GIÁO TRÌNH - Cơ học chất lưu (Nguyễn Hữu Thành)

NHÁÛP MÄN: CÅ HC CHÁÚT LỈU CHỈÅNG CẠC KHẠI NIÃÛM VÃƯ CHÁÚT LỈU §1.ÂËNH NGHÉA Cạc trảng thại lng v khê gi cạc cháút lỉu chụng trại ngỉåüc våïi trảng thại ràõn -Sỉû khạc biãt giỉỵa cháút lng v cháút khê Cháút khê chiãúm ton bäü thãø têch m âỉåüc chỉïa Cn cháút lng thç khäng (vê dủ: Bçnh âỉûng khê v bçnh âỉûng nỉåïc) -Ranh giåïi giỉỵa cháút lng v cháút khê tỉì sai lãûch vãư âäü låïn ca ρ (khäúi lỉåüng thãø têch) n* (máût âäü riãng hay máût âäü hảt) Cháút lng låïn hån khong 1000 láưn) [ρ = M ρ ; n* = M A | M A : A vogadro V M Âiãưu ny cho tháúy: Khäúi lỉåüng thãø têch cng tàng, thç cạc pháưn tỉí cng gáưn v cạc lỉûc tỉång tạc phán tỉí cháút lng ráút quan trng -Sỉû khạc biãût giỉỵa cháút lng v cháút ràõn + Dãù chy, láúy dảng chỉïa lm hçnh dạng + Cọ thãø cáúu tảo lải sau ri (rọt ra) Hiãûn tỉåüng lûn khạc biãût giỉỵa cháút lng v cháút ràõn âỉåüc gii thêch båíi di âäüng ráút låïn ca cạc pháưn tỉí trảng thại lng Mäüt sỉû khạc biãût nỉỵa l váûn täúc cạc âiãøm ca cháút ràõn âỉåüc theo theo cäìng thỉïc: () r r r r V P = V(M ) + Ω ∧ MP Cn âäúi våïi cháút lng váún âãư ny ráút tinh tãú cháút lng chuøn âäüng §2.MÄ HÇNHCA CHÁÚT LỈU -Theo kêch thỉåïc vé mä: Cháút lỉu l mäi trỉåìngliãn tủc; ngỉåìi ta thỉåìng láúy chiãưu di âàûc trỉng L âãø quan sạt kêch thỉåïc vé mä âỉåüc ạp âàût cho váún âãư nghiãn cỉïu -Theo kêch thỉåïc vi mä: Cháút lỉu l khäng liãn tủc gäưm cạc pháưn tỉí âang xạo âäüng nhiãût liãn tủc -Theo kêch thỉåïc trung mä: L kêch thỉåïc trung gian giỉỵa vé mä v vi mä Cháút lỉu váùn l mäi trỉåìng liãn tủc + Våïi quan âiãøm ny chát lỉu âỉåüc càõt bàòng cạc tãú bo phán täú hay phán täú cháút lỉu = hảt cháút lỉu (âỉåüc chỉïa ráút låïn säú phán tỉí) -Váûn täúc ca hảt cháút lỉu táûp trung tải âiãøm M åí thåìi âiãøm t bàòng giạ trë trung bçnh ca cạc váûn täúc ca cạc pháưn tỉí âỉåüc chỉïa Kãút lûn: Kêch thỉåïc hảt ca cháút lỉu l trung mä, cho phẹp kãút håüp vo hảtâọ, nhỉng âải lỉåüng vé mä âãø mä t cháút lỉu mäüt mäi trỉåìng liãn tủc §3.ẠP SÚT CA CHÁÚT LỈU 1.Âënh nghéa Ạp sút P(M) tải âiãøm M Trong cháút lỉu âỉåüc xạc âënh âỉåüc båíi r r dF = − P(M )dsn ds: pháưn täú diãûn têch bao quanh âiãøm M r n : phạp tuún âäúi våïi ds P(M): âải lỉåüng vä hỉåïng r dF : Lỉûc bãư màût tải âiãøm M 2.Âiãưu kiãûn åí biãn Gi P1 v P2 l ạp sút bãn ca phán täú ds Mäüt phán täú thãø têch dV=hds, dm: phán täú khäúi lỉåüng Theo phỉång trçnh cå bn ca ÂLH: r r r dm.a = f V dV + (P1 − P2 )n12 ds vç h vä cng bẹ → dm, dV = ⇒ P1 = P2 ÅÍ màüt phán cạch hai cháút lỉu ạp sút l liãn tủc §4.TÊNH NHÅÏT Âãø phn ạnh chuøn âäüng ca cạc cháút lỉu thỉûc Tỉì thỉûc nghiãûm ta âỉa ra: lỉûc càõt (trỉåüt) hay gi lỉûc nhåït chuøn âäüng mäüt chiãưu âỉåüc thãø hiãûn sau: r r r r ∂V V = v( y, t )e x F =η S ∂y S : dientich η : gi l âäü nhåït; l hàòng säú âàûc trỉng ca cháút lỉu Cọ thỉï ngun l: [ML-1T-1]: (Kg/m.s) (N.s/m2) Pa.s 1Pa = 1N/m2 Trong (SI) Pl = Pa.s (poisenille) Tênh nhåït l cháút ca cháút lỉu chäúng lải sỉû dëch chuøn Táút c cạc loải cháút lỉu thỉûc âãưu cọ nhåït nháút âënh, thãø hiãûn dỉåïi dảng ma sạt cọ sỉû di chuøn tỉång âäúi giỉỵa cạc pháưn tỉí cháút lỉu Cạc cháút lỉu ráút nhåït thç cọ chäúng sỉïc lải sỉû di chuøn ráút låïn.Vê dủ dáưu måỵ, nhåït Tênh nhåït âàûc trỉng cho âäü chy ca cháút lỉu §5.PHÁN BIÃÛT DNG CHY TÁƯNG V DNG CHY RÄÚI SÄÚ REYNOLDS 1.Thỉûc nghiãûm ca dng chy cháút lỉu thỉûc *Thê nghiãûm ca Reynolds Dng bçnh chỉïa nỉåïc näúi våïi äúng thy tinh Khi måí khọa vi nỉåïc cọ thãø chy vo äúng våïi cạc váûn täúc khạc Nỉåïc máưu âi tỉì l âỉûng máưu qua äúng dáùn vo äúng thê nghiãûm Våïi váûn täúc nh, dng mu äúng khäng bë tan våïi nỉåïc xung quanh v cọ dảng mäüt âỉåìng chè thàóng -Dng chy trỉåìng håüp ny l dng chy táưng Khi tàng váûn täúc äúng, dng nỉåïc mu lục âáưu cọ dảng sọng, sau âọ háưu biãún máút, tan trãn bãư màût càõt v nhüm âãưu khàõp cháút nỉåïc xung quanh -Chuøn âäüng ca cháút lỉu tråí nãn häùn loản, cạc pháưn tỉí nỉåïc âỉåüc nhüm mu “bay” âi mi phêa v va chảm våïi cạc pháưn tỉí khạc v våi thnh äúng: chuøn âäüng ny âỉåüc gi l chuøn âäüng räúi Âàûc trỉng cå bn ca dng räúi l: täưn tải thnh pháưn váûn täúc ngang so våïi phỉång chuøn âäüng ca dng chy *Kãút lûn: Dng chy táưng nãúu cạc âỉåìng dng trỉåüt trãn nhau, cạc pháưn tỉí ln giỉỵ phỉång song song; dng chy táưng xy váûn täúc ráút nh Cn ngỉåüc lải, våïi váûn täúc låïn ta cọ dng chy räi ú( khäng äøn âënh v cáúu trục räúi loản) 2.Säú Reynolds Sỉû chuøn tỉì táưng sang räúi âäúi våïi cạc dng chy âỉåüc xẹt thỉûc hiãûn bàòng: -Váûn täúc trung bçnh V ca cháút lỉu: l thäng säú ta tháúy r rng thê nghiãûm trãn -Âäü nhåït η ca cháút lỉu Ta hiãøn nhiãn tháúy dng räúi khọ thỉûc hiãûn våïi dáưu so våïi nỉåïc -Âỉåìng kênh äúng D: Nãúu âỉåìng kênh äúng nh cho ta dng chy táưng hån äúng cọ âỉåìng kênh låïn -Khäúi lỉåüng thãø têch ρ ca cháút lỉu: Thäng säú ny khäng nh hỉåíng; nhỉng khäúi lỉåüng thãø têch ln cọ phỉång trçnh tiãún triãøn Säú khäng thỉï ngun âỉåüc gi säú Reynolds, k hiãûu sau: Re = ρVD η Thỉûc nghiãûm cho tháúy ρ = 103 Kgm-3, η = 10-3pl nãúu V = 2,5cm/s v Re=300 : dng chy táưng nãúu V = 1,2m/s v Re = 14000 : dng chy räúi Kãút lûn: Säú Reynolds Re ≤ 2000: dng chy táưng Re > 2000: dng chy räúi §6.DNG CHY CA CHÁÚT LỈU L TỈÅÍNG Trong cå hc cháút lỉu âãø gim nhẻ viãûc gii mäüt säú bi toạn, khại niãûm vãư cháút lỉu l tỉåíng âỉåüc sỉí dủng räüng ri Cháút lỉu l tỉåíng âỉåüc hiãøu l cháút lỉu gi âënh cọ dëch chuøn tuût âäúi, tỉïc l hon ton khäng nhåït, cng khäng nẹn tuût âäúi, khäng dn nåí nhiãût âäü thay âäøi v tuût âäúi, khäng cọ kh nàng chäúng lải lỉûc càõt Âãø âån gin vãư toạn ta thỉåìng cháút lỉu l tỉåíng lm mä hçnh cho cháút lỉu thỉûc §7.CẠC ÂÀÛC TRỈNG CA DNG CHY CHÁÚT LỈU 1.Qu âảo Chuøn âäüng ca hảt cháút lỉu âỉåüc tảo thnh båíi táûp håüp cạc r âiãøm ca khäng gian v thåìi gian âi qua l R (t ) cọ phỉång trçnh sau: dX dY dZ = = = dt Vx (X (t ), Y (t ), Z(t ), t ) Vy (X (t ), Y (t ), Z(t ), t ) VZ (X (t ), Y (t ), Z(t ), t ) 2.Âỉåìng dng ÅÍ thåìi âiãøm t0 â cho, âỉåìng dng l âỉåìng cong m tải âọ vẹc tå váûn täúc tiãúp tuún våïi mäùi âiãøm cọ phỉång trçnh: dx dy dz = = v x ( x, y , z , t ) v y ( x, y , z , t ) v z ( x, y , z , t ) 3.Âỉång phạt xa û(âạnh dáúu) ÅÍ thåìi âiãøm â cho,ton bäü cạc hảt âi qua âiãøm ny âãưu âỉåüc "âạnh dáúu" v tảo thnh mäüt âỉåìng cong gi l âỉåìng phạt xa 4.Dng chy dỉìng r r v Trỉåìng váûn täúc (r ) khäng phủ thüc tỉåìng minh thåìi gian t (âäúi våïi dng chy ny âỉåìng trãn trng nhau) CHỈÅNG II ÂÄÜNG HC CHÁÚT LỈU §1.MÄ T CHUØN ÂÄÜNG THEO LAGRANGE Chụng ta nghiãn cỉïu mäüt cháút lỉu theo vé mä; chuøn âäüng cháút lỉu hãû qui chiãúu âỉåüc gi l dng chy Nghiãn cỉïu dng chy cháút lỉu, m mä t chuøn âäüng mäùi hảt riãng biãût ca cháút lỉu, âỉåüc xạc âënh trỉåïc.Trong biãút q âảo r r R i (t ) ca mäùi hảt (Âàût R i (0 ) våïi t=0), ta theo di quạ trçnh chuøn âäüng ca v tiãúp tủc cho táút c cạc hảt ca cháút lỉu Mä t ny gi l mä t theo Lagrange Vê dủ: 1.Ngỉåìi cáu cạ 2.Giao thäng trãn âỉåìng ä tä Kãút lûn: Chuøn âäüng cháút lỉu âỉåüc mä t hon ton bàòng sỉû r biãút cạc q âảo R i (t ) ca mäùi hảt âỉåüc âạnh dáúu (âënh trỉåïc) ‘i’ ca cháút lỉu.Cn váûn täúc ca cạc hảrt âỉåüc xạc âënh båíi: r dR i (t ) r r = V R i (t ), t Vi (t ) = dt ( ) r r dR (t ) r r = V R (t ), t V (t ) = dt ( ) r r Våïi R i (t ) vë trê åí thåìi gian t ca hảt m ban âáưu cọ vë trê R (0) i åí thåìi âiãøm âáưu t=0 Cạc váûn täúc ny chè phủ thüc r rng vo thåìi gian v cạc toả r âäü ban âáưu ca hảt, tỉïc l R (t ) Ta thỉng dng k hiãûu X(t),Y(t), Z(t) lm biãún Lagrange Vê dủ ạp dủng Cho dng chy mä t theo Lagrange: ⎧X i (t ) = X 0,i (1 + bt ) ⎨ Yi (t ) = Y0,i ⎩ ⎧ X ,i (b = const) ⎨ Y -Ta âäü ban âáưu ca hảt ⎩ ,i i t=0 r r r V Xạc âënh váûn täúc V(t ) ca cạc hảt v tçm (R i (t ), t )? Gii r r r r dR i (t ) Vi R i (t ), t = V (t ) = dt ( ) r dX i (t ) r r Vi (t ) = e x = X 0,i be x dt ( ) r r r r Vi (t ) = V R i (t ), t = X be x , m X0,i= Váûy X i (t ) + bt r r X (t ) r V R i (t ), t = i be x + bt ( ) §2.MÄ T CHUØN ÂÄÜNG THEO Å LE 1.Khại niãûm Chụng ta âỉïng tải âiãøm ca khäng gian v xem xẹt (nghiãn cỉïu) quạ trçnh tiãún triãøn (biãún âäøi) mäüt âải lỉåüng vé mä no âọ ca cháút lỉu theo thåìi gian gi l mä t Å le Vê dủ: 1-Váûn täúc cạc hảt tải vë trê cäú âënh 2-Váûn täúc cạc Ä tä tải vë trê cäú âënh 2.Tênh âäüc láûp ca cạc ta âäü khäng gian v thåìi gian r r r r Trỉåìng váûn täúc V(r , t ) = V(M, t ) = V(x, y, z, t ) phủ thüc khäng gian v thåìi gian: rr v t hay (x,y, z v t) l cạc biãún âäüc láûp 3.Ta âënh nghéa mä t Å le ca cháút lỉu Chuøn âäüng ca cháút lỉu âỉåüc mä t hon ton båíi biãút cạc váûn täúc cạc hảt ca cháút lỉu âi qua âiãøm M khäng gian cho trỉåïc åí thåìi gian t -Cạc ta âäü khäng gian v thåìi gian l cạc biãún âäüc láûp -Mä t ny dng âãø mä t quạ trçnh tiãún triãøn (biãún âäøi) ca cạc âải lỉåüng âàûc trỉng khạc ca cháút lỉu theo thåìi gian Vê dủ: Ạp sút P(M,t); nhiãût âäü T(M,t) -Quan âiãøm Å le mä t trảng thại cháút lỉu chuøn âäüng bàòng cạch kãút håüp cạc trỉåìng vê dủ trỉåìng váûn täúc, ạp sút, nhiãût âäü r r r r Phán biãût våïi cạch viãút Lagrange,ta cọ x, y,z v r ≠ R ; v ≠ V Vê dủ: (Biãøu diãùn trỉåìng håüp váûn täúc bàòng Å le) Khi nghiãn cỉïu chuøn âäüng ca mäüt cháút lỉu:täưn tải mäüt âải lỉåüng cho phẹp mä t dng chy vê dủ nhỉ: -mỉïc nỉåïc äúng -lỉu lỉåüng tthoạt Cạc âải lỉåüng ny cho phẹp mä t vé mä quạ trçnh chuøn âäüng ca cháút lỉu r v Theo Å le chụng ta tçm (M, t ) tải mi âiãøm M ca cháút lỉu v cáưn phi xạc âënh ta âäü ca M m khäng máùu thùn (tranh cháúp) våïi âải lỉåüng trỉåïc âọ Kãút lûn Khi mä t chuøn âäüng ca cháút lỉu bàòng Å le Nọ täưn tải: -1 biãún xạc âënh trảng thại ca cháút lỉu -1 biãún cho phẹp âënh mäúc Å le ca âiãøm M Cho trỉåìng váûn täúc ca cháút lỉu khäng chëu nẹn, chy lỉu lỉåüng khäúi lỉåüng Dm båíi mäüt ngưn theo âån vë chiãưu cao h trng våïi trủc 0Z, biãút ràòng cạc hảt vng gọc våïi dng tỉïc l: r r r v (r , t ) = v (r , t )e r xem hçnh v hy gia täúc ca hảt cháút lỉu CHỈÅNG 4.MÄ T ÂËNH HÇNH MÄÜT VI LOẢI DNG CHY §1.CẠC ÂÀÛC TRỈNG VÁÛN TÄÚC CA CHÁÚT LỈU 1.Mä t củc bäü Âäúi våïi dng chy báút k, sỉû váûn âäüng ca mäüt phán täú thãø têch cháút lỉu täø håüp ba dạng củc bäü âỉåüc nhçn tháúy riãng r: +sỉû gin nåí (dilatation) +sỉû quay (rotation) +sỉû biãún dảng (deformation) Âäúi våïi dng chy phàóng l sỉû váûn âäüng ca mäüt phán täú diãûn têch 2.Trỉåìng váûn täúc v sỉû gin nåỵ: vai tr ca toạn tỉíì r divv Mäüt dng hcy ba chiãưu âỉåüc gi thuút l mäùi thnh pháưn váûn täúc chè phủ thüc vo ta âäü tỉång ỉïng M(x,y,z): r r r r v ( x, y, z, t ) = vx ( x, t ).ex + v y ( y, t ).ey + vz ( z, t ).ez Trong thåìi gian δt, cạc vạch ca mäüt pháưn tỉí thãø têch dxdydz dëch chuøn trỉûc giao våïi chênh chụng Cảnh cọ chiãưu di dx ca hçnh láûp phỉång tråí thnh : ⎛ ∂v ⎞ dx ' = x + dx + vx ( x + dx, t )δ t − [ x + vx ( x, t )δ t ] = dx ⎜ + x δ t ⎟ ∂x ⎠ ⎝ Tỉång tỉû ta cọ : ⎛ ∂v y ⎞ ∂v δ t ⎟ v dz ' = dz ⎛⎜ + z δ t ⎞⎟ dy ' = dy ⎜ + ∂y ⎠ ∂z ⎠ ⎝ ⎝ Nhỉ váûy thãø têch ngun täú ∆τ â biãún thnh δ(∆τ) cho : ⎛ ∂vx ∂v y ∂vz ⎞ r + + t = divv ∆τδ t δ ⎟ ∂ ∂ ∂ x y z ⎝ ⎠ δ ( ∆τ ) = dx ' dy ' dz '− dxdydz ≈ ∆τ ⎜ Nghéa l : r δ(∆τ ) divv = δt ∆τ ∂v x ∂v y ∂v z = ∂x + ∂y + ∂z Vãư củc bäü: thç hãû säú biãún âäøi tỉång âäúi ca thãø têch âån vë thåìi gian bàòng div ca trỉåìng váûn täúc Trỉåìng váûn täúc ca cháút lỉu cho ta thäng tin vãư sỉû gin nåí ca r Dρ =0 nhåì trung gian div ca váûn täúc (Nãúu divv = ta cọ Dt dng chy khäng chëu nẹn âỉåüc) r 3.Trỉåìng váûn täúc v sỉû quay: vai tr ca toạn tỉí rotv ÅÍ củc bäü, trỉåìng cạc váûn täúc ca cháút lỉu cọ thãø âäưng dảng (giäúng nhỉ) trỉåìng váûn täúc cạc âiãøm thüc váût ràõn quay (cọ vẹc tå r quay Ω ) Sỉû quay âàûc biãût ny (sỉû xoạy) ca cháút lỉu tải mäüt âiãøm r r M s täưn tải nãúu rot(v ) = 2Ω ≠ Cho ta biãút sỉû täưn tải cạc vng xoạy Toạn tỉí ⎧ ∂G z ∂G y ⎪ ∂y − ∂z r ⎪⎪ ∂G x ∂G z rotG = ⎨ − ∂ z ∂x ⎪ G ∂ ⎪ y − ∂G x ⎪⎩ ∂x ∂y r r xem vê dủ → chỉïng minh : rotv = 2ω §2.Cạc âàûc trỉng ca dng chy 1.Dng chy dỉìng Mäüt dng chy âäúi våïi trỉåìng váûn täúc Å le ca cháút lỉu khäng phủ thüc thåìi gian t tỉåìng minh: r r r ∂v v = v (M )voi =0 ∂t Trong dng chy dỉìng, lỉu lỉåüng khäúi âi qua mi tiãút diãûn ca äúng dng vç ∂ρ = ⇒ ρ(M ) : nãn Dm,ra = Dm,ngưn ∂t 2.Dng chy khäng chëu nẹn âỉåüc Dng chy m thãø têch ca cạc hảt cháút lỉu âỉåüc bo ton quạ trçnh chuøn âäüng gi dng chy khäng chëu nẹn r Ta cọ: divv (M, t ) = tải mi nåi Trong dng chy khäng chëu nẹn lỉu lỉåüng khäúi âi qua mi tiãút diãûn ca äúng dng nhau: Dm,ra = Dm,ngưn 3.Dng chy xoạy v khäng xoạy r Mäüt dng chy âỉåüc gi khäng xoạy nãúu vẹc tå xoạy Ω = r r rotv = tải mi nåi, ngỉåüc lải nãúu Ω ≠ gi l dng chy xoạy ( ) 4.Dng chy phàóng khäng chëu nẹn âỉåüc ⎧ v x (x, y, t ) r ⎪ r r r v (x, y, z, t ) = ⎨ v y (x, y, t ) divv = ⇒ rotA = v ; ⎪ v =0 ⎩ z ⎧ r ⎪ A(x , y, z, t ) = ⎨ ⎪ψ(x , y, t ) ⎩ r r r Khi âọ v = rot[ψ(x, y, t )e z ] = grad[ψ] ∧ e z ⎧ ∂ψ ⎪ r ⇒ v (x , y, z, t ) = ⎨ ∂y ⎪ ∂ψ ⎩ ∂x ψ(x, y, t ) gi l hm dng ψ = cte tỉång ỉïng våïi mäüt âỉåìng dng Khi cọ dng chy phàóng khäng chëu nẹn âỉåüc, thç cọ thãø xạc âënh hm ψ gi hm dng cho r r r v = rot[ψ(x, y, t )ez ] = gradψ(x, y, t ) ∧ ez Cạc âỉåìng dng ψ(x, y, t ) = cte âäưng nháút våïi cạc âỉåìng dng åí t0 5.Dng chy thãú Mäüt dng chy khäng xoạy âỉåüc gi l dng thãú tải mi âiãøm r φ v ca dng chy (täưn tải cho = gradφ , φ gi l thãú váûn täúc) r v Thãú ca cạc váûn täúc φ phi tha mn = gradΦ -Nãúu dng chy thãú khäng chëu nẹn âỉåüc, thç hm φ s tn r theo phỉång trçnh Laplace: ∆φ = (vç divv = 0, div gradφ = ∆φ = ) ( ) CHỈÅNG 5.PHỈÅNG TRÇNH ÂÄÜNG LỈÛC HC ÂËA PHỈÅNG ÂÄÚI VÅÏI DNG CHY L TỈÅÍNG §1.ỈÏng sút cháút lỉu 1.Lỉûc màût (ỉïng sút màût) Chụng ta âënh ranh bãn cháút lỉu båíi màût âọng cäú âënh Σ Cạc hảt cháút lỉu åí bãn ngoi màût Σ tạc dủng lãn cạc hảt åí bãn trong, tạc dủng ny xy ngàõn v lán cáûn åí màût Σ Gi sỉí cọ phán täú màût dS r ca Σ Håüp lỉûc dF cạc lỉûc tạc dủng båíi cạc hảt bãn ngoi lãn bãn r r d F d F hay âỉåüc phán têch thnh thnh pháưn N v T r r r dF = dFN + dFT r d F Thnh pháưn N âỉåüc gi ạp lỉûc (ạp sút) v âỉåüc xạc âënh: r r dFN = − P(M, t )NdS r r r r r Thnh pháưn dFT = η gradv.n dST ; nãúu v = vT gi lỉûc nhåït r d F Âäúi våïi cháút lỉu l tỉåíng, ta b qua lỉûc nhåït T = ( ) 2.Lỉûc thãø têch (Lỉûc khäúi) Xẹt phán täú thãø têch dτ ca cháút lỉu chëu tạc dủng ca cạc lỉûc thãø têch (vê dủ trng lỉûc) Nhỉỵng tạc dủng ny liãn quan tåïi táút c cạc hảt, váûy tè lãû våïi säú lỉåüng hảt hay phán täú thãø têch dτ r r r Váûy: df = f v dτ → df gi l lỉûc thãø têch r g Trong trỉåìng trng lỉûc våïi gia täúc trng trỉåìng r r f = ρ g Máût âäü thãø têch ca lỉûc l: v Màût khạc ta cọ: dm = ρdτ r r r d f = f dm = f Lỉûc thãø têch cọ thãø viãút: m m ρdτ r r r r ⇒ f v = ρf m ; våïi lỉûc trng trỉåìng thç f m = g Kãút lûn: Våïi phán täú thãø têch dτ v khäúi lỉåüng dm ca cháút lỉu chëu tạc dủng cạc lỉûc khäúi hay thãø têch âỉåüc biãøu diãùn sau: r r r r r df = f m dm = f v dτ våïi f v = ρf m r r r r f = ρ g f Âäúi våïi trng lỉûc : v våïi m = g 3.Sỉû tỉång âỉång ca lỉûc thãø têch, khäúi lỉåüng Ta chè xẹt trỉåìng håüp lỉûc ạp sút.(ạp lỉûc) Theo trỉåïc âáy xẹt cạc lỉûc ngun täú tạc dủng lãn màût ca hçnh häüp phán täú thãø têch cháút lỉu ta cọ: r r r r ∂P ∂P ∂P dF = − dxdydze x − dxdydze y − dxdydze z ∂z ∂x ∂y = − grad Pdτ = − grad P grad P ρ dτ =− dm ρ ρ r Lỉûc ny âäưng nháút lỉûc thãø têch f v = − gradP Kãút lûn: Sỉû tỉång âỉång ca lỉûc thãø têch (khäúi lỉåüng) ca cạc lỉûc ạp sút trãn màût âỉåüc biãøu diãùn dỉåïi dảng: r f v = − gradP r gradP fm = − ρ Cạc tỉång âỉång ny dng âãø håüp lỉûc hay mämen ca cạc lỉûc ạp âàût lãn phán täú bao quanh båíi cháút lỉu Cạc tỉång âỉång ny khäng dng âãø cäng ca cạc lỉûc ạp sút §2.Phỉång trçnh Å le v ạp dủng Chè xẹt cho dng chy l tỉåíng khäng cọ lỉûc nhåït 1.Phỉång trçnh Phỉång trçnh cå bn ca âäüng lỉûc hc âäúi våïi mäüt hảt cháút lỉu r cọ khäúi lỉåüng dm Dỉåïi tạc dủng ca håüp lỉûc dF ta cọ thãø viãút: r r r r Dv dm = dF = f v dτ = f m dm Dt r Dv r ⇒ = f m ,ton bäü Dt r r r ⎛ v2 ⎞ r ∂v r r Dv ∂v r vç Dt = ∂t + v.grad v = ∂t + grad⎜⎜ ⎟⎟ + rotv ∧ v ⎝ ⎠ ( ) r r r r ⎛ v2 ⎞ ∂v ⎟ ⎜ + grad⎜ ⎟ + 2Ω ∧ v = f m ,ton bäü = ∂t ⎝ ⎠ ⎛ r r⎞ ⎜ Ω = rotv ⎟ ⎝ ⎠ r r r r ⎛ A2 ⎞ ⎜ ⎟ = A grad A grad + ∧A rot A (sỉí dủng cäng thỉïc: ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ( ) ⎛ Ax ⎞ r r ⎛ ∂ ∂ ∂ ⎞⎜ ⎟ vç A.grad A = ⎜⎜ Ax ∂x + Ay ∂y + Az ∂z ⎟⎟⎜ Ay ⎟ ⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎝ Az ⎠ ( ) ∂Ax ∂Ax ∂Ax + Ay + Az ∂x ∂y ∂z ∂Ay ∂Ay ∂Ay + Ax + Ay + Az ∂z ∂x ∂y ∂Az ∂Az ∂Az + Ax + Ay + Az ∂z ∂x ∂y = Ax = 1⎡ ∂ ∂ ∂ 2 ⎤ ( ) ( ) ( A x + A y + A z )⎥ ⎢⎣ ∂x ∂y ∂z ⎦ ∂Az ∂Ay − ∂y ∂z r ∂Ax ∂Az rotA = − ∂z ∂x ∂Ay ∂Ax − ∂x ∂y Ta phán biãût cạc lỉûc trãn âån vë khäúi lỉåüng v tỉång âỉång ca r f lỉûc khäúi lỉåüng chè cạc ạp sút, âọ ta cọ thãø viãút : m ,ton bäü r gradP = fm − ρ Váûy ta nháûn âỉåüc phỉång trçnh Å le: r r r ∂v r gradP + v.grad v = f m − ∂t ρ ( hay: ) r r r r ⎛ v2 ⎞ ∂v gradP + grad⎜⎜ ⎟⎟ + 2Ω ∧ v = f m − ρ ∂t ⎝ ⎠ Âäúi våïi ta âäü âãư cạc: ∂v x ∂v x ∂v x ⎧ ∂v x ⎛ ∂P ⎞ = − + + + f v v v ⎜ ⎟ x y z x ,m ⎪ ∂t ∂z ρ ⎝ ∂x ⎠ ∂y ∂x ⎪ ∂v y ∂v y ∂v y ⎛ ∂P ⎞ ⎪ ∂v y + vx + vy + vz = f y ,m − ⎜⎜ ⎟⎟ ⎨ ∂x ∂y ∂z ρ ⎝ ∂y ⎠ ⎪ ∂t ∂v z ∂v z ∂v z ⎛ ∂P ⎞ ⎪ ∂v z + v + v + v = f − ⎜ ⎟ x y z Z ,m ⎪ ∂t ∂x ∂y ∂z ρ ⎝ ∂z ⎠ ⎩ 2/ Têch phán phỉång trçnh Å le: (chiãưu di ca âỉåìng dng) Ta sỉí dủng Phỉång trçnh Å le theo dảng sau: r r r r ⎛ v2 ⎞ ∂v + grad⎜⎜ ⎟⎟ + 2Ω ∧ v = f m − gradP ∂t ρ ⎝ ⎠ r dl : r r phán täú ca âỉåìng dng d l // v nhán vä hỉåïng r r r r ⎡r ⎛ v2 ⎞ r ∂v r gradP ⎤ r d l + grad ⎜⎜ ⎟⎟d l + Ω ∧ v d l = ⎢f m − ⎥.d l ∂t ρ ⎝ ⎠ ⎦ ⎣ r r r r r r r ta Ω ∧ v d l = Ω ∧ v ⊥v // d l r r r nãn Ω ∧ v d l = r f Thäng thỉåìng lỉûc khäúi: m = −grade Pm ( epm gi l thãú nàng) ( ( ( ) ) ( ) ) r r Âäúi våïi trỉåìng trng lỉûc: f m = g r f m = −grad(gz ) v e pm = gz r r ⎛ v2 ⎞ r ∂v r ⎜ ⎟ + + e d l + grad P d l =0 d l grad Ta cọ: ∂t pm ⎟ ⎜ ρ ⎝ ⎠ B B r B v (M , t )⎤ gradP(M , t ) r ∂v (M , t ) r ⎡ ( ) d l e M , t + d l = + + ⎢ pm ⎥ ∫A ∂t ∫ ( ) ρ M , t ⎣ ⎦A A Âáy l têch phán phỉång trçnh Å le theo chiãưu di âỉåìng dng Vê dủ ạp dủng §3.Cạcû phỉång trçnh Bernoulli (Benuli) 1.Täưn tải thãú nàng liãn kãút våïi lỉûc thãø rtêch Tỉì phỉång trçnh Å le nhán vä hỉåïng d l (phán täú chiãưu di no âọ) r r r r ⎡r ⎛ v2 ⎞ r gradP ⎤ r ∂v r d l + grad ⎜⎜ ⎟⎟.d l + Ω ∧ v d l = ⎢f m − ⎥.d l ∂t ρ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ r Nãúu f m = − grad (e pm ) r r gradP ⎤ r ⎡ ∂vr ⎛ v2 ⎞ + e pm ⎟⎟ + Ω ∧ v + ⇒ ⎢ + grad ⎜⎜ ⎥.d l = ∂ ρ t ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ( ) ( ) 2.Cháút lỉu âäưng cháút khäng chëu nẹn hay dng chy baräträp a Cháút lỉu khäng chëu nẹn ⎛P⎞ ⎝ρ⎠ Ta cọ ρ = const nãn gradP = grad⎜⎜ ⎟⎟ b.Dng chy Baräträp ca cháútlỉu: nãúu ρ = ρ(P ) P Thç täưn tảihm säú ϕ (P ) = ∫ ρ (u ) P du r r dϕ gradP dϕ ( P ) gradP v gradϕ(P ) = = gradϕ (P ) = nãn dP ρ ( P) ρ dP r Váûy: f m = − grad P ρ = − grad [ϕ (P )] Váûy âäúi våïi cháút lỉu khäng chëu nẹn r r r⎤ r ⎡ ∂v (M , t ) ⎛ v2 P⎞ ⎟ ⎜ e + Ω ∧ v ⎥.d l = grad + + + ⎢ pm ⎟ ⎜ t ∂ ρ ⎠ ⎝ ⎣ ⎦ (1) Âäúi våïi cháút lỉu Baräträúp r r r⎤ r ⎡ ∂v ⎞ ⎛ v2 + e pm + ϕ(P )⎟⎟ + 2Ω ∧ v ⎥.d l = ⎢ + grad ⎜⎜ t ∂ ⎠ ⎝ ⎣ ⎦ c Cạc trỉåìng håüp riãng r ∂v = v *Dng chy dỉìng: ∂t (2) r r d l // v (vç q âảo ≡ âỉåìng dng) B ⎡ v2 P⎤ (1) ⇒ ⎢ + e pm + ⎥ = ρ ⎦A ⎣2 (1’) B ⎡ v2 ⎤ ( ) ⇒ + e + ϕ P pm (2) ⎢2 ⎥ =0 ⎣ ⎦A (2’) r r ( )= Ω = rot v *Dng chy khäng xoạy: r r r ∂v (M , t ) ∂Φ (M , t ) = grad vç rot (v ) = 0; v = gradΦ ⇒ ∂t ∂t Tỉì phỉång trçnh Å le (2) âäúi våïi dng chy baräträúp ⎡ ∂Φ (M, t ) v ⎤ ( ) + + + ϕ e P pm ⎢ ∂t ⎥ = const ⎣ ⎦ (3/) åí thåìi gian t cho ton bäü cháút lỉu Âäúi våïi dng chy khäng xoạy v dỉìng ca cháút lỉu khäng chëu nẹn ⎤ ⎡ v2 / ⇒ ( ) e P + + ϕ pm ⎥ = const (4) åí báút k thåìi âiãøm t ⎢2 (3 ) ⎦ ⎣ ton bäü cháút lỉu vê dủ trang 105 v vê dủ trang 109 Cho cháút lỉu khäng chëu nẹn chỉïa nhạnh ca äúng hçnh chỉỵ U våïi tiãút diãûn ρ Chiãưu di täøng cäüng ca cháút lỉu äúng l L ÅÍ trảng thại cán bàòng mỉïc nỉåïc åí nhạnh äúng bàòng Hy xạc âënh chu k dao âäüng ca cháút lỉu äúng Gii Têch phán phỉång trçnh Å le: B r B ∂v (M , t ) r ⎡ v (M , t )⎤ gradP(M , t ) r ∫A ∂t d l + ⎢⎣e(M, t ) + ⎥⎦ + ∫A ρ(M, tt ) d l = A B (x) r r vç v (M , t ) = z& (t )T r r r r r ∂v r & & d l = z T d l d l = dS T 1) (vç ) ∂t ⇒= &z&dS r B ∂v (M, t ) r ∫A ∂t d l = &z&∫A dS = &z&L B 2) e(M , t ) A = (gz )A = 2gz B B ⎡ v (M, t )⎤ ⎢ ⎥ =0 ⎣ ⎦A B B r gradL r d l = grad P d l = (PB − PA ) = 3) ∫ ρ ∫ ρ ρ A A B 2g && (x) ⇒ ZL + 2gz = ⇒ k = L 2π L Váûy chu k: T = K = π 2g Bi táûp: 1.Cho dng chy theo Lag: (b=const ⎧X (t ) = X (1 + bt ) ⎨ ⎩ Y(t ) = Y0 Tçm gia täúc ca hảt trỉûc tiãúp v theo Å le Gii r r r r r r dR (t ) r V R (t ), t = V(t ) = ; R (t ) = X (t )e x + Y (t )e y dt ( ) r r dX (t ) r dY (t ) r dY (t ) V ex + e y = X be x ( vç =0) Váûy (t ) = dt dt dt r r r X (t ) r be x V Hay R (t ), t = X be x = + bt dVx r ax = =0 r dV dt a =0 dVy hay = dt ay = =0 dt ( ) r r x (t ) r be x Theo Å le: v (r (t ), t ) = + bt r r r ∂v r ( ) a t = v grad v + Theo cäng thỉïc ∂t vç vr theo r e x nãn: ⎛ xk ⎞ ⎛ xb ⎞ ∂⎜ ∂⎜ ⎟ ⎟ ∂v ∂v xb + εt ⎠ + bt ⎠ ⎝ ⎝ +v a (t ) = + = (1 + bt ) ∂x ∂t ∂t ∂x b xb xb =− + =0 (1 + bt )2 (1 + bt ) (1 + bt ) r r r ( ) v = u e + − gt + v e 2.Cho trỉåìng váûn täúc: x z v x = u0 v Z = − gt + v dX dZ = = dt Phỉång trçnh q âảo: u − gt + v 0 X (t ) = u t + X ⎧ ⎪ ⇒⎨ ( ) Z t gt + v t + Z = − ⎪⎩ X (t ) − X : Khỉí t ⇒ t = u0 X − X0 ⎛ X (t ) − X ⎞ ⎟⎟ + v Z(t ) = − g⎜⎜ + Z0 ⎝ u0 u ⎠ Phỉång trçnh parabol dx dZ = Phỉång trçnh âỉåìng dng : u − gt + v 0 dz − gt + v dx dz ⇒ = ; − =0 dx u0 u gt + v ⇒ x z − = const u − gt + v Z= − gt + v x + const l âỉåìng thàóng u0 dz − gt + v våïi gọc nghiãng: tgα = dx = u0 Cn âỉåìng phạt xả khäng biãún âäüng, giỉỵ ngun tải mi thåìi gian t Nọ âỉåüc cáúu tảo âỉåìng parabol xút phạt tỉì âiãøm (0,0) 3.Ta cọ dng chy qua màût y=0 v màût ∞ dao âäüng ca màût y=0: X = a sin ωt våïi trỉåìng váûn täúc: r r r v (x , y, t ) = aω cos(ωt − ky )e − ky e x = v (y, t )e x Tçm gia täúc ca hảt cháút lỉu: r r dX r ex Âäúi våïi y = v (x , y, t ) = aω cos ωte x = dt Nhỉ váûy váûn täúc ca hảt y = bàòng váûn täúc ca mäüt dao âäüng r r r Dv ∂v r r r a= = + v.grad v = −aω2 sin (ωt − ky )e − ky e x Dt ∂t ( ) r r ∂v (y, t )e x ∂v (y, t )e x + =0 + v (y, t ) ∂x ∂y r r − ky ( ) a a e sin t ky e = − ω ω − Váûy x dx dy = vx vy 10 ... r -ta âäü khäng gian ez -thåìi gian qua h& (t ) 5.Tênh nháút váûn täúc ca mäüt hảt cháút lỉu -Theo Å le: Ta biãút váûn täúc ca hảt åí vë trê M v thåìi gian t: r r r v (M, t ) = v (r , t ) -Theo... bàòng: -Váûn täúc trung bçnh V ca cháút lỉu: l thäng säú ta tháúy r rng thê nghiãûm trãn - äü nhåït η ca cháút lỉu Ta hiãøn nhiãn tháúy dng räúi khọ thỉûc hiãûn våïi dáưu so våïi nỉåïc - ỉåìng... -Dng chy trỉåìng håüp ny l dng chy táưng Khi tàng váûn täúc äúng, dng nỉåïc mu lục âáưu cọ dảng sọng, sau âọ háưu biãún máút, tan trãn bãư màût càõt v nhüm âãưu khàõp cháút nỉåïc xung quanh -Chuøn