Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình (H) một vòng xung quanh trục hoành... Tính thể tích khối tròn xoay tạo bởi khi quay hình tròn đó một vòng quanh trục Oy.[r]
(1)CÁC ĐỀ TÍCH PHÂN TUYỂN CHỌN TỪ TẠP CHÍ: “TỐN HỌC TUỔI TRẺ”
Đề 1: ( Sách 2010) Tính diện tích hình phẳng, giới hạn hai đường có phương trình:
2 3 2 0
y - x+ = x2-3y+ =2
Gợi ý:
2 2
1
2
3 2d d
3
x
S =ò x- x-ò + x= (đ.v.d.t)
Đề 2: ( Sách 2010) Tính tích phân:
0
1 sin
d cos
π
x
x
I e x
x +
ỉ
= ỗũố + ữứ
Gi ý:
2
2
0
1
.tan d tan
2
cos
2
π
π
x x x x x π
I e e x e e
x
ổ
ỗ ữ ổ ử
= ỗ + ữ =ỗ ữ =
ố ứ
ỗ ữ
ố ứ
ũ
3: ( Sách 2010) Tính tích phân:
( )
2
3
sin
d sin cos
π
x
I x
x x
=
+
ò
Gợi ý:
Ta có sin cos 2sin π x+ x= ổỗx+ ửữ
ố ứ
Phõn tớch: sin 1sin 3cos
2 2
π
x= ổỗx+ ửữ- ổỗx+ ửữ
ố ứ è ø nên ta có :
2
2
0
cos d
1 d 3 3
16 sin 16 sin 12 12
3
π π π
x x
x I
π π
x x
ổ +
ỗ ữ
è ø
= - = + =
ổ + ổ +
ỗ ữ ỗ ÷
è ø è ø
ò ò
Đề 4: ( Sách 2010) Tính tích phân:
1 3
4
d x x
I x
x -=ò
Gợi ý:
1
3
2
1
1
1 d
I x
x x
ỉ
= ỗ - ữ
ố ứ
ũ Đặt t 12
x
= - Đáp số: I =6
Đề 5: ( Sách 2010) Tính tích phân:
2
d x I
x =
+
ò
Gợi ý:
( )
2 2
3 2
0 0
2 d
d d 1 d
ln
12 24 12
8 4 12
x x
x x x π
I
x
x x x x x
-= = - + = +
+
+ - + - +
ò ò ò ò
(2)Chuyên đề TÍCH PHÂN_ỨNG DỤNG Luyện thi Đại học 2011 Đề 6: ( Sách 2010) Tính tích phân:
1
d
x
I =òe + x
Gợi ý: Đặt t= 3x+1 ta có d d
3
t
x= - Þ x= t t 1:
0 :
x t
x t
= =
= = Khi
2
1
2
d
3
t e
I =ò te t = = ( Tích phân phần) Đề 7: ( Sách 2010) Tính tích phân:
2
1 d x x
I x
x -=
-ò
Gợi ý: Đặt t= x- Þ = + Þ1 x t2 dx=2 dt t :
1:
x t
x t
= =
= = Khi đó:
1
2
2 32
10ln 3
4
t t
I t
+
= = =
-ò
Đề 8: (Sách 2010) Cho hình phẳng (H) giới hạn ba đường:
2 4 3 0; 0; 0
x y- + y- = x= y=
Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình (H) vịng xung quanh trục hồnh
Gợi ý:
Giao điểm đường (0;0), (3;0), (0;1)O A B Từ x y- +4y- = Þ = -3 y x+1
Do đó: ( )
3 2
0
5
2 d
6 π
V =πò - x+ x= = (đ.v.t.t) Đề 9: ( Sách 2010) Tính tích phân:
( )
1
3
d
x
I x
x =
+
ò
Gợi ý: Đặt t=tanα Lúc đó:
( ) ( ) ( )
3
4 4
3
2 2
2
0 0
tan tan tan
d d cos cos d cos
16 tan
1 tan tan
π π π
α α α
I α α α α α
α
ổ
ỗ ữ
= = ỗ - ữ = - + =
+
ỗ ữ
+ ố + ứ
ũ ị ị
Đề 10: ( Sách 2010) Tính tích phân:
0
d x I
x x
-=
+ +
ò
Gợi ý:
Đặt
2
d 2d
1
2
1
x t
t x x x
t
x x
= + + + Þ =
+ + +
0 : 1:
x t
x t
= =
= - = Khi đó:
1
2d
ln
2
t I
t
= = =
+
ò
Đề 11: ( THTT 400) Tính tích phân: ( )
1 cos
0
1 sin
ln d
1 cos
π
x
x
I x
x + +
=
+
ò
(3)( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 cos
2 2
0 0
2 2
0 0
2
0
1 sin
ln cos ln sin ln sin ln cos
1 cos
sin ln cos ln cos ln sin
sin ln cos ln cos ln
π π π π
x
π π π
π π
x
I x x x x x x x x
x π
x t x t
I t t t t t t t
I x x x x x
+ +
= = + + + - +
+
= - Þ =
-= + + + - +
= + + +
-ò ò ò ò
ò ò ò
ò ò
d d d d (1)
Đặt d d
Suy ra: d d d
Hay d d ( )
( ) ( )
( )
( )
2
2
0
2
sin
cos ln sin sin ln cos
cos ln sin
sin ln cos
π
π π
J K
π
π
x x
I x x x x x x
J x x x
K x x x
+
= + + +
= + =
-= + =
ò
ò ò
ò ò
d (2)
Céng (1) víi (2): d d
* Với d (tích phân phần) =2ln2
* Víi d (tÝch ph©n tõng p
I I
-= - - Þ =
-hÇn) =2ln2 Suy ra: 2ln2 1+2ln2 2ln2
Đề 12: ( THTT 401) Tính tích phân: ( )
0
cos sin d
π
I =òx x+ x x
Gợi ý:
( )
( )
( )
5
0 0
2
0
0
2
0
cos sin cos sin
cos 2cos cos sin
* cos
* 2cos cos sin
π π π
π π
J K
π π
I x x x x x x x x x x
x x x x x x x x
J x x x
K x x x x x
= + = +
= + - +
= =
-= - +
ò ò ò
ò ò
ò ò
Ta cã: d d d
d d
Tính d (tích phân phần) =
TÝnh d
( )
2 2cos cos
1 2cos cos sin cos
3
u x u x
x x
x x x x v v x
= Þ =
ì ï í
- + = = - +
ïỵ
d d
Đặt
(4)Chuyờn TCH PHÂN_ỨNG DỤNG Luyện thi Đại học 2011
15
2 15
π K π I
=
=
-TÝnh ta Suy ra:
13: ( THTT 402)
Cho hàm số ( )f x =A.3x+B Tìm số ,A B f/(0) 2=
2
( ) 12 f x x=
ò d
Gợi ý:
/
/
2
2
( ) ln
( ) .3
( )
ln
2
(0) .ln 2
ln
12 12
( ) 12 12
ln
ln
ln 12 12
ln
x
x x
f x A
f x A B A
f x x Bx C
f A A
A B
f x x B
A B
ì =
ï
= + ị ớ
= + +
ù ợ
ì
ì = ì = ï =
ï ï ï
Þ Þ
í í í
+ = =
ï ïỵ ï =
-ỵ ïỵ
ì = ïï í
ï = -ïỵ
ị ị
d
Ta cã:
d
VËy
Đề 14: ( THTT 403) Tính tích phân: 2
0
sin d
π x
I =òe x x
Gợi ý:
Tính tích phân phần lần phối hợp Kết quả:
8
π
e
I =
-Đề 15: ( THTT 10-2010) Tính tích phân:
8
ln d x
I x
x =
+
ò
Gợi ý:
( ) ( ) ( ) ( )
2
3 3
2
2 2
1
ln
2 ln ln ln
t x t x t t x
t
I t t t t t t t t
t
= + Þ = + Û =
-Þ = ị = ị - = ũ - + ũ +
Đặt d d
d d d d
Tích phân phần
Đề 16: ( THTT 11-2010) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số:
2
2 4 ; 4
2 x
y= x - y= +
(5)Đề 17: ( Đề 02- 2009) Tính tích phân:
0
1 sin d cos
π
x
x
I e x
x +
ổ
= ỗũố + ÷ø
Gợi ý:
Đáp số:
π
I =e
Đề 18: ( Đề 03- 2009) Tính tích phân:
( )
2
3
sin
d sin cos
π
x
I x
x x
=
+
ò
Gợi ý:
Đáp số: I =
Đề 19: ( Đề 01- 2003) Tính tích phân:
( )
2
4
4
sin
d
cos tan tan
π π
x
I x
x x x
-=
- +
ò
Gợi ý:
Đáp số: ln
π
I = -
-Đề 20: ( -Đề 02- 2003) Tính tích phân:
1
6
1
d
x
I x
x
ỉ +
= ỗ ữ
+
ố ứ
ũ
Gợi ý:
Đáp số: π I =
Đề 21: ( Đề 03- 2003) Tính tích phân: ( )
1
2
ln d
x
I x
x + =
+
ò
Gợi ý:
Đáp số: ln π I =
Đề 22: ( Đề 04- 2003) Với nỴ*, tính: 4
0
tan
π n n
I =ò x xd
Gợi ý:
Xét hiệu Ik -Ik-1
Suy ra: 1 1 1 1
4 4 11
n
π I
n n n n n n
= - + - + - + + - +
- - -
-Đề 23: ( -Đề 05- 2011) Tính:
( ) ( )
1
3
1
1
d
I x
x x
=
+ +
ò
Gợi ý:
Biến đổi
( ) (3 ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2
1 1
1
1 x x x x x x
x x x x
= = =
+ + + + + +
(6)-Chuyên đề TÍCH PHÂN_ỨNG DỤNG Luyện thi Đại học 2011 Đề 24: ( Đề 03- 2004) Tìm x>0 cho:
( )
2
1 d
x t et
t
t+ =
ò
Gợi ý:
Đáp số: x=2
Đề 25: ( Đề 03- 2004) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình trịn (x-2)2+ y2 £1 Tính thể tích khối trịn xoay tạo quay hình trịn vịng quanh trục Oy
Gợi ý:
Đáp số: V =4π2
Đề 26: ( Đề 04- 2004) Giải phương trình:
0
sin cos d2
x
t + t t =
ò
Gợi ý:
Đáp số: x kπ=
Đề 27: ( Đề 05- 2004) Tìm họ nguyên hàm hàm số
2
4
1 ( )
3
x f x
x x
+ =
- +
Gợi ý:
Đáp số: 1ln
2
u
I C
u
-= +
+ với
1
u x
x = - Đề 28: ( Đề 01- 2005) Tính:
1
2
0
4 d
I =òx - x x
Gợi ý:
Đặt x 2sin= t
Đáp số
12
π
I = +
Đề 29: ( Đề 02- 2005) Tính diện tích hình phẳng giới hạn ( )
2 2
: ( )
3
x x
C f x
x -=
- trục Ox
Gợi ý:
Đáp số: 15 8ln 2
I = -
Đề 30: ( Đề 03- 2005) Tính: ( )
1
2
1
ln d
I x a x x
-= ò + +
Gợi ý:
Đặt x= -t Sau vào, nhân lượng liên hợp Đáp số I =lna2
Đề 31: ( Đề 04- 2005) Tính:
( )
2
1 sin
1 cos d
π
x
x
I x
x e -=
+
ò
(7)Biên đổi
( ) ( ) ( )
2 2
1
0 0
1 sin sin
1 cos d cos d cos d
π π π
x x x
x x
I x x x I I
x e x e x e
-= = - =
-+ + +
ò ò ò
Đáp số
2
1
π
I e =
Đề 32: ( Đề 01- 2006) Tính:
1
4
3 2d x
I x
x x
+ =
+ +
ò
Gợi ý:
Đáp số ln27 I =
Đề 33: ( Đề 02- 2006) Tính:
1
d
x
I =òe + x
Gợi ý:
Đáp số
2
2 e I =
Đề 34: ( Đề 03- 2006) Tính:
1
2
d x
I x
x =
+
ò
Gợi ý:
Đáp số 2ln1
2
I = - +
Đề 35: ( Đề 04- 2006) Tính:
1
ln
ln d
1 ln
e x
I x x
x x
ỉ
= ỗ + ữ
+
ố ứ
ò
Gợi ý:
Đáp số 3(1 2)
I = - + +e
Đề 36: ( Đề 05- 2006) Tính: 4 2
0
cos
d
cos 3cos
π
x
I x
x x
=
- +
ò
Gợi ý:
Đáp số I =ln
Đề 37: ( Đề 01- 2007) Cho
2
0
sin
d 2cos 3sin
π
x
I x
x x
=
+
ò
2
0
cos
d 2cos 3sin
π
x
J x
x x
=
+
ị
a) Tính 9I-4J I J+
b) Từ suy kết I J
Gợi ý:
Đặt tan x
t= Ta tính được:
9
1 13 13
ln
13 13 13
I J
I J
- =
ì
ï ỉ ử
-
-ớ + = ỗ - ữ
ï + +
è ø
(8)Chuyên đề TÍCH PHÂN_ỨNG DỤNG Luyện thi Đại học 2011 Đề 38: ( Đề 02- 2007) Tính:
2
tan
d cos cos
π π
x
I x
x x
=
+
ò
Gợi ý:
Đặt
2
tan tan
2 tan
d d
cos
x x
t x t
x x
= + Þ =
+ Đáp số:
5
5
d
I = ò t =
-Đề 39: ( -Đề 03- 2007) Tính tích phân:
( )
1
3
d
x
I x
x =
+
ị
Gợi ý: Đặt t=tanα Lúc đó:
( ) ( ) ( )
3
4 4
3
2 2
2
0 0
tan tan tan
d d cos cos d cos
16 tan
1 tan tan
π π π
α α α
I α α α α α
α
α α
ỉ
ỗ ữ
= = ỗ - ữ = - + =
+
ỗ ữ
+ ố + ø
ò ò ò
Đề 40: ( Đề 04- 2007) Tính tích phân:
1
2
3 1d
I =ò - x + x+ x
Gợi ý:
Biến đổi: ( )
1
2
4 d
I =ò - x- x
Đặt sin , ;
2
π π x- = t tỴ -éê ùú
ë û Khi đó: ( )
0
2
1
2
3π cos d 3
π
I = ò + t t= +
Đề 41: ( Đề 01- 2008) Tính tích phân sau:
2 2
3
1 01
d sin2
vµ d
cos
π
x x
I J x
x
x x
= =
+ +
ò ò
Gợi ý:
Đáp số: 1ln 2 ;
3
I = ổỗ + ửữ J =
è ø
Đề 42: ( Đề 02- 2008) Tính tích phân: ( )
1 3
4
d x x
I x
x -=ò
Gợi ý:
Đáp số I =6
Đề 43: ( Đề 03- 2008) Tính tích phân:
1
2
3
2 tan d cos
π x
π
e x
I x x x
x x
é ù
ê ổ ửỳ
= ờ + ỗ + ữỳ
è ø
ê ú
ë û
ò
(9)Đáp số
4
2
9
π π
π
I = +e -e
Đề 44: ( Đề 04- 2008) Tính tích phân: 2 sin
0
2cos cos d
2
x
x
I = ổỗ +x x eư÷ x
è ø
ị
Gợi ý:
Đáp số
2 π I = - +e e
Đề 45: ( Đề 01- 2009) Tính tích phân:
( )
2
3
sin
d sin cos
π
x
I x
x x
=
+
ò
Gợi ý:
Đáp số
6 I =
Đề 46: ( Đề 02- 2009 Tính tích phân:
0
1 sin d cos
π
x
x
I e x
x +
ổ
= ỗ + ữ
ố ø
ò
Gợi ý:
2
2
0
1
.tan d tan
2
cos
2
π
π
x x x
π
x x
I e e x e e
x
ổ
ỗ ữ ổ ử
= ỗ + ữ =ỗ ữ =
ố ứ
ỗ ữ
ố ứ
ũ
47: ( Đề 03- 2009 Tính tích phân:
( )
2
3
sin
d sin cos
π
x
I x
x x
=
+
ò
Gợi ý:
(10)