Đề toán ôn tập vào THPT (Đề 2)

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc toạ độ O... Gọi I là tr[r]

GIẢI ĐỀ THI MƠN TỐN KHỐI A KỲ THI TUYỂN SINH ĐH – CĐ NĂM 2009 I Phần chung cho tất thí sinh

Câu I: (2,0đ) Cho hàm số:

x

y (1)

2x

 



1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1)

2 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến cắt trục hoành, trục tung hai điểm phân biệt A, B tam giác OAB cân gốc toạ độ O

Bài giải

 

3 x

2 x

3 TXÐ: \

2 S bi n thiên

x

Tìm ti m c n ng: lim th hàm s (1) có ti m c n ng x

2x

x 1

Tìm ti m c n ngang: lim th hàm s (1) có ti m c n ngang y

2x 2

1

Tính y' v

2x



   

      



  

 

  

 

 

 

ù Õ

ệ ậ đứ đồ ị ố ệ ậ đứ

ệ ậ đồ ị ố ệ ậ

íi x hàm s ln ngh ch bi n ; 3; khơng có c c tr

2 2

   

        

   

è Þ Õ ù Þ

Bảng biến thiên

Đồ thị:

bảng biến thiên phụ

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4 -2 2 4

x y

Nhận xét: Đồ thị nhận giao điểm tiệm cận điểm

3

I ,

2

 



 

 làm tâm đối xứng.

   

2 G i A a;0 Ox; B 0;b Oy theo gi thi t ta có: |a| |b|

nh ng hàm s lu n ngh ch bi n nên ti p n ch có th có d ng y kx m v i k < nên a b

x y

Ph ng trình ng th ng AB: a b

x y

1 y x a ti p xúc v a a

  

   

 

     

ä ¶ ế

ư ố ô ị ế ế ế ỉ ể

ớ

ư đư ẳ

Õ í

2

x

x a 2x

i (1)

1

1 (2x 3)

x a (lo i)

T ph ng trình 2x

(2x 3) x a

V y ph ng trình ti p n c a (1) y x

 

   

  



 

 



   



     

    

 

ạ

ậ ế ế ñ

1 Giải phương trình:

 

   

1 2sinx cosx

3 2sinx sinx





 

2 Giải phương trình: 3x 5x x3         Bài giải

 

   

 

 

2

x k2

6

1 2sinx sinx

u ki n : x k2

1 sinx sinx 1

x k2

2 2sinx cosx

3 2sinx sinx

cos x 2sin x cos x sinx 2sinx 2sin x cosx 2sinxcosx 2sin x sinx +1

cos x sin x cos2x s

 

   

 

  

   

    

  

 

   



 

   

 



 

     

    

   

1 §iỊ Ư

 

in2x

1 3

cos x sin x cos2x sin2x

2 2

sin x sin 2x

6

k2

x 2x k2 x

6 18

2

x 2x k2 x k2 lo i

6

   

 

   

       

   

   

 

      

 

   

  

         

 

  

3

2

3

3

2

2

3

2

2) 3x 5x

Ð t 3x u 3x u

6 5x v 5x v

3

u v

2u 3v

3

5u 3v

5 v 3v

2

Gi i ph ng trình: v 3v

135v 1104v 2880v 2496

v 135v 564v 624

v Vì 135v

    

    

     

   

 

 



 

   

    

 

  



 

  

 

 

    

    

ặ

ả ¬

564v 624 VN

u

6 5x 16 x

 



    

 

 

/2

3

0

/2 /2

5

1

0

/2 /2

5

1

0

/2

2

/2

4

0

5

Tính tích phân I (cos x 1)cos x dx Gi i

I cos x dx cos x dx I I Tính I cos x dx cos x.cos x dx

1 sin x d(sin x)

sin x 2sin x d(sin x) / sin x 2sin x

sin x

5

1

1

5 15



 

 





 

   

 

 

  



 

   

 

   



 

 

 

¶

 

/2 /2

2

0

1

1

Tính I cos x dx cos2x dx

2 /

sin2x

4 4

8 Ta c : I I I

15

 

  



 

  

   

đư ợ

Cõu IV: (1,0điểm)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D ; AB = AD = 2a, CD = a, góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) 600 Gọi I trung

điểm cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SBI) (SCI) vng góc với mặt phẳng (ABCD) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a

 

 

0

2 2 2

2 2

2 2 2

2 2

Hình thang ABCD A D 90

AB AD 2a A D a

A B l tam gi c vu ng B A AB a 4a 5a

vu ng DC : C a a 2a

T C k CH AB CHB l tam gi c vu ng

CH 2a, CD a HB a

BC HC HB 4a a 5a

BIC l tam gi c c n BC B 5a K

 

     

         

     

  

   

    

   

à ô

ô

ừ ẻ ô

à â

ẻ

       



   

2

2 2

0

K CB : T nh K

a G i J l trung m C J

2

a 9a

BJ B J 5a

2

3a

BJ ,

2

BJ C Ta có BJ C K.BC K

BC 3a

a 3a

K

a 5

S C , S C ABCD S ABCD

IK BC SK BC SKI 60

3a

S K.tan60

5

AB CD AD 2a a 2a

Di n t ch ABCD 3a

2

  

   

       



     

  

     

    

   

 

  

Ý

ä µ ®iĨ

Ư Ý

3

2

1 3a 3a 3a 15

V 3a

3 5

  

Câu V: (1,0 điểm)

Chứng minh với số thực dương x, y, z thoả mãn x(x + y + z) = 3yz, ta có :

(x + y)3 + (x + z)3 + 3(x + y)(x + z)(y + z)  5(y + z)3.

 

   

 

               

       

   

2

2

2 2

3

3

3 2

x xt t t y z, gi thi t suy yz

3

y z

Vì yz x x y z 3yz y z

4

3

x tx t 2x t 4t

4

2x t 2t 2x t

B T ph i ch ng minh

2x y z x y x z 2x y z x y x z y z y z

2x y z x y x z 2x x z

2x y z 6x x x y z yz



  



      

     

    

             

       

 

   

Đặ ả ế

Đ ả ứ

 

 

3

3 2 3

2

Vì t

2

2

2

2

y z x xt

2x t 6x x xt 5t

3

2t 2x 3xt 2t

2x 3xt 2t

t t 3t

Vì x 2x 3xt 2t

2 2

2x 3xt 2t pcm

D u " " x y x y z 



  

       

 

   

   

      

   

    

®

Ê ¶

Phần riêng (3,0)

A Theo chương trình chuẩn Câu VI.a (2.0 điểm)

1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(6; 2) giao điểm hai đường chéo AC BD Điểm M(1; 5) thuộc đường thẳng AB trung điểm E cạnh CD thuộc đường thẳng: : x + y – = Viết

phương trình đường thẳng AB

2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – 2y – z – = mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x – 4y – 6z – 11 = Chứng minh mặt phẳng

(P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn Xác định toạ độ tâm tính bán kính đường trịn

' '

'

' ' '

' '

M M M

I

M

M M M M

I

' '

E E E E

Ph ê

I giao c a AC BD nên M ì M CD

x x x

x x 11

2

y y y y

y

2

M t khác: ME IE nên:

EM IE (11 x )(x 6) (1 y )(y



 

 

 

   

  

 

  

   

    

 

 



   

ầnưri ngưcâuư6aư(1)

ủ đốiưxứngưvớiưMưquaIth

Ỉ

2

E E E E

E E

2

E E E E

E E

E E E E

2)

x y 17x y 64 0(1)

Mà E :x y

x y (2)

T ta c

-x y 17x y 64

x y

y

E(6; 1)

x

y

E(7; 2)

x

Ph ng trình ngth ng AB : y

x 4y 19



      

   

   

     

 

  



 

   

 

 

 

   



  

õ­(1) vµ(2) ã

2 2

P

C u6a(2)

PT(S) (x 1) (y 2) (z 3) 25

T án kính R =

| 4 |

có:d(I;P)

4

có:d(I;P) R m ịn

Có n (2; 2; 1) ph ình

      



  

 

          

©

©m I(1;2;3); b

ặtư phẳngư(P)ưcắtư(S)ưtheoưmộtưđư ờngưtr ơng tr đư êng­th¼ng­qua­I(1;2;3) v

'2

à vu ng góc v à: x = 1+2t

y = - 2t z = - t G

E(1 2t; 2t;3 t) (P)

2(1 2t) 2(2 2t) (3 t) t E(3;0;2)

G án kính ó:

R 25

    

    

         





'

2

ô ới(P)ưl

ọiưEưlàưtâmưđư ờngưtrònưgiaoưtuyếnư

ọiưR ưlàưb đư ờngưtrònư(E)ưc = R - IE  16 R'4

Câu VII.a (1,0 điểm)

Gọi z1 z2 hai nghiệm phức phương trình z2 + 2z + 10 = Tính giá trị biểu

thức A = |z1|2 + |z2|2

Bài giải

 

2

2 '

1

2

2

1

PT : z 2z 10

1 10 3i

z 3i | z | 10

z 3i | z | 10

A | z | | z | 10 10 20

  

    

   

   

     

B Theo chương trình nâng cao Câu VI.b (2.0 điểm)

1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 +

tham số thực Gọi  tâm đường trịn (C) Tìm m để  cắt (C) tại

hai điểm phân biệt A B cho diện tích tam giác IAB lớn 2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y +

2z – = hai đường thẳng

x y z x y z

: , :

1 2

    

     



Xác định toạ độ điểm M thuộc đường thẳng 1 cho khoảng cách

từ M đến đường thẳng 2 và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P)

bằng

Bài giải

   

 

 

 

2

2 2

2

6b1 Ph ng trình (C) x y 2

T m ; ; b n k nh R K H ( ) H l trung m AB

1 4m V i H d ;

1 m

ng th ng ( ) c t (C) H R | 4m |

2 14m 8m

1 m

4 30 30

m

14 14

t H x K : x

Trong vu ng HA ta c : HA

    

    

   

     



  



     



 

  

   

 

­ ¬

â í

ẻ điể

ớ

Đư ẳ ắ

Đặ Đ

ô ó

   

 

 

 

2 2

2

2 AB

2

2 2

AB

2

AB

2

A H x

HA x

1

S H.AB x x

2

Áp d ng B T c si ta c :

x x

S x x x x

2

max S x x x tho m n

m tho m n | 4m |

1 15m 8m 8

m tho m n

1 m

15 





    

  

   

 

     

     

 

 

     

  



ụ Đ ô ó

ả Ã

ả ·

¶ ·

                      2 2

2 2

2

2 2

2

6b.2

x t

: y t

z 6t

x y z

: i qua A 1; ; v u ; 1;

2

M M t ; t ; 6t

AM,u 14 8t 14t 20 4 t

d M,

3 u

1 t 2t 18 12t 11t 20 d M, (P)

3

1 ( 2)

Vì d M, d M, (P) n n : 11t                                                           đ ê              

2 2

2 2

2

1

14 8t 14t 20 t

20

3

11t 20 14 8t 14t 20 t

t

35t 88t 53 53

t 35 V i t M , 1,

53 18 53

V i t M , ,

35 35 35 35

                                    í í

Câu VII.b (1,0 điểm) Giải hệ phương trình:

 

 

2

2

2

x xy y

log x y log (xy) x, y   81

2

2

2

x xy y

2 2

2 2

2

C b

K :x.y

log (x y ) log (2xy) H

3

x y 2xy (x y)

x xy y x xy y

x y

x y

x xy y

 



  

  

 



     

 

  

     

 

 

 

    

  



©u7