Tích đối xứng và g hàm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀ NẴNG ——————————– KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP TÍCH ĐỐI XỨNG VÀ g-HÀM SINH VIÊN THỰC HIỆN NGUYỄN THỊ MỸ HẠNH - LỚP: 16ST - KHOA TOÁN GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN: TS LƯƠNG QUỐC TUYỂN Đà Nẵng - Năm 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀ NẴNG ——————————– NGUYỄN THỊ MỸ HẠNH TÍCH ĐỐI XỨNG VÀ g-HÀM Chuyên ngành: Giải tích Người hướng dẫn nghiên cứu: TS Lương Quôc Tuyển Đà Nẵng - Năm 2020 LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành Đề tài khóa luận này, lời đề tài, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo TS Lương Quốc Tuyển tận tình hướng dẫn, cho em tham gia buổi Seminar Khoa học Nhóm Nghiên cứu Topo-Đại số-Lý thuyết đa vị động viên em suốt trình thực đề tài Đồng thời em xin gửi lời cảm ơn đến ThS Ông Văn Tuyên giúp đỡ bảo em q trình thực khóa luận Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy khoa Tốn, gia đình bạn bè cổ vũ, động viên giúp đỡ em suốt q trình học tập thực khóa luận tốt nghiệp Em xin chân thành cảm ơn! Nguyễn Thị Mỹ Hạnh MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 Không gian topo, tập hợp mở lân cận tập hợp 1.2 Tập hợp đóng bao đóng tập hợp 1.3 T1 -không gian T2 -không gian 11 1.4 Tập hợp compact ánh xạ liên tục 11 1.5 Không gian khơng gian tích 13 CHƯƠNG TÍCH ĐỐI XỨNG VÀ g -HÀM 14 2.1 Tính chất g-hàm sn-mạng 2.2 Tích đối xứng 14 29 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO 43 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Metric hóa khơng gian topo toán trọng tâm topo đại cương Năm 2007, Pengfei Yan Shou Lin đưa số điều kiện khả metric không gian topo có g -hàm sở yếu đặc trưng không gian đối xứng, không gian g -khả metric, không gian g -trải thông qua g -hàm sở yếu (xem [11]) Gần đây, Trần Văn Ân Lương Quốc Tuyển giới thiệu khái niệm g -hàm sn-mạng nghiên cứu số tính chất chúng Nhờ đó, tác giả đưa đặc trưng không gian snf -đếm được, không gian sn-đối xứng, không gian sn-đối xứng Cauchy, không gian sn-trải được, không gian sn-khả metric thông qua g -hàm sn-mạng (xem [4]) Bên cạnh đó, vào năm 1931, Borsuk Ulam đưa khái niệm Tích đối xứng Fn (X) chứng minh số tính chất liên quan (xem [5]) Sau đó, vào năm 2016, Chris Good Sergio Macias nghiên cứu tích đối xứng khơng gian metric suy rộng chứng minh số tính chất không gian metric suy rộng X di truyền lên tích đối xứng Fn (X) (xem [7]) Với mong muốn tìm hiểu nghiên cứu khơng gian metric suy rộng, tích đối xứng bảo tồn số tính chất khơng gian X lên tích đối xứng Fn (X) đưa số tính chất bảo tồn không gian với g -hàm sn-mạng thông qua ánh xạ 1-phủ-dãy, ánh xạ 1-thương-dãy số tính chất tích đối xứng cấp n, hướng dẫn TS Lương Quốc Tuyển, em chọn đề tài với tựa đề: “Tích đối xứng g -hàm” Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu khái niệm g -hàm sn-mạng, đồng thời đưa mở rộng số tính chất bảo tồn không gian với g -hàm sn-mạng thông qua ánh xạ 1-phủ-dãy ánh xạ 1-thương-dãy, Chứng minh sn-mạng σ -đếm địa phương di truyền lên tích đối xứng Fn (X) Ngoài ra, chứng minh số kết liên quan với mong muốn đưa kết nhằm đóng góp phần cho mảng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Bài nghiên cứu khoa học em sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết Đồng thời, sử dụng khái niệm số kết tác giả trước để đưa số bảo tồn không gian với g -hàm sn-mạng thỏa mãn số tính chất topo thơng qua ánh xạ 1-phủ-dãy, ánh xạ 1-thương-dãy tính chất sn-mạng σ -đếm địa phương tích đối xứng Fn (X) Bố cục đề tài Nội dung đề tài trình bày hai chương Ngồi ra, đề tài có Lời cảm ơn, Mục lục, phần Mở đầu, phần Kết luận Tài liệu tham khảo Chương 1, trình bày số kiến thức topo đại cương nhằm phục vụ cho việc nghiên cứu Chương Chương 2, trình bày Tích đối xứng g -hàm chia làm mục: Mục 2.1, trình bày ảnh 1-phủ-dãy ảnh 1-thương-dãy khơng gian có g -hàm sn-mạng; Mục 2.2, trình bày tích đối xứng CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ THUYẾT Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức topo đại cương, số tính chất chương chúng tơi trình bày chứng minh chi tiết nhằm hiểu thấu đáo kiến thức topo đại cương, nhằm phục vụ cho việc chứng minh kết chương sau Ngồi ra, tồn đề tài này, chúng tơi quy ước N = {1, 2, }, ω = N ∪ {0} 1.1 Không gian topo, tập hợp mở lân cận tập hợp Định nghĩa 1.1.1 ([6]) Giả sử τ họ gồm tập tập hợp X thỏa mãn điều kiện sau (a) ∅, X ∈ τ ; (b) Nếu U , V ∈ τ , U ∩ V ∈ τ ; (c) Nếu {Uα }α∈Λ ⊂ τ , Uα ∈ τ α∈Λ Khi đó, (1) τ gọi topo X (2) Cặp (X, τ ) gọi không gian topo (3) Mỗi phần tử τ gọi tập hợp mở (4) Mỗi phần tử X gọi điểm Nhận xét 1.1.2 ([6]) Đối với không gian topo X , khẳng định sau (1) ∅, X tập hợp mở; (2) Giao hữu hạn tập hợp mở tập hợp mở; (3) Hợp tùy ý tập hợp mở tập hợp mở Định nghĩa 1.1.3 ([6]) Giả sử A tập khác rỗng khơng gian topo (X, τ ) Khi đó, tập U X gọi lân cận A tồn V ∈ τ cho A ⊂ V ⊂ U Ngoài ra, U ∈ τ , ta nói U lân cận mở A Đặc biệt, A = {x}, ta nói U lân cận x Nhận xét 1.1.4 ([6]) Lân cận điểm không thiết tập hợp mở, tập hợp mở lân cận điểm thuộc Chứng minh (1) Giả sử X = {a, b, c} τ = ∅, X, {a}, {b, c} Khi đó, τ topo X {a, b} lân cận a {a, b} ∈ / τ (2) Giả sử U tập hợp mở x ∈ U Khi đó, ta lấy V = U , V ∈ τ x ∈ V ⊂ U Điều chứng tỏ U lân cận x Bổ đề 1.1.5 Giả sử A tập không gian topo (X, τ ) Khi đó, giao hữu hạn lân cận A lân cận A n Ui Chứng minh Giả sử U1 , U2 , , Un lân cận A U = i=1 Khi đó, với i = 1, 2, , n, tồn Vi ∈ τ cho A ⊂ Vi ⊂ Ui n Vi , V ∈ τ Như vậy, ta đặt V = i=1 A ⊂ V ⊂ U Điều chứng tỏ U lân cận A Nhận xét 1.1.6 Giao họ tùy ý gồm lân cận A không lân cận A Chứng minh Giả sử R tập hợp gồm số thực với topo thông thường τ , 1 An = − , n n với n ∈ N Khi đó, • An lân cận mở điểm R với n ∈ N • An = {0} n∈N Thật vậy, {0} ⊂ An với n ∈ N nên {0} ⊂ An Bây giờ, giả n∈N sử x ∈ An , kéo theo n∈N 30 (3) Fn (X) gọi tích đối xứng cấp n; (4) F(X) gọi siêu không gian gồm tập hữu hạn X Ta giả thiết topo CL(X) Σ topo Fn (X) Σn Nhận xét 2.2.2 [7] Giả sử X khơng gian topo Khi đó, ∞ Fn (X) (1) F(X) = n=1 (2) Ta đặt U1 , , Us n = U1 , , Us ∩ Fn (X) Khi đó, Σn = {U ∩ Fn (X) : U ∈ Σ} (3) Giả sử A = {x1 , x2 , , xr } ∈ Fn (X) A ∈ U1 , , Us n Khi đó, s {x1 , x2 , , xr } ⊂ Ui ; A ∩ Ui = ∅ với i ≤ s i=1 Suy với j ≤ r, tồn U ∈ {U1 , , Us } cho xj ∈ U Đặt U xj = U ∈ {U1 , , Us } : xj ∈ U Bổ đề 2.2.3 Mỗi U ∈ {U1 , , Us }, tồn j ≤ r cho Uxj ⊂ U , nghĩa {Ux1 , , Uxr } mịn {U1 , , Us } Chứng minh Bởi A∩U = ∅ với U ∈ {U1 , , Us } nên tồn j ≤ r cho xj ∈ A ∩ U Do đó, Uxj ⊂ U Bổ đề 2.2.4 Trong Fn (X), ta có Ux1 , , Uxr n ⊂ U1 , , U s n Chứng minh Giả sử A = {y1 , , yk } ∈ Ux1 , , Uxr n Khi đó, 31 r A ∈ Fn (X), A ⊂ Uxj , A ∩ Uxj = ∅ với j ≤ r j=1 Hơn nữa, ta có s •A⊂ Ui i=1 Thật vậy, với j ≤ r, theo Nhận xét 2.2.2, tồn Uij ∈ {U1 , , Us } cho Uxj ⊂ Uij Do đó, s r r Uij ⊂ U xj ⊂ A⊂ j=1 Ui i=1 j=1 • Ui ∩ A = ∅ với i ≤ s Thật vậy, giả sử i ≤ s Khi đó, theo Bổ đề 2.2.3, tồn j ≤ r cho Uxj ⊂ Ui Mặt khác, A ∩ Uxj = ∅ nên ta suy A ∩ Ui = ∅ Từ chứng minh ta suy A ∈ U1 , , Us n Nhận xét 2.2.5 Giả sử U1 , , Ur ∈ τ Khi đó, tồn i ≤ r cho Ui = ∅, U1 , , Ur = ∅; Chứng minh Giả sử ngược lại U1 , , Ur = ∅ Khi đó, tồn F ∈ U1 , , U r , kéo theo F ∩ Ui = ∅ Điều mâu thuẫn với Ui = ∅ Bổ đề 2.2.6 ([7]) Nếu U ∈ Σn , U ∈ τ Chứng minh Nếu U = ∅, hiển nhiên U = ∅ x ∈ U = ∅ Bây giờ, giả sử U Khi đó, tồn U ∈ U cho x ∈ U Giả sử U = {x, x1 , , xr } với r < n Bởi U ∈ Σn nên tồn U1 , , Us ∈ τ cho 32 {x, x1 , , xr } ∈ U1 , , Us n ⊂ U Rõ ràng Ux = U ∈ {U1 , , Us } : x ∈ U ⊂ U Bây giờ, giả sử y ∈ Ux Khi đó, F = {y, x1 , , xr } ∈ U1 , , Us n Thật vậy, (1) F ⊂ Ui i≤s Theo giả thiết ta có {x1 , , xr } ⊂ Ui Ngoài ra, y ∈ Ux ⊂ i≤s Ui i≤s (2) F ∩ Ui = ∅ với i ≤ s Giả sử i ≤ s, (a) Nếu x ∈ Ui , y ∈ Ux ⊂ Ui , kéo theo F ∩ Ui = ∅ (b) Nếu x ∈ / Ui , {x, x1 , , xr } ∈ U1 , , Us n nên {x1 , , xr } ∩ Ui = ∅, kéo theo F ∩ Ui = ∅ Như vậy, tồn Ux ∈ τ cho x ∈ Ux ⊂ U Điều chứng tỏ U ∈ τ Bổ đề 2.2.7 Giả sử U1 , , Us , V1 , , Vr ⊂ CL(X) 33 Khi đó, tồn i0 ≤ s cho Ui0 ∩ Vj = ∅, j≤r U1 , , Us ∩ V1 , , Vr = ∅ Chứng minh Giả sử tồn i0 ≤ s cho Ui0 ∩ Vj = ∅, kéo theo j≤r Ui0 ∩ Vj = ∅ với j ≤ r Ta chứng minh U1 , , Us ∩ V1 , , Vr = ∅ Thật vậy, giả sử ngược lại rằng, tồn F ∈ U , , U s ∩ V1 , , V r Khi đó, F ∩ Ui0 = ∅, kéo theo tồn x0 ∈ Ui0 ∩ F Bởi Ui0 ∩ Vj = ∅ nên j≤r x0 ∈ / Vj , kéo theo F ⊂ j≤r Vj , j≤r Đây mâu thuẫn nên Bổ đề chứng minh Định nghĩa 2.2.8 Giả sử U họ gồm tập X Khi đó, U gọi họ đếm địa phương x ∈ X , tồn lân cận V x giao nhiều đếm phần tử U Định nghĩa 2.2.9 Với A ∈ Fn (X), ta đặt 34 P= {PA : A ∈ Fn (X)} Khi đó, P gọi σ -đếm địa phương PA với A ∈ Fn (X) đếm địa phương Fn (X) Định lí 2.2.10 ([2]) Nếu U họ đếm địa phương X , U= U1 , , Us n : U1 , , Us ∈ U, s ≤ n họ đếm địa phương Fn (X) Chứng minh Giả sử F = {x1 , , xr } ∈ Fn (X) Khi đó, U họ đếm địa phương X nên với i ≤ r, tồn lân cận mở Wi xi giao nhiều đếm phần tử U Ta đặt Vi = Wi \ {xj : j ≤ r, j = i} Suy Vi ∈ τ với i ≤ r Hơn nữa, ta có • V1 , , V r n lân cận mở F Fn (X) • V1 , , V r n giao nhiều đếm phần tử U Thật vậy, ta đặt U0 = {U ∈ U : U ∩ Vi = ∅} Khi đó, U0 đếm Hơn nữa, ta có W ∈ U : W ∩ V1 , , V r ⊂ n =∅ U1 , , U s n : Ui ∈ U0 , i ≤ s ≤ n 35 Thật vậy, giả sử W = E1 , , E k n ∈ / U1 , , Us n : Ui ∈ U0 , i ≤ s ≤ n Khi đó, tồn i0 ≤ k cho Ei0 ∈ / U0 , kéo theo Ei0 ∩ Vi = ∅ với i ≤ r Sử dụng Bổ đề 2.2.7 ta suy W ∩ V1 , , V r s = ∅ Do đó, W∈ / W ∈ U : W ∩ V1 , , V r n =∅ Cuối cùng, U0 đếm nên W ∈ U : W ∩ V1 , , V r n =∅ đếm Như vậy, U họ đếm địa phương Fn (X) Bổ đề 2.2.11 Nếu {Fm }m∈N hội tụ đến {x1 , , xr } Fn (X) {U1 , , Ur } ⊂ τ họ đôi rời cho xi ∈ Ui với i ≤ r, {Fm ∩ Ui }m∈N hội tụ đến {xi } X với i ≤ r (m) (m) Chứng minh Giả sử Fm = {x1 , , xsm } với m ∈ N, i ≤ r cố định Ta chứng minh {Fm ∩ Ui }m∈N hội tụ đến {xi } X Thật vậy, giả sử Vi lân cận mở xi X Khi đó, Vi ∩ Ui lân cận mở xi nên W = U1 , , Ui−1 , Vi ∩ Ui , Ui+1 , , Ur n 36 lân cận mở {x1 , xr } Fn (X) Mặt khác, {Fm }m∈N hội tụ đến {x1 , , xr } Fn (X) nên tồn k ∈ N cho Fm ∈ W với m ≥ k Do đó, với m ≥ k , ta có Fm ⊂ (Vi ∩ Ui ) ∪ {Uj : j ≤ r, j = i} Bởi {U1 , , Ur } đôi rời nên ta suy Fm ∩ Ui = Fm ∩ (Ui ∩ Vi ) ⊂ Vi với m ≥ k Như vậy, {Fm ∩ Ui }m∈N hội tụ đến {xi } X Định lí 2.2.12 ([2]) Giả sử X khơng gian n ∈ N Khi đó, X có sn-mạng Fn (X) Chứng minh Giả sử P = {Px : x ∈ X} sn-mạng X Khi đó, với A = {x1 , xr } ∈ Fn (X), ta đặt PA = Px , , P x r P= n : Pxi ∈ Pxi với i ∈ {1, , r} ; {PA : A ∈ Fn (X)} Khi đó, (1) PA mạng A Giả sử U1 , , Us n ∈ Σn cho A ∈ U1 , , Us n Khi đó, A ∈ Ux1 , , Uxr n ⊂ U1 , , Us n 37 Bởi Uxi ∈ τ Pxi mạng xi với i ≤ r nên tồn Pxi ∈ Pxi cho xi ∈ Pxi ⊂ Uxi Hiển nhiên A ∈ Px1 , , Pxr n Hơn nữa, ta có Px1 , , Pxr n ⊂ Ux1 , , Uxr n Thật vậy, giả sử F ∈ Px1 , , Pxr Khi đó, (1.1) Bởi F ∩ Pxi = ∅ Pxi ⊂ Uxi với i ≤ r nên F ∩ Uxi = ∅ với i ≤ r (1.2) Ta có F ⊂ Px i ⊂ i≤r Uxi i≤r Như vậy, PA mạng A (2) Giả sử Px , , P x r n, Qx1 , , Qxr n ∈ PA Khi đó, Pxi mạng xi nên tồn Rxi ∈ Pxi cho xi ∈ Rxi ⊂ Pxi ∩ Qxi Suy A ∈ Rx1 , , Rxr Rx1 , , Rxr n n ∈ PA , ⊂ Px , , P x r n ∩ Q x1 , , Q xr n (3) Mỗi phần tử PF lân cận dãy F với F ∈ Fn (X) Thật vậy, giả sử F = {x1 , , xr }, Px1 , , Pxr n ∈ PF {Fm } dãy hội tụ đến F Fn (X), (m) (m) Fm = {x1 , , xsm } Hơn nữa, X khơng gian Hausdorff nên tồn 38 {O1 , Or } ⊂ τ đôi rời cho xk ∈ Ok với k ≤ r, kéo theo {x1 , , xr } ∈ O1 , , Or n Nhờ Bổ đề 2.2.11 ta suy với k ≤ r, dãy {Fm ∩ Ok }m∈N hội tụ đến {xk } X Không giảm tổng quát, ta giả sử Fm ∩ Ok = ∅ với m ∈ N Giả sử k ≤ r Khi đó, với m ∈ N ta đặt (m) Λk (m) Suy Λk (m) = i ∈ N : xi ∈ F m ∩ Ok tập khác rỗng N (m) Bây giờ, giả sử k ≤ r Khi đó, với m ∈ N với i ∈ Λk , ta định nghĩa j(m, i) ∈ N sau: (1) (1) (1) • Bởi Λk = ∅ nên Λk ≥ Do đó, ta đặt j 1, Λk (1) = (1) Nếu i ∈ Λk l = i ∈ Λk : i > i , j(1, l) = j(1, i) + (2) (1) • j 2, Λk = j 1, max Λk (2) + (2) Nếu i ∈ Λk l = i ∈ Λk : i > i , j(2, l) = j(2, i) + (3) (2) • j 3, Λk = j 2, max Λk (3) + (3) Nếu i ∈ Λk l = i ∈ Λk : i > i , j(3, l) = j(3, i) + Bằng quy nạp, ta đưa định nghĩa j(m, i) sau (1) (a) j 1, Λk (m) (b) Nếu i ∈ Λk = 1; (m) l = min{i ∈ Λk : i > i}, j(m, l) = j(m, i) + 1; 39 (m+1) (m) (c) j m + 1, Λk = j(m, max Λk ) + (m) {j(m, i) : i ∈ Λk } : m ∈ N , thỏa mãn tính Khi đó, N = chất (m1 ) (d) Nếu m1 < m2 i1 ∈ Λk (m2 ) , i2 ∈ Λk , j(m1 , i1 ) < j(m2 , i2 ); (m) (e) Nếu m ∈ N i1 , i2 ∈ Λk cho i1 < i2 , j(m, i1 ) < j(m, i2 ); (m) j(m, Λk ) (f) m∈N dãy tăng nghiêm ngặt N (m) Như vậy, với k ≤ r, ta có N = với l ∈ N, tồn ml ∈ N i m∈N (m) ∈ Λk j(m, i) : i ∈ Λk Do đó, cho l = j(ml , i) (k) Tiếp theo, ta chứng minh {yl }l∈N dãy hội tụ đến xk (k) X , yl (ml ) = xi với l ∈ N Thật vậy, giả sử Wk lân cận xk X Khi đó, (m) {xi (m) : i ∈ Λk } m∈N dãy gồm tập hữu hạn X hội tụ đến {xk } X nên tồn sk ∈ N cho (m) xi (m) : i ∈ Λk (s +1) Giả sử ik = Λk k ⊂ Wk với m ≥ sk đặt tk = j(sk + 1, ik ) Khi đó, theo (c) ta suy (s ) tk = j sk , max Λk k + (ml ) Như vậy, l > tk , tồn ml ∈ N i ∈ Λk j(ml , i) Bởi l > tk nên ml ≥ sk + 1, kéo theo (k) yl (ml ) = xi ∈ Wk với l > tk cho l = 40 (k) Điều chứng tỏ dãy {yl } hội tụ đến xk X Cuối cùng, với k ≤ r, Pxk lân cận dãy xk Ok ∈ τ nên Pxk ∩ Ok lân cận dãy xk Do đó, tồn pk ∈ N cho (k) {xk } : l ≥ p k ⊂ Px k ∩ O k yl (m) Bởi j m, Λk m∈N dãy tăng nghiêm ngặt N nên tồn mk ∈ N cho (mk ) j mk , Λk (m) Do đó, m > mk , j m, Λk > pk > pk Như vậy, m > mk , ta có (m) xi (m) : i ∈ Λk (k) ⊂ yl : l ≥ p k ⊂ Px k ∩ O k Giả sử m0 = max mk : k ∈ {1, , r} Khi đó, m > m0 , (m) xi (m) : i ∈ Λk (k) ⊂ yl : l ≥ pk ⊂ Pxk ∩ Ok ⊂ Pxk với k ∈ {1, , r} Suy (m) (m) x , , x sm ∈ Px1 , , Pxr n với m > m0 Điều chứng tỏ Px1 , , Pxr n lân cận dãy A Như vậy, P sn-mạng Fn (X) Nhờ Định lí 2.2.10 Định lí 2.2.12 ta suy định lí sau: Định lí 2.2.13 ([2]) Nếu X có sn-mạng σ -đếm địa phương Fn (X) 41 Chứng minh Giả sử P = {Px : x ∈ X} sn-mạng σ -đếm địa phương X Khi đó, với A = {x1 , , xr } ∈ Fn (X), đặt PA = Px , , P x r n : Pxi ∈ Pxi với i ∈ {1, , r} ; Ta chứng minh P= {PA : A ∈ Fn (X)} sn-mạng σ -đếm địa phương Fn (X) Theo Định lí 2.2.12 ta suy P sn-mạng Fn (X) Hơn nữa, Pxi họ đếm địa phương X nên theo Định lí 2.2.10 suy PA họ đếm địa phương Fn (X) Do đó, P σ -đếm địa phương Fn (X) Vậy Định lí chứng minh 42 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận Đề tài nghiên cứu “Tích đối xứng g -hàm” đạt kết sau (1) Đưa chứng minh chi tiết số tính chất khơng gian có g -hàm sn-mạng, thể Định lí 2.1.12, Định lí 2.1.13, Hệ 2.1.15 Hệ 2.1.16 (2) Đưa chứng minh chi tiết số tính chất tích đối xứng cấp n Các kết thể Định lý 2.2.10, Định lý 2.2.12 Định lý 2.2.13 Các kết đề tài đăng báo [1] báo gửi đăng Tạp chí Khoa học Giáo dục Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng Kiến nghị Trong thời gian tới, mong muốn tiếp tục nghiên cứu tính di truyền họ quy họ điểm-chính quy khơng gian metric suy rộng X lên tích đối xứng Fn (X) 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Lương Quốc Tuyển Nguyễn Thị Mỹ Hạnh (2018),“Ảnh 1-phủ-dãy không gian có g -hàm sn-mạng”, Tạp chí Khoa học Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng, 28(02), 66-72 [2] Lương Quốc Tuyển Nguyễn Thị Mỹ Hạnh (2019),“ sn-mạng σ -đếm địa phương tích đối xứng cấp n”, Đã gửi đến Tạp chí Khoa học Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm Tiếng Anh [3] An, T.V., and Tuyen, L.Q (2018), Cauchy sn-symmetric spaces with a cs-network (cs∗ -network) having property σ -(P ), Topology Proceedings, 51, 61-75 [4] An, T.V., and Tuyen, L.Q (2019), Spaces with sn-network g functions, Topology Proceedings, 54, 177-191 [5] Borsuk K., Ulam S., (1931), On symmetric products of topological spaces, Bull Amer Math Soc, 37, 875-882 [6] Engelking, R (1989), General Topology, Warszawa [7] Good C., Sergio Macias (2016), Symmetric products of generalized metric spaces, Topology and its Applications, 206, 93-114 [8] Tang Z., Lin S., and Lin F., (2018), Symmetric products and closed finite-to-one mappings, Topology and its Applications, 234, 26-45 44 [9] Tuyen, L (2015), Mapping theorems on spaces with sn-network g functions, Fasciculi Mathematici, 55(1), 199-208 [10] Tuyen, L (2015), Notes on pseudo-sequence-covering maps, Novi Sad J.Math, 45, 11-16 [11] Yan, P., and Lin, S (2007), CWC -mappings and metrization theorems, Adv Math., 36 (2), 153-158 [12] Yoshioka, I (2007), Closed images of spaces having g-functions Topology and its Applications, 154, 1980-1992 ... Pengfei Yan Shou Lin đưa số điều kiện khả metric không gian topo có g -hàm sở yếu đặc trưng không gian đối xứng, không gian g -khả metric, không gian g -trải thông qua g -hàm sở yếu (xem [11]) G? ??n... Ân Lương Quốc Tuyển giới thiệu khái niệm g -hàm sn-mạng nghiên cứu số tính chất chúng Nhờ đó, tác giả đưa đặc trưng không gian snf -đếm được, không gian sn -đối xứng, không gian sn -đối xứng Cauchy,... mong muốn tìm hiểu nghiên cứu khơng gian metric suy rộng, tích đối xứng bảo tồn số tính chất khơng gian X lên tích đối xứng Fn (X) đưa số tính chất bảo tồn không gian với g -hàm sn-mạng thông