Chuyên đề luyện thi vào lớp 10 môn toán phần số học trần trung chính

Leonhard Euler (1707-1783) .: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT : www.VNMATH.com CHỦ ĐỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG Kiến thức bản: Định nghĩa: Số nguyên A đƣợc gọi số phƣơng tồn số nguyên dƣơng a cho: A = a2 Phát biểu: Số phƣơng số bình phƣơng số tự nhiên Lƣu ý: Mƣời số phƣơng là: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, Tính chất: Số phƣơng có chữ số tận 0, 1, 4, 5, 6, Số phƣơng chia cho dƣ Kí hiệu: 3n 3n + 1, (n N) Số phƣơng chia cho dƣ Kí hiệu: 4n 4n + 1, (n N) Vận dụng tính chất: Nếu hai số tự nhiên a b nguyên tố có tích số phƣơng số a, b số phƣơng Khi phân tích số phƣơng thừa số nguyên tố ta đƣợc thừa số lũy thừa số nguyên tố với số mũ chẳn Ví dụ: 3600 = 602 = 24.32.52 Một số cách nhận biết số khơng phương N: (1) Chứng minh N có chữ số tận 2,3,7,8 (2) Chứng minh N chứa số nguyên tố với mũ lẽ (3) Xét số dƣ N cho cho cho cho (4) Chứng minh N nằm hai số phƣơng liên tiếp (5) N chia cho dƣ 2; N chia cho 4; có số dƣ 2; (6) Một số tính chất số dƣ chia cho 5, 6, 7, bạn tự suy cách đặt số ban đầu nk + q (Ví dụ: 5k + 1, 5k + 2, 5k + 3, ) Lưu ý: Khi Giải tốn số phƣơng ta áp dụng "phƣơng pháp modun (mod)", nghĩa xét số dƣ số phƣơng chia cho số ngun Ví dụ 1: Tìm k để 4k + = a2 Giải Giả sử: 4k + = a2 Khi đó: a2  (mod 4) (1) Ta lại có, a số phƣơng a2  0, (mod 4) (2) Từ (1) (2) vơ lý Vậy khơng có số k thỏa mãn 4k + số phƣơng Ví dụ 2: Tìm a  N* để phƣơng trình sau có nghiệm nguyên: x2 + 2ax - 3a = Giải Xét ' = a2 + 3a Để phƣơng trình có nghiệm ngun a2 + 3a phải số phƣơng a2 < a2 + 3a < a2 + 4a +  a2 < a2 + 3a < (a + 2)2 Do đó: a2 + 3a = a2 + 2a +  a = Với a = phƣơng trình có nghiệm ngun x = hay x = -3 Bài tập áp dụng: Bài tập 1: Tìm số tự nhiên n cho số sau số phƣơng: a n2 + 2n + 12 b n (n+3) c n + n + 1589 Giải Biên soạn: Trần Trung Chính .: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT : a) Vì n2 + 2n + 12 số phƣơng nên đặt: n2 + 2n + 12 = k2 (k  N)  (n2 + 2n + 1) + 11 = k2  k2 – (n + 1)2 = 11  (k + n + 1)(k - n - 1) = 11 Nhận xét thấy k + n + > k - n - chúng số nguyên dƣơng, nên ta viết k + n +1 = 11 k = (k + n + 1)(k - n - 1) = 11.1    k - n -1 = n = Vậy n = Bài tập 2: Cho A số phƣơng gồm chữ số Nếu ta thêm vào chữ số A đơn vị ta đƣợc số phƣơng B Hãy tìm số A B Giải Gọi A = abcd = k2 Nếu thêm vào chữ số A đơn vị ta có số B = (a +1)(b +1)(c +1)(d +1) = m2, với k, m  N 32 < k < m < 100; a, b, c, d  N ; ≤ a ≤ ; ≤ b, c, d ≤  m2 – k2 = 1111  (m - k)(m + k) = 1111 Xét trƣờng hợp, kết quả: A = 2025 , B = 3136 Bài tập 3: Tìm a để 17a + số phƣơng Giải Giả sử ln tồn y  N cho: 17a + = y2 Khi đó:  17(a - 1) = y2 - 25  17(a - 1) = (y + 5(y - 5)  y - 517    y + 517  y = 17n   a = 17n2  10n + Bài tập 4: Chứng minh 3n + 63 khơng phƣơng, (n N, n ≠ 0, 4) Giải Xét n lẻ Đặt: n = 2k + 1, (k N) Ta có: 32k+1  (-1)2k+1(mod 4)  -1 (mod 4) 63  (mod 4)  32k+1 + 63  (mod 4)  3n + 63 khơng phƣơng Xét n chẵn Đặt n = 2k, (k ≠ 0) Vì y  nên ta đặt: y = 3t, (t  N) Khi đó, ta có: 32k + 63 = 9t2 32k-2 + = t2  t2 - (3k-1)2 =  (t - 3k-1)(t + 3k+1) =  t - 3k-1 =    t + 3k+1 =  3k-1 =  3k-1 = k=2  n= (trái với giả thiết đề bài) Vậy 3n + 63 khơng số phƣơng với (n ≠ 0, 4) Biên soạn: Trần Trung Chính .: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT : www.VNMATH.com Bài tập 5: Chứng minh phƣơng trình x2 + y2 + = z2 có vơ số nghiệm ngun Giải n  N*, ta chọn x = 2n2; y = 2n; z = 2n2 + Ta có: x2 + y2 + = (2n2)2 + (2n)2 + = (2n2 + 1)2 = z2 Do phƣơng trình có vơ số nghiệm Bài tập 6: Cho p tích n số nguyên tố (n > 1) Chứng minh p - số phƣơng Giải Giả sử p - số phƣơng Do p tích n số nguyên tố (n > ) Suy ra: p3 Do p -  -1 (mod 3) Đặt: p - = 3k - Một số phƣơng khơng có dạng 3k - Từ ta có điều mâu thuẫn Bài tập 7: Chứng minh n7 + 34n + khơng phƣơng Giải Bổ đề x2  i (mod 7); i  {0; 1; 2; 4} Theo định lý Fermat, ta có: n7  n (mod 7)  n7 + 34n +  35n + (mod 7)  n7 + 34n +  (mod 7) Giả sử n7 + 34n + = x2, x  N Suy ra: x2  (mod 7) (vơ lý) Do n7 + 34n + khơng phải số phƣơng Bài tập 8: Cho k1 < k2 < k3 < số ngun dƣơng, khơng có hai số liên tiếp đặt S n = k1 + k2 + + kn, n = 1, 2, Chứng minh với số nguyên dƣơng, khoảng [S n, Sn+1) chứa số phƣơng Giải Nhận xét: Khoảng [Sn, Sn+1) có số phƣơng khoảng  Sn , Sn+1 có  số ngun dƣơng, tức là: Ta có: Sn 1  Sn   Sn 1    Sn   Sn  k n 1   Sn 1  Sn   Sn   k n 1  Sn  Theo đề bài, ta thấy: k n 1  k n  2, n  N*  Sn  nk n 1  n  n  1 Ta cần chứng minh: k n 1  nk n 1  n  n  1   k 2n 1  2k n 1   4nk n 1  4n  n  1  k 2n 1   2n  1 k n 1   2n  1    k n 1  2n  1  Bất đẳng thức cuối Do với số nguyên dƣơng n, khoảng [S n, Sn+1) chứa số phƣơng Bài tập 9: Chứng minh với số kN số: A = + 92k + 772k + 19772k Khơng phải số phƣơng Giải Biên soạn: Trần Trung Chính .: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT : Bất kỳ số phƣơng có dạng 3t 3t + 1, với t  N Ta có: A = + 92k + 772k + 19772k có dạng 3l + với l N Do A khơng phải số phƣơng Bài tập 10: Chứng minh với số mN số: A = + 92m + 802m + 19802m Có phải số phƣơng khơng? Giải Bất kỳ số phƣơng có dạng 4n 4n+1, n N Ta có: A = + 92m + 802m + 19802k Có dạng 4q + 2, với q  N Suy A khơng số phƣơng Bài tập 11: Tích hai số tự nhiên liên tiếp, hai số chẵn liên tiếp số lẻ liên tiếp có thẻ số phƣơng khơng? Giải Ta chứng minh với hai số tự nhiên liên tiếp: Ta có: n2 < n(n + 1) < (n + 1)2, nN Do n(n + 1) khơng phƣơng Ta chứng minh với hai số chẵn liên tiếp: Gọi a = 2k(2k + 2), với k N Nhận xét rằng: 4k2 < a < (2k + 1)2 Suy a khơng số phƣơng Ta chứng minh với hai số lẻ liên tiếp: Đặt: b = (2k + 1)(2k + 3), k N (2k + 1)2 < (2k + 1)(2k + 3) < (2k + 3)2 Suy b khơng số phƣơng Bài tập 12: Chứng minh tổng bình phƣơng hai số lẻ khơng phải số phƣơng Giải a b hai số lẻ nên a2 = 4l + b2 = 4m + 1m với l , m N Suy ra: a2 + b2 = 4t + 2, t  N Do đó: a2 + b2 khơng thể số phƣơng Bài tập 13: Chứng minh tích số tự nhiên liên tiếp thêm số phƣơng Giải Ta có: n(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4) + = (n2 + 3n)(n2 + 3n + 2) = (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) + = (n2 + 3n + 1)2 Đây số phƣơng (Đpcm) Bài tập 14: Tổng bình phƣơng số tự nhiên liên tiếp có phải số phƣơng khơng? Giải Gọi A = n2 + (n + 1)2 + (n + 2)2 + (n + 3)2 + (n + 4)2 A = 5n2 + 20n + 30 = 5(n2 + 4n + 6) Giả sử A số phƣơng Suy ra: n2 + 4n + = 5t2  (n + 2)2 + = 5t2  (n + 2)2 = 5t2 -  (n + 2)2 = 5q + Điều vô lý Vậy tổng bình phƣơng số tự nhiện liên tiếp khơng thể số phƣơng Bài tập 15: Các số: abab, abba, abcabc Có phải số phƣơng khơng? Biên soạn: Trần Trung Chính .: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT : www.VNMATH.com Giải Ta có: abab  101ab Do abab khơng thể số phƣơng abcabc  1001abc Suy điều phải chứng minh Bài tập 16: Có số phƣơng chia hết cho 55 có dạng abca khơng? Giải Giả sử tồn số phƣơng k2 có dạng abca chia hết cho 55 Suy ra: k2  k2  11 Mà (5, 11) = nên k2  55 Khi đó: k2 = 55t, t  N Ta có: 1000  (55t)2 = 55m  9999  1000  3025t2  9999   t2   t2 =  t =  k2 = 3025  abca Vậy khơng tồn số phƣơng có dạng abca chia hết cho 55 Bài tập 17: Tìm số phƣơng có dạng 22ab Giải Ta có: 2116 < 22ab < 2304  462 < 22ab < 482 Do đó: Nếu 22ab số phƣơng 22ab = 472 = 2209 Vậy số phƣơng phải tìm 2209 Bài tập 18: Tìm số phƣơng có chữ số cho chữ số đầu cuối giống Giải 1) Giả sử abbb số phƣơng Nếu chữ số hàng đơn vị số lẻ chữ số hàng chục chữ số chẵn, b khơng thể lẻ Mặt khác abbb phƣơng b 0, 1, 4, 6, Do b = 0, 4, Nếu b = a000 khơng phƣơng Nếu b = a444 phƣơng a = Nếu b = a666 khơng phƣơng Ta có 1444 số phƣơng 2) Khơng có số phƣơng có dạng aaab Bài tập 19: Nghiên cứu số phƣơng có chữ số giống Giải Xem số A = aa aa (n chữ số a) Suy ra: A = a.11 11 (n chữ số 1) Khơng có số phƣơng tận chữ số: 2, 3, 7, Suy ra: a  2, 3, 7, Nếu chữ số hàng đơn vị chữ số lẻ chữ số hàng chục phải chữ số chẵn Suy a  1, 3, 5, 7, Nếu chữ số hàng đơn vị chữ số hàng chục phải chữ số lẻ Biên soạn: Trần Trung Chính .: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT : Suy a  4, Dĩ nhiên a  Vậy khơng có số phƣơng mà tất chữ số giống Bài tập 20: Cho số A = n4 + 14n3 + 71n2 + 154n + 120, với n  N a) Phân tích A thành nhân tử b) Chứng minh A số phƣơng (Đề thi vào lớp 10 chun tốn Lê Quý Đôn Nha Trang năm học 1996 - 1997) Giải a) Ta có: A = n4 + 14n3 + 71n2 + 154n + 120 = (n4 + 14n3 + 49n2) + (22n2 + 154n) + 120 = (n2 + 7n)2 + 22(n2 + 7n) + 120) = (n2 + 7n + 10)(n2 + 7n + 12) = (n + 2)(n + 5)(n + 3)(n + 4) Vậy A = (n + 2)(n + 3)(n + 4)(n + 5) b) Các bạn làm tƣơng tự 11 Bài tập 21: Cho a b số tự nhiên, a2 - b2 số phƣơng khơng? Giải Ta có: a2 - b2 = (a - b)(a + b) Giả sử a > Muốn cho a2 - b2 số phƣơng, ta cần chọn: a  b  du2  a  b  dv , u > v  d u2  v2 a    d u  v2  b   Trong d chẵn u v tính chất chẵn, lẻ (u > v) Lúc đó, ta có: a2 - b2 = c2  a2 = b2 + c2 Các nghiệm phƣơng trình là: a  d u2  v2 , b  d u2  v2         Vậy a - b số phƣơng Bài tập 22: 1) Tìm số có hai chữ số ab cho số n  ab  ba số phƣơng 2) Tìm số có hai chữ số ab cho số m  ab  ba số phƣơng Giải 1) Ta có: n  ab  ba = k2, k N*, với a, b, k N a  0, b  9, a   9(a - b) = k2 Do (a - b) số phƣơng Mặt khác, ta có: a - b  Do ta có: a - b = v a - b = v a - b = Xét trƣờng hợp a - b =  a = b + Có số thỏa: 10; 21; 32; 43; 54; 65; 76; 87; 98 Xét trƣờng hợp a - b =  a = b + có số thỏa: 40; 51; 62; 73; 84; 95 Xét trƣờng hợp a - b =  a = b + có số thỏa 90 Vậy có 16 số thảo mãn yêu cầu 2) Ta có: m  ab  ba = q2, q N*  11(a + b) = q2 Do đó, ta có: a + b = 11t2, t  N* Biên soạn: Trần Trung Chính .: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT : www.VNMATH.com Mặt khác, ta có:  a + b  18  t2 =  a + b = 11 Có số thỏa mãn yêu cầu toán là: 29; 38; 47; 56; 65; 74; 83; 92 Bài tập 23: Tìm số a  N cho số sau số phƣơng: a) a2 + a + 1589 b) 13a + c) a(a + 3) d) a2 + 81 e) a2 + a + 43 f) 3a + 72 Giải a) Đặt: a2 + a + 1589 = k2, k  N Suy ra: (2a + 1)2 + 6355 = 4k2  (2k + 2a + 1)(2k - 2a - 1) = 6355 Nhận xét rằng: 2k + 2a + 2k - 2a - lẻ 2k + 2a + > 2k - 2a - > Do ta viết: (2k + 2a + 1)(2k - 2a - 1) = 6355.1 = 1271.5 = 205.31 = 155.42 Suy a có giá trị sau: 1588, 316, 42, 28 b) Đặt: 13a + = y2, y  N  13(a - 1) = y2 - 16 = (y + 4)(y - 4)  (y + 4)(y - 4)  13, (13 số nguyên tố)  y +  13 y -  13  y = 13n  4, n nguyên tố, không âm  13(a - 1) = (13n  4)2 - 16 = 13n(13n  8)  a = 13n2  8n + c) Đặt: a(a + 3) = y2, y  N  (2a + 3)2 = 4y2 +  (2a + 2y + 3)(2a - 2y + 3) = 2a + 2y +  2a - 2y + > 2a + 2y + 3, 2a - 2y + nguyên Do đó: 2a  2y   a    2a  2y   y   d) Đặt: a2 + 81 = z2, z  N  z2 - a2 = 81  (z + a)(z - a) = 81 Ta có: z + a  z - a > Và z + a, z - a  N Do đó, ta có khả sau: z  a  81 a  40 z  a  27 a  21     z  a  z  41 z  a  z  15 z  a  a    z  a  z  e) Đặt: a2 + a + 43 = k2, k  N  4a2 + 4a + 172 = 4k2  (2a + 1)2 + 171 = 4k2  4k2 - (2a + 1)2 = 171  (2k + 2a + 1)(2k - 2a - 1) = 171 = 57 = 9.19 Các bạn tự giải tiếp Bài tập 24: Tìm a  N cho (23 - a)(a - 3) số phƣơng Giải Đặt: (23 - a)(a - 3) = b2, b  N Suy ra: (a - 13)2 = 100 - b2  (a - 13)2 + b2 = 102 Đây ba số "Pitago" nên ta có: b = 0; 6; 8; 10 Do đó: a = 23; 21; 19; 13; 3; 5; Vậy có giá trị thỏa mãn yêu cầu toán: a= 3; 5; 7; 13; 19; 21; 23 Bài tập 25: Tìm tất số tự nhiên n khác cho số: q = n4 + n3 + Biên soạn: Trần Trung Chính .: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT : số phƣơng Giải Ta có: n4 + n3 + > (n2)2 Do đó: n4 + n3 + = (n2 + k)2, k  N*  n2(n - 2k) = k2 - (*)  k2 -  n2 Suy ra: k2 - = v k2 - = n2 Với k2 - = 0, k  N* k=1 n=2 q = 52 (thỏa mãn) Xét k  N*, k > Ta có: n2  k2 - < k2  n < k, (*) vơ lý Do có giá trị n thỏa mãn yêu cầu toán n = Bài tập 26: Tìm số tự nhiên n cho n + 24 n - 65 hai số phƣơng (Đề thi vào lớp 10 chuyên Toán Quốc học Huế năm học 2001 - 2002) Giải Theo đề bài, ta có:  n  24  p , p, q  N, p > q  n  65  q    p2 - q2 = 89  (p + q)(p - q) = 89 Ta có: p, q  N p > q  p + q, p - q  N p + q > p - q > Do đó, ta có:  p  q  89 p  45   n  2001  p  q  q  44 Vậy số tự nhiên phải tìm n = 2001 Bài tập 27: Tìm tất số nguyên n cho n2 + 2002 số phƣơng (Đề thi vào lớp 10 Chuyên Đại học KHTN - ĐHQG Hà Nội năm học 2002 - 2003) Giải Giả sử n2 + 2002 số phƣơng n2 + 2002 = m2, với n, m  Z  (m + n)(m - n) = 2002 m + n m - n hai số chẵn  (m + n)(m - n)   2004  4, vô lý Vậy không tồn số nguyên n để n2 + 2002 số phƣơng Bài tập 28: Thay dấu (*) chữ số cho số sau số tự nhiên: A  4**** Giải Ta có: A  4****  A6  4**** A6 có chữ số bên trái  10000  A6  100000  100  A3  317 4 l) Khi đó: Sk - Sl = al+1 + al+2 + + al+k  10 (đpcm) Bài toán tổng quát: Trong n số tự nhiên tồn số tự nhiên chia hết cho n tổng số số chia hết cho n Bài tập 52: Chứng minh số tự nhiên có chữ số chọn đƣợc hai số mà viết liền ta đƣợc số có chữ số chia hết cho Giải Lấy số cho chia cho đƣợc số dƣ nhận giá trị 0, 1, 2, , Theo nguyên tắc Dirichlet có hai số dƣ, giả sử abc def chia cho có số dƣ r Giả sử: abc = 7k + def - 7l + r Ta có: abcdef  1000abc  def  1000  7k  r   7l  r  1000k  l   1001r  (đpcm) Bài tập 53: Cho số nguyên phân biệt a, b, c, d Chứng minh rằng: (a - b)(a - c)(a - d)(b - c)(b - d)(c - d) 12 Giải Đặt: A = (a - b)(a - c)(a - d)(b - c)(b - d)(c - d) Bốn số nguyên a, b, c, d khơng chia hết cho có hai số có dƣ hiệu chúng chia hết cho 3, hiệu thừa số A A  (1) Nếu a, b, c, d có hai số có dùng dƣ Khi chia cho A  cịn a, b, c, d có dƣ khác chia cho có hai số chẵn hai số lẻ Lúc có hai hiệu chia hết cho Do đó: A (4) Từ (1) (2), suy ra: A  12 Bài tập 54: Có hay khơng số nguyên dƣơng k để 29k số có chữ số tận 0001 Giải Ta cần chứng minh tồn số nguyên k cho 29k - 1 104 Thật vậy: Lấy 104 + số: 29, 292, , 2910 1 chia cho 104, có hai số có hiệu chia hết cho 104, giả sử hai số 29n 29m (n > m) Ta có: 29m - 29n  104 hay 29m(29n-m - 1) 104 Vì (29m, 104) = nên 29n-m -  104 (đpcm) Biên soạn: Trần Trung Chính 77 .: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT : Bài tập 55: Chứng minh số ngun tìm đƣợc ba số có tổng chia hết cho Giải Lấy số nguyên cho chia cho đƣợc dƣ 0, 1, Nếu số nguyên chia cho có đủ ba số dƣ 0, 1, Giả sử: a1 = 3k1, a2 = 3k2 + 1, a3 = 3k3 + a1 + a2 + a3 = 3(k1 + k2 + k3 + 1) Nếu số nguyên chia cho có hai loại số dƣ theo ngun tắc Dirichlet có số có dƣ Khi đó: Tổng ba số chia hết cho Nếu số nguyên chia cho có chung số dƣ tổng ba số chúng chia hết cho Vậy số ngun tìm đƣợc số có tổng chia hết cho Bài tập 56: Chứng minh 52 số tự nhiên ln tìm đƣợc cặp gồm hai số cho tổng hiệu chúng chia hết cho 100 Giải Trong tập hợp số dƣ phép chia 52 số cho 100 ta lấy cặp số cho tổng cặp 100 lập thành nhóm sau: (0, 0); (1, 99); (2, 98); , (49, 51) (50, 50) Ta có tất 51 cặp mà có tới 52 số dƣ nên theo ngun tắc Dirichlet phải có hai số dƣ thuộc nhóm Rõ ràng cặp số tự nhiên ứng với cặp số dƣ hai số tự nhiên có tổng hiệu chia hết cho 100 Bài tập 57: Trong bảng vng gồm có x ô vuông, ngƣời ta viết vào ô vuông ba số 1; -1 cho có số Chứng minh tổng số theo cột, hàng, đƣờng chéo phải có hai tổng số Giải Ta có cột, dịng, đƣờng chéo nên đƣợc 12 tổng Mỗi ô nhận giá trị 1; -1 nên tổng nhận giá trị từ -5 đến Ta có: 11 số nguyên từ -5 đến -5, -4, , -1, 0, 1, , Vậy theo nguyên tắc Dirichlet phải có hai tổng số Bài tập 58: Viết số tự nhiên từ đến 10 thành hàng ngang theo thứ tự tùy ý, tiếp cộng số số cho với số thứ tự vị trí (tính từ trái sang phải) Chứng minh có hai tổng mà chữ sỗ tận hai tổng nhƣ Giải Gọi 10 số tự nhiên từ đến 10 viết theo thứ tự từ trái sang phải a1, a2, , a10 Ta lập dãy b1, b2, , b10 với b1 = a1 + 1, b2 = a2 + 2, , b10 = a10 + 10 bi tổng với vị trí thứ i mà đứng (i = 1, 2, , 10) Ta có: b1 + b2 + + b10 = a1 + a2 + + a10 = 2(1 + + + 10) = 110 Vì 110 số chẵn nên khơng xảy trƣờng hợp có số bi lẻ số bj chẵn, hay nói cách khác số bi chẵn số bj lẻ phải khác Do số bi lẻ lớn số bj chẵn lớn Mà từ đến 10 có vị trí lẻ vị trí chẵn nên theo nguyên tắc Dirichlet phải có hai số bi lẻ tận nhƣ có hai số bj chẵn có chữ số tận nhƣ Bài tập 59: Chứng minh 19 số tự nhiên liên tiếp ln tồn số có tổng chữ số chia hết cho 10 Giải Trƣớc hết ta chứng minh rằng: Với 19 số tự nhiên liên tiếp tồn 10 số liên tiếp có chữ số hàng chục nhƣ chữ số hàng đơn vị liên tiếp từ đến Nếu 19 số tự nhiên liên tiếp có mặt chữ số hàng chục khác rõ ràng có chữ số hàng chục (ở hai hàng chục kia) với chữ số đơn vị liên tiếp từ đến Nếu 19 số tự nhiên liên tiếp có hai loại chữ số hàng chục khác từ 19 = 2.9 + Suy ra: Có 10 số có chữ số hàng chục chữ số hàng đơn vị liên tiếp từ đến Tổng chữ số số 10 số tự nhiên nói lập thành 10 số tự nhiên liên tiếp Vậy phải có số chia hết cho 10 Vậy 10 số tự nhiên liên tiếp tồn số có tổng chữ số chia hết cho 10 Bài tập 60: Chứng minh số tự nhiên có số k cho số 1983 k - chia hết cho 105 Biên soạn: Trần Trung Chính 78 .: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT : www.VNMATH.com Giải Xét dãy số: 1983, 19832, 19833, , 198310 Chia tất số hạng dãy cho 105 Không có số hạng dãy chia hết cho 105 Có 105 phép chia mà số số dƣ có tối đa 105 - trị số, có số hạng dãy chia cho 10 có số dƣ Gọi số 1983i 1983j, với i, j N  i  j  105  1983j - 1983i  105  1983(1983j-i - 1)  105 (1983, 10) =  (1983i, 105) =  1983j-i - 1 105 Vậy tồn số tự nhiên k cho ta có: 1983k - 1 105 Dạng 5: Phương pháp quy nạp Giả sử cần chứng minh: A(n)  p, với n = 1, 2, (1) Ta cần chứng minh (1) với n = 1, tức chứng minh A(1)  p Giả sử (1) với n = k, tức ta có: A(k)  p Ta chứng minh (1) với n = k + 1, tức phải chứng minh A(k + 1)  p Theo nguyên lý quy nạp, ta kết luận (1) với n = 1, 2, Bài tập 61: Chứng minh với số nguyên dƣơng n, ta có: 4n + 15n - 1 (1) Giải Với n = 1, ta có: 41 + 15.1 - = 18 Vậy (1) với n = Giả sử (1) với n = k, tức là, ta có: (2) 4k + 15k - 1  4k + 15k - = 9m, (m  Z)  4k = 9m + - 15k Với n = k + 1, ta có: 4k+1 + 15(k + 1) - = 4.4k + 15k + 14 = 4(9m + - 15k) + 15k + 14 (theo (2)) = 36m - 45k + 18 Vậy (1) với n = k + 1, (1) với n ≥ Bài tập 62: Chứng minh với số tự nhiên n, ta có: n1 32  211 (1) Giải Với n = ta có: 32   1111 k1 Giả sử (1) với n = k, tức là: 32  211 Với n = k + 1, ta có: 32 4 k+11 + = 32   Mà 32 4k+1 16 4k+1 16       16 số chẵn + = 32  - 216  32 4k+1 Theo giải thiết quy nạp: 3  24k+1 16 4k+1 16 + = 32   + 211 nên 32 4k+1 16 4k+1 16 - 216 + 216 +  216 11 Mặt khác: 216    215  111 Do đó: 4 k11  211  211 với n  N Vậy Bài tập 63: Chứng minh với số tự nhiên n ≥ k số tự nhiên lẻ, ta có: n k  1 2n 2 Giải Với n = ta có k2 - = (k - 1)(k + 1)  (vì k - 1, k + số chẵn liên tiếp nên tích chúng chia 32 24 n1 Biên soạn: Trần Trung Chính 79 .: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT : hết cho 8) Giả sử n = m, ta có: k  1 2m2  k   2m2.q,  q  Z   k  2m2.q  Với n = m + 1, ta có: m k2 m m1   1  k2 m m    2m2.q  1   22 m4.q  2m3.q  2m3  2m1.q2  q  2m3 Vậy k  1 2n 2 , với n  Bài tập 64: Chứng minh số đƣợc thành lập 3n chữ số giống chia hết cho 3n với n số nguyên dƣơng (Đề thi HSG quốc gia năm 1979) Giải n Ta cần chứng minh: aa a (1) 3 n 3n sè a Với n = 1, ta có: aaa  111a 3 Vậy (1) với n = Giả sử (1) với n = k, tức ta có: k aa a 3 3k sè a Ta chứng minh (1) với n = k + 1, tức phải chứng minh: k 1 aa a  3 3k 1 sè a Ta có: 3k+1 = 3.3k = 3k + 3k + 3k Do đó: 2.3 aa a   aa a  a a  a a   aa a  10  aa a  10  aa a  k 3k1 sè a 3k  3k 3k 3k k 3k  3k 2.3 k 1  aa a  10  10   3k k k 2.3 k Vì theo giả thiết quy nạp: aa a   10  10  13 k k 3k Vậy (1) với n = k + 1, (1) với n ≥ Dạng 6: Sử dụng đồng thư thức: Nếu a  b (mod m)  a - b m Nếu a  b (mod m) c  d (mod m) thì: a  c  b  d (mod m), ac  bd (mod m) Hệ quả: a  b (mod m) thì: a  c  b  c (mod m), ac  bc (mod m), an  bn (mod m), (n  N) Bài tập 65: Tìm dƣ phép chia 32003 chia cho 13 Giải Ta có: 33 = 27  (mod 13) 2003 = 3.667 + Do đó: 32003 = 33.667+ = 32  33  Ta có:  33  667 667  (mod 13)  32  33  667  (mod 13) 2003 Vậy số dƣ phép chia cho 13 Bài tập 66: Chứng minh rằng: 22002 - 4 31 Giải Ta có: 25 = 32  (mod 31) 2002 = 5.400 + Do đó: 22002 - = 25.400 + - = 4.(25)400 - = 4[(25)400 - 1]  4(1 - 1) = (mod 31) Biên soạn: Trần Trung Chính 80 .: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT : www.VNMATH.com Vậy 22002 - 4 31 Bài tập 67: Chứng minh rằng: 22225555 + 55552222  Giải Ta có: 2222  - (mod 7) 5555  (mod 7) Suy ra: 22225555 + 55552222  (-4)5555 + 42222 (mod 7) Mà (-4)5555 + 42222 = -42222(43333 - 1)  (43 - 1) = 63 Vậy (-4)5555 + 42222  (mod 7) Từ (1) (2) suy ra: 22225555 + 55552222  (đpcm) (1) (2) n Bài tập 68: Kí hiệu: a1  a   a n   a i Chứng minh rằng: chia hết cho n2 + n +1 i 1 n   1 a i i 1 i chia hết cho n2 + n + với a1, a2, , an  Z n  * N Giải Ta có: n2 +  - n (mod n2 = n + 1)  (n2 + 1)3  -n3 (mod n2 + n + 1) (1) Mà n3 - 1 (n2 + n + 1) Do đó: n3  (mod n2 + n + 1) (2) Từ (1) (2), suy ra: (n2 + 1)3  - 1(mod n2 + n + 1)  ai(n2 + 1)3i  ai(-1)i (mod n2 + n + 1), i  1, n   a i  n  1    1 a i  mod n  n  1 n 3i i 1 n i i 1 Bài tập 69: Cho a1, a2, , an  Z n n  a 6 Chứng minh rằng:  a i 1 i i 1 i 6 (Đề thi HSG TP HCM năm 1991) Giải Ta cần chứng minh: n3  n (mod 6) Thật vậy: n3 - n2 = n(n2 - 1)= (n - 1)n(n + 1)  6, n - 1, n, n + ba số nguyên liên tiếp nên có số chia hết cho số chia hết chia hết cho Thay n = ai, ta đƣợc: a 3i  (mod 6)  26 Bài tập 70: Chứng minh rằng:  k.10 3k n n i 1 i 1  a 3i   a i   mod  (đpcm) 13 k 1 Giải Ta có: 103 = 1000  - 1(mod 13), 1001 = 13.77 Suy ra: 103k  (-1)3k (mod 13)  k.103k  k.(-1)k (mod 13) Do đó: 26 26 k 1 k 1  k.103k   k  1  mod 13 k Mà 26   1 k k  1      25  26   1     3      25  26   13 k 1 20 Vậy  k.10 3k   mod 13 (đpcm) k 1 Dạng 7: Áp dụng định lý FERMAT: Với p số nguyên tố ta có: ap  a (mod p) Đặc biệt: Nếu (a, p) = ap-1  (mod p) Chứng minh Giả sử p nguyên tố (a, p) = Số dƣ chia a, 2a, , (p - 1)a cho p đôi khác số số 1, 2, , p - Biên soạn: Trần Trung Chính 81 .: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT : Gọi r1, r2, , rp-1 số dƣ tƣơng ứng phép chia a, 2a, , (p - 1)a cho p Ta có: a  r1  mod p   2a  r2  mod p     p  1 a  r  mod p  p 1  Nhân tƣơng ứng đồng dƣ thức lại ta đƣợc: 1.2 (p - 1)ap-1  r1r2 rp-1 (mod p) Mà 1.2 (p - 1) = (p - 1)! r1r2 rp-1 = 1.2 (p - 1) = (p - 1)! Nên: (p - 1)!ap-1  (p - 1)! (mod p)  ap-1  (mod p), ((p - 1)!, p) = Bài tập 71: Cho a  Z; m, n  N* Chứng minh rằng: a6n + a6m  a  Giải Giả sử: a6n + a6m  a  7, ta có: (a, 7) = Theo định lý Fermat: a6  (mod 7)  a6n  (mod 7) a6m  (mod 7)  a6n + a6m  (mod 7) Vô lý! Vậy a  Bài tập 42: Cho hai số nguyên tố khác p q Chứng minh rằng: p q-1 + qp-1 - 1 p.q Giải Vì p, q nguyên tố p ≠ q nên (p, q) = Áp dụng định lý Fermat, ta có: pq-1  (mod q) qp-1  (mod p)  pq-1 - 1 q qp-1 - 1 p Mặt khác: pq-1  p qp-1  q nên ta có: pq-1 + qp-1 -  q pq-1 + qp-1 -  p Mà (p, q) = nên pq-1 + qp-1 -  p.q n 1 n 1 Bài tập 72: Chứng minh rằng: 32  23  511 , với n  N Giải Theo định lý Fermat, ta có: 310  1 mod 11 210  (mod 11) Ta tìm dƣ phép chia 24n+1 34n+1 cho 10, tức tìm chữ số tận chúng 24n+1 = 2.16n  (mod 10)  24n+1 = 10k + 34n+1 = 3.81n  (mod 10)  34n+1 = 10l + 3, (k, l  N) 10k Mà  (mod 11) 210l  (mod 11) nên: n 1 n 1 32  23   310k 2  210l 3   32  23    mod11 n 1 n 1 Vậy: 32  23  511, n  N Bài tập 73: Chứng minh (a, 240) = a4 - 1 240 Giải Ta có: 240 = 24.3.5  a  1  a  1   a  115 (a, 240) =  (a, 2) = (a, 3) = (a, 5) =   (1) a   a       Mặt khác: a - = (a - 1)(a + 1)(a + 1)  16 (2) Vì a - 1, a + hai số chẵn liên tiếp nên tích chia hết cho a + 1 Từ (1) (2) suy ra: a4 - 1 240 Bài tập 74: Cho a, b số nguyên p số nguyên tố dạng 4k + Chứng minh a2 + b2  p a  p b  p Từ suy phƣơng trình x2 + 2x + 4y2 = 37 khơng có nghiệm ngun dƣơng Giải Giả sử p = 4k + a2 + b2 chia hết cho p Nếu a b không chia hết cho p (a, p) = (b, p) = Áp dụng định lý Fermat ta có: ap-1  (mod p) bp-1  (mod p) Khi đó: Biên soạn: Trần Trung Chính 82 .: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT : www.VNMATH.com a4k+2 + b4k+2  (mod p) (1) Mà a4k+2 + b4k+2 = (a2)2k+1 + (b2)2k+1  (a2 + b2) p (2) Từ (1) (2) suy ra:  p hay p = 2, khơng có dạng 4k + 3, vô lý Vậy a  p b  p (do a2 + b2  p) Áp dụng: Ta có: x2 + 2x + 4y2 = 37  (x + 1)2 + (2y)2 = 38 19 19 = 4.4 + nên (x + 1)  19 2y 19, suy ra: (x + 1)2 + (2y)2  192  38 192 (vơ lý) Vậy phƣơng trình khơng có nghiệm ngun dƣơng Bài tập 75: Tìm số ngun tố p cho 2p + 1 p Giải Áp dụng định lý Fermat, ta có: 2p -  p Từ đó, suy ra: = 2p + - (2p - 2)  p  p = Ngƣợc lại: Với p = ta có: 2p + = 23 + = 9 Vậy với p = 23 + 1 p Bài tập 76: Một số có 6n chữ số chia hết cho Chứng minh chuyển chữ số tận lên đầu số đƣợc số chia hết cho Giải Gọi số ban đầu N = 10A + a, với a chữ số tận N A có 6n -1 chữ số Sau khu chuyển a lên đầu ta đƣợc: M = a.106n-1 + A Ta chứng minh: (N - 3M)  Thật vậy, ta có: N - 3M = 7A - a(3.106n-1 - 1) Áp dụng định lý Fermat, ta có: 106  (mod 7)  106n  (mod 7)  3.106n   10 (mod 7)  3.106n-1  (mod 7) Vậy (N - 3M)  Từ suy điều phải chứng minh Bài tập 77: Cho số nguyên tố p > Chứng minh rằng: 3p - 2p - 1 42p Giải Đặt: A = 3p - 2p - 1, p lẻ Dễ dàng chứng minh: A  A A Nếu p = A = 37 - 27 - Do đó: A 49 (Hay tính cụ thể A) tức A 7p Nếu p  p nguyên tố nên (p, 7) = Theo định lý Fermat, ta có: A = (3p - 3)- (2p - 2) chia hết cho p Đặt: p = 3q + r, (qN, r = r = 2)  A = 33q+r - 23q+r - = 3r.27q - 2r.8q - = 7k + 3r(-1)q - 2r - 1, kN Xét: r = 1: q phải chẵn p lẻ  A = 7k + 3.1 - - = 7k Xét: r = 2: q phải lẻ p lẻ  A = 7k + 32.(-1) - 22 - = 7k - 14 A mà A p, (p, 7) =  A 7p Vậy A 42p Dạng 8: Hệ đếm số: Bài tập 78: Chứng minh hệ đếm số b > 1, tích số (b - 1) với số khác b mà có tổng b + đƣợc viết với chữ số theo thứ tự ngƣợc Giải Gọi số cho b - a a + 1, a < b Ta có: (b - 1)(b - a) = b2 - (a + 1)b + a = b(b - a - 1) + a =  b  a  1 a b Ta lại có: (b - 1)(a + 1) = ab + b - a - =  b  a  1 a b Suy ra: Đpcm Biên soạn: Trần Trung Chính 83 .: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT : Bài tập 79: Trong hệ đếm số b > 2, xem số b - Chứng minh số 2(b - 1) (b - 1)2 viết hệ cho đƣợc cấu tạo chữ số nhƣng theo thứ tự ngƣợc Giải Ta có: 2(b - 1) = 2b - = b + b - = 1 b    b Ta lại có: (b - 1)2 = b2 - 2b + = b(b - 2) + = 1 b    b Suy ra: Đpcm Bài tập 80: a) Có hệ thống số b mà xx b  yyyy b hay không? b) Chứng tỏ b tồn 2x2 - b2 = Giải Ta có: xx b  yyyy b , với x, y  N  x, y  b  (bx + x)2 = b3y + b2y + by + y  (b + 1)2 = (b2 + 1)(b + 1)y  (b + 1)x2 = [(b + 1)2 - 2b]y  2by b + Có vơ số giá trị b thỏa mãn u cầu tốn Do 2y = b +  2x2 = b2 +  2x2 - b2 = Vậy: Nếu xx b  yyyy b 2x2 - b2 = Bài tập 81: Trong hệ đếm số x, có hai số tự nhiên 302 402 Trong hệ số tích số 75583 Định x? Giải Điều kiện: xN x  Trong hệ thập phân, ta có: 302 = 3x2 + 402 = 4x2 + 75583 = 7.94 + 5.93 + 5.92 + 8.9 + = 50052 Do đó: (3x2 + 2)(4x2 + 2) = 50 052  12x4 + 14x2 - 50 048 = Đặt: y = x2, với y  N y  25 Ta có: 12y2 + 14y - 50 048 =  y  64   y   782  Lo¹i   12 Do x = Vậy x = Bài tập 82: Cho biết 36 + 45 = 103 (1) Hãy tính tích 36.45 (Giải hệ đếm có số xác định) Giải Hệ thức (1) chứng tỏ số đƣợc viết hệ đếm mà số < b < 10 Ta có: (1)  (3b + 6) + (4b + 5) = b2 +  b2 - 7b - = Biên soạn: Trần Trung Chính 84 .: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT : www.VNMATH.com  b = -1  b = Vì < b < 10 nên ta chọn b = Do đó, ta có: 36.45 = (3b + 6)(4b + 5) = 12b2 + 39b + 30 = (8 + 4)b2 + (4.8 + 7)b + 3.8 + = b3 + 4b2 + 7b + 3b + = b3 + (4 + 4)b2 + (8 + 2)b + = b3 + b3 + b2 + 2b + = 2b3 + b2 + 2b +  36.45 = 2126 Vậy 36 + 45 = 103 36.45 = 2126 Bài tập tự luyện: Bài tập 1: Biết đa thức P(x) chia cho (x - a) dƣ A, chia cho (x - b) dƣ B Tìm phần dƣ P(x) chia cho (x - a)(x - b) với (a≠b) AB aB  bA Đáp số: x ab ab Bài tập 2: Tìm phần dƣ phép chia đa thức P(x) = x99 + x3 +10x + cho đa thức x2 + Đáp số: 8x + 2 Bài tập 3: Tìm a b cho đa thức P(x) = x + 8x + 5x + a chia hết cho đa thức x + 3x+b Đáp số: a = -24 b = 50 Bài tập 4: Tìm đa thức bậc ba P(x) Biết p(0) = 0, P(1) = 12, P(2) = 41, P(3) = 25 Đáp sô: x3  x  12x  10 Bài tập 5: Chứng minh n5 - n chia hết cho 240 với số tự nhiên lẻ Hƣớng dẫn: phân tích n5 - n 240 = 16.3.5 Bài tập 6: Chứng minh n8 - n4 chia hết cho 240, Với nN Hƣớng dẫn: n8 - n4 = n4(n4 - 1) chia hết cho 16.3.5 Bài tập 7: Cho m, n a1, a2 , , an số tự nhiên Chứng minh m a1m  a 2m   a mn chia hết cho 120 a1m3  a 2m3   a n a chia hết cho 120 Hƣớng dẫn: Xét tổng hai hiệu số nguyên Bài tập 8: Tìm n thoả mãn P = 3(n +1)2002 n 1 Đáp số: n = 2; n = 4; Bài tập 9: Tìm x cho biểu thức đa thức P(x) + 4x + 8x + 16 chia hết cho x + Đáp số: x = -2; x = -4 Bài tập 10: Chứng minh 54n+1 34n - chia hết cho 240 với số tự nhiên n Hƣớng dẫn: Chứng minh 54n+1 34n - chia hết cho 3, chia hết cho 16 Bài tập 11: Chứng minh rằng: a) n4 - n2 12, nN b) n(n + 2)(25n2 - 1) 24, nN Bài tập 12: Cho số tự nhiên a, b, c, d Chứng minh: (b - a)(c - a)(d - a)(c - b)(d - b)(d-c) 12 Bài tập 13: a) Chứng minh n3 - n + không chia hết cho với số tự nhiên n b) Chứng minh n3 - n chia hết cho 24 với số tự nhiên lẻ (Đề thi vào lớp 10 Đại học Tổng hợp TP HCM hệ PTTH Chuyên năm học 1996 - 1997) Bài tập 14: Cho số tự nhiên a, b, c Chứng minh rằng: Nếu a + b + c  (a + b)(b + c)(c + a) - 2abc  Bài tập 15: Chứng minh rằng: A = n4 - 4n3 - 4n2 + 16n  384 với n chẵn n > Hƣớng dẫn: Ta có: 384 = 3.128 (3, 128) = Nên ta chứng minh A chia hết cho A chia hết Biên soạn: Trần Trung Chính 85 .: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT : cho 128 = 27 Bài tập 16: Chứng minh rằng: a3 - 13a 6, với aZ a > Bài tập 17: a) Cho n > (n, 6) = Chứng minh rằng: n2 - 1 24 b) Cho n lẻ (n, 3) = Chứng minh rằng: n4 - 1 48 c) Cho n lẻ (n, 5) = Chứng minh rằng: n4 - 1 80 HD: a) (n, 6) = nên đặt n = 6k + n = 6k + b) Sử dụng kết câu (a) c) Ta có: 80 = 2.8.5 (n, 5) = nên đặt n = 5k + 1; n = 5k + 2; n = 5k + 3; n = 5k + Bài tập 18: a) Cho a b, a > b hai số tự nhiên Chứng minh rằng: A = ab(a4 - b4) 30 b) Chứng tỏ: B = a2b2(a4 - b4)  60 Bài tập 19: a) Cho n chẵn Chứng tỏ số n3 - 4n n3 + 4n chia hết cho 16 b) Chứng minh rằng: n5 - n  30, n  N n5 - n  240, n lẻ Bài tập 20: Chứng minh n4 + 6n3 + 11n2 + 6n chia hết cho 24 với số tự nhiên n Bài tập 30: a) Chứng minh rằng: n8 - n4  240, nN b) Chứng tỏ: n5 - 5n3 + 4n  120, n  N c) Khi n5 - 5n3 + 4n  360? Bài tập 31: a) Cho a b hai số tự nhiên chia hết cho Chứng minh rằng: a42 - b42  49 b) Cho a b hai số tự nhiên lớn Chứng minh rằng: (a2 - 1)(b2 - 1)(a6 - b6)  580 608 Bài tập 32: a) Chứng minh rằng: 10n + 18n - 28  27, n  N b) Chứng tỏ rằng: 9n+1 - 8n -  64, n  N Bài tập 33: Cho A = 106n+2 + 103n+1 + Chứng minh rằng: A  111, n  N A 91, n số lẻ Bài tập 34: Giả sử a b số nguyên cho: (16a + 17b)(17a + 16b) Chia hết cho 11 Chứng minh tích: (16a + 17b)(17a + 16b) Chia hết cho 121 Bài tập 35: Cho hai số nguyên a b Chứng minh số nguyên p = 11a + 2b chia hết cho 19 số nguyên q = 18a + 5b chia hết cho 19 Bài tập 36: Cho số tự nhiên n Chứng minh số tự nhiên a = n2 + 3n + chia hết cho 11 n có dạng n = 11k + 4, k  N Chứng minh a không chia hết cho 121 Bài tập 37: Chứng minh rằng: 32n+1 + 2n+2 7, nN Bài tập 38: Chứng minh rằng: 32n+2 + 26n+1 11, nN Bài tập 39: Chứng minh rằng: 72n+1 - 48n -  288, nN Bài tập 40: Chứng minh rằng: 11n+2 + 122n+1  133, nN Bài tập 41: Chứng minh rằng: a) 34n+2 + 2.43n+1  17, nN b) 3.52n+1 + 23n+1 17, nN Biên soạn: Trần Trung Chính 86 .: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT : www.VNMATH.com 99 Bài tập 42: Chứng tỏ rằng: 79  79 100 Bài tập 43: Tìm số dƣ phép chia số tự nhiên n = 36 + 38 + 32004 cho 91 Đáp số: Số dƣ r = 11 Bài tập 44: Chứng minh rằng: 52n + 5n + 1 31 với n không chia hết cho Bài tập 45: Chứng minh n khơng chia hết cho 1n + 2n + 3n + 4n Chia hết cho Bài tập 46: Tìm số tự nhiên cho: a) 10n - 1 81 b) 10n - 1 11 c) 10n - 1 121 Đáp số: a) n = 9k b) n = 2k (k  N) Bài tập 47: a) Định m cho: 2.3n + 3 11 b) Tìm số tự nhiên n cho: 2n - 1 Đáp số: a) n = 5k + 4, (n  N) Bài tập 48: a) Xác định tất số nguyên dƣơng n cho: 2n -  b) Chứng tỏ với số nguyên dƣơng n, số 2n - không chia hết cho Đáp số: n = 3k, (k  N) Bài tập 49: Định n  N để cho: a) n2 - 3n +  b) n3 - n + 1 Đáp số: a) n = 5t + b) n = 7k + 2, (n  N) Bài tập 50: Cho 2n = 10a + b Chứng minh n > tích số ab chia hết cho Ở a, b, n số nguyên dƣơng b < 10 Bài tập 51: Chứng minh tổng hai phân số tối giản số nguyên hai phân số có mẫu Biên soạn: Trần Trung Chính 87 .: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT : CHỦ ĐỀ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH "QUY NẠP TOÁN HỌC" Kiến thức bản: Quy nạp khơng hồn tồn: Là suy luận từ kiện riêng lẻ đến kết luận tổng quát Phƣơng pháp phép chứng minh nhƣng phƣơng pháp tìm tịi quan trọng, giúp ta dự đốn giả thiết sai Quy nạp hoàn toàn: Là phép suy luận sau xem xét tất trƣờng hợp xảy rút kết luận tổng quát Bài toán: Chứng minh P(n) với n nguyên n  a, a nguyên Phương pháp 1: Bƣớc 1: Thử với n = a Thay n = a  P(a) Do P(n) n = a Bƣớc 2: Lập giả thiết quy nạp Giả sử P(n) với n = k, k  Z k  a nghĩa P(k) Bƣớc 3: Chứng minh Ta chứng minh P(n) n = k + nghĩa ta chứng minh rằng: P(k + 1) Bƣớc 4: Kết luận Vậy P(n) với n  N n  a, a  Z Phương pháp 2: Khi n = a  P(a) Khi n = a +  P(a + 1) Giả sử P(k - 1) P(k) đúng, với k kZ k  a + Chứng minh P(k + 1) Vậy P(n) với n  N n  a, a  Z Phương pháp 3: Khi n = a  P(a) Giả sử P(a), P(a + 1), P(a + 2), , P(k - 1), P(k) Chứng minh P(k + 1) Vậy P(n) với n  N n  a, a  Z Ví dụ 1: Sử dụng phƣơng pháp chứng minh quy nạp chứng minh rằng: n(n  1)     n  Ví dụ 2: Tính tổng : Sn = 1+ + + + (2n -1) Các tổng cần nhớ: n(n  1) a)     n  n(n  1)(2n  1) b 12  22  32   n2   n(n  1)  c    n      Bài tập áp dụng: Bài tập 1: Tính tổng: Sn = 13 + 23 + 33 + + n3 Giải 3 Biên soạn: Trần Trung Chính 88 ... 1)(b - 1) = 16n2(n - 1)(n + 1) Biên soạn: Trần Trung Chính 10 .: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT : www.VNMATH.com (n - 1)n (n + 1)n chia hết cho (n + 1)(n - 1)n  Do đó: (a - 1)(b - 1)... Chứng minh p số nguyên tố tích số 2.3.4 (p - 3)(p - 2) bội số p thêm Giải Gọi a thừa số tích Biên soạn: Trần Trung Chính 31 .: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT : 2.3.4 (p - 2) Ta chứng... minh tích số tự nhiên liên tiếp số phƣơng Biên soạn: Trần Trung Chính 21 .: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT : CHỦ ĐỀ SỐ NGUYÊN TỐ Kiến thức bản: Định nghĩa: Số nguyên tố số tự nhiên