Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d.[r]
(1)ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2012 Mơn thi : TỐN ( ĐỀ )
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I: (2 điểm) Cho hàm số
3 2 ( 3) 4
y x mx m x có đồ thị (C
m)
1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m =
2) Cho đường thẳng (d): y = x + điểm K(1; 3) Tìm giá trị tham số m cho (d) cắt (Cm) ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C cho tam
giác KBC có diện tích 8 2
Câu II: (2 điểm)
1) Giải bất phương trình:
1
15.2 1 2 1 2
x x x
2) Tìm m để phương trình:
2
2 0,5
4(log x) log x m 0
có nghiệm thuộc (0, 1)
Câu III: (2 điểm) Tính tích phân: I =
3
6
1 (1 )
x dxx
Câu IV: (1 điểm) Tính thể tích hình chóp S.ABC, biết đáy ABC tam giác cạnh a, mặt bên (SAB) vng góc với đáy, hai mặt bên lại tạo với đáy góc α
Câu V: (1 điểm) Tìm giá trị nhỏ hàm số: y =
2 cos
sin (2cos sin )
x
x x x với < x
3
II PHẦN RIÊNG (3 điểm)
A Theo chương trình chuẩn Câu VI.a (2 điểm)
1) Trong mặt phẳngvới hệ toạ độ Oxy, cho điểm A(2;–3), B(3;–2), ABC có diện tích 3
2; trọng tâm G ABC thuộc đường thẳng (d): 3x – y – = Tìm bán kính đường trịn nội tiếp ABC
2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; –2; 3) đường thẳng d có phương trình
x y 2 z 3
2 1 1
Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d Viết phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với d
Câu VII.a (1 điểm) Giải phương trình
2
4 1 0
2
z
z z z
trên tập số phức
B Theo chương trình nâng cao Câu VI.b (2 điểm)
1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết ph trình tiếp tuyến chung hai đ tròn (C1): x2 + y2 – 2x – 2y – = 0, (C2): x2 + y2 – 8x – 2y + 16 =
2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng:
(d1) :
4
x t
y t
z t; và (d
2) :
' '
'
x t
y t
z t
Gọi K hình chiếu vng góc điểm I(1; –1; 1) (d2) Tìm phương trình tham số đường thẳng qua K vng góc với (d1) cắt (d1)
Câu VII.b (1 điểm) Tính tổng S C 20090 2C120093C20092 2010C20092009. Hướng dẫn Đề số 21
Câu I: 2) Phương trình hồnh độ giao điểm (Cm) d:
3 2 ( 3) 4 4
x mx m x x (1)
2
2 0
(1) ( 2 2) 0
( ) 2 2 (2)
x
x x mx m
g x x mx m (d) cắt (C
m) ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C (2) có nghiệm phân biệt khác
2 2 0 1 2
( )
(0)
m m
m m a m
g m Mặt khác:
1
( , )
2
d K d
Do đó:
2
1
8 ( , ) 16 256
2
KBC
S BC d K d BC BC 4 4( 2) 128 34 0 1 137
2 m m m m m
(thỏa(a)) Vậy
1 137
2
m
Câu II: 1) * Đặt: t2 ;x điều kiện: t > Khi BPT 30t 1 t 1 2 t (2) t1:
2
(2) 30 1t t 30 9t t 6 1t 1 t 4 ( )a
0 t 1:
2
(2) 30 1t t 1 30 1t t 2 1t 0 t 1 ( )b 0 t 4 0 4x x 2. Vậy, bất phương trình có nghiệm: x2.
2) PT log22xlog2x m 0;x(0; 1) (1)Đặt: tlog2x Vì: lim logx0 2x lim logx1 x0, nên: với x(0;1) t ( ; 0)
(2)Đặt:
2 , 0 : ( ) : ( )
y t t t P
y m d Xét hàm số: ( )
y f t t t, với t < f t( )2t1
1 1
( ) 0
2 4
f t t y
Từ BBT ta suy ra: (1) có nghiệm x(0; 1) (2) có nghiệm t < 0 (d) (P) có điểm chung, với hoành độ t <
1 4
m
Câu III: Đặt : x t 2 3 1 1
t
I dt t t dt
t t
=
117 41
135 12
Câu IV: Dựng SH AB SH (ABC) SH đường cao hình chóp.
Dựng HNBC HP, AC SN BC SP, AC SPH SNH , SHN = SHP HN = HP.
AHP vng có:
3 .sin 60
4
o a
HP HA
; SHP vng có:
3
.tan tan
4
a
SH HP
Thể tích hình chóp
2
1 1 3 3
. : . . . .tan tan
3 3 4 4 16
ABC a a a
S ABC V SH S
Câu V: Với 0 3
x
0 tan x 3 sinx0,cosx0, 2cosx sinx0
2
3
2 2
2
cos
1 tan tan
cos
sin .2cos sin tan (2 tan ) tan tan
cos cos x x x x y
x x x x x x x
x x Đặt:ttan ; 0x t 3
2
2
1
( ) ;
2
t
y f t t
t t
4
2 2 2
3 ( 4) ( 1)( 4)
( ) ( ) ( 1)
(2 ) (2 ) (2 )
t t t t t t t t t t
f t f t t t
t t t t t t
Từ BBT ta có: min ( )
f t t x
Vậy: 0;
miny khi x
.
Câu VI.a: 1) Gọi C(a; b) , (AB): x –y –5 =0 d(C; AB) =
5 2
2
ABC
a b S
AB (1) (2) a b a b
a b ; Trọng tâmG
5;
3 a b
(d) 3a –b =4 (3),Từ (1), (3) C(–2; 10) r =
3
2 65 89
S
p Từ (2), (3) C(1; –1)
3
2
S
r
p .
2) d(A, (d)) =
, 196 100 1
BA a a
,Phương trình mặt cầu tâm A (1; –2; 3), bán kính R = 5 2 :(x – 1)2 + (y + 2)2 + (2 – 3)2 = 50
Câu VII.a: PT
2
2 1 0
2
z z z
z z
2
1
0
z z z z (1)
Đặt ẩn số phụ: t = 1
z
z (1)
5 0 3
2 2
i i
t t t t
Đáp số có nghiệm z : 1+i; 1- i ;
1 1
;
2 2
i i
.
Câu VI.b: 1) (C1):
2
(x1) (y1) 4 có tâm I1(1; 1), bán kính R
1 = 2.(C2):
2
(x 4) (y1) 1 có tâm I2(4; 1), bán kính R
2 = 1. Ta có: I I1 2 3 R1R2 (C1) (C2) tiếp xúc A(3; 1)
(C1) (C2) có tiếp tuyến, có tiếp tuyến chung A x = // Oy. * Xét tiếp tuyến chung ngoài: ( ) : y ax b ( ) : ax y b 0 ta có:
2
1
2
2
1 2 2
2
( ; ) 4 4
( ; ) 1 7
4 a b a a
d I R a b hay
d I R a b
b b
a b
Vậy, có tiếp tuyến chung:
2 2
( ) : 3, ( ) : , ( )
4 4
x y x y x
2) (d1) có vectơ phương 1(1; 1; 2)
u ; (d
2) có vectơ phương 2(1; 3; 1)
u
2
( ) ( ; 3 6; 1) ( 1; 3 5; 2)
K d K t t t IK t t t
18 18 12
1 15 ; ;
11 11 11 11
IK u t t t t K
Giả sử (d ) cắt (d1) H t( ; 4t; ), ( t H( ))d1
18 56 59
; ;
11 11 11
HK t t t
1 18 56 118 26
11 11 11 11
HK u t t t t (44; 30; 7)
11
(3)Vậy, phương trình tham số đường thẳng (d ):
18 44 11
12 30 11 7
7 11
x y z
.
Câu VII.b: Xét đa thức: f x( )x(1x)2009 x C( 20090 C20091 x C 20092 x2 C20092009 2009x )
0 2 2009 2010
2009 2009 2009 2009 . C x C x C x C x
Ta có:
0 2 2009 2009
2009 2009 2009 2009
( ) 2 3 2010
f x C C x C x C x
0 2009
2009 2009 2009 2009
(1) 2 3 2010 ( )
f C C C C a
Mặt khác:
2009 2008 2008
( ) (1 ) 2009(1 ) (1 ) (2010 )
f x x x x x x
f/(1) 2011.2 2008 ( )b