn phản lực liên kết 1.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN Vật rắn tuyệt đối Vật rắn tuyệt đối vật thể không bị biến dạng trường hợp chịu lực Vật rắn tuyệt đối vật thể đàn hồi lý tưởng hóa bỏ qua biến dạng Trong thực tế biến dạng vật có ảnh hưởng không đáng kể tính toán, vật khảo sát xem vật rắn tuyệt đối Chất điểm vật rắn tuyệt đối đặc biệt Từ sau, lưu ý gì, vật khảo sát hiểu vật rắn tuyệt đối Trạng thái cân Vật rắn gọi cân hệ quy chiếu đứng yên hay chuyển động thẳng hệ quy chiếu Hệ quy chiếu vật rắn chọn làm chuẩn để quan sát, đánh giá vị trí vật khảo sát Trong giáo trình này, hệ quy chiếu chọn hệ quy chiếu quán tính Lực Lực đại lượng đặc trưng cho tác dụng học vật thể lên vật thể khác Lực biểu diễn vector buộc (A hình chiếu: F = (Fx , Fy , Fz ) F) qua Lực tập trung lực biểu diễn cho tương tác học thông qua vùng bé, xem điểm (A) Người ta nói lực F đặt A Lực phân bố biểu diễn cho tác động học thông qua miền Một số định nghóa khác A 1- Mômen lực tâm Mômen lực F đặt A tâm O đại lượng vector đặt O: m(F) o r d r r O m o (F) = OA × F = r × F (1.1) Hình 1.1 r r Biểu dieãn: cho r = r(x, y, z) ; F = F (X, Y, Z) r r r r (1.1) ⇔ m o (F) = (Z.y − Y.z) i + (X.z − Z.x) j + (Y.x − X.y) k (1.2) r r m o (F) - vuông góc với mặt phẳng chứa O F , m o (F) = d.F r m o (F) = giá F qua O (và tất nhiên F = 0) 2- Mômen lực trục ( Δ ) r Phân tích F = F ⊥ + F // ( F⊥ vuông góc trục Δ, F // song song r Mômen F trục Δ lượng đại số trục Δ) F (Δ) F// m Δ (F) = ± dF⊥ I (1.3) d O F A Hình 1.2 d- khoảng cách từ trục A đến giá F ⊥ - Lấy dấu cộng nhìn từ đỉnh trục Δ thấy F ⊥ có xu quay - Lấy dấu trừ có xu quay ngược laïi _ + m Δ (F) = F song song trục Δ hay giá F cắt trục Δ Trong tài liệu quy ước đại lượng mômen qua chữ M, M, m Định lý liên hệ Hình chiếu mômen lực F tâm O ∈ ( Δ ) mômen F với trục ( Δ ): [ ] r hc Δ m o∈Δ (F) = m Δ (F) Chứng minh Theo H.1.2 ta coù: [ ] [ (1.4) ] [ r r hc Δ m o ∈ Δ (F) = hc Δ m o ∈ Δ (F ⊥ ) = hc Δ (OI + IA) A F ⊥ theo (1.3), ta có điều phải chứng minh ] 3- Hệ lực Hệ lực ϕ (F k ) ≡ (F1 , F , , F n ) : lực tác động vào vật khảo sát Hai hệ lực tương đương: hệ lực ϕ (F k ) tương đương với Ψ ( P ’e) (ký hiệu ϕ (F k ) ≡ ψ (P e )) chúng có tác dụng học Hợp lực hệ lực: hợp lực R hệ lực ϕ (F k ) , lực tương đương với hệ lực: R ≡ ϕ (F k ) Hệ lực cân bằng: hệ lực ϕ (F k ) cân hay gọi tương đương không (ϕ (F k ) ≡ 0) hệ lực tác dụng vào vật không làm thay đổi trạng thái chuyển động vật 1.2 HỆ TIÊN ĐỀ TĨNH HỌC Tiên đề (cặp lực cân bằng) Hệ hai lực cân chúng đường tác dụng, hướng ngược chiều nhau, cường độ ( F, F' ) ≡ ⇔ F F’ S F S F’ Hình 1.3 Tiên đề Thêm hay bớt cặp lực cân ( F, F' ) ≡ không làm thay đổi tác dụng ( , hệ lực ⎛⎜ F, F , F1 , F , F n ⎞⎟ ≡ F1 , F , , F n ⎝ ⎠ ) Tiên đề hình bình hành lực Hai lực đặt điểm tương đương với lực đặt điểm biểu diễn vector đường chéo hình bình hành có hai cạnh hai lực ( ) thành phần F A , F' A ≡ R A F R F’ Hình 1.4 Tiên đề lực tương tác Lực tác dụng phản tác dụng hai vật hai lực đặt lên vật tương tác chúng đường tác dụng, hướng ngược chiều nhau, cường độ Tiên đề hóa rắn Vật biến dạng cân hóa rắn lại cân (điều ngược lại không đúng) Tiên đề giải phóng liên kết, vật gây liên kết, vật chịu liên kết 1- Vật không tự do, vật tự - Vật không tự vật di chuyển tùy ý lân cận bé từ vị trí xét - Vật tự vật dịch chuyển tùy ý hướng lân cận bé từ vị trí xét 2- Vật chịu liên kết, vật gây liên kết Vật khảo sát (S) quy ước vật chịu liên kết, vật thể khác tương tác học với S gọi vật gây liên kết, chúng có vai trò cản trở chuyển động hay xu hướng chuyển động S vật không tự 3- Tiên đề giải phóng liên kết Vật không tự xem tự ta thay vật gây liên kết phản lực liên kết Một số hệ mô hình phản lực liên kết Hệ trượt lực: Với vật rắn tuyệt đối lực đại lượng vector trượt Chứng minh Cho (F A ), điểm B tùy ý B giá F A đặt hệ lực cân , ( F B , F B ) ≡ có tính chất F B F A trượt điểm B v r r 42r4 S S F B , F A Hình 1.5 r (F A ) = (FA , FB , FB ) ≡ FB : điều phải chứng minh ≡0 1.3 MỘT SỐ MÔ HÌNH PHẢN LỰC LIÊN KẾT THƯỜNG GẶP • Tính chất phản lực liên kết Theo tiên đề 6, phản lực liên kết phải thay vai trò cản trở chuyển động hay xu hướng chuyển động vật gây liên kết đặt vào vật khảo sát S, chúng phụ thuộc hai yếu tố: - Khả chuyển động vật khảo sát (do lực hoạt động tác động vào S) biểu qua cường độ phản lực (luôn ẩn số) - Tính chất cản trở chuyển động hay xu hướng chuyển động vật gây liên kết (đặt vào vật khảo sát) biểu qua phương (chiều) phản lực Dựa vào đánh giá biểu diễn thành phần phản lực số mô hình liên kết thường gặp kỹ thuật • Các mô hình phản lực liên kết 10 1- Phản lực liên kết tựa chiều (không ma sát) S S NA A a) b) Hình 1.6 Vật khảo sát tựa bề mặt vật gây liên kết, mặt tựa có khả cản trở chuyển động xu hướng chuyển động vật khảo sát theo phương pháp tuyến chúng điểm tiếp xúc Phản lực đặt vào vật tiếp điểm hướng theo pháp tuyến mặt tựa N i - H.1.6a; N A - H.1.6b - Phản lực có phương chiều xác định, cần tìm cường độ - Một số mô hình liên kết tựa kỹ thuật: NA NB NA C S A NA S NC B B A A c) b) a) NB Hình 1.7 2- Liên kết lề trụ (khớp lề) Ry R Rx A ) b) Hình 1.8 Loại liên kết gồm hai ống trụ lồng vào nhau, vật khảo sát xu hướng quay quanh trục vuông góc với trục lề Để đơn giản, xem mô hình phẳng, hình tròn vòng tròn tựa lên nhau, không cho khỏi Phản lực luôn qua tâm O (chung) nằm mặt phẳng vuông góc với trục lề, trượt O, phản lực biểu diễn qua hai thành phần vuông góc ( R , R ) x y Chiều chúng chọn cách chủ quan, không thực tế 213 39 Khảo sát chuyển động hộp tốc độ biểu diễn hình vẽ Trục dẫn trục bị dẫn liên hệ với cặp bánh hành tinh kép Trục dẫn I mang tay quay AB, trục bị dẫn IV mang bánh 4, ổ trục đặt hai đầu tay quay mang trục cặp bánh hành tinh 2-3 ωΙ ωΙ ωΙ I 2 II 3 Cho biết bán kính r1, r2, r3, r4 bánh răng, mômen quán tính trục dẫn với chi tiết gắn trục quay hình học J1 Cặp bánh hành tinh 2-3 có khối lượng m2 có trọng tâm nằm trục đối xứng hình học có mômen quán tính trục J2 Mômen quán tính trục bị dẫn chi tiết lắp với trục quay hình học J4 Trục dẫn chịu tác dụng ngẫu lực cản có mômen M1, trục bị dẫn chịu tác dụng ngẫu lực cản có mômen M4, giả thiết M1 M4 không đổi, bỏ qua ma sát Tìm gia tốc góc trục l (xem hình) r1r3 ) r2r4 Đáp số: ε1 = rr r J1 + 2m2 (r1 + r2 )2 + 2J2 (1 + )2 + J1 (1 − )2 r2 r2r4 M1 − M4 (1 − 40 Một vật A có trọng lượng P kéo lên từ trạng thái đứng yên nhờ tời B có bán kính R, trọng lượng Q chịu tác dụng ngẫu lực có mômen M = Mo – αω2 Mo α số, ω vận tốc góc tời Cho biết bán kính tời trục quay O ρ Tìm vận tốc góc giới hạn tời quay vận tốc góc trình chuyển tiếp từ trạng thái yên nghỉ Đáp số: đó: ωgh = A ; B A=g ω = ωgh M − PR PR + Qp e ABt − e− ABt e ABt + e− ABt ; B=g α PR + Qp2 III NGUYÊN LÝ D’ALAMBERT O B M A 214 41 Toa xe trọng lượng P lăn theo đường ray AB sau theo đường tròn vòng lại BCB, bán kính a Hỏi phải thả xe không vận tốc ban đầu từ độ cao h để xe hết đường tròn? Xác định áp lực N xe lên đường tròn điểm M A C M h B 2h Đáp số: h ≥ 2,5a; N = P( − + cos ϕ) a 42 Tải Q = KN thả với tốc độ v = m/s đột ngột bị hãm Bỏ qua trọng lượng dây xác định sức căng cực đại tải trọng dao động thẳng đứng tiếp theo, biết hệ số cứng dây C = KN/cm Đáp số: T = 47,1 KN 43 Đầu máy xe lửa chuyển động đường ray thẳng ngang với vận tốc 72 km/h Xác định áp lực phụ lên ray tác dụng quán tính AB gây Khối lượng AB m = 200 kg phân bố Tay quay có độ dài O1A = 0,3 m, bán kính bánh xe R = m, giả thiết bánh xe lăn không trượt (hình vẽ) Đáp số: N max = 24,03.103 N 44 Cơ hệ hình vẽ, dây mềm không dãn, tải A trọng lượng P1, tải B trọng lượng P2, bỏ qua ảnh hưởng ma sát khối lượng khác Tính áp lực tổng hợp lên mô D lăng trụ C Đáp số: N = P1 ϕ O Q A B O1 O1 A B D C α P1 sin α − P2 cos α P1 + P2 45 Cơ hệ hình vẽ, bỏ qua khối lượng dây, khối lượng khác ma sát ổ trục Xác định: gia tốc W tải P theo Q; Điều kiện để tải P xuống; Điều kiện để tải P chuyển động P Đáp số: W = 4g 4P − Q ; 16P + Q P = Q Q 215 46 Hai tải trọng M1, M2 có trọng lượng tương ứng P1, P2 buộc vào hai đầu sợi dây mềm nhẹ hình vẽ Bỏ khối lượng ròng rọc Tìm sức căng nhánh dãy gia tốc tải trọng Đáp số: W = g M1 P2 − P1 2P1P2 ; T1 = T2 = P1 + P2 P1 + P2 M2 47 Các giả thiết yêu cầu (46) ròng rọc xem vành tròn đồng chất trọng lượng P Đáp số: W = g P2 − P1 P (2P2 + P ) P (2P1 + P ) ; T1 = ; T2 = P1 + P2 + P P1 + P2 + P P1 + P2 + P 48 Bộ điều chỉnh ly tâm quay vận tốc góc ωo Tìm liên hệ góc lệch α vận tốc góc ωo khối C trụ A trọng lượng P1, cân B trọng α a C α B B lượng P2, lò xo có độ cứng k gắn chặt đầu với α CC Các kích thước cho hình vẽ (bỏ qua trọng lượng tay quay lò xo) α A P + P2 + 2lk (1 − cos α) tgα Đáp số: ω2 = g P2 (a + l sin α) 49 Dầm AB trọng lượng Q kéo tốc W tối thiểu xe để đầu A ωo C theo sau xe tải nhờ dây mềm nhẹ BC, biết CD = h; AB = a; BC = l Tìm gia l B h A rời khỏi mặt đường Tính sức căng dây D T trường hợp (hình vẽ) Đáp số: W = g g P P (l + a ) = (l + a ) − h ; T = = sin α h tgα h 50 Cho hệ hình vẽ, bỏ qua ma sát ổ trục O M tải B Cho trọng lượng tương ứng PA = 2PB PC; bán kính quán tính trụ C trục quay O ρ vaø R = 2r B 30 o A Wa 216 a) Xác định WA sức căng nhánh dây Với giá trị M kết chấp nhận? b) Với giá trị cụ theå PB = 100 N; PC = 400 N; M = 21,2 Nm; ρ = 0,08 m; r = 0,1 m; EO = m; thời điểm ban đầu EB = 0,6 m; lấy g = 10 m/s2 Hãy xác định phản lực ngàm E Đáp số: a) WA 3 PB r ; T =P WA = gR + B B 2 2 gR PA R + PB r + PC ρ M + PA R − PB r TA = PA − R qt A ; M ≤ PB r + (PB r + PC ρ ) R b) WA = 9,1; TB = 132,1; TA = 18; E x = 22,8; E y = 561,3; M E = 451,8 (N,m) 51 Một nêm nhẵn trọng lượng P góc đỉnh 2α đẩy tách hai ván nằm ngang hình vẽ Cho trọng lượng P P1 P1 2α ván P1, bỏ qua ảnh hưởng ma sát, viết phương trình chuyển động nêm ván Đáp số: Snêm = Wt Pcotgα : W = g Pcotgα + 2P1 tgα S vaùn = W1 t P : W1 = g P cot gα + 2P1 tgα 52 Thanh thẳng đồng chất gắn lề vào trục quay thẳng đứng hình vẽ Cho: ωO A OA = a; OB = b Trục quay với vận tốc góc ωo, chốt lề nằm ngang, bỏ qua ma sát Tìm hệ thức ωo góc nghiêng ϕ AB ổn x O ϕ định trục quay Đáp số: cos ϕ = 3g B a−b 2ω2o a − ab + b ωo 53 Trên trục quay đối xứng động lực AB thẳng đứng, người ta gắn OD vuông góc với AB OE, OE tạo với AB góc ϕ (hình E ϕ O y D x A 217 veõ) Cho OE = OD = l, AB = 2OA = 2OB = 2a Tại đầu mút E, D người ta gắn tải trọng có khối lượng m Xác định áp lực động lực lên trục quay bỏ qua trọng lượng kích thước tải trọng Đáp số: ⎧ mlω2 ⎪⎪X A = X B = ⎨ ⎪Y = mlω (a − l cos ϕ) sin ϕ ; A ⎪⎩ 2a YB = mlω2 (a + l cos ϕ) sin ϕ 2a 54 Tấm hình chữ nhật đồng chất trọng lượng P quay trục thẳng đứng với vận tốc góc ωo (cosnt) Hãy xác định lực xé làm đôi theo đường qua trục quay Đáp soá: S = ωo a a Paω2o 4g a 55 Trụ đặc đồng chất có liên kết chịu lực hình vẽ Tìm chu kỳ dao động tâm trục C vào sức căng dây Cho biết độ cứng lò xo K, dây mềm, nhẹ không dãn mg ky; T = + ky (Lấy gốc y vị Đáp số: &y& = − 3m K C y trí cân tónh tâm C) 56 Thanh đồng chất AB đặt lên hai trụ O tròn bán kính quay ngược chiều A hình vẽ Thanh AB chuyển động nhờ lực ma sát trục quay với hệ số μ 1/ Xác định chuyển động l đặt dịch khỏi vị trí đối xứng đoạn xo với vận tốc ban đầu vo = 0; AB = 4l 2/ Tìm μ biết chu kỳ dao động T hai giây ⎛ μg ⎞ t ⎟; ⎟ l ⎠ ⎝ Đáp số: x = x o cos⎜⎜ μ= 4π l gT mg x C B l 57 Để xác định độ nhớt chất lỏng culong dùng phương pháp sau Cho mỏng treo vào lò xo thực dao động không khí (bỏ qua sức cản) đo chu kỳ dao động T1, sau cho A dao động chất lỏng đo chu kỳ T2 Lực ma sát A chất lỏng lấy theo công thức: F = 2Sηv A 218 đó: S - diện tích bề mặt A η - hệ số nhớt; v - vận tốc Hãy xác định η biết trọng lượng P Đáp số: η = πP gST1 T2 T22 − T12 Chú ý: Phương trình dao động có cản: &x& + 2δx& + ωx = → tần số dao động ω1 = ω − δ IV PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT ĐỘNG LỰC HỌC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LAGRANGE II 58 Thanh DE có trọng lượng Q tựa ba lăn có trọng lượng P Thanh chịu tác dụng lực ngang F hướng bên phải Coi không xảy tượng trượt lăn lăn ngang Tìm gia tốc DE Coi lăn khối trụ đồng chất E D F A B C Bỏ qua ma sát lăn (xem hình) Đáp số: W = 8gF 8Q + 9P 59 Lập phương trình vi phân chuyển động lắc toán học khối lượng m treo vào đầu tự dây đàn hồi có độ dài cần l có độ cứng đàn hồi c g ⎧ && + 2z& ϕ& + sin ϕ = ⎪⎪(1 + z)ϕ l Đáp số: ⎨ ⎪&z& − (1 + z)ϕ& + c z + g (1 − cos ϕ) = ⎪⎩ m l đó: ϕ - góc lệch dây treo phương thẳng đứng độ dãn tương đối dây so với chiều dài cân z - Trong điều kiện dao động nhỏ, phương trình chuyển động lắc viết sau: 219 ⎛ c ⎞ t + α ⎟; z = A sin⎜ ⎜ m ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ g ⎞ ϕ = B sin⎜ t + β⎟ ⎜ l ⎟ ⎝ ⎠ với A, B, α, β phụ thuộc vào điều kiện đầu chuyển động 60 Một ống trụ tròn rỗng, đồng chất, có trọng lượng P, bán kính đáy R quay quanh trục thẳng đứng Trên mặt ống trụ có xẻ rãnh đinh ốc, bước đường đinh ốc h Một viên bi nhỏ chạy rãnh tác dụng trọng lượng thân Bỏ qua ma sát Thành lập phương trình vi phân chuyển động hệ, cho biết ban đầu hệ đứng yên Tìm phương trình chuyển động hệ Đáp số: Phương trình vi phân chuyển động: Q + P 2&& Q R θ + R sin γ.&s& = q q Q Q R sin γ&θ& + &s& = P cos γ q q Phương trình chuyển động: θ= P sin 2γ g t2 2 QR cos γ + PR s= Q cos 2γ + P P t2 γ cos Q cos γ + P Q đó: θ - góc quay trụ s - quãng đường viên bi theo rãnh 61 Vật A có khối lượng m kéo lên nhờ trục quay I II có bán kính R mômen quán tính chúng trục quay riêng J J Xác định gia tốc vật A trục quay I chịu tác dụng ngẫu lực có mômen M1 M1 M2 Bỏ qua khối lượng ròng rọc ma sát ổ trục Coi dây nhẹ, không J A II M2 220 dãn không trượt ròng rọc (hình vẽ) Đáp số: WA = 2M1 + M − 5mgR J + 5mR 62 Một dầm có tiết diện vuông, khối lượng m bị khoét lỗ hình trụ bán kính R nối C với thành cố định nhờ lò xo có độ cứng C trượt không ma sát dọc theo phương ngang Dọc theo bề mặt lỗ lăn không trượt hình trụ đồng chất khối lượng m, bán kính r (r < R), xem hình vẽ Thành lập phương trình vi phân chuyển động hệ O ϕ O1 ⎧(M + m)&x& + m(R − r) cos ϕ.ϕ && − m(R − r) sin ϕ.ϕ& + c.x = ⎪ Đáp số: ⎨ && + mg(R − r) sin ϕ = ⎪m(R − r) cos ϕ.&x& + m(R − r) ϕ ⎩ đó: x - hoành độ trọng tâm dầm ϕ - góc đoạn thẳng nối tâm lỗ tâm trụ đường thẳng đứng 63 Thành lập phương trình vi phân chuyển động lắc có khối C lượng m độ dài l, điểm treo nằm tâm đóa bán kính r có khối lượng m1 Đóa lăn không trượt dọc trục ngang Ox, tâm đóa nối với tường cố định nhờ lò xo có độ cứng C (xem hình) m1 x ϕ M ⎧⎪(3m1 + 2m)&x& + 2ml cos ϕ.ϕ && − 2ml sin ϕ.ϕ& + 2c.x = && + g sin ϕ = ⎪⎩cos ϕ.&x& + l.ϕ Đáp số: ⎨ 64 Trên hình vẽ cho sơ đồ máy ghi địa chấn Gắn bệ máy cuộn tự cảm có n vòng dây với bán kính r có điện trở Ôm tổng cộng R, hệ số tự cảm L Lõi sắt từ hình trụ đồng trục với cuộn tự cảm gây khoảng không từ trường phẳng xuyên tâm với hệ số cảm ứng B Lõi sắt có khối lượng M M đỡ lò xo có hệ số cứng tổng cộng C chịu tác dụng c/2 c/2 lực cản nhớt βx, x chuyển rời lõi sắt từ tính từ vị trí cân Nền rung theo quy luật ξ= ξosinωt Đóng kín mạch điện cách A nối liền hai cực cuộn tự cảm dây 221 dẫn có điện trở nhỏ không đáng kể Thành lập phương trình vi phân chuyển động hệ (xem hình) ⎧⎪M&x& + βx& + cx − 2πrnBq& = Mξ o ω2 sin ωt && + Rq& + 2πrnBx& = ⎪⎩Lq Đáp số: ⎨ 65 Thành lập phương trình chuyển động hệ điện biểu diễn hình vẽ Chiều dài lò xo lúc không biến dạng 1, độ cứng C, khối lượng a + vật với động m Khi lò xo không bị biến dạng khoảng cách động cố định tụ a, điện dung baèng C1 L Co m R e(t) P(t) ~ q ⎧ && ⎪mx + cx − aC = mg + P(t) ⎪ Đáp số: ⎨ q q ⎪Lq && + − (a − x) + Rq& = e(t) C o aC1 ⎩⎪ V CÁC BÀI TOÁN ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN MỘT VÀ HAI BẬC TỰ DO (BÀI TOÁN TỔNG HP) 66 Hai trục chuyền động hình vẽ Biết tỉ số truyền trục I trục II 1/2, mômen quán R tính trục quay (hình học) trục O O R J1, J2; bán kính trục I R1, góc mở α Xác định vận tốc góc, gia tốc góc trục II (và phản lực ăn khớp răng) trường hợp: a) M = const b) M = Mo – aω1 Trong trường hợp xác định thêm vận tốc góc giới hạn trục quay II 1 2 R 67 Cơ hệ hình vẽ, giả thiết lăn B (là r trụ tròn đồng chất) lăn không trượt mặt O phẳng nghiêng, trụ kép O có mômen quán tính M trục quay Jo Xác định W A , V A từ B trạng thái đứng yên cho: A I a) PA = KN; PB = KN; Po = KN -5 M = 0,2 KNm; Jo = 25.10 kgm α o R = 2RB = 2r = 0,2 m; α = 30 b) Cùng với giá trị thay đổi M = KNm Biểu thức tính VA, WA có thay đổi không? (hướng dẫn: ý đến sức căng dây) 222 68 Cơ hệ gồm tải A lăn B nối với dây mềm nhẹ quấn qua ròng rọc C hình vẽ Khối lượng tương ứng vật rắn mA, mB, mC, hệ số ma sát trượt tónh với mặt tựa lăn B f1, tải A f2, hệ số ma sát trượt động mặt tựa A f2’, RC R = B C B A β α Bỏ qua ảnh hưởng cản trở chuyển động khác Đặt ngẫu MC (const) vào ròng rọc C a) Xác định WB chuyển động lên từ trạng thái đứng yên (coi lăng trụ E cố định) b) Tính sức căng nhánh dây, phản lực tựa A theo khả xảy Từ đánh giá lại kết câu a c) Xét trường hợp cụ thể: mA = 10 kg; mB = kg; MC = 40 Nm; RC = 0,2 m; f1 = f2 = 0,7; f2 = 0,4; o α = 60 (lấy g = 10 m/s2) 69 Cơ hệ hình vẽ Tải A trọng M lượng P, lăn B (là trụ tròn đồng chất) trọng lượng Q bán kính R Giả B thiết lăn lăn không trượt (theo chiều M) A I Bỏ qua ngẫu cản lăn, xác định: a) WA; εB; WB; ωB; VB tải A lăn bỏ qua ma sát ròng rọc b) Xác định sức căng dây phản lực I cho Q = 200 N; P = 100 N; R = 0,2 m; hệ số ma sát trượt lăn mặt f = 0,7 Tìm giá trị M để đảm bảo lăn không trượt 70 Con lăn trọng lượng Q có bán kính R quấn dây mềm không dãn treo tải trọng A trọng lượng P Cho J B = M B Q R vaø ngẫu M 12g (hằng số) đặt vào lăn Với giả thiết lăn lăn không trượt xác định: a) WA từ trạng thái đứng yên Tìm điều kiện để tải A lên, xuống I α A 223 b) Phản lực I bao nhiêu? Khi cho hệ số ma sát trượt lăn mặt nghiêng f, tìm giá trị cho phép M để kết chấp nhận Tính giá trị lấy: R = 0,4 m; Q = 600 N; P = 100 N; f = 0,6; α = 30o (hình vẽ) Giả thiết xem dây thẳng đứng e r Đáp số: W A = W + W ; W e = W r = WB WB = gR M − (P + P sin α + Q sin α)R J B g + PR (1 + sin α) + QR = M − 180 38 FI = 1,97M – 5,26; NI = 0,22M + 5,6519 Không trượt: –166,09 < M < 187,15 (N,m,s) 71 Cơ hệ hình vẽ Bỏ qua ma sát A ổ trục O ma sát lăn liên kết I Ngẫu Mo, lực F A số, trọng lượng tương ứng α vật rắn PA, PB, Po Giả thiết lăn B lăn không trượt Hãy xác định: a) W A , W B từ trạng thái đứng yên M B B I b) Sức căng nhánh dây phản lực I c) Đánh giá kết cho: Ro = 2ro = 2RB = 0,2 m; α = 30o; PA = 2PB = Po = 200 n; Hệ số ma sát trượt I f = 0,6 Giá trị Mo F cho sau: - Mo = 30 Nm; F = 40 N - Mo = 60 Nm; F = 10 N 72 Khối trụ tròn đồng chất đặt sàn ngang AB gần mép nhọn sắc B sàn cho mép song song với đường C sinh hình trụ, bán kính khối trụ R α Truyền cho khối trụ vận tốc ban đầu nhỏ C để lăn xuống không trượt quanh mép B Giả sử lúc mặt phẳng chứa mép B trục trụ tạo với mặt phẳng thẳng đứng góc α khối trụ rời mép B Bỏ qua ma sát lăn lực cản không khí Tìm giá trị α vận tốc góc khối trụ thời điểm Từ suy vận tốc góc khối trụ chuyển động o 224 g 2R Đáp số: α = ar cos ; ω = 73 Một dầm đồng chất dài AB = 2l đặt vị trí nằm ngang, thời điểm dây B bị đứt dầm bắt đầu chuyển động quay quanh trục A Tại thời điểm dầm thẳng đứng đầu A bị liên kết Xác định quỹ đạo khối tâm dầm vận tốc chuyển động ω 3g 2l Đáp số: y = 3lx − 3l , ω = A 74 Tải M nằm đỉnh vòm cầu nhẵn bán kính R nhận vận tốc Vo Tới vị trí tải M rời khỏi vòm cầu? Với giá trị Vo tải M rời vòm cầu thời điểm ban đầu? Đáp số: ϕ = ar cos( + Vo2 3gR A B ); Vo ≥ M ϕ O R gR 75 Hai trụ tròn xoay đồng chất A, B có trọng R lượng P1, P2 bán kính tương ứng R1, O R2 quấn hai sợi dây mềm, nhẹ phân bố đối xứng với mặt phẳng vuông góc với trục trụ qua tâm trục trụ Khối trụ B rơi xuống R không vận tốc ban đầu vừa nhả dây vừa làm quay trụ A quanh trục cố định O Bỏ qua ảnh hưởng lực cản, xác định: - Vận tốc góc trụ - Quy luật chuyển động tâm O2 sức căng nhánh dây 1 2 Đáp số: ω A = P1 P2 2gt 2gt ; ωB = 3P1 + 2P2 R1 3P1 + 2P2 R S O2 = g (P1 + P2 ) t ; 3P1 + 2P2 T= P1 + P2 2(3P1 + 2P2 ) 76 Cho hệ hình vẽ Trọng lượng tương ứng vật PA, PB, PE Bỏ qua tất trọng lượng khác ma sát ổ trục a) Xác định gia tốc xuống tải B từ trạng thái đứng yên cho hệ số ma sát trượt tónh ft trượt động fđ tải A ngang A C B E 225 Từ suy điều kiện trọng lực để B khởi động xuống? b) Xét cụ thể trường hợp: + PA = 160 N; 2PE = PB = 200 N; ft = 0,5; fñ = 0,3 + Như câu a) thay đổi ft = 0,7; fđ = 0,4 77 Cơ hệ gồm tải A lăn B nối với Mc dây mềm nhẹ quấn qua ròng C rọc C hình vẽ Các vật rắn khối lượng tương ứng mA, mB, mC; lăng trụ E F E có trọng lượng Q; hệ số ma sát trượt α β tónh với mặt tựa lăn B f1, tải A f2, hệ số ma sát trượt động mặt tựa A f2’, R C = RB B Lăng trụ E chịu tác động lực F nằm ngang, ngẫu MC (const) đặt vào ròng rọc C Bỏ qua ma sát E a) Lập phương trình vi phân chuyển động hệ b) Tính sức căng nhánh dây áp lực lên ngang c) Xét trường hợp cụ thể: RC = 0,2 m; MA = 10 kg; mB = kg; Q = 200 N; F = 100 N MC = 40 Nm; f1 = f2 = 0,7; f2 = 0,4; α = 60o (laáy g = 10 m/s2) 78 Cho hệ hình vẽ, giả sử lăn B lăn không trượt, xem dây treo tải A thẳng đứng Biết: PA = 20 N; r = 0,1 m; PB = 100 N R = 0,2 m; PD = 100 N; ρ = 0,1 m (ρ bán kính quán tính lăn B trục qua tâm B vuông góc với mặt phẳng chuyển động) I Lăng trụ D giữ cố định: 1/ Cho tải A xuống theo quy luật s = 0,2 + 0,3t2 (m) Xác định V B , W B thời điểm t = giây Dây xem không dãn 2/ Xem khối lượng M dây ròng rọc không đáng kể Hãy: R a) Xác định WA xuống r từ trạng thái đứng yên B A I b) Tính sức căng nhánh D dây phản lực tiếp điểm I, từ 30 o 226 xác định giá trị ngẫu M để đảm bảo kết câu a) (con lăn lăn không trượt tải A xuống) cho hệ số ma sát trượt lăn mặt nghiêng f = 0,5 bỏ qua ma sát lăn II Giả sử lăng trụ trượt ngang: 1/ Cho M = Nm, xác định hệ số ma sát trượt tónh lớn lăng trụ D ngang để D chuyển động được? 2/ Giả sử ma sát D ngang không đáng kể, lập phương trình vi phân chuyển động hệ VI VA CHẠM 79 Thiết bị dùng để xác định hệ số khôi phục vật liệu thụ nghiệm, gồm quay mặt phẳng thẳng đứng quanh trục nằm ngang qua O Cách O đoạn x người ta gắn lên mẫu cần thử Thả cho rơi không vận tốc từ đầu vị trí nằm ngang, quay quanh O đến vị trí thẳng đứng mẫu thử đập vào mẫu cố định chế tạo vật liệu mẫu nói Chiều dài l O x ϕ Xác định hệ số khôi phục k sau va chạm bị bật lại góc ϕ so với vị trí thẳng đứng tìm khoảng cách x đặt mẫu thử so với trục quay O để va chạm không sinh phản lực va chạm O (xem hình) ϕ Đáp số: k = sin ; x = l 80 Moät lắc thử đạn gồm có trụ AB treo vào trục O nằm ngang Khối trụ chứa đầy cát Viên đạn bắn vào khối trụ, xuyên vào cát làm cho khối trụ quay quanh trục O góc α so với đường thẳng đứng Cho biết khối lượng trụ M, khoảng cách từ đường va chạm đến trục quay O a Giả thiết trục O không chịu tác dụng lực va chạm, nghóa ah = ρ2 Khối lượng viên đạn m (xem hình) Tìm vận tốc viên đạn theo góc lệch α lắc Đáp số: v = 2(Mh + ma) m g α sin a O h C a 227 81 Một khối hình hộp AB đặt lăn theo đường ray nằm ngang với vận tốc v Nhờ mấu B h tấm, khối hình hộp không bị trượt quay quanh mấu B Cho h chiều cao trọng tâm khối hình hộp tấm, ρ bán kính quán tính khối hình hộp mấu B C B V a) Xác định vận tốc góc ω khối hình hộp quanh mấu B bị dừng tức thời b) Xem khối hình hộp vật đồng chất có chiều cao h = m, chiều dài dọc m Tìm vận tốc v để khối hình hộp AB bị lật nhào quanh mấu B (xem hình) Đáp số: ω = h ρ2 V; v = 30 km / s 82 Khảo sát va chạm hệ gồm hai vật A B, vật A chuyển động tự theo hướng ngang, vật B gắn vào lò xo có hệ số cứng C Giả sử trước va chạm vật A có vận tốc v10 > vật B có vận tốc v20 = V1o B Tìm vận tốc hai vật sau va chạm thời điểm t1 hai vật lại va chạm vào chạm lần đầu Cho biết khối lượng vật tương ứng m1 m2, hệ số khôi phục k (xem hình) Đáp số: v A = m + m2k m1 − km v10 v10 ; v B = m1 + m m1 + m Và khoảng thời gian t1 xác định từ phương trình siêu việt: sin vt1 m − km = vt1 m1 + m đó: v = c m2 ... chuyển khả dó Chương 14 PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT ĐỘNG LỰC HỌC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LAGRANGE II 14.1 Phương trình tổng quát động lực học 14.2 Phương trình Lagrange II Chương 15 LÝ THUYẾT VA CHẠM 15.1 Định... ĐỊNH LÝ TỔNG QUÁT ĐỘNG LỰC HỌC 12.1 Các định lý chuyển động khối tâm - động lượng mômen động lượng 12.2 Định lý động Chương 13 NGUYÊN LÝ DI CHUYỂN KHẢ DĨ 13.1 Một số khái niệm 13.2 Nguyên lý di... LÝ THUYẾT VA CHẠM 15.1 Định nghóa, đặc điểm tượng va chạm giả thiết lý thuyết va chạm 15.2 Các định lý tổng quát động lực học trình va chạm 15.3 Va chạm thẳng xuyên tâm hai vật chuyển động tịnh