Mỗi bài toán có thể có nhiều cách giải khác nhau, hướng dẫn chấm chỉ trình bày sơ lược một cách giải, nếu học sinh giải bằng cách giải khác và đúng, giám khảo vẫn cho điểm tối đa của ph[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2010 – 2011
PHÒNG GIÁO DỤC BÌNH XUN Mơn: Tốn 9
Thời gian : 150 phút (Không kể giao đề)
Câu Giải phương trình
2
5 x 6 x x 11 2 x 3 x
Câu Tìm tất cặp số nguyên không âm x y; thỏa mãn
xy 42 x2 y2
Câu Cho tứ giác lồi ABCD Trung trực đoạn AB cắt đường thẳng AD X trung trực cạnh CD cắt đường thẳng BC Y Nếu tứ giác ABCD nội tiếp, chứng minh XY AC Ngược lại, XY AC tứ giác ABCD có nội tiếp khơng? Hãy chứng minh
Câu Chứng minh với a b c, , 0 ta có
3
3 3
3
2 b c a b c abc a
Dấu đẳng thức xảy nào?
Câu Trong bảng hình vng gồm 10 10 ô vuông (10 hàng, 10 cột), người ta viết vào ô vuông số tự nhiên từ đến 100 theo cách sau: hàng thứ nhất, từ trái sang phải, viết số từ đến 10; hàng thứ hai, từ trái sang phải, viết số từ 11 đến 20; hết hàng thứ 10 Sau cắt bảng hình vng thành hình chữ nhật nhỏ kích thức 2 2 1 Tính tích số hai số hình chữ nhật nhỏ cộng 50 tích lại Cần phải cắt hình vng để tổng tìm nhỏ ? Hãy tính giá trị nhỏ
(2)SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS NĂM HỌC 2010 – 2011
PHỊNG GIÁO DỤC BÌNH XUN HƯỚNG DẪN CHẤM TỐN 9
Chú ý Mỗi tốn có nhiều cách giải khác nhau, hướng dẫn chấm trình bày sơ lược một cách giải, học sinh giải cách giải khác đúng, giám khảo cho điểm tối đa của phần Hướng dẫn chám có trang.
Câu (2 điểm).
Nội dung trình bày Điểm
Điều kiện: 2 x 0.25
Phương trình cho tương đương với
5 11 2
2 11 3
2 3 2 (1)
x x x x x
x x x x x
x x x x
0.5
Với 2 x 3 x 0 ta
2
2
3
2 3 2
2 x
x x x x x x
x x 0.5
Với 2 x 3 x1 0 ta được
2
3 22
2 5
25
25 44
x
x x x x x
x x 0.5
Kết luận nghiệm 0.25
Ghi Có thể đạt đẳng thức (1) bằng cách coi đẳng thức phương trình bậc hai
của biến 2xtính
2 x
để thu
2x 5 3 x
1
2
2 x x
.
Câu (1.5 điểm)
Nội dung trình bày Điểm
Phương trình cho tương đương với
xy 32 7 x y 2 x y xy 3 x y xy 37
(3)Từ x y, số ngun khơng âm 7 1 7 nên có trường hợp sau xảy
1) x y xy 2,x y xy 10 Suy x y 4,xy6 Trường hợp khơng có nghiệm 0.25 2) x y xy 4,x y xy 4 suy x y 4,xy0 Tìm x y; 4;0 , 0; 4 0.25 3) x y xy 4,x y xy 4 suy x y 4,xy0 Trường hợp khơng có nghiemj
nguyên không âm 0.25
4) x y xy 10,x y xy 2 Suy x y 4,xy6 Trường hợp khơng có nghiệm
ngun 0.25
Kết luận nghiệm 0.25
Câu (2.5 điểm)
Nội dung trình bày Điểm
Gọi E F, theo thứ tự trung điểm AB CD,
Nếu AD BC|| (tức tứ giác ABCD hình thang cân) AEX CFY g c g( ) suy AX CY Mà AX CY|| nên tứ giác ACYX hình bình hành Suy XY AC|| (Trường hợp giám khảo tự vẽ hình)
0.5
Nếu AD BC, cắt P (hình vẽ), tứ giác ABCD nội tiếp nên PABPCD g g( ) 0.25 Từ đó, XE trung trực AB X, PA YF trung trực CD Y, PC nên
XAE YCF
0.25
Suy
XA AE AB PA
YC CF CD PC 0.25
Từ đó, theo tính chất tỷ lệ thức
XA PA XA PX YC PC YC PY
0.25
Theo định lý Thalès đảo suy XY AC|| 0.25
Điều ngược lại nói chung khơng Ta chứng minh điều cách phản ví dụ 0.25 Xét trường hợp ADBC P đường trịn tâm X, bán kính XA cắt đường thẳng PB hai
điểm phân biệt B B, ' Khi hai tứ giác ABCD AB CD, ' có XY AC|| có tứ giác
ABCD nội tiếp, tứ giác AB CD' khơng (hình vẽ).
(4)P
E B' B
X
F
A O
C
D Y
Câu (2 điểm)
Nội dung trình bày Điểm
Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có a3b3c3 3abc," " a b c 0.25
Nếu
b c a
bất đẳng thức cho hiển nhiên 0.25
Xét
b c a
đặt
3
3 3 3 2 .
2 b c P a b c abc a
Đặt b a 2 ,x c a 2y, biến đổi
được
2
2
12
P a x xy y x y x y
0.5
Do a0
2
2 0
2
y y
x y xyx
nên
2 2
6
2
b c
P x y x y a b c
Suy điều phải chứng minh
0.5
Dấu đẳng thức xảy a b c a0,b c .
Câu (2 điểm)
Nội dung trình bày Điểm
Cắt hình vng thành hình chữ nhật cỡ 2 2 1 tất 50 hình.Giả sử hình
(5)Ta có
2
2
2
k k k k
k k
a b a b
a b
suy
50 50 50
2 2
1 1
1
2
k k k k k k
k k k
a b a b a b
0.5
Trong
50
2 2
1
1 1 100 101 201
1 100 169175
2 k k 2
k
a b
và số
k k
a b
hoặc 100
0.5
Do đó, để tổng thu nhỏ nhất,
100, 1, 2, ,500
k k
a b k 0.25
Vì vậy, cần cắt hình vng thành hình chữ nhật với kích thước 1 Và giá trị nhỏ