Chøng minh CHDP lµ néi tiÕp.. Gäi M vµ L lÇn lît lµ trung ®iÓm CP vµ KD.3[r]
(1)GVHD Nguyễn Minh Sang THCS Lâm Thao –Phú Thọ
Bộ giáo dục đào tạo cộng hoà x hội chủ nghĩa việt ã nam
Tr
ờng đại học s phạm hà nội Độc Lập -Tự Do -Hạnh Phúc
Đề thức đề thi tuyn sinh
Vào khối trung học phổ thông chuyên năm 2010
Môn thi: Toán học
(Dùng cho thí sinh thi vào trờng chuyên) Thời gian làm :120 phút
Câu 1: Cho biểu thøc
A=[3 2−(x
4 −x
4 +1 x2
+1)( x3− x
(4x −1)−4 x7
+6x6− x −6 )]:( x2
+29x+78 3x2
+12x −36) Rót gän biĨu thøc A
2 Tìm tất giá trị nguyên x để biểu thức A có giá trị ngun
C©u 2:
Cho hai đờng thẳng
(d1 ): y = (2m2 + )x + 2m – 1
(d2): y = m2x + m - Với m tham số Tìm toạ độ giao điểm I d1 d2 theo m
2 Khi m thay đổi, chứng minh điểm I thuộc đờng thẳng cố định
Câu 3 :Giả sử cho ba số thực (x;y;z) tho¶ m·n hƯ
¿ x+1=y+z(1) xy+z2−7z+10=0(2)
¿{ ¿
1 Chøng minh x2 + y2 = -z2 + 12z 19 Tìm tất số x,y,z cho x2 + y2 = 17
C©u 4 :
Cho hình vng ABCD có độ dài cạnh a Trong hình vng đo lấy điểm K cho tam giác ABK Các đờng thẳng BK AD cắt P
1 Tính độ dài KC theo a
2 Trªn AD lÊy I cho
3
a DI
CI c¾t BP ë H Chøng minh CHDP nội tiếp
3 Gọi M L lần lợt trung điểm CP KD Chứng minh LM = a
Câu 5: Giải phơng trình : (x2 -5x + 1)(x2 - 4) = 6(x-1)2
-Hết -Ghi : Cán coi thi không giải thích thêm
Họ tên thí sinh số b¸o danh
Bộ giáo dục đào tạo cộng hoà x hội chủ nghĩa việt namã Tr
ờng đại học s phạm hà nội Độc Lập -Tự Do -Hạnh Phúc
Đề thức đề thi tuyn sinh
Vào khối trung học phổ thông chuyên năm 2010
Môn thi: Toán học
(Dùng cho thí sinh thi vào chuyên Toán chuyên Tin) Thời gian làm :150 phút
Câu 1:
1.Giả sử a b hai số dơng khác thoả mÃn a b=1 b2
(2)Chøng minh r»ng a2
+b2=1 2.Chøng minh r»ng sè √20092
+20092 20102+20102 số nguyên dơng
Câu 2:
Gii sử số thực a , b, c, c, d đôi khác thoả mãn hai điều kiện sau i) Phơng trình x2
−2 cx−5d=0 cã nghiêm a b ii) Phơng trình x22 ax5b=0 có nghiêm c d Chứng minh
1 a-c=c-b=d-a a+b+c+d=30
Câu 3 Giả sử m n số nguyên dơng với n>1 Đặt S=m2n24m+4n Chứng minh rằng:
1.Nếu m>n (mn2
2)2<n2S<m2n4 2.Nếu S số phơng m=n
C©u 4 Cho tam gÝac ABC víi AB>AC ,AB >BC.Trên cạnh AB tam giác lấy
các điểm M vµ N cho BC=BM vµ AC=AN 1.Chøng minh điểm N thuộc đoạn thẳng BM
2.Qua M N ta kẻ đờng thẳng MP song song với BC NQ song song với CA (P∈CA;Q∈CB) Chứng minh CP=CQ
3.Cho gãc ACB=900 , gãc CAB=300 vµ AB= a TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c MCN theo a
Câu 5 Trên bảng đen viết ba số √2;2;
√2 Ta bắt đầu thực trò chơi nh sau : Mỗi lần chơi ta xoá hai số ba số bảng ,giả sử a b viết vào vị trí vừa xố hai số a+b
√2 vµ
|a − b|
√2 đồng thời giữ nguyên số lại Nh sau lần chơi bảng ln có ba số Chứng minh dù ta có chơi lần bảng khơng đồng thời có ba số
1
2√2;√2;1+√2
-Hết -Giải đề thi tuyển sinh Đại học s phạm hà nội Vào khối trung hc ph thụng chuyờn nm 2010
Môn thi: Toán häc
(Dïng cho mäi thÝ sinh thi vµo trêng chuyên)
Câu 1:
A=[3 2(x
4 x
4 +1 x2
+1)( x3− x
(4x −1)−4 x7
+6x6− x −6 )]:(
x2+29x+78 3x2
+12x −36) Rót gän biĨu thøc A
2 Tìm tất giá trị nguyên x để biểu thức A có giá trị nguyên
H
íng dÉn
1 §KX§ : x -26;x -6;x -3;x 1;x 2; A=[3
2−(
x6+x4− x4−1 x2+1 ).(
x3−4x2+x −4 x6(x+6)−(x+6))]:(
x2+3x+26x+78 3(x2−2x+6x −12)) A=[3
2−( x6−1
x2+1).(
(x −4)(x2+1) (x+6)(x6−1))]:(
(x+3)(x+26) 3(x −2)(x+6)) A=[3
2− x −4
x+6]
3(x −2)(x+6) (x+3)(x+26)=
3x+18−2x+8 2(x+6)
3(x −2)(x+6) (x+3)(x+26) A=3x+18−2x+8
2(x+6)
3(x −2)(x+6) (x+3)(x+26)=
x+26 2(x+6)
3(x −2)(x+6) (x+3)(x+26)=
3(x −2) 2(x+3) A=3(x −2)
2(x+3)
(3)XÐt 2A=3(x −2) x+3 =
3(x+3)−15 x+3 =3−
15
x+3∈Z⇔x+3∈U(15)
x+3 -15 -5 -3 -1 15
x -18 -8 -6 -4 -2 2(lo¹i) 12
2A 18 -12 -2
A -6 ( lo¹i) -1
VËy x∈{−18;−8 ;;−4;−2;0;12} A nguyên
Câu 2:
Cho hai ng thẳng
(d1 ): y = (2m2 + )x + 2m - 1
(d2): y = m2x + m - Với m tham số Tìm toạ độ giao điểm I d1 d2 theo m
2 Khi m thay đổi, chứng minh điểm I thuộc đờng thẳng cố định
H
íng dÉn
1.Gi¶i hƯ
y=(2m2+1)x+2m −1 ¿
y=m2x+m−2 ⇔
¿(2m2+1)x+2m −1−m2x −m+2=0 y=m2x+m−2
¿ ⇔
¿(m2+1)x=−(m+1) y=m2x+m−2
⇔ ¿x=−(m+1)
m2+1 y=−m
2(m +1) m2
+1 +m−2 ⇔
¿x=−(m+1) m2+1 y=− m
3−m2+m3
+m−2m2−2 m2
+1 ¿ ⇔ ¿x=−(m+1)
m2 +1 y=−3m
2 +m−2 m2+1
{ ¿ ¿ ¿
¿ ta đựợc I(−(m+1)
m2 +1 ;
−3m2+m −2 m2
+1 ) 2.ta cã y=−3(m
2
+1)+(m+1)
m2+1 =−3− x Vậy I thuộc đờng thẳng y=-x-3 cố định
C©u 3 :
(4)¿ x+1=y+z(1) xy+z2−7z+10=0(2)
¿{ ¿
1 Chøng minh x2 + y2 = -z2 + 12z – 19 Tìm tất số x,y,z cho x2 + y2 = 17
H
íng dÉn
1.Tõ (1) ta cã x-y=z-1 ⇔ x2-2xy+y2=1-2z+z2 ⇔ x2+y2=2xy+1-2z+z2 (*) Tõ (2) ta cã xy=-z2+7z-10 thay vµo (*)
ta cã x2 + y2 =2(-z2+7z-10 )+z2 -2z -+1 ⇔ x2 + y2 = -z2 + 12z -19 (®pcm) ta cã -z2 + 12z - 19=17 ⇔ z2-12z+36=0 z −6¿2=0
⇔¿ ⇔ z=6 thay vµo ta cã hÖ x − y=5
x2
+y2=17 ⇔ ¿y=x −5 x −5¿2−17=0
¿ ⇔
¿ ¿y=x −5
¿
2x2−10x+8=0 ¿
¿ ¿ ⇔
¿ ¿y=x −5
¿
(x −4)(x −1)=0 ¿
¿ ⇔
¿ ¿ ¿ x2+¿
HƯ cã nghiƯm (x,y,z) {(1;-4;6);(4;-1;6)}
C©u 4 :
Cho hình vng ABCD có độ dài cạnh a Trong hình vng đo lấy điểm K cho tam giác ABK Các đờng thẳng BK AD cắt P
1 Tính độ dài KC theo a
2 Trªn AD lÊy I cho
3
a DI
CI c¾t BP ë H Chøng minh CHDP lµ néi tiÕp
(5)Q H
E
N L
M I
P
K
C B A
D
H
íng dÉn
1.KỴ KQ BC tam gÝac vuông BQK có BK=a; KBQ=300 nên KQ=a
2 áp dụng Pi-Ta-Go cho tam giác vuông BKQ ta cã
BQ=√BK2−KQ2=√a2−a
4 =
a√3
2 nªn CQ=BC−BQ=a −
a√3 =
a(2−√3) áp dụng Pi-Ta-Go cho tam giác vuông CKQ ta cã
3 7−4√¿
¿ ¿ 4+
a2 a2
¿ ¿
KC=√CQ2+KQ2=√¿
2.XÐt tam giácvuông DCI có DC=a; DI=a3
3 nên TgDCI= DI DC=√
3
3 nªn
∠ DCI =300 theo GT ta cã ∠ KBC=300 suy ∠ DPH=300 ( gãc so le cña AP//BC)
VËy ∠ DPH= ∠ DCH =300 nên theo QT cung chứa góc điểm P ; C thuéc cung chøa gãc 300 dùng trªn DH hay tứ giác CHDP nội tiếp
3 Kẻ KE KC EA=EB KE//AP xét tam giác ABP có EA=EB; KE//AP nên KP=KB=a gọi N trung điểm KC LN//CD LN=a
2 ; MN//KP; MN= a Vậy tam giác MNL cân N có ∠MNL=∠ABK=600 (cạnh tơng ứng //) Nên tam gíac MNL suy LM=a
2 ( đpcm)
Câu 5: Giải phơng trình : (x2 -5x + 1)(x2 - 4) = 6(x-1)2 (*)
H
(6)Đặt x2 -5x + 1-=a; x2 - 4=b a-b=-5(x-1) suy
a − b¿2 ¿ ¿ x −1¿2=¿
¿ a − b¿2
¿
¿25⇔25 ab=6a2−12 ab+6b2⇔6a2−37 ab+6b2=0 ¿
⇔6a2−36 ab−ab
+6b2=0⇔(6a − b)(a −6b)=0⇔ ¿
a=6b ¿ b=6a
¿ 6¿
¿ ¿ ¿(∗)⇔ab=¿ NÕu th× a=6b ta cã PT
x2−5x+1=6x2−24⇔5x2+5x −25=0⇔x2+x −5=0⇔ x=−1+√21
2 ¿ x=−1−√21
2 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ NÕu b=6a ta cã PT
6x2−30x+6=x2−4⇔5x2−30x+10=0⇔x2−6x+2=0⇔ x=3+√7
¿ x=3−√7
¿ ¿ ¿ ¿ ¿ PT(*) cã nghiÖm
x1=
−1+√21 ; x21=
−1−√21
2 ; x3=3+√7; x4=37
Cách khác Đặt x2-4=a; x-1=b x2-5x+1=a-5b ta cã PT :
(a-5b)a=6b2 ⇔a2
−5 ab−6b2=0⇔(a −6b)(a+b)=0
Giải đề thi tuyển sinh đại học s phm
Vào khối trung học phổ thông chuyên năm 2010
Môn thi: Toán học
(Dùng cho thí sinh thi vào chuyên Toán chuyên Tin)
Câu 1:
1.Giả sử a b hai số dơng khác thoả mÃn a −b=√1− b2−
√1− a2 Chøng minh r»ng a2
+b2=1 2.Chøng minh r»ng sè √20092
+20092 20102+20102 số nguyên dơng
H
(7)1 tõ GT a −b=√1− b2−√1− a2= a
− b2 √1− b2+√1− a2=
(a −b)(a+b)
√1− b2+√1− a2;(a ≠b) suy a+b=√1− b2
+√1− a2
ta cã hÖ
¿ a+b=√1− b2
+√1− a2 a −b=√1− b2−
√1− a2 ⇔
¿a=√1− b2 b=√1−a2 ⇒a2
+b2=1 ¿{
¿
2 Đặt a= 2009 ta có 20092
+20092 20102+20102 =
a+1¿2 ¿
a+1¿2+2a(a+1)+1 ¿
a2+a+1¿2 ¿ ¿ a2.
¿ a+1¿2+¿
a2+a2. ¿ √¿
C©u 2:
Giải sử số thực a , b, c, c, d đôi khác thoả mãn hai điều kiện sau iii) Phơng trình x2
2 cx5d=0 có nghiêm a b iv) Phơng trình x2
2 ax5b=0 có nghiêm c vµ d Chøng minh r»ng
1 a-c=c-b=d-a a+b+c+d=30
H
íng dÉn
1 Vì a,b nghiệm PT (1) theo Vi-ét ta có
¿
a+b=2c(1)
ab=−5d(2)
¿{
¿
Vì a,b nghiệm PT (1) theo Vi-ét ta cã
¿ c+d=2a(3) cd=−5b(4)
¿{ ¿ Tõ (1) ta cã a-c=c-b tõ (3) ta cã c-a=a-d nªn a-c=c-b=d-a 2.Nhân (2) (4) ta có abcd=25bd suy ac=25
Mặt khác a nghiệm PT(1) nên a22 ca5d=0a25d=50(5) c nghiệm PT(1) nên c22ca5b=0c25b=50(6)
từ (5) (6) ta cã
a+c¿2−5(a+c)−150=0 ¿
a+c¿2−2 ac−5(a+c)=100⇔¿ ¿
a2+c25(b+d)=100
Câu 3 Giả sử m n số nguyên dơng với n>1 Đặt S=m2
n2−4m+4n Chøng minh r»ng:
1.NÕu m>n th× (mn2−2
(8)H
íng dÉn
1.ta chøng minh (mn2−2
)2<n2(m2n2−4m+4n)<m2n4 B»ng c¸ch xÐt hiƯu
H=(mn2−2
)2− n2(m2n2−4m +4n)
H=m2n4−4 mn2+4−m2n4+4 mn2−4n3=−4n3<0;vi :n>1 Mặt khác n2(m2n24m
+4n) m2n4=4n2(n m)>0 n>1; m>n 2.Ta chøng minh (mn−2)2<S<(mn+2)2
xÐt S=(mn-1)2 th× m2n24m
+4n=m2n22 mn+14n 4m+2 mn=1 không tồn m,n vế phải chẵn
Xét S=(mn+1)2
m2n24m+4n=m2n2+2 mn+14n4m 2 mn=1 không tồn m,n vế phải chẵn
T ú ta cú S=m2n2 m2
n2−4m+4n=m2n2⇔4n−4m=0 suy m=n
Câu 4 Cho tam gíac ABC với AB>AC ,AB >BC.Trên cạnh AB tam giác lấy
các điểm M N cho BC=BM AC=AN 1.Chứng minh điểm N thuộc đoạn thẳng BM
2.Qua M v N ta kẻ đờng thẳng MP song song với BC NQ song song với CA (P∈CA;Q∈CB) Chứng minh CP=CQ
3.Cho gãc ACB=900 , gãc CAB=300 vµ AB= a TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c MCN theo a
H
íng dÉn
H
P
Q N
M
A
B C
1 Ta có BN=AB-AN=AB-AC<BC=BM ( bđt tam giác) N BM Ta cã AC
PC = AB
MB ⇒PC=
AC MB
AB (1) BC QC=
AB
NA⇒QC=
BC.NA AB (2) Mà MB=BC; NA=AC kết hợp với (1) (2) ta có CP=CQ (đpcm) 3.Nếu ACB=900 , góc CAB=300 AB= a th× BC=a
2;AC= a√3
2
ta cã MN=AN-AM=AC-AM=AC-(AB-BM)=AC-AB+BC= (√3−1)a KỴ CH AB th× AB CH=CA CB⇒CH=CA CB
AB =
a2√3 :a=
(9)VËy: SCMN=1
2MN CH=
(√3−1)a
2
a√3
4 =
(3−√3)a2
16 ( đvdt)
Câu 5 Trên bảng đen viết ba sè √2;2;
√2 Ta bắt đầu thực trò chơi nh sau : Mỗi lần chơi ta xố hai số ba số bảng ,giả sử a b viết vào vị trí vừa xố hai số a+b
√2 vµ
|a − b|
√2 đồng thời giữ nguyên số lại Nh sau lần chơi bảng ln có ba số Chứng minh dù ta có chơi lần bảng khơng đồng thời có ba số
1
2√2;√2;1+√2
H
íng dÉn
Ta cã (a+b √2 )
2
+(|a − b|
√2 )
2 =a
2
+2ab+b2+a2−2 ab+b2
2 =a
2 +b2 Nh vËy sau xo¸ sè a; b thay bëi hai sè míi a+b
√2 vµ
|a − b|
√2 tổng bình phơng hai số khơng đổi nên tổng bình phơng ba số bảng không đổi 2+4+1
2= 13
2
mà tổng bình phơng ba số
2√2;√2;1+√2 lµ (
8+2+3+2√2)≠ 13