Dùa vµo ®Þnh nghÜa h×nh thang vµ c¸c tÝnh chÊt cña h×nh thang ®Ó tÝnh to¸n theo yªu cÇu bµi to¸n.. 2..[r]
(1)Chuyên đề:
Tø gi¸c To¸n chøng minh, tính toán; cực trị A- Kiến thức
I Nội dung tứ giác chơng trình toán THCS. 1.1 Néi dung to¸n häc vỊ tø gi¸c
+ Khái niệm tứ giác tứ giác dạng đặc biệt (hình thang, hình thang cân, hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vng)
+ Định nghĩa, tính chất, định lí, dấu hiệu nhận biết tứ giác đặc biệt
1.2 Vấn đề tứ giác đợc trình bày chơng trình THCS
Nội dung tốn tứ giác đợc trình bày SGK lớp bậc THCS Chơng I:
+ Tứ giác
+ Hình thang, hình thang cân
+ Hình bình hành dạng đặc biệt (hình chữ nhật, hình thoi, hình vng)
II Tứ giác dạng đặc biệt nó 1 Tứ giỏc
1.1 Định nghĩa
T giỏc ABCD l hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD, DA hai đoạn thẳng khơng nằm đờng thẳng
Các tứ giác đợc nghiên cứu chơng trình tứ giác lồi, tứ giác nằm nửa mặt phẳng bờ đờng thẳng cạnh tứ giác
1.2 Tỉng c¸c gãc mét tø giác
Vẽ tứ giác ABCD
Định lí: Tông c¸c gãc cđa mét tø gi¸c b»ng 360°
2 Hình thang, hình thang cân.
D
C B
A
D
C B A
Dựa vào tổng ba góc tam giác ta tính đợc
^
A+ ^B+ ^C+ ^D=360°
(2)2.1 H×nh thang
a) Định nghĩa: Hình thang hình có hai cạnh đối song song Tứ giác ABCD có : AB // CD nên hình thang
D C
B A
b) NhËn xÐt:
- Nếu hình thang có hai cạnh bên song song hai cạnh bên nhau, hai cạnh đáy
- Nếu hình thang có hai cạnh đáy hai cạnh bên song song
2.2 Hình thang vuông
Trên hình ta thấy hình thang ABCD cã AB // CD, Dˆ 90
nên Aˆ 90 Ta gọi ABCD l hỡnh thang vuụng
Định nghĩa: Hình thang vuông hình thang có góc vuông. 2.3 Hình thang cân
a) Định nghĩa: Hình thang cân là
hình thang có hai góc kề đáy nhau. Tứ giác ABCD hình thang cân (đáy AB, CD)
⇔
¿
AB // CD
^
C=^D ,hoac \{^A
¿
{
¿ b) DÊu hiªơ nhËn biÕt
D
C B
A
D C
B A
D C
B A
(3)Định lí 3: Trong hình thang có hai đờng chéo hình thang cân.
Từ ta có dấu hiệu nhận biết hình thang cân nh sau:
Hình thang có hai góc kề đáy hình thang cân Hình thang có hai đờng chéo hình thang cân 2.4 Đờng trung bình tam giỏc, hỡnh thang
a) Đờng trung bình tam giác
Định lí 1: Đờng thẳng qua trung điểm cạnh tam giác song song với cạnh thứ hai qua trung điểm c¹nh thø ba
F E
C B
A
Trong ΔABC cã AD = DB, DE // BC AE = EC
Định lí 2: Đờng trung bình tam giác song song với cạnh thứ ba và nửa cạnh
Trong ABC cã AD = DB, AE = EC ⇒DE=1
2BC vµ DE // BC
b) Định lí đờng trung bình hình thang
Định lí 3: Đờng thẳng qua trung điểm cạnh hình thang song song với cạnh đáy qua trung điểm cạnh bên thứ hai
F E
D C
B A
Trong h×nh thang ABCD cã AE = ED, EF // AB, EF // CD ⇒ BF = FC
Định lí 4: Đờng trung bình hình thang song song với hai đáy bằng nửa tổng hai đáy
(4)Trong h×nh thang ABCD cã: EF=1
2(AB+CD)
3 H×nh b×nh hµnh
a Định nghĩa: Hình bình hành tứ giác có cạnh đối song song.
D C
B A
b TÝnh chÊt
Định lí: Trong hình bình hành thì: Các cạnh đối
- Các góc đối
Hai đờng chéo cắt trung điểm đờng c Dấu hiệu nhận biết
1 Tứ giác có cạnh đối song song hình bình hành Tứ giác có cạnh đối hình bình hành
3 Tứ giác có cạnh đối song song hình bình hành Tứ giác có hai góc đối song song hình bình hành
5 Tứ giác có hai đờng chéo cắt trung điểm đờng hình bình hnh
4 Hình chữ nhật
a) Định nghĩa: Hình chữ nhật tứ giác có bốn góc vuông
b) Tính chất: Trong hình chữ nhật, hai
đờng chéo cắt cắt trung điểm đờng c) Dấu hiệu nhận biết:
1 Tứ giác có ba góc vuông hình chữ nhật
2 Hình thang cân có góc vuông hình chữ nhật Hình bình hành có góc vuông hình chữ nhật
4 Hỡnh bình hành có hai đờng chéo hình chữ nhật Tứ giác ABCD hình bình hành
⇔ AB // CD AD // BC
¿{
D
C B A
Ta cã: ^A= ^B=^C=^D=90°
(5)5 Hình thoi
a) Định nghĩa: Hình thoi tứ giác có bốn cạnh nhau.
b) Tính chất: Hình thoi có tính chất hình bình hành Định lí: Trong hình thoi cã:
Hai đờng chéo vng góc với
Hai đờng chéo đờng phân giác góc hình bình hành c) Dấu hiệu nhận biết
1 Tứ giác có bốn cạnh hình thoi
2 Hình bình hành có hai cạnh kề hình thoi Hình bình hành có hai đờng chéo vng góc
4 Hình bình hành có đờng chéo đờng phân giác gúc l hỡnh thoi
6 Hình vuông
a) Định nghĩa: Hình vuông tứ giác có bốn góc vuông bốn cạnh bằng
Tứ giác ABCD hình vuông
^
A=^B=^C=^D=90°
AB=BC=CD=DA
¿{
b) TÝnh chÊt: H×nh vuông có tất tính chất hình chữ nhật hình thoi
c) Dấu hiệu nhận biết:
1 Hình chữ nhật có hai cạnh kề hình vuông
2 Hỡnh ch nht cú hai đờng chéo vng góc với hình vng Hình chữ nhật có đờng chéo đờng phân giác góc hình vng
4 Hình thoi có góc vuông hình vuông
5 Hình thoi có hai đờng chéo hình vng
A B
C D
ABCD hình thoi
AB = BC = CD = DA
(6)B – Bµi tËp : Toán chứng minh tính toán
I tính toán, Chứng minh hình thang
1.Ph ơng pháp:
1.1 Chøng minh h×nh thang
a) Chøng minh tø giác hình thang:
chng minh mt tứ giác hình thang ta chứng minh có hai cạnh đối song song
b) Chøng minh mét hình thang hình thang vuông
Để chứng minh hình thang hình thang vuông ta chứng minh nã cã mét gãc b»ng 900.
c) Chøng minh hình thang hình thang cân
Để chứng minh hình thang hình thang cân ta có thĨ sư dơng mét hai c¸ch sau:
(1) Chứng minh có hai góc kề đáy (2) chứng minh có hai đờng chéo 1.2 Tính tốn với hình thang
Dựa vào định nghĩa hình thang tính chất hình thang để tính tốn theo u cầu tốn
2 Các ví dụ:
VD 1( Bài trang 71 SGK _To¸n tËp 1):
Tø gi¸c ABCD cã BC = CD BD tia phân giác góc D Chứng minh ABCD hình thang
*) Tóm tắt
GT Tứ giác ABCD, BC = CD BD tia phân giác góc D KL ABCD hình thang
B C
D A
Giải:
BCD có BC = CD BCD tam giác cân góc C D B = góc CBD (1)
Theo giả thiết BD phân giác gãc D ⇒ gãc CDB = gãc CBD (2) Tõ (1) vµ (2) suy ra: gãc CBD = gãc BDA BC // AD tứ giác ABCD
là hình thang
VD2 (Bài 15 trang 75 SGK_ to¸n tËp 1)
(7)Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh bên AB, AC lấy theo thứ tự điểm D E cho AD = AE
a) Chøng minh BDEC hình thang cân
b) Tớnh cỏc góc hình thang cân đó, biết góc A = 500
*)Tãm t¾t:
GT ABC, AB = AC D AB, E AC AD = AE, gãc A = 500
KL a BDEC hình thang cân b Tính góc hình thang
cõn ú C B
A
D E
Gi¶i
a) Theo gi¶ thiÕt ta cã: AE = AD ⇒ ADE cân A góc AED = góc ADE Mµ ADE cã A+D+E = 1800 Suy ra: A E D = (1800
-E A D ) / (1)
Theo giả thiết: ABC cân A A C B=A BC mµ ABC cã:
A+B+C=¿ 1800 ⇒ A C B = (1800 - E A D ) / (2)
Từ (1) (2) suy ra: A E D = A C B ⇒ DE // CB ( Có cặp góc đồng vị nhau) Suy ra: tứ giác BDEC hình thang
MỈt khác: hình thang BDEC có E C B=D B C (vì ABC cân A ) Hình
thang BDEC hình thang cân (ĐPCM)
b) Trong ABC cã: A+B+C=¿ 1800 mµ A = 500 ⇒ A C B=A BC =
650 hay E C B=D B C = 650
Vì CE // BD nên C E D+E C B=¿ 1800
E D B+D B C = 1800
Mµ E C B=D B C = 650
Suy ra: C E D=E D B = 1150
3 Các tập:
- Bài tập SGK_Toán 8_Tập 1: 16 (trang 75), bµi 17 (Trang 75), bµi 18 ( Trang 75), 19( trang 75)
- Bài tập SBT_Toán 8_TËp 1: bµi 11( trang 62), bµi 14 (trang 62), bµi 19 (trang 62)…
II Tính tốn, chứng minh hình bình hành dạng đặc biệt nó:
1 TÝnh to¸n, chøng minh mét tø gi¸c hình bình hành: 1.1 Phơng pháp:
(8)- Để tính tốn hình bình hành ta phải nắm vững định nghĩa hình bình hành, tính chất hình bình hành tính chất tứ giác
- Để chứng minh tứ giác hình bình hành ta sử dụng c¸ch sau:
Chứng minh có cạnh đối song song Chứng minh có cạnh đối
Chứng minh có hai cạnh đối song song Chứng minh có góc đối
Chứng minh có hai đờng chéo cắt trung điểm đờng 1.2 Vớ D:
Ví Dụ ( 48 trang93_SGK_Toán 8_TËp1):
Tø gi¸c ABCD cã E, F, G, H theo thứ tự trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA Tứ giác EFGH hình gì? Vì sao?
*) Tóm tắt:
GT Tứ giác ABCD E AB, AE = EB F BC, BF = FC G DC, CG = GD H AD, DH = HA
KL Tứ giác EFGH hình gì? Vì sao?
Gi¶i:
Trong ABD cã: AE = EB DH = HA
Suy ra: HE đờng trung bình ABD
⇒ HE = BD/2 vµ HE//BD (1) Trong BCD cã: BF = FC
CG = GD
Suy ra: FG đờng trung bình BCD ⇒ FG = BD/2 FG //BD (2)
Tõ (1) vµ (2) suy ra: HE = FG vµ HE//FG ⇒ Tø giác EFGH hình bình hành ( Theo cách (3))
VÝ Dơ ( Bµi 79 trang 68 _ SBT_Toán 8_ Tập 1)
Tính góc hình bình hành ABCD, biết: a A = 1100
b A B = 200
Giải
a Vì ABCD hình bình hành nên ta có:
D C
A
B
G H
E
F
110
A B
D C
(9)A=C
B=D
Suy ra: C = 1100
B=D = 1800 - 1100 = 700
VËy hình bình hành ABCD có : A=C = 1100 , B=D = 700
b Vì ABCD hình bình hành nên ta có:
A+B = 1800 mà theo gi¶i thiÕt cã A − B = 200 Suy A = 1000 , B = 800
Suy A=C = 1000 , B=D = 800
Vậy hình bình hành ABCD có : A=C = 1000 ,
B=D = 800
1.3 Các tập:
- Bài tập SGK_Toán 8_Tập 1: 45 (trang 92), bµi 47 (trang 93)
- Bµi tập SBT_Toán 8_Tập 1: 75 (trang 68), 76 ( trang 68), bµi 83 (trang 69), bµi 84 (trang 69)
2 TÝnh to¸n, chøng minh mét tø giác hình chữ nhật 2.1 Phơng pháp:
- Để tính tốn hình chữ nhật ta phải nắm vững định nghĩa hình chữ nhật, tính chất hình chữ nhật, định lý liên quan đến tính toỏn
- Để chứng minh tứ giác hình chữ nhật ta sử dụng c¸c c¸ch sau:
Chøng minh nã cã ba gãc vuông
Chứng minh hình thang cân có góc vuông Chứng minh hình bình hành có góc vuông
Chng minh nú hình bình hành có hai đờng chéo 2.2 Ví Dụ:
VÝ Dơ ( Bµi 115 trang 72_SBT_To¸n 8_TËp 1)
Cho tam giác ABC cân A, đờng trung tuyến BM, CN cắt G Gọi D điểm đối xứng với G qua M, gọi E điểm đối xứng với G qua N Tứ giác BEDC hình gì? Vì sao?
*) Tóm tắt:
GT ABC cân A
BM, CN đờng trung tuyến BM giao CN G
D đối xứng với G qua M E đối xứng với G qua N
KL Tø giác BEDC hình gì? Vì sao?
Giải:
A B
D C
M N
G E
B C
D A
(10)D đối xứng với G qua M ⇒ GD = 2GM G trọng tâm ABC ⇒ BG = GM Suy BG = GD
Chøng minh t¬ng tù ta cã: CG = GE
Tứ giác BEDC có hai đờng chéo cắt trung điểm đờng nên hình bình hành (1)
Mặt khác : trung tuyến CN BM hai trung tuyến xuất phát từ hai đáy tam giác cân nên CN = BM suy CG = GB ⇒ EC = BD (2)
Từ (1) (2) Suy : tứ giác BEDC hình chữ nhật ( Theo cách (4)) ĐPCM
Ví Dụ ( Bài 116 trang 72_SBT_Toán 8_Tập 1)
Cho hình chữ nhật ABCD Gọi H chân đờng vng góc kẻ từ A đến BD Biết HD = cm, HB = cm Tính độ dài AD, AB ( làm tròn đến hàng đơn vị) *) Túm tt:
GT ABCD hình chữ nhật AH BD
HD = cm, HB = cm KL AD =? , AB = ?
( làm trịn đến hàng đơn vị)
Gi¶i
Kẻ đờng chéo AC cắt BD O
Ta cã: AC = BD = HB + HD = + = (cm)
Vì ABCD hình chữ nhËt nªn : OA = OB = OC = OD = AC/2 = (cm) Ta cã OH = OD – HD = – = (cm)
Vì AH BD OH = DH = cm Tam giác AOD cân A OA = AD = 4(cm)
áp dụng định lí Pitago tam giác vng ABD ta có:
BD2 = AB2 + AD2 ⇒ AB2 = BD2- AD2 = 82 – 42 = 48 ⇒ AB =
√48
7 (cm)
VËy AD = cm, AB cm 2.3 Các tập :
- Bài tập SGK_Toán 8_Tập 1: 61 (trang 99), bµi 64 (trang 100), bµi 65 (trang 100), bµi 76 (trang 106)
- Bµi tËp SBT_Toán 8_Tập 1: 114 (trang 72) 3 Tính toán, chứng minh tứ giác hình thoi
O
A B
D C
H
(11)3.1 Phơng pháp:
- Để chứng minh tứ giác hình thoi ta sử dơng mét c¸c c¸ch sau:
Chøng minh nã có cạnh
Chứng minh hình bình hành có hai cạnh kề
Chứng minh hình bình hành có hai đờng chéo vng góc với Chứng minh hình bình hành có đờng chéo đờng phân giác góc
3.2 VÝ Dơ:
Ví Dụ ( 75 trang106_SGK_Toán 8_Tập1)
Chứng minh trung điểm bốn cạnh hình chữ nhật đỉnh hình thoi
GT ABCD hình chữ nhật E AB, AE = EB F BC, BF = FC G DC, CG = GD H AD, DH = HA KL EFGH hình thoi Giải:
Theo giả thiết có: AE = EB DH = HA
Suy ra: EH đờng trung bình tam giác ABD ⇒ EH = BD/2 EH//BD (1)
Chøng minh tơng tự có: FG = BD/2 FG//BD (2) Từ (1), (2) Suy ra: EH = FG vµ EH // FG (*)
Theo gi¶ thiÕt cã: AE = EB BF = FC
Suy ra: EF đờng trung bình tam giác ABC ⇒
EF = AC/2 EF //AC (3)
Chứng minh tơng tù cã: HG = AC/2 vµ HG // AC (4) Tõ (3) vµ (4) Suy ra: EF = HG vµ EF//HG (**)
Tõ (*) vµ (**) suy tø giác EFGH hình bình hành ( theo cách (1) (2) (3) chứng minh hình bình hành)
Vì ABCD hình chữ nhật nên có: AC = BD (5)
Tõ (1), (3), (5) suy ra: EH = EF mà EH EF hai cạnh kề hình bình hành EFGH nên theo cách chứng minh (2) suy ra: EFGH hình thoi
Ví Dụ ( 74 trang106_SGK_Toán 8_Tập1)
A B
C D
E H
G
F
(12)Hai đờng chéo hình thoi cm 10cm Cạnh hình thoi giá trị giá trị sau:
(A) 6cm (B) √41 cm (C) √164 cm (D) 9cm
Gi¶i
Vì đờng chéo hình thoi cắt trung điểm đ-ờng nên OA = AC / = 10 / = 5cm
OD = BD /2 = 8/ = 4cm
áp dụng định lí Pitago tam giác vng AOD có: AD2 = AO2 + OD2 = 52 +42 = 41 ⇒ AD =
√41 cm Vậy đáp án (B) l ỏp ỏn ỳng
3.3 Các tập
- Bài tập SGK_Toán 8_Tập 1: 77 (trang 106)
- Bài tập SBT_Toán 8_Tập 1: bµi 135 (trang 74), bµi 136 (trang 74), 137 (trang 74), bµi 138( trang 74), bµi 140 (trang 74), 142 (trang 75)
4 Tính toán, chứng minh tứ giác hình vuông 4.1 Phơng pháp
Để chứng minh tứ giác hình vuông ta cã thĨ sư dơng mét c¸c c¸ch sau:
Chứng minh hình chữ nhật có hai c¹nh kỊ b»ng
Chứng minh hình chữ nhật có hai đờng chéo vng góc với Chứng minh hình chữ nhật có đờng chéo đờng phân giác góc
Chứng minh hình thoi có gãc vu«ng
Chứng minh hình thoi có hai đờng chéo 4.2 Ví Dụ:
Ví Dụ ( 144 trang 75_SBT_Toán 8_Tập1)
Cho tam giác vuông ABC vuông A, đờng phân giác AD Gọi M, N theo thứ tự chân đờng vng góc kẻ từ D đến AB, AC Chứng minh tứ giác AMDN hình vng
*) Tãm t¾t:
GT ABC, B A C = 900
AD phân giác DN AC, DM AB KL Tứ giác AMDN hình vuông
Giải
Tứ giác AMDN có: B A C = 900
D M A = 900
O
10 A
C
D B
B
A C
D N M
(13)D N A = 900
Suy ra: AMDN hình chữ nhật ( theo cách (1) chứng minh hình chữ nhật)
Hình chữ nhật AMDN có đờng chéo AD đồng thời đờng phân giác Suy AMDN hình vuông ( theo cách (3)) ĐPCM
VÝ Dô ( 79 trang 108_SGK_Toán 8_Tập1)
Mt hỡnh vuụng có cạnh 3cm Đờng chéo hình vng bằng: 6cm, √18 cm, 5cm hay 4cm?
Gi¶i
áp đụng định lí Pitago cho tam giác vng ta có: đờng chéo bình phơng tổng bình phơng hai cạnh góc vng ⇒ áp dụng vào có 32 + 32 = 18
⇒ đờng chéo hình vng cho √18 cm 4.3 Các tập
- Bài tập SGK_Toán 8_Tập 1: 82 (trang 108) , bµi 84 ( trang 109), bµi 85 (trang 109), bµi 86 (trang 109)
- Bµi tËp SBT_Toán 8_Tập 1: 145 (trang 75), 146 (trang 75), 147 (trang 75), bµi 148( trang 75), bµi 150 (trang 75), bµi 152 (trang 76)
III Những tốn tính tốn, chứng minh hỗn hợp các dạng đặc bit ca t giỏc:
Dạng toán tính toán: Cách làm:
+ ỏp dng nh lớ tng ba góc tam giác 180° , tổng góc tứ giác 360°
+ Dựa vào định lí pitago tam giác vng để tính cạnh, góc
Bài 1: Tứ giác ABCD có hai đờng chéo vng góc, AB = 8cm, BC = 7cm, AD = 4cm Tính độ dài CD
Gt Cho ABCD, AB = 8cm BC = 7cm, AD = 4cm Kl CD = ?
Giải: Gọi O giao điểm AC vµ BD Ta cã:
OC2
+OD2+OB2+OA2=BC2+AD2
¿72+42=65
A
D
C
B
O
(14)Vµ OB2
+OA2=AB2=82=64
Suy OC2
+OD2=1 hay CD2=1
VËy CD =
Bài 2: Cho ABC cân A, đờng trung tuyến AM Gọi I trung điểm AC, K điểm đối xứng với M qua I
Tứ giác AMCK hình gì? Vì sao? Tứ giác ABMK hình gì? Vì sao? *) Tóm tắt
GT ABC cân A Trung tuyến AM I trung ®iĨm AC
K đối xứng với M qua I
KL a)Tứ giác AMCK hình gì? Vì sao? b)Tứ giác ABMK hình gì? Vì sao?
Gi¶i
a) Theo gi¶ thiÕt ta cã: IA = IC
KI = IM
⇒ Tø gi¸c AMCK hình bình hành (dấu hiệu 5) (1)
Mặt khác AM trung tuyến ABC cân A nên AM đờng cao
⇒ AM BC hay ^M=90° (2).
Tõ (1) vµ (2) suy ra: Tứ giác AMCK hình chữ nhật b) Theo c©u a) ta cã AK // MC ⇒ AK // BM
AK = MC ⇒ AK = BM (M trung tuyến BC) Suy ra: Tứ giác ABMK hình bình hành
Bi 3: Cho hỡnh vuụng ABCD Vẽ tia Cx tia phân giác đỉnh C Lấy M Cx Vẽ ME DC, MF BC Trên tia DC lấy điểm G, tia đối BC lấy điểm H cho DG = BH = ME Chng minh rng:
Tứ giác CEMF hình vuông Tứ giác AHMG hình thoi
GT ABCD hình vuông
I
M
B C
K A
(15)Cx lµ tia phân giác C, M Cx ME DC, MF BC
G DC; H thuộc tia đối BC, DG = BH = ME KL CEMF hình vuụng
AHMG hình thoi
Giải
a) Theo gi¶ thiÕt ta cã:
^
E = 900 ( ME DC )
^
F = 900 ( MF BC ) FC E^ = 900
Tứ giác CEMF hình chữ nhật (dấu hiệu 1) (1)
Mặt khác CM phân giác FC E^ Vậy
CEMF hình vuông (ĐPCM)
b) Theo giả thiết chøng minh trªn ta cã:
DG=CE=BH=MF=ME AB=AD=GE=FH
XÐt tam giác vuông ABH, ADG, GEM, HFM có: AB = AD = GE = HF
BH = DG = EM = FM
Suy c¸c tam gi¸c vu«ng ABH = ADG = GEM = HFM (c.g.c) Suy ra: AH = AG = GM = HM
Suy ra: Tứ giác AHMG hình thoi (ĐPCM)
Các tập áp dụng :
Bài 1: Bài tập SGK_Toán 8_Tập 1: 88 (trang 111) , 89 ( trang 111)
Bµi 2: Bµi tËp SBT_Toán 8_Tập 1: 159 (trang 77), 160 (trang 77), 161 (trang 77), bµi 162 ( trang 77), bµi 163 (trang 77)
Bài Cho tứ giác ABCD có hai đờng chéo vng góc, AB = 8cm, BC = 7cm, AD = 4cm Tính độ dài CD
Bài Tứ giác ABCD có A B 50 Các tia phân giác góc C D cắt I CID 115 Tính góc A B
Bài [SGK T67] Ta gọi tứ giác ABCD hình cã AB = AD, CB = CD
(16)Chứng minh AC đờng trung trực BD Tính góc B D biết Aˆ 45, C 60
(Hình vẽ 1)
Cbài toán cực trị hình học
Cỏc bi toỏn cực trị hình học có dạng chung nh sau: Trong tất hình có chung tính chất, tìm hình cho đại lợng (nh độ dài đoạn thẳng, số đo góc, số đo diện tích, …) có giá trị lớn giá trị nhỏ
Các toán cực trị thờng đợc trình bày theo hai cách:
- Cách 1: Trong hình có tính chất đề bài, hình, chứng minh hình khác có giá trị (của đại lợng phải tìm cực trị) lớn (hoặc nhỏ hơn) giá trị đại lợng hình
Cách 2: Thay điều kiện đại lợng đạt cực trị (lớn nhỏ nhất) điều kiện tơng đơng, cuí dẫn tới điều kiện mà ta xác định đợc vị trí điểm để đạt cực trị
Lời giải trình bày theo cách tự nhiên mang tính chất tìm kiếm Các bất đẳng thức thờng dùng để giải toán cực trị Quan hệ đờng vng góc đơng xiên
Quan hệ thờng đợc sử dụng dới dạng:
Trong tam giác vuông (có thể suy biến thành đoạn thẳng) có cạnh vuông AH cạnh huyền AB AB AH, xảy dấu vµ chØ B trïng víi H
Trong đoạn thẳng nối từ điểm đến điểm thuộc đờng thẳng, đoạn thẳng vng góc với đờng thẳng có độ dài nhỏ
Trong đoạn thẳng nối hai điiểm nằm hai đờng thẳng song song, đoạn thẳng vng góc với hai đờng thẳng song song có độ dài nhỏ
VÝ Dơ 1:
Cho hình vng ABCD Hãy nội tiếp hình vng hình vng có diện tích nhỏ
B
C
D
A O
(17)GT ABCD hình vuông
KL EFGH hình vuông nội tiếp ABCD có S nhỏ Gi¶i
Vậy diện tích EFGH nhỏ đỉnh E, F, G, H trung điểm cạnh hình vng ABCD
VÝ Dơ 2:
Trong hình bình hành có diện tích đờng chéo khơng đổi, hình có chu vi nnhỏ nhất?
Gi¶i
Khi B’ cố định, BA + AD = B’A + AD B’D (hằng số)
BA + AD nhỏ ⇔ B’A + AD nhỏ ⇔ A giao điểm d đoạn B’D Khi AB = AD
H
D G C
F
E B
A
d
B
D
C A
B' Gäi EFGH hình vuông
nội tiếp hình vuông ABCD Tâm hai hình vuông phải trùng điểm O
Ta có:
SEFGH= EG FH
2 =
2 OE 2OE
2 =2
OE2.
Nh vËy S nhá nhÊt OE nhỏ Gọi K trung điểm AB, ta cã OE OK (h»ng sè);
OE = OK ⇔ E trïng K
Xét hình bình hành ABCD có BD cố định Diện tích hình bình hành khơng đổi nên diện tích tam giác ABD khơng đổi, A chuyển động đ-ờng thẳng d// BD
Cần xác định vị trí A d để BA + AD nhỏ Ta đổi phía BA d cách lấy B’ đối xứng với B qua d
(18)2 Các bất đẳng thức đại số
Các bất đẳng thức thơngd đợc sử dụng là: - Bất đẳng thức lũy thừa bậc chẵn:
x2 0
-x2 0
- Bất đẳng thức Cô-si: (x + y)2 4xy hay x + y = 2
√xy (*)
với x, y không âm, đẳng thức xảy x = y
Chú ý từ bất đẳng thức (*), ta cịn suy với hai số khơng âm x, y: Nếu x + y số xymax ⇔ x = y;
NÕu xy lµ h»ng sè th× (x + y)min ⇔ x = y
Để sử dụng bất đẳng thức đại số, ta thờng đặt độ dài thay đổi x, biểu thị đại lợng cần tìm cực trị biểu thức x, tìm điều kiện để biểu thức có cực trị
VÝ Dô 3:
Các đờng chéo tứ giác ABCD cắt O Tính diện tích nhỏ tứ giác, biết SAOB = 4cm2, SCOD = 9cm2
Tø gi¸c ABCD, ACBD O
GT SAOB = 4cm2, SCOD = 9cm2
KL Min SABCD = ?
Gi¶i
Ký hiƯu nh h×nh vÏ Ta cã: S4
S2
= OA
OC =
S1 S3
⇒ S1S2 = S3S4 (1)
Theo bất đẳng thức Cô-si:
S3 + S4 √S3S4 = √4 = 12
Ta cã: S = S1 + S2 + S3 + S4 ≥ + + 12 = 25
MaxS = 25 (cm2) ⇔ S
3 = S4 ⇔ SADC = SBCD ⇔ AB // CD
* Chó ý: Tỉng qu¸t, thay vµ bëi a vµ b, ta cã maxS = ( √a + √b )2. VÝ Dụ 4:
Giải ví dụ cách khác Giải
4
2
1 O A
D
C
B
a-x
x
H
D G C
F
E B
A Xét hình vuông EFGH
nội tiếp hình vuông ABCD, ta có AE = BF = CG = DH Gäi AB = a, AE = x th×
(19)minS = a2
2 ⇔ x = a
2 ⇔ E trung điểm AB
Lu ý: Ta khí hiệu minS giá trị nhỏ S, maxS giá trị lớn S. Cách SEFGH nhỏ nhÊt ⇔ 4SAEH lín nhÊt ⇔ x(a− x)
2 lín nhÊt
⇔ x(a - x) lín nhÊt
Chú ý x a – x hai số dơng có tổng khơng đổi (bằng a) nên tích chúng lớn vvà hai số Khi
x = a – x ⇔ x = a
2 E trung điểm AB
Các ý giải toán cực trị
1 Khi gii toán cực trị, nhiều ta cần biến đổi tơng đơng điều kiện cực trị đại lợng thành điều kiện cực trị đại lợng khác
2 Nhiều tốn cực trị có liên quan đến tốn tìm tập hợp điểm: Trong tập hợp hình có chung tính chất, ta cố định số yếu tố khơng đổi hình, điểm cịn lại chuyển động đờng định, việc theo dõi vị trí chúng giúp ta tìm đợc cực trị tốn
3 Khi giải tốn cực trị, có ta phải tìm giá trị lớn (nhỏ nhất) trờng hợp, so sánh giá trị với để tìm giá trị lớn (nhỏ nhất) c bi toỏn
Bài Tập áp dụng
Bài TÝnh diƯn tÝch lín nhÊt cđa tø gi¸c ABCD, biÕt AB = AD = a, BC = CD = b
Bài Trong hình chữ nhật có đờng chéo d khơng đổi, hình có diện tích lớn nhất? Tính diện tích hình lớn
Bài Trong hình chữ nhật ABCD Trên cạnh AB, BC, CD, DA lấy theo thứ tự điểm E, F, G, H cho AE = AH = CF = CG Xác định vị trí điểm E, F, G, H để tứ giác EFGH có diện tích lớn nhất, nếu:
AB = 40cm, BC = 20cm; AB = a, BC = b (b < a < 3a)
Bài Cho hình bình hành ABCD Tìm tứ giác có bốn đỉnh thuộc bố cạnh của hình chữ nhật cho chu vi tứ giác nhỏ
(20)một đờng chéo hình vng
Bài Cho hình chữ nhật ABCD có kích thớc a b Tìm diện tích lớn hình chữ nhật EFGH ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD (mỗi đỉnh hình chữ nhật ABCD nằm cạnh hình chữ nhật EFGH)
Bài Cho hình thang ABCD Tiềm điểm M thuộc miền nằm trên cạnh hình thang cho tổng khoảng cách từ M đến cạnh hình thang có giá trị nhỏ
Bài Cho hình vng ABCD điểm K nằm khơng trùng với tâm hình vng Qua K dựng đờng thẳng cho cắt hình vng thành hai phần có hiệu diện tích lớn
Bài 10 Cho hình vng ABCD cạnh a, điểm E thuộc cạnh BC, điểm F thuộc cạnh AD cho CE = AF Các đờng thẳng AE, BF cắt đờng thẳng CD theo thứ tự M, N
Chøng minh r»ng CM.DN = a2 ;
Gọi K giao điểm NA MB Chứng minh MNK 90 Các điểm E F có vị trí nh MN có độ dài nhỏ nhất?
Bài 11 Cho hình thang ABCD Dụng điểm M, N theo thứ tự thuộc các cạnh đáy BC, AD cho phần chung hai tam giác AMD, BNC có diện tích lớn
Bài 12 Cho hình thang ABCD điểm N thuộc cạnh đáy AD Chứng minh điểm M thuộc cạnh đáy BC cho MB
MC = NA
ND phần
chung hai tam giác AMD, BNC có diện tích lớn
Bài 13 a) Trong hình chữ nhật chu vi, hình có diện tích lớn nhất?
b) Trong hình chữ nhật diện tích, hình có chu vi nhỏ nhất? Bài 14 a) Trong hình thoi chu vi, hình có diện tích lớn nhất? b) Trong hình thoi diện tích, hình nµo cã chu vi nhá nhÊt? Bµi 15 Chøng minh r»ng: