Chuyên đề luyện thi vào lớp 10 môn toán phần hình học trần trung chính (tt)

.:: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 :: www.VNMATH.com CHỦ ĐỀ 15 DỰNG HÌNH Kiến thức bản: Dựng hình thước com-pa dạng tốn khó đòi hỏi người giải phải nắm vững kiến thức bản, kỹ sáng tạo việc kẻ thêm yếu tố phụ để kết nối kiện Vì nắm vững kỹ dựng hình có ý nghĩa quan trọng việc giải tốn hình học nói chung Bài tốn dựng hình thước compa có ý nghĩa tốn học sâu sắc nội dung nhiều lúc vượt khỏi lĩnh vực hình học Ơng Vua nhà Toán học Carl Friederich Gauss tự hào với kết tìm cách dựng đa giác 17 cạnh Kết có nhờ vào lượng 360 thơng qua phép tính số học phép khai bậc giác, cụ thể Gauss tính cos 17 Để giải tốn dựng hình, ta theo bước sau: Phân tích: Giả sử hình dựng được, tìm cách kết nối đối tượng biết với đối tượng cần dựng cầu nối để tìm quy trình dựng: Bắt đầu từ thành phần dựng được, tiếp tục dựng thành phần khác hồn thành u cầu Ví dụ phép dựng tam giác hoàn thành ta dựng đỉnh Cách dựng: Nêu bước để dựng cấu hình thỏa mãn yêu cầu toán Mỗi bước dựng phải động tác thực thước compa (kẻ đường thẳng nối hai điểm, vẽ đường trịn có tâm bán kính xác định, tìm giao điểm hau đường thẳng, hai đường tròn …) Chứng minh: Chứng minh cách dựng vừa nêu phần cho ta cấu hình cần dựng Biện luận: Biện luận số nghiệm toán theo điều kiện ban đầu cho Khi vơ nghiệm, nghiệm nhất, có nghiệm hình … Kết luận: Tổng kết lại bước để đưa kết luận Ta biết vẽ hình nhiều dụng cụ: thước (thước thẳng), compa, êke, thước đo góc, … Ta xét tốn vẽ hình mà sử dụng hai dụng cụ thước compa, chúng gọi tốn dựng hình Với thước, ta có thể: - Vẽ đường thẳng biết hai điểm - Vẽ đoạn thẳng biết hai đầu mút - Vẽ tia biết góc điểm tia - Với compa, ta vẽ đường trịn biết tâm bán kính Ở hình học lớp hình học lớp 7, với thước compa, ta biết cách giải toán dựng hình sau : (1) Dựng trung trực đoạn thẳng Dựng trung điểm đoạn thẳng Dựng đường thẳng qua điểm cho vng góc với điểm cho (2) Dựng đường thẳng qua điểm cho song song với điểm cho (3) Dựng đoạn thẳng n lần đoạn thẳng cho Dựng đoạn thẳng 1/n đoạn thẳng cho (4) Dựng góc góc cho Chia đơi góc Dựng tổng hiệu hai góc (5) Cho hai đoạn thẳng có độ dài a, b, dựng đoạn thẳng có độ dài ab (6) Dựng tiếp tuyến kẻ từ điểm đến đường tròn (7) Dựng đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác (8) Dựng tam giác biết ba cạnh, biết hai cạnh góc xen giữa, biết cạnh hai góc kề Biên soạn: Trần Trung Chính 91 .:: CHUN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 :: Dựng hình phương pháp đại số: Giải tốn dựng hình phương pháp đại số thường quy dựng số đoạn thẳng Ta gọi độ dài đoạn thẳng phải tìm x, y, z Sau ta lập phương trình để biểu thị mối tương quan đoạn thẳng biết a, b, c Sau giải hệ phương trình để ẩn x, y, z Một vài đoạn thẳng dựng biểu thị biểu thức đơn giản là: a.b.c x=ab ;x= e.f x = na, n  N ; x = a  b2  c2  d (a2 + d2 > b2 + c2) a x= ,nN ; x = a  b2 n na x= ; m, n  N ; x = ab m ab x= ;x=a n;nN c Dựng hình phương pháp biến hình: Dựng hình phương pháp biến hình áp dụng phép đối xứng, phép tịnh tiến, phép quay, đồng dạng Ta quy việc dựng hình việc dựng điểm M Dựng trực tiếp điểm M gặp khó khăn Trong trường hợp ta chọn phép biến hình song ánh f (để f có ánh xạ ngược) biến điểm M thành điểm M' mà điểm M' ta đựng cách dễ dàng Sau dựng  điểm M' ta phép biến hình ngược: f-1(M') = M Ví dụ tịnh tiến a Bài tập áp dụng: Bài tập 1: Dựng ABC biết cạnh BC = a, đường cao AH = h, trung tuyến AM = m Giải Phân tích A Giả sử ta dựng ABC thoả mãn: BC = a; AH = h; AM = m Ta phải xác định đỉnh A thoả mãn điều kiện: - A cách BC khoảng h, suy A  đường thẳng d// BC h m cách BC khoảng h - A cách điểm M trung điểm BC khoảng m Cách dựng B HM - Dựng BC a - Dựng đường thẳng d // BC cách BC A khoảng h - Dựng đường tròn tâm M bán kính m cắt d A  ABC tam giác cần dựng h Chứng minh m ABC có BC = a (cách dựng) Đường cao AH = h (cách dựng) B C HM Trung tuyến AM = m (cách dựng)  ABC tam giác cần dựng Biện luận * m > h  tốn có nghiệm (4 điểm A) * m = h  tốn có nghiệm (2 điểm A) * m < h  tốn vơ nghiệm (khơng có điểm A) Biên soạn: Trần Trung Chính C d 92 .:: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 :: www.VNMATH.com Bài tập 2: Cho đường thẳng m song song với đường thẳng n điểm A không thuộc đường thẳng Dựng điểm B  m, C  n cho ABC tam giác Giải Phân tích Giả sử dựng điểm B  m, điểm C  n để ABC Dựng hình chiếu vng góc A điểm M E Dựng tam giác AEF Xét AEB AFC ta có: AE = AF (ABF đều)   BAE   600  CAE  CAF   AB = AC (ABC đều)  AEB = AFC (c.g.c)   CFA   900 (vì AE  BE)  BEA B Cách dựng Từ A hạ AE  m E - Dựng AEF - Từ F dựng đường vng góc với AF cắt n C - Nối A với C, dựng đường trịn tâm A bán kính AC cắt m B - Nối A với B, B với C ta ABC cần dựng Chứng minh Xét  vuông ABE  vng ACF có: AB  AC   (Cách dựng)  ABF = ACF (c.g.c) AE  AF   AE = AF   CAF   BAE   EAF   CAE   600  CAE  Mà CAF   BAC   CAE  Và BAE   600  BAC   600 ABC có: AB = AC BAC  ABC d) Biện luận Bài tốn có nghiệm ta dựng   Bài tập 3: Dựng ABC biết BC = a; AB + AC = d; ABC Giải a) Phân tích Giả sử ta dựng ABC thoả mãn điều kiện đầu Kéo dài BA đường kéo dài lấy điểm D cho AD = AC Suy ra: BD = AB + AD = AB + AC = d  DAC cân  A = BD  đường trung trực CD b) Cách dựng - Dựng đoạn BC = a   - Dựng tia Bx cho xBC - Dựng điểm D Bx cho BD = d - Nối D với C Biên soạn: Trần Trung Chính A F m E n C D A α B C 93 .:: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 :: - Dựng điểm A giao BD đường trung trực CD - Nối A với C ta ABC cần dựng c) Chứng minh ABC =  (cách dựng) BC = a (cách dựng) A  đường trung trực DC  AD = AC A, D  Bx; BD = d (cách dựng)  BD = AB + AD = AB + AC = d  ABC  cần dựng d) Biện luận - d < a  tốn vơ nghiệm - d > a  Bài tốn có nghiệm Bài tập 4: Dựng ABC biết BC = a, trung tuyến AM = m, đường cao CH = h Giải Phân tích: Giả sử dựng ABC thoả mãn điều kiện đầu  A  đường trịn tâm M bán kính m H  đường trịn đường kính BC CH = h; B, H, A thẳng hàng Cách dựng: - Dựng BC = a, trung điểm M BC - Dựng đường tròn (M, m) H - Dựng đường trịn đường kính BC - Dựng điểm H  đường trịn đường kính BC cho HC = h - Dựng điểm A giao điểm BH (M, m) B Chứng minh: BC = a CH = h (cách dựng) B'  A  (M, m)  AM = m  ABC tam giác cần dựng Biện luận: h < BC = a Bài tốn có nghiệm  2m > h Bài tốn có hai nghiệm BH cắt (M, m) hai điểm A A' Bài tập 5: Dựng ABC biết B =  < 900, đường cao BH đường cao AD Giải Phân tích: Giả sử ABC dựng  vuông ABD dựng  ta cần dựng điểm C Muốn ta phải dựng điểm H: H  giao hai đường trịn đường kính AB đường trịn tâm B bán kính BH  C = AH  BD Cách dựng: - Dựng ABD vuông D B cho ABD < 900 AD cho trước - Dựng điểm H giao điểm Biên soạn: Trần Trung Chính A m h C M A H D C 94 .:: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 :: www.VNMATH.com hai đường tròn: (B, BH) đường tròn đường kính AB (BH cho trước) - Dựng điểm C giao BD AH ABC  ta cần dựng Chứng minh: ABD =  < 900 (cách dựng) AD đường cao có độ dài cho trước (cách dựng) BH đoạn cho trước (cách dựng)  ABC thoả mãn yêu cầu đề Biện luận: Bài tốn ln có nghiệm Bài tốn có nghiệm Bài tập 6: Dựng hình bình hành ABCD biết đỉnh đối diện A C đỉnh B D thuộc đường tròn (O, R) cho trước Giải Phân tích: Giả sử dựng hình bình hành thoả mãn điều kiện đề ABCD Nếu I giao điểm đường chéo ABCD thì: I  AC IA = IC, I  BD IB = ID; B, D  (O,R)  OI  BD Cách dựng: - Dựng I trung điểm AC B - Dựng đường thẳng qua I  OI cắt (O) B D I C  ABCD hình bình hành cần dựng A Chứng minh: O OI  BD  IB = ID D IA = IC (cách dựng); B, D  (O, R) (cách dựng) AIB = DIC (c.g.c)  ABI = IDC  AB // CD  ABCD hình bình hành thoả mãn đầu Biện luận: Bài tốn có nghiệm điểm I đường tròn (O) tốn có nghiệm Bài tập 7: Cho đường tròn (O, R) điểm A  đường thẳng d Dựng đường tròn tiếp xúc với C(O,R) tiếp xúc với d A Giải Phân tích: d' Giả sử dựng (O',R') tiếp xúc với (O, R) tiếp xúc với d A  O'  d' đường thẳng qua A  với d Dựng điểm E cho O'E = O'O (AE = R) O  O' nằm đường trung trực OE  O' giao đường trung trực OE & p Cách dựng: O' - Dựng đường thẳng d'  d A - Dựng điểm E  d' cho AE = R A - Dựng đường trung trực d OE m, m d'  O' - Dựng đường trịn (O',O'A) E Đó đường tròn cần dựng Chứng minh: (O', O'A) tiếp xúc với d A (cách dựng) Nối O với O' Vì O'  đường trung trực OE  OO' = O'E Biên soạn: Trần Trung Chính 95 .:: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 :: Mà O'E = O'A + AE  OO' = OA + AE = O'A +R  (O, R) & (O', O'A) tiếp xúc với  (O') đường tròn cần dựng Biện luận: Trên p lấy E1 đường trịn (O') cho AE1 = R Vậy tốn có nghiệm hình Bài tập 8: Cho hình thang ABCD, AD // BC Dựng đường thẳng EF//BC chia đôi diện tích hình thang Giải Phân tích: Giả sử dựng EF//BC chia đơi diện tích hình thang kéo dài BC, CD cắt O Suy ra: OBC ∽ OEF ∽OAD Đặt OB = a, OA = b, OE = x S SOAD b a2 Ta có: OBC  ;  SOEF x SOEF x SOBC  SOAD a  b2  SOEF x2 Mà: S OBC + S OAD = S OEF + Shình thang EBCF + S OAD = S OEF + Shình thang AEFD + S OAD = 2SOEF a  b2   2x2 = a2 + b2  x   x2  a b2  2 Đặt y  a2 b2 ;z   x  y2  z 2 y z a a b z b x Cách dựng: - Kéo dài BA, CD cắt O - Dựng đoạn trung bình nhân a, a ta y b , b ta z - Dựng  vng có y, z cạnh góc vng  độ dài cạnh huyền  x - Trên OB lấy OE = x, dựng EF // BC ta đoạn EF cần dựng - Dựng đoạn trung bình nhân Biên soạn: Trần Trung Chính 96 .:: CHUN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 :: www.VNMATH.com Chứng minh: Gọi hình thang ADEF diện tích S1 hình thang EBCF có diện tích S2 Ta phải chứng minh S1 = S2 Ta có OAD ∽ DEF (vì AD//EF) a  Tỉ số đồng dạng là: x S S0 a  OAD   SOEF x S0  S1 OEF ∽ OBC  SOBC b S0  S1  S2   SOEF x S0  S1 O b a x A E D F 2S  S  S 2S  S  S a b a b    2 a b x S0  S1 S0  S1 C B 2S  S  S    2S0  S1  S2  2S0  2S1  S1  S2 S0  S1  Shình thang ADEF = Shình thang EBCF Biện luận: Bài tốn ln có nghiệm hình Bài tập 9: Cho hình bình hành ABCD Dựng hai đường thẳng qua đỉnh A chia hình bình hành thành phần có diện tích Giải Phân tích: Giả sử dựng đường thẳng qua A cắt BC E, cắt CD F thoả mãn: S ABE = SBECF = S AFD = SABCD Gọi độ dài: BE = x, đường cao AH = h  S ABE = h.x SABCD = AH.BC = h.BC Mà SABCD = S ABE  h.BC = hx BC = x  x = BC 2 Tương tự ta gọi: DF = y  y = DC A D Cách dựng: - Dựng đoạn BE = BC F - Dựng đoạn DF = DC B - Nối A với E, A với F ta được: E C S ABE = S AFD = SAECF = SABCD Chứng minh: 1 1 Ta có: S ABE = hx = h BC = h.BC = SABCD 2 3  2 Biên soạn: Trần Trung Chính 2 97 .:: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 :: Tương tự: S ADF =  SAECF = SABCD SABCD  Điều phải chứng minh Biện luận: Bài tốn có nghiệm hình Bài tập 10: Cho điểm A, B nằm phía đường thẳng d Tìm điểm M  d cho AM + MB nhỏ Giải Phân tích: Giả sử dựng điểm M  d để (AM + MB) ngắn Ta lấy điểm A' đối xứng với A qua d  IA = IA'; MA = MA'  (AM + MB) ngắn khi: A, M, B B thẳng hàng  M  giao đường thẳng nối điểm A', B đường thẳng A d Cách dựng: - Dựng điểm A' đối xứng A qua d d - Nối A' với B M' M - Dựng M = A'B  d Đó điểm M cần dựng Chứng minh: A' - Lấy M'  d (M' tuỳ ý) ta chứng minh: M'A + M'B > MA + MB Theo cách dựng A', M, B thẳng hàng AM = A'M Xét A'BM' ta có: M'A + M'B > A'B (1) Mà theo cách dựng A'B = MA' + MB = MA + MB (2) Từ (1) (2), suy ra: MA' + MB' > MA + MB  (MA + MB) (đpcm) Biện luận: Bài tốn có nghiệm hình điểm A' dựng Bài tập 11: Cho đường thẳng b // c, điểm A  b, c Dựng ABC cho B  b, Cc Giải Phân tích: Giả sử ta dựng ABC thoả mãn điều kiện toán B  b, C  c Ta thực phép quay theo chiều kim đồng hồ ta có: r(A, 600)(B) = C; r(A, 600)(b) = b' A Mà B  b  C  b' B' b B Mặt khác: C  c  c  b' = C Cách dựng: c - Dựng đường thẳng C C' b' = r(A, 60 )(b) - Dựng điểm C b' giao điểm b' c - Dựng điểm B cách: r(A, 600)(C) = B Biên soạn: Trần Trung Chính 98 .:: CHUN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 :: www.VNMATH.com Chứng minh: r(A, -600)(C) = B; r(A, -600)(b') = b Mà C  b'  B  b  (đpcm) Biện luận: Bài tốn có nghiệm hình Bài tập 12: Cho ABC Dựng hình vng MNPQ cho M  AB; N,P  BC, Q  AC Giải Phân tích: Giả sử dựng hình vng MNPQ thoả mãn điều kiện tốn BQ ' Nối B với Q thực phép vị tự: V(B, k = ) (Q'  BQ): Q  Q'; M  M'; N  N'; P  BQ P' A M 'Q ' N 'M ' N 'P ' P 'Q '    MQ NM NP PQ Mà MQ = MN = NP = PQ NMQ = 900  M'Q' = M'N' = N'P' = P'Q'; N'M'Q' = 900 M  M'N'P'Q' hình vng Q Cách dựng: - Lấy M'  AB, dựng M'N'  BC Q' M' - Dựng hình vng M'N'P'Q' - Kẻ BQ' cắt AC Q - Thực phép vị tự: BQ ' C N' M' P' P V(B; k = ) (Q') = Q; p'  p; M'  M; N'  N B BQ ta dựng hình vng MNPQ cần dựng Chứng minh: MQ NM NP PQ    tứ giác M'N'P'Q' hình vng; Theo cách dựng ta có: M 'Q ' N 'M ' N 'P ' P 'Q '  N 'M 'P '  900  MN = NP = PQ = MQ & NMP = 900  MNPQ hình vng Biện luận: Bài tốn có nghiệm hình Bài tập 13: Dựng tam giác biết độ dài ba đường trung tuyến Giải Phân tích: A Giả sử ABC dựng xong có trung tuyến: AM = ma, BN = mb, CP = mc E Nhìn vào hình vẽ ta chưa thấy có yếu tố dựng được, N P trừ đoạn thẳng AM, BN, CP cách riêng lẻ G Và dĩ nhiên, ta dựng, chẳng hạn AM xác định thêm G Tuy nhiên, ta gọi E trung điểm AG B BG BN AG AM CP M PE   ; EG   PG  (tính chất 3 đường trung tuyến tính chất đường trung bình) nên cạnh PEG hồn tồn xác định Khi xác định PEG, ta dễ dàng xác định điểm C, A, M cuối B Biên soạn: Trần Trung Chính C 99 .:: CHUN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 :: Từ suy cách dựng Cách dựng: mb m m ; PG  c ; EG  a 3 - Nối dài PG phía G, dựng C cho GC = 2GP; - Nối dài GE phía E, dựng A cho EA = EG; - Nối dài EG phía G, dựng M cho GM = GE; - Nối AP MC cắt B ABC tam giác cần dựng Chứng minh: Theo cách dựng AM = ma CP = mc Cũng theo cách dựng tính chất đường trung tuyến G trọng ABC Do BG đường trung tuyến 2m b Vì PE đường trung bình tam giác ABG nên BG = 2PE = Suy đường trung tuyến kẻ từ B mb Như ta có ABC có ba trung tuyến với ma, mb, mc Biện luận: m m m Bước dựng thứ dựng a ; b ; c độ dài cạnh tam giác 3 Điều tương đương với ma, mb, mc độ dài cạnh tam giác Các bước dựng thực cách Suy độ dài đoạn thẳng cho độ dài cạnh tam giác tốn có nghiệm hình Trong trường hợp ngược lại tốn vơ nghiệm Ghi chú: Từ tốn dựng hình nói trên, ta suy kết thú vị sau: “Ba đường trung tuyến tam giác ABC độ dài cạnh tam giác có diện tích 3/4 diện tích tam giác ABC” - Dựng PEG có: PE  Bài tập 14: Cho hai đường tròn (C1), (C2) có bán kính R1 < R2 cắt A B Hãy dựng tiếp tuyến chung hai đường trịn Giải M Phân tích: N A Giả sử tiếp tuyến chung tiếp xúc (C1) M (C2) N Nối dài NM cắt đường thẳng O1O2 P Vì O1M O2N vng góc với MN nên chúng song song với O2 O1 PO1 O1M R1 Theo định lý Talet ta có nên từ ta dựng   B PO2 O2 N R điểm P Vì PMO1 = 900 nên M nằm đường trịn đường kính PO1 Như M giao điểm đường trịn đường kính PO1 (C1) Cách dựng: PO1 R1 - Dựng điểm P O2 cho  PO R - Dựng đường tròn đường kính PO1; - Đường trịn đường kính PO1 cắt (C1) M; - Nối PM, tiếp tuyến chung cần dựng Chứng minh: Theo bước 2, PM vng góc với MO1 Biên soạn: Trần Trung Chính 100 .:: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 :: Bài tập 10: Cho đường tròn (O; R) (I; r) tiếp xúc A (R > r) Dựng tiếp tuyến chung ngồi BC (B nằm đường trịn (O) C nằm đường tròn (I)) Tiếp tuyến BC cắt tiếp tuyến A hai đường tròn E a) Chứng minh tam giác ABC vuông A b) Kẻ OE cắt AB N; IE cắt AC F Chứng minh: N; E; F; A nằm đường tròn c) Chứng tỏ rằng: BC2 = 4Rr d) Tính diện tích tứ giác BCIO theo R; r Hướng dẫn c) Chứng minh: BC2 = 4Rr Ta có tứ giác FANE có góc vng (cmt)  FANE hình vng  OEI vng E EA  OI (tính chất tiếp tuyến) Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng có: AH2 = OA.AI (bình phương đường cao tích hai hình chiếu) BC2 BC Mà AH = OA = R; AI = r   Rr  BC2 = Rr d) SBCIO = ? Ta có BCIO hình thang vuông OB  IC  SBCIO = BC (r  R) rR S= Bài tập 11: Trên hai cạnh góc vng xOy lấy hai điểm A B cho OA = OB Một đường thẳng qua A cắt OB M (M nằm đoạn OB) Từ B hạ đường vng góc với AM H, cắt AO kéo dài I a) Chứng minh: Tứ giác OMHI nội tiếp  b) Tính OMI c) Từ O vẽ đường vng góc với BI K Chứng minh: OK = KH d) Tìm tập hợp điểm K M thay đổi OB Hướng dẫn d) Tập hợp điểm K: Do OK  KB  = 900 Suy ra: OKB OB không đổi M di động  K nằm đường tròn đường kính OB Khi M ≡ O K ≡ O Khi M ≡ B K điểm cung AB Vậy quỹ tích điểm K đường trịn đường kính OB Bài tập 12: Cho đường trịn (O) đường kính AB dây CD vng góc với AB F Trên cung BC lấy điểm M Nối A với M cắt CD E a) Chứng minh: AM phân giác góc CMD b) Chứng minh: Tứ giác EFBM nội tiếp c) Chứng tỏ: AC2 = AE.AM d) Gọi giao điểm CB với AM N; MD với AB I Chứng minh: NI // CD e) Chứng minh: N tâm đường tròn nội tiếp CIM Hướng dẫn e) Chứng tỏ N tâm đường trịn nội tiếp ICM: Biên soạn: Trần Trung Chính 104 .:: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 :: www.VNMATH.com Ta phải chứng minh N giao điểm đường phân giác CIM  Theo chứng minh, ta có MN phân giác CMI   NBM  (cùng chắn cung MN) Do MNIB nội tiếp (cmt)  NIM   MAC  (cùng chắn cung CM) Góc MBC Ta lại có:   900 );   900 (góc nội tiếp ACB CAN   90 )   900 (vì NIB NIA Suy ra: ACNI nội tiếp   CIN  (cùng chắn cung CN)  CAN   NIM   CIN   IN phân giác CIM Vậy N tâm đường tròn nội tiếp ICM Bài tập 13: Cho đường trịn (O) điểm A nằm ngồi đường trịn Vẽ tiếp tuyến AB;AC cát tuyến ADE Gọi H trung điểm DE a) Chứng minh: A; B; H; O; C nằm đường tròn  b) Chứng minh: HA phân giác góc BHC c) Gọi I giao điểm BC DE Chứng minh: AB2 = AI.AH d) Kẻ BH cắt (O) K Chứng minh: AE//CK Bài tập 14: Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R; xy tiếp tuyến với (O) B CD đường kính Gọi giao điểm AC; AD với xy theo thứ tự M; N a) Chứng minh: Tứ giác MCDN nội tiếp b) Chứng tỏ: AC.AM = AD.AN c) Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCDN H trung điểm MN Chứng minh: AOIH hình bình hành d) Khi đường kính CD quay xung quanh điểm O I di động đường nào? Hướng dẫn d) Quỹ tích điểm I: Do AOIH hình bình hành Suy ra: IH = AO = R khơng đổi  CD quay xung quanh O I nằm đường thẳng song song với xy cách xy khoảng R Bài tập 15: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Gọi D điểm cung nhỏ BC Kẻ DE; DF; DG vng góc với cạnh AB; BC; AC Gọi H hình chiếu D lên tiếp tuyến Ax (O) a) Chứng minh: Tứ giác AHED nội tiếp b) Gọi giao điểm AH với HB với (O) P Q; ED cắt (O) M Chứng minh: HA.DP = PA.DE c) Chứng minh: QM = AB d) Chứng minh: DE.DG = DF.DH e) Chứng minh: E; F; G thẳng hàng (đường thẳng Sim sơn) Hướng dẫn e) Chứng minh: E; F; G thẳng hàng:   BDE  (cmt) GFC   CDG  (cmt) Ta có: BFE Do ABCD nội tiếp   BMC   1800 Suy ra: BAC Do GDEA nội tiếp   EAG   1800 Suy ra: EDG Biên soạn: Trần Trung Chính 105 .:: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 ::   BDC   EDG   EDB   BDG  BCD   BDG   CDG  Mà EDG   CDG   EDB   BEF   GFC Vậy E; F; G thẳng hàng Bài tập 16: Cho tam giác ABC có A = 900; AB < AC Gọi I trung điểm BC Qua I kẻ IKBC (K nằm BC) Trên tia đối tia AC lấy điểm M cho MA = AK a) Chứng minh: Tứ giác ABIK nội tiếp đường tròn (O)   2ACB  b) Chứng minh: BMC c) Chứng tỏ rằng: BC = 2AC.KC d) Kéo dài AI cắt đường thẳng BM N Chứng minh AC = BN e) Chứng minh: Tứ giác NMIC nội tiếp Bài tập 17: Cho (O) đường kính AB cố định Điểm C di động nửa đường tròn Tia phân giác  cắt (O) tai M Gọi H; K hình chiếu M lên AC AB ACB a) Chứng minh: Tứ giác MOBK nội tiếp b) Chứng minh: Tứ giác CKMH hình vng c) Chứng minh: Ba điểm H; O; K thẳng hàng d) Gọi giao điểm HK CM I Khi C di động nửa đường tròn I chạy đường nào? Hướng dẫn c) Chứng minh: Ba điểm H, O, K thẳng hàng Gọi I giao điểm HK MC Do MHCK hình vuông  HK  MC trung điểm I MC Do I trung điểm MC  OI  MC (t/c đường kính dây cung) Vậy HI  MC; OI  MC KI  MC Suy ra: H; O;I thẳng hàng   900 ; OM cố định d) Do OIM Suy ra: I nằm đường trịn đường kính OM Giới hạn: Khi C  B I  Q; Khi C  A I  P Vậy C di động nửa đường trịn (O) I chạy cung trịn PHQ đường trịn đường kính OM Bài tập 18: Cho hình chữ nhật ABCD có chiều dài AB = 2a, chiều rộng BC = a Kẻ tia phân giác  Từ A hạ AH vng góc với đường phân giác nói ACD a) Chứng minh: Tứ giác AHDC nội tiếp đường trịn (O) Khi xác định tâm bán kính đường trịn theo a b) Kẻ HB cắt AD I cắt AC M; HC cắt DB N Chứng tỏ rằng: HB = HC AB.AC = BH.BI c) Chứng tỏ MN song song với tiếp tuyến H (O) d) Từ D kẻ đường thẳng song song với BH; đường cắt HC K cắt (O) J Chứng minh: Tứ giác HOKD nội tiếp Bài tập 19: Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB, bán kính OC  AB Gọi M điểm cung BC Kẻ đường cao CH ACM a) Chứng minh: Tứ giác AOHC nội tiếp  b) Chứng tỏ CHM vuông cân OH phân giác COM Biên soạn: Trần Trung Chính 106 .:: CHUN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 :: www.VNMATH.com c) Gọi giao điểm OH với BC I MI cắt (O) D Chứng minh rằng: Tứ giác CDBM hình thang cân d) Kẻ BM cắt OH N Chứng minh: BNI ∽ AMC Từ suy ra: BN.MC = IN.MA Bài tập 20: Cho ABC nội tiếp (O; R) Trên cạnh AB AC lấy hai điểm M; N cho BM = AN a) Chứng tỏ rằng: OMN cân b) Chứng minh: Tứ giác OMAN nội tiếp c) Kéo dài BO cắt AC D cắt (O) E Chứng minh: BC2 + DC2 = 3R2 d) Đường thẳng CE AB cắt F Tiếp tuyến A (O) cắt FC I; AO kéo dài cắt BC J Chứng minh: BI qua trung điểm AJ Hướng dẫn c) Chứng minh: BC2 + DC2 = 3R2 Do BO phân giác   BO  AC hay BOD vuông D Áp dụng định lý Pi-ta-go, ta có: BC2 = DB2 + CD2 = (BO + OD)2 + CD2= BO2 + 2.OB.OD + OD2 + CD2 (1) Mà OB = R   300 AOC cân O có OAC   600   1200  AOE  AOC R Áp dụng định lý Pi-ta-go, ta có: OD2 = OC2 - CD2 = R2 - CD2 (2) R Từ (1) (2), suy ra: BC2 = R2 + 2.R + CD2 - CD2 = 3R2 Bài tập 21: Cho ABC, (A = 900) nội tiếp đường tròn (O) Gọi M trung điểm cạnh AC Đường trịn (I) đường kính MC cắt cạnh BC N cắt (O) D a) Chứng minh: Tứ giác ABNM nội tiếp CN.AB = AC.MN b) Chứng tỏ rằng: B, M, D thẳng hàng OM tiếp tuyến (I) c) Tia IO cắt đường thẳng AB E Chứng minh: Tứ giác BMOE hình bình hành  d) Chứng minh: NM phân giác AND Bài tập 22: Cho hình vng ABCD có cạnh a Gọi I điểm đường chéo AC Qua I kẻ đường thẳng song song với AB; BC Các đường cắt AB; BC; CD; DA P; Q; N; M a) Chứng minh: Tứ giác INCQ hình vng b) Chứng tỏ rằng: NQ // DB c) Kéo dài BI cắt MN E; MP cắt AC F Chứng minh: Tứ giác MFIN nội tiếp đường tròn Xác định tâm đường trịn d) Chứng tỏ tứ giác MPQN nội tiếp Tính diện tích theo a e) Chứng minh: Tứ giác MFIE nội tiếp Bài tập 23: Cho hình vng ABCD Gọi N trung điểm DC; Kẻ BN cắt AC F Vẽ đường trịn (O) đường kính BN (O) cắt AC E Kéo dài BE cắt AD M; MN cắt (O) I a) Chứng minh: Tứ giác MDNE nội tiếp b) Chứng tỏ rằng: BEN vuông cân c) Chứng minh: MF qua trực tâm H BMN d) Chứng minh: BI = BC IEF vuông e) Chứng minh: FIE tam giác vuông Bài tập 24: Cho ABC có góc nhọn(AB < AC) Vẽ đường cao AH Từ H kẻ HK; HM vng góc với AB; AC Gọi J giao điểm AH MK  AOE tam giác đều, có AD  OE  OD = ED = Biên soạn: Trần Trung Chính 107 .:: CHUN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 :: a) Chứng minh: Tứ giác AMHK nội tiếp b) Chứng minh: JA.JH = JK.JM c) Từ C kẻ tia Cx  AC Cx cắt AH kéo dài D Vẽ HI  DB HN  DC Chứng minh rằng:   HCN  HKM d) Chứng minh: M; N; I; K nằm đường tròn Bài tập 25: Cho ABC (A = 900) Đường cao AH Đường trịn tâm H, bán kính HA cắt đường thẳng AB D cắt AC E; Trung tuyến AM ABC cắt DE I a) Chứng minh: D; H; E thẳng hàng b) Chứng minh: Tứ giác BDCE nội tiếp Xác định tâm O đường tròn c) Chứng minh: AM  DE d) Chứng minh: Tứ giác AHOM hình bình hành Bài tập 26: Cho ABC có góc nhọn Đường cao AH Gọi K điểm đối xứng H qua AB; I điểm đối xứng H qua AC Gọi E; F giao điểm KI với AB AC a) Chứng minh: Tứ giác AICH nội tiếp b) Chứng minh: AI = AK c) Chứng minh: Các điểm A; E; H; C; I nằm đường tròn d) Chứng minh: CE; BF đường cao ABC e) Chứng tỏ giao điểm đường phân giác HFE trực tâm ABC Bài tập 27: Cho ABC, (AB = AC) nội tiếp (O) Gọi M điểm cung nhỏ AC Trên tia BM lấy MK = MC tia BA lấy AD = AC   2BKC  a) Chứng minh: BAC b) Chứng minh: Tứ giác BCKD nội tiếp Xác định tâm đường tròn c) Gọi giao điểm DC với (O) I Chứng minh: B; O; I thẳng hàng d) Chứng minh: DI = BI Bài tập 28: Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong(O) Gọi I điểm cung AB (cung AB không chứa điểm C; D) IC ID cắt AB M; N a) Chứng minh: D; M; N; C nằm đường tròn b) Chứng minh: NA.NB = NI.NC c) Kéo dài DI cắt đường thẳng BC F; đường thẳng IC cắt đường thẳng AD E Chứng minh: EF // AB d) Chứng minh: IA2 = IM.ID Bài tập 29: Cho hình vng ABCD, cạh BC lấ để E Dựng tia Ax  AE, Ax cắt cạnh CD kéo dài F Kẻ trung tuyến AI AEF Kéo dài AIcắt CD K Qua E dựng đường thẳng song song với AB, cắt AI G a) Chứng minh: Tứ giác AECF nội tiếp b) Chứng minh: AF2 = KF.CF c) Chứng minh: Tứ giác EGFK hình thoi d) Chứng minh rằng: Khi E di động BC EK = BE + DK chu vi CKE có giá trị khơng đổi e) Gọi giao điểm EF với AD J Chứng minh: GJ  JK Hướng dẫn d) Chứng minh: EK = BE + DK Xét ADF ABE có: AD = AB; AF = AE (AEF vuông cân)  ADF = ABE  BE = DF Mà FD + DK = FK FK = KE (t/c hình thoi)  KE = BE + DK Biên soạn: Trần Trung Chính 108 .:: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 :: www.VNMATH.com Chứng minh chu vi CKE không đổi: Gọi chu vi C = KC + EC + KE = KC + EC + BE + DK = (KC + DK) + (BE + EC) = 2BC không đổi e) Chứng minh: IJ  JK   JDK   900 Do JIK  Tứ giác IJDK nội tiếp   IDK  (cùng chắn cung IK),  JIK   450 (t/c hình vuông) IDK   450  JIK vuông cân I  JIK  JI = IK, mà IK = GI  JI = IK = GI = GK  GJK vuông J hay GJ  JK Bài tập 30: Cho ABC Gọi H trực tâm tam giác Dựng hình bình hành BHCD Gọi I giao điểm HD BC a) Chứng minh: Tứ giác ABDC nội tiếp đường tròn tâm O, nêu cách dựng (O)  OAC  b) So sánh BAH c) Kẻ CH cắt OD E Chứng minh: AB.AE = AH.AC d) Gọi giao điểm AI OH G Chứng minh: G trọng tâm ABC   900 C để tuỳ ý cung lớn AB Các đường cao Bài tập 31: Cho đường tròn (O) AB AI; BK; CJ ABC cắt H Kẻ BK cắt (O) N; AH cắt (O) M BM AN gặp D a) Chứng minh: B; K; C; J nằm đường tròn b) Chứng minh: BI.KC = HI.KB c) Chứng minh: MN đường kính đường trịn (O) d) Chứng minh: Tứ giác ACBD hình bình hành e) Chứng minh: OC // DH Bài tập 32: Cho hình vng ABCD Gọi N để CD cho CN < ND; Vẽ đường trịn tâm O đường kính BN Đường tròn (O) cắt AC F; BF cắt AD M; BN cắt AC E a) Chứng minh: BFN vuông cân b) Chứng minh: MEBA nội tiếp c) Gọi giao điểm ME NF Q Kẻ MN cắt (O) P Chứng minh: B; Q; P thẳng hàng d) Chứng tỏ: ME // PC BP = BC e) Chứng minh: FPE tam giác vuông Bài tập 33: Trên đường tròn tâm O lấy bốn để A; B; C; D cho AB = DB.AB CD cắt ởc E Kẻ BC cắt tiếp tuyến A đường tròn (O) Q; DB cắt AC K  a) Chứng minh: CB phân giác ACE b) Chứng minh: Tứ giác AQEC nội tiếp c) Chứng minh: KA.KC = KB.KD d) Chứng minh: QE // AD Bài tập 34: Cho (O) tiếp tuyến Ax Trên Ax lấy hai để B C cho AB = BC Kẻ cát tuyến BEF với đường tròn Kẻ CE CF cắt (O) M N Dựng hình bình hành AECD a) Chứng minh: D nằm đường thẳg BF b) Chứng minh: Tứ giác ADCF nội tiếp c) Chứng minh: CF.CN = CE.CM d) Chứng minh: MN // AC Biên soạn: Trần Trung Chính 109 .:: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 :: e) Gọi giao điểm AF với MN I Chứng minh rằng: DF qua trung điểm NI Bài tập 35: Cho (O; R) đường kính AB; CD vng góc với Gọi M điểm cung nhỏ CB a) Chứng minh: Tứ giác ACBD hình vng b) Kẻ AM cắt CD; CB P I Gọi J giao điểm DM AB Chứng minh: IB.IC = IA.IM  c) Chứng tỏ rằng: IJ // PD IJ phân giác CJM d) Tính diện tích AID theo R Hướng dẫn d) Tính diện tích AID theo R:  SIAD = SCAD Mà SACD = SABCD 1  SIAD = SABCD.SABCD = AB.CD (diện tích có đường chéo vng góc) 2  SABCD = 2R.2R = 2R2  SIAD = Rb) Bài tập 36: Cho (O; R) Một cát tuyến xy cắt (O) E F Trên xy lấy điểm A nằm đoạn EF Vẽ tiếp tuyến AB AC với (O) Gọi H trung để EF a) Chứng tỏ điểm: A; B; C; O; H nằm đường tròn b) Đường thẳng BC cắt OA I cắt đường thẳng OH K Chứng minh: OI.OA = OH.OK = R2 c) Khi A di động xy I di động đường nào? d) Chứng minh: KE KF hai tiếp tuyến (O) Bài tập 37: Cho ABC (A = 900); AB = 15; AC = 20 (cùng đơn vị đo độ dài) Dựng đường trịn tâm O đường kính AB đường trịn (O’) đường kính AC Hai đường trịn (O) (O’) cắt điểm thứ hai D a) Chứng tỏ D nằm BC b) Gọi M để cung nhỏ DC AM cắt DC E cắt (O) N Chứng minh: DE.AC = AE.MC c) Chứng minh: AN = NE O; N; O’ thẳng hàng   900 d) Gọi I trung để MN Chứng minh: OIO' e) Tính diện tích AMC Hướng dẫn c) Chứng minh: AN = NE Do BA  AO’(ABC vuông A)  BA tiếp tuyến (O’)  = sđ AM   sđ AE  = sđ MC   AD  Sđ ED   DM   MC   AD   AM  Mà MC   BAC   AED  BAE cân B, mà BM  AE  NA = NE Chứng minh: O; N; O’ thẳng hàng: Ta có: ON đường trung bình ABE   Biên soạn: Trần Trung Chính 110 .:: CHUN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 :: www.VNMATH.com  ON // BE OO’ // BE  O, N, O’ thẳng hàng Bài tập 38: Cho ABC đều, có cạnh a Gọi D giao điểm hai đường phân giác góc A góc B ABC Từ D dựng tia Dx  DB Trên Dx lấy điểm E cho ED = DB (D E nằm hai phía đường thẳng AB) Từ E kẻ EF  BC Gọi O trung điểm EB a) Chứng minh: Tứ giác AEBC EDFB nội tiếp Xác định tâm bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác theo a b) Kéo dài FE phía F, cắt (D) M Kẻ EC cắt (O) N Chứng minh: Tứ giác EBMC thang cân Tính diện tích  c) Chứng minh: EC phân giác DAC d) Chứng minh: FD đường trung trực MB e) Chứng tỏ A; D; N thẳng hàng f) Tính diện tích phần mặt trăng tạo cung nhỏ EB hai đường tròn Hướng dẫn e) Chứng minh: A; N; D thẳng hàng:  ) ENB   BED   450 (cùng chắn DB  góc ngồi ANC  = 90o (cmt); ENA Ta có: BND   NAC   CAN   450  ENA   ENB   BND   1800  ENA  A, N, D thẳng hàng f) Gọi diện tích mặt trăng cần tính S Ta có: S = Snửa (O) - Sviên phân EDB a 6 a 2 S(O) = .OE =    =   a 2  S1  O 12 2 .BD2 90o   a  a 2 Squạt EBD = =    360o   12 a2 SEBD = DB2 = a  a a (  2) - = Sviên phân = Squạt EBD - SEDB = 12 12 2 a  a (  2) a S= = 12 12 Bài tập 39: Cho hình vng ABCD, E điểm thuộc cạnh BC Qua B kẻ đường thẳng vng góc với DE, đường cắt đường thẳng DE DC theo thứ tự H K a) Chứng minh: Tứ giác BHCD nội tiếp  b) Tính CHK c) Chứng minh: KC.KD = KH.KB d) Khi E di động BC H di động đường nào? Hướng dẫn  d) Do BHD  900 không đổi Suy ra: E di chuyển BC H di động đường trịn đường kính DB Biên soạn: Trần Trung Chính 111 .:: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 :: Bài tập 40: Cho đường trịn (O;R) đường kính AB Gọi C điểm thuộc đường trịn (C  A B) Hai điểm M, N điểm cung nhỏ AC BC Các đường thẳng BN AC cắt I, dây cung AN BC cắt P a) Chứng minh: Tứ giác ICPN nội tiếp Xác định tâm K đường trịn ngoại tiếp tứ giác b) Chứng minh: KN tiếp tuyến đường tròn (O; R) c) Chứng minh C di động đường trịn (O; R) đường thẳng MN ln tiếp xúc với đường tròn cố định Hướng dẫn c) Chứng minh C di động đường tròn (O) đường thẳng MN ln tiếp xúc với đường tròn cố định:  = MC  (gt) nên AOM  = MOC  Ta có AM  Vậy OM phân giác AOC  COB  , mà AOC  kề bù nên MON  = 900 Tương tự ON phân giác COB Vậy tam giác MON vuông cân O R Kẻ OH  MN, ta có OH = OM.sinM = R = không đổi 2 Vậy C di động đường trịn (O) đường thẳng MN ln tiếp xúc với đường trịn cố  R 2 định  O;    Bài tập 41: Cho đường trịn (O; R) có đường kính AB Trên đường tròn (O; R) lấy điểm M cho  = 600 Vẽ đường tròn (B; BM) cắt đường tròn (O; R) điểm thứ hai N MAB a) Chứng minh AM AN tiếp tuyến đường tròn (B; BM) b) Kẻ đường kính MI đường trịn (O; R) MJ đường tròn (B; BM) Chứng minh N, I J thẳng hàng JI.JN = 6R2 c) Tính phần diện tích hình trịn (B; BM) nằm bên ngồi đường tròn (O; R) theo R Hướng dẫn b) Chứng minh: N; I; J thẳng hàng JI.JN = 6R2  = MNJ  = 900 (các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm O tâm B) MNI Nên IN  MN JN  MN Vậy ba điểm N; I J thẳng hàng MJI có BO đường trung bình nên IJ = 2BO = 2R  = 600 nên MAO AMO cân O (vì OM = OA), MAO AB  MN H (tính chất dây chung hai đường trịn (O) (B) cắt nhau) 1 Nên OH = OA = R 2 R 3R Vậy HB = HO + OB = + R = 2 3R  NJ = = 3R Vậy JI.JN = 2R.3R = 6R2 c) Tính diện tích phần hình trịn (B; BM) nằm ngồi đường trịn (O; R) theo R: Gọi S diện tích phần hình trịn nằm (B; BM) nằm bên ngồi hình trịn (O; R) S1 diện tích hình trịn tâm (B; BM) S2 diện tích hình quạt MBN S3, S4 diện tích hai viên phân cung MB NB đường tròn (O; R) Ta có : S = S1 – (S2 + S3 + S4) Biên soạn: Trần Trung Chính 112 .:: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 :: www.VNMATH.com   600  MB   1200 Tính S1: MAB  MB = R  Vậy: S1 = π R  = 3πR Tính S2:  = 600  S2 = MBN   π R 60 = πR 2 3600 Tính S3: S3 = Squạt MOB – SMOB πR 1200 πR  = MOB = 120  Squạt MOB = 3600 R2 1 1 OA = OB  SMOB = SAMB = AM.MB = R.R = 2 4 2 πR R = S4 (do tính chất đối xứng) Vậy S3 =  πR 2πR R  11πR + 3R Từ S = S1 - (S2 + 2S3) = 3πR –  (đvdt) +  =   Bài tập 42: Cho ba điểm A, B, C nằm đường thẳng xy theo thứ tự Vẽ đường trịn (O) qua B C Từ A vẽ hai tiếp tuyến AM AN Gọi E F trung điểm BC MN a) Chứng minh AM2 = AN2 = AB AC b) Đường thẳng ME cắt đường tròn (O) I Chứng minh IN // AB c) Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OEF nằm đường thẳng cố định đường tròn (O) thay đổi Bài tập 43: Cho nửa đường trịn đường kính AB = 2R dây MN có độ dài bán kính (M thuộc cung AN) Các tia AM BN cắt I Các dây AN BM cắt K   AKB a) Tính MIN b) Tìm quỹ tích điểm I quỹ tích điểm K dây MN thay đổi vị trí c) Chứng minh I trực tâm tam giác KAB d) AB IK cắt H Chứng minh HA.HB = HI.HK e) Với vị trí dây MN tam giác IAB có diện tích lớn nhất? Tính giá trị diện tích lớn theo R Bài tập 44: Cho nửa đường trịn đường kính AB = 2R Từ A B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt tiếp tuyến Ax , By C D Các đường thẳng AD BC cắt N a) Chứng minh AC + BD = CD   900 b) Chứng minh: COD AB2 c) Chứng minh: AC.BD = d) Chứng minh: OC // BM e) Chứng minh: AB tiếp tuyến đường trịn đường kính CD f) Chứng minh: MN  AB g) Xác định vị trí M để chu vi tứ giác ACDB đạt giá trị nhỏ Hướng dẫn g) Ta có: Chu vi tứ giác: ACDB = AB + AC + CD + BD Mà AC + BD = CD Suy chu vi tứ giác ACDB = AB + 2CD Biên soạn: Trần Trung Chính 113 .:: CHUN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 :: Mà AB không đổi nên chu vi tứ giác ACDB nhỏ CD nhỏ Và CD nhỏ CD khoảng cách giữ Ax By tức CD vng góc với Ax By Khi CD // AB Suy ra: M phải trung điểm cung AB Bài tập 45: Cho đường tròn (O; R), từ điểm A (O) kẻ tiếp tuyến d với (O) Trên đường thẳng d lấy điểm M (M khác A) kẻ cát tuyến MNP gọi K trung điểm NP Kẻ tiếp tuyến MB (B tiếp điểm) Kẻ AC  MB, BD  MA Gọi H giao điểm AC BD, I giao điểm OM AB a) Chứng minh: Tứ giác AMBO nội tiếp b) Chứng minh: Năm điểm O, K, A, M, B nằm đường tròn c) Chứng minh: OI.OM = R2; OI IM = IA2 d) Chứng minh: Tứ giác OAHB hình thoi e) Chứng minh: Ba điểm O, H, M thẳng hàng f) Tìm quỹ tích điểm H M di chuyển đường thẳng d Hướng dẫn e) Theo OAHB hình thoi Suy ra: OH  AB; theo OM  AB Suy ra: O, H, M thẳng hàng (vì qua O có đường thẳng vng góc với AB) f) Theo OAHB hình thoi Suy ra: AH = AO = R Vậy M di động d H di động ln cách A cố định khoảng R Do quỹ tích điểm H M di chuyển đường thẳng d nửa đường trịn tâm A bán kính AH = R Bài tập 46: Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R Từ A B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt tiếp tuyến Ax , By C D Các đường thẳng AD BC cắt N a) Chứng minh: AC + BD = CD   900 b) Chứng minh: COD AB2 c) Chứng minh: AC BD = d) Chứng minh: OC // BM e) Chứng minh AB tiếp tuyến đường tròn đường kính CD e) Chứng minh: MN  AB f) Xác định vị trí M để chu vi tứ giác ACDB đạt giá trị nhỏ Hướng dẫn f) Ta có chu vi tứ giác ACDB = AB + AC + CD + BD mà AC + BD = CD Suy chu vi tứ giác ACDB = AB + 2CD mà AB không đổi Chu vi tứ giác ACDB nhỏ CD nhỏ Mà CD nhỏ CD khoảng cách giữ Ax By, tức CD vng góc với Ax By Khi CD // AB  M phải trung điểm cung AB Bài tập 47: Cho đường tròn (O; R), từ điểm A (O) kẻ tiếp tuyến d với (O) Trên đường thẳng d lấy điểm M (M khác A) kẻ cát tuyến MNP Gọi K trung điểm NP, kẻ tiếp tuyến MB (B tiếp điểm) Kẻ AC  MB, BD  MA Gọi H giao điểm AC BD, I giao điểm OM AB a) Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp b) Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B nằm đường tròn c) Chứng minh: OI.OM = R2; OI IM = IA2 d) Chứng minh OAHB hình thoi e) Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng Biên soạn: Trần Trung Chính 114 .:: CHUN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 :: www.VNMATH.com f) Tìm quỹ tích điểm H M di chuyển đường thẳng d Hướng dẫn e) Theo OAHB hình thoi Suy ra: OH  AB; theo OM  AB Suy ra: O, H, M thẳng hàng (vì qua O có đường thẳng vng góc với AB) f) Theo OAHB hình thoi Suy ra: AH = AO = R Vậy M di động d H di động ln cách A cố định khoảng R Do quỹ tích điểm H M di chuyển đường thẳng d nửa đường trịn tâm A bán kính AH = R Bài tập 48: Cho đường tròn (O; R) đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax lấy tiếp tuyến điểm P cho AP > R Từ P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với (O) M a) Chứng minh tứ giác APMO nội tiếp đường tròn b) Chứng minh BM // OP c) Đường thẳng vng góc với AB O cắt tia BM N Chứng minh tứ giác OBNP hình bình hành d) Biết AN cắt OP K, PM cắt ON I; PN OM kéo dài cắt J Chứng minh I, J, K thẳng hàng Hướng dẫn d) Tứ giác OBNP hình bình hành Suy ra: PN // OB hay PJ // AB Mà ON  AB  ON  PJ Ta có PM  OJ (PM tiếp tuyến ) Mà ON PM cắt I nên I trực tâm tam giác POJ Dễ thấy tứ giác AONP hình chữ nhật   AON   ONP   900 Vì có PAO Suy ra: K trung điểm PO (tính chất đường chéo hình chữ nhật) (6)   Ta có: AONP hình chữ nhật  APO  NOP (so le) (7) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt thì:   APO   MPO  PO tia phân giác góc APM (8) Từ (7) (8)  IPO cân I có IK trung tuyến đơng thời đường cao Suy ra: IK  PO (9) Từ (6) (9)  I, J, K thẳng hàng Bài tập 49: Cho đường trịn (O) bán kính R có hai đường kính AB CD vng góc với Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M (M khác O) CM cắt (O) N Đường thẳng vng góc với AB M cắt tiếp tuyến N đường tròn P Chứng minh : a) Tứ giác OMNP nội tiếp b) Tứ giác CMPO hình bình hành c) CM CN khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M d) Khi M di chuyển đoạn thẳng AB P chạy đoạn thẳng cố định Hướng dẫn d) Dễ thấy OMC = DPO (c.g.c)   900 Suy ra: ODP Suy ra: P chạy đường thẳng cố định vng góc với CD D Vì M chạy đoạn thẳng AB nên P chạy doạn thẳng A’B’ song song AB Bài tập 50: Cho ABC vuông A.và điểm D nằm A B Đường trịn đường kính BD cắt BC E Các đường thẳng CD, AE cắt đường tròn F, G a) Chứng minh: ABC ∽ EBD b) Chứng minh: Tứ giác ADEC AFBC nội tiếp c) Chứng minh: AC // FG d) Chứng minh: Các đường thẳng AC, DE, FB đồng quy Biên soạn: Trần Trung Chính 115 .:: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 :: Hướng dẫn d) Dễ thấy CA, DE, BF ba đường cao DBC nên CA, DE, BF đồng quy S Bài tập 51: Cho đường tròn (O) đường kính AB Trên đoạn thẳng OB lấy điểm H (H khơng trùng O, B); đường thẳng vng góc với OB H, lấy điểm M ngồi đường trịn; MA MB thứ tự cắt đường tròn (O) C D Gọi I giao điểm AD BC a) Chứng minh MCID tứ giác nội tiếp b) Chứng minh đường thẳng AD, BC, MH đồng quy I c) Gọi K tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCID Chứng minh KCOH tứ giác nội tiếp Bài tập 52: Cho hình vng ABCD Lấy B làm tâm, bán kính AB, vẽ 1/4 đường trịn phía hình vng Lấy AB làm đường kính, vẽ 1/2 đường trịn phía hình vng Gọi P điểm tuỳ ý cung AC (không trùng với A C) H K hình chiếu P AB AD, PA PB cắt nửa đường tròn I M a) Chứng minh I trung điểm AP b) Chứng minh PH, BI, AM đồng qui c) Chứng minh PM = PK = AH d) Chứng minh tứ giác APMH hình thang cân e) Tìm vị trí điểm P cung AC để tam giác APB Bài tập 53: Cho đường tròn (O) dây AB Gọi M điểm cung nhỏ AB Vẽ đường kính MN Cắt AB I Gọi D điểm thuộc dây AB Tia MD cắt đường tròn (O) C a) Chứng minh tứ giác CDIN nội tiếp b) Chứng minh tích MC MD có giá trị không đổi D di động dây AB   AO  c) Gọi O' tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD Chứng minh rằng: MAB 'D d) Chứng minh ba điểm A, O', N thẳng hàng MA tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD  = 900), trung điểm I cạnh BC Xét điểm D Bài tập 54: Cho tam giác vuông cân ABC ( A tia AC Vẽ đường tròn (O) tiếp xúc với cạnh AB, BD, DA điểm tương ứng M, N, P a) Chứng minh điểm B, M, O, I, N nằm đường tròn b) Chứng minh ba điểm N, I, P thẳng hàng c) Gọi giao điểm tia BO với MN, NP H, K Tam giác HNK tam giác gì, sao? d) Tìm tập hợp điểm K điểm D thay đổi vị trí tia AC Bài tập 55: Cho hai đường tròn (O) (O') cắt hai điểm A B Đường thẳng AO cắt đường tròn (O) (O') C C' Đường thẳng AO' cắt đường tròn (O) (O') D D' a) Chứng minh C, B, D' thẳng hàng b) Chứng minh tứ giác ODC'O' nội tiếp c) Đường thẳng CD đường thẳng D'C' cắt M Chứng minh tứ giác MCBC' nội tiếp Bài tập 56: Từ điểm C ngồi đường trịn ( O) kể cát tuyến CBA Gọi IJ đường kính vng góc với AB Các đường thẳng CI, CJ theo thứ tự cắt đường tròn (O) M, N a) Chứng minh IN, JM AB đồng quy điểm D b) Chứng minh tiếp tuyến đường tròn (O) M, N qua trung điểm E CD Bài tập 57: Cho hai đường tròn ( O; R) ( O'; R' ) tiếp xúc A ( R > R' ) Đường nối tâm OO' cắt đường tròn (O) (O') theo thứ tự B C ( B C khác A) EF dây cung đường trịn (O) vng góc với BC trung điểm I BC, EC cắt đường trịn (O') D a) Tứ giác BEFC hình gi? b) Chứng minh ba điểm A, D, F thẳng hàng c) CF cắt đường tròn (O’) G Chứng minh ba đường EG, DF CI đồng quy d) Chứng minh ID tiếp xúc với đường tròn (O’) Bài tập 58:Cho đường trịn (O) (O’) tiếp xúc ngồi C AC BC đường kính (O) (O’), DE tiếp tuyến chung (D  (O), E  (O’)) AD cắt BE M Biên soạn: Trần Trung Chính 116 .:: CHUN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 :: www.VNMATH.com a) MAB tam giác gì? b) Chứng minh: MC tiếp tuyến chung (O) (O’) c) Kẻ Ex, By vng góc với AE, AB Ex cắt By N Chứng minh: D, N, C thẳng hàng d) Về phía nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ nửa đường trịn đường kính AB OO’ Đường thẳng qua C cắt hai nửa đường tòn I, K Chứng minh OI // AK Bài tập 59: Cho đường tròn (O ; R) Đường thẳng d cắt (O) A, B C thuộc d ngồi (O) Từ điểm P cung lớn AB kẻ đường kính PQ cắt AB D CP cắt (O) điểm thứ hai I, AB cắt IQ K a) Chứng minh tứ giác PDKI nội tiếp b) Chứng minh: CI.CP = CK.CD c) Chứng minh IC phân giác tam giác AIB d) A, B, C cố định, (O) thay đổi qua A, B Chứng minh IQ qua điểm cố định Bài tập 60:Cho tam giác ABC nội tiếp (O ; R) M di động AB N di động tia đối tia CA cho BM = CN a) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN cắt (O) A D Chứng minh D cố định b) Tính góc MDN c) MN cắt BC K Chứng minh DK vuông góc với MN d) Đặt AM = x Tính x để diện tích tam giác AMN lớn Bài tập 61: Cho (O; R) Điểm M cố định (O) Cát tuyến qua M cắt (O) A B Tiếp tuyến (O) A B cắt C a) Chứng minh tứ giác OACB nội tiếp đường tròn tâm K b) Chứng minh: (K) qua hai điểm cố định O H cát tuyến quay quanh M c) CH cắt AB N, I trung điểm AB Chứng minh: MA.MB = MI.MN d) Chứng minh: IM.IN = IA2 Bài tập 62: Cho nửa đường trịn đường kính AB tâm O C điểm cung AB M di động cung nhỏ AC Lấy N thuộc BM cho AM = BN a) So sánh AMC BCN b) CMN tam giác gì? c) Kẻ dây AE//MC Chứng minh tứ giác BECN hình bình hành d) Đường thẳng d qua N vng góc với BM Chứng minh d qua điểm cố định Bài tập 63: Cho đường tròn (O ; R), đường thẳng d cắt (O) hai điểm C D Điểm M tuỳ ý d, kẻ tiếp tuyến MA, MB I trung điểm CD a) Chứng minh điểm M, A, I, O, B thuộc đường tròn b) Gọi H trực tâm MAB, tứ giác OAHB hình gì? c) Khi M di đồng d Chứng minh AB qua điểm cố định d) Đường thẳng qua C vng góc với OA cắt AB, AD E K Chứng minh: EC = EK Bài tập 64: Cho ABC cân (AB = AC) nội tiếp đường tròn (O) M điểm di động đường trịn Gọi D hình chiếu B AM P giao điểm BD với CM a) Chứng minh BPM cân b) Tìm quỹ tích điểm D M di chuyển đường tròn (O) Bài tập 65: Đường tròn (O ; R) cắt đường thẳng d hai điểm A, B Từ điểm M d ngồi đường trịn (O) kẻ tiếp tuyến MP, MQ   QPO  đường tròn ngoại tiếp MPQ qua hai điểm cố định M a) Chứng minh rằng: QMO di động d b) Xác định vị trí M để MQOP hình vng? c) Tìm quỹ tích tâm đường trịn nội tiếp MPQ M di động d Bài tập 66: Hai đường tròn tâm O tâm I cắt hai điểm A B Đường thẳng d qua A cắt đường tròn (O) (I) P, Q Gọi C giao điểm hai đường thẳng PO QI Biên soạn: Trần Trung Chính 117 .:: CHUN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 :: a) Chứng minh tứ giác BCQP, OBCI nội tiếp b) Gọi E, F trung điểm AP, AQ, K trung điểm EF Khi đường thẳng d quay quanh A K chuyển động đường nào? c) Tìm vị trí d để PQB có chu vi lớn Bài tập 67: Cho hình hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’ Biết AB = cm; AC = cm A’C = 13 cm Tính thể tích diện tích xung quanh hình hộp chữ nhật Bài tập 68: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ có diện tích mặt chéo ACC’A’ 25 cm2 Tính thể tích diện tích tồn phần hình lập phương Bài tập 69: Cho hình hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’ Biết AB = 15 cm, AC’ = 20 cm  A 'AC'  600 Tính thể tích diện tích tồn phần hình hộp chữ nhật Bài tập 70: Cho lăng trụ đứng tam giác ABCA’B’C’ Tính diện tích xung quanh thể tích biết cạnh đáy dài cm góc AA’B 300 Bài tập 71: Cho ABC cạnh a Đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (ABC) trọng tâm G ABC Trên đường thẳng d lấy điểm S Nối SA, SB, SC a) Chứng minh rằng: SA = SB = SC b) Tính diện tích tồn phần thể tích hình chóp S.ABC, cho biết SG = 2a a Bài tập 72: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a đường cao a) Chứng minh mặt bên hình chóp tam giác b) Tính thể tích diện tích xung quanh hình chóp Bài tập 73: Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy cạnh bên a a) Tính diện tích tốn phần hình chóp b) Tính thể tích hình chóp Bài tập 74: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có chiếu cao 15cm thể tích 1280cm3 a) Tính độ dài cạnh đáy b) Tính diện tích xung quanh hình chóp Bài tập 75: Một hình chóp cụt diện tích đáy nhỏ 75cm2, diện tích đáy lớn gấp lần diện tích đáy nhỏ chiều cao cm Tính thể tích hình chóp cụt Bài tập 76: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA = a SA vng góc với mặt phẳng đáy (ABCD) a) Tính thể tích hình chóp b) Chứng minh bốn mặt bên tam giác vng c) Tính diện tích xung quanh hình chóp Bài tập 77: Một hình trụ có đường cao đường kính đáy Biết thể tích hình trụ 128cm3, tính diện tích xung quanh Bài tập 78: Một hình nón có bán kính đáy cm diện tích xung quanh 65cm2 Tính thể tích hình nón Bài tập 79: Cho hình nón cụt, bán kính đáy lớn cm, đường cao 12cm đường sinh 13 cm a) Tính bán kính đáy nhỏ b) Tính diện tích xung quanh thể tích hình nón cụt Bài tập 80: Một hình cầu có diện tích bề mặt 36 cm2 Tính thể tích hình cầu Biên soạn: Trần Trung Chính 118 ... đường trung trực CD b) Cách dựng - Dựng đoạn BC = a   - Dựng tia Bx cho xBC - Dựng điểm D Bx cho BD = d - Nối D với C Biên soạn: Trần Trung Chính A F m E n C D A α B C 93 .:: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO... = AH  BD Cách dựng: - Dựng ABD vuông D B cho ABD < 900 AD cho trước - Dựng điểm H giao điểm Biên soạn: Trần Trung Chính A m h C M A H D C 94 .:: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 :: www.VNMATH.com... Cách dựng: c - Dựng đường thẳng C C' b' = r(A, 60 )(b) - Dựng điểm C b' giao điểm b' c - Dựng điểm B cách: r(A, 600)(C) = B Biên soạn: Trần Trung Chính 98 .:: CHUN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 :: www.VNMATH.com