Chứng minh phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. Do đó để đến B đúng hạn xe phải tăng vận tốc thêm 6 km/h. Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp. Kể từ lúc khởi hành đến[r]
(1)ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT ( SỐ I ) Câu 1: (2,0 điểm)
Giải hệ phương trình , phương trình sau đây:
1
43 19 x y
x y
x5 2x 18 x2 12x36 0 x 2011 4x 8044 3
Câu 2: (1,5 điểm)
Cho biểu thức:
2
1 1
2 :
1
a K
a a
a a
(với a0,a1) Rút gọn biểu thức K Tìm a để K 2012
Câu 3: (1,5 điểm)
Cho phương trình (ẩn số x): x2 4x m 2 3 *
1 Chứng minh phương trình (*) ln có hai nghiệm phân biệt với m Tìm giá trị m để phương trình (*) có hai nghiệm x x1, 2 thỏa x2 5x1. Câu 4: (1,5 điểm)
Một ô tô dự định từ A đến B cách 120 km thời gian quy định Sau tơ bị chặn xe cứu hỏa 10 phút Do để đến B hạn xe phải tăng vận tốc thêm km/h Tính vận tốc lúc đầu ô tô
Câu 5: (3,5 điểm)
Cho đường tròn O , từ điểm Aở ngồi đường trịn vẽ hai tiếp tuyến ABvàAC(B C, tiếp điểm) OAcắtBCtại E
1 Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp
2 Chứng minh BC vng góc với OA BA BE AE BO .
3 GọiI trung điểm BE, đường thẳng quaI vng góc OI cắt tia AB AC, theo thứ tự Dvà F Chứng minh IDO BCO DOFcân O.
4 Chứng minh F trung điểm củaAC
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT ( SỐ I )
Câu I (2.5 điểm ) 1/ Giải phương trình: 2x - x - 3x = 03 2/ Tìm số x, y biết:
4
x y x y
3/ Tìm a b biết đường thẳng (d): y = ax + b song song với (d/): y = -3x + cắt trục hoành tại điểm A có hồnh độ -1
Câu II (1 điểm ) Rút gọn biểu thức:
2 1
1
1
x x x
P
x
x x x x
với x ≥ x ≠ 1 Câu III (1 điểm ) :
Khoảng cách hai bến sống A B 50km Một ca nô từ bến A đến bến B, nghỉ 20 phút bến B quay lại bến A Kể từ lúc khởi hành đến tới bến A hết tất Hãy tìm vận tốc riêng ca nơ, biết vận tốc dòng nước 4km/h
Câu IV (1,5 điểm) Cho phương trình : x2 – 2mx + m2 – m + = 0
a) Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm kép Tìm nghiệm kép b) Tìm m để phương trình có nghiệm x1, x2 thỏa mãn:
2
1
(2)Cho đường trịn tâm O đường kính AB, M điểm cung AB, K điểm cung nhỏ BM Gọi H chân đường vng góc M xuống AK
a) Chứng minh AOHM tứ giác nội tiếp b) Tam giác MHK tam giác gì? Vì sao?
c) Chứng minh OH tia phân giác góc MOK
d) Gọi P hình chiếu vng góc K lên AB Xác định vị trí K để chu vi tam giác OPK lớn
Câu VI (1 điểm) : Cho a, b, c số lớn
Tìm giá tri nhỏ biểu thức: P =
2 2 3
1 1 1
a b c
(3)SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HẢI
DƯƠNG
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐÊ THI THỬ VÀO
LỚP 10 THPT Năm học 2012 - 2013
MƠN : Tốn (Hướng dẫn chấm gồm
03 trang)
Câu Phần Nội dung Điểm
Câu I 2.5 điểm ) 1 điểm 2
2x - x - 3x =
x(2x 3)
0
2x
0 1; x x x x x x
Vậy phương trình có nghiệm x1 = 0; x2 = -1; x3 = 2 0, 25 0, 25 0, 25 0, 25 ) 0.75 điểm
Gọi S, P tổng, tích x y Theo ta có: S = 4, P = S2 > 4P ( 16 > 4), nên x y nghiệm phương trình có dạng: t2 – 4t +1 = (1)
Giải phương trình (1) tìm t1 = + 3; t2 = -
Vậy số x, y cần tìm là:
2 3 x y
hoặc
2 3 x y 0, 25 0, 25 0, 25 3) 0.75 điểm
Vì đường thẳng (d) //(d/) nên : a b
lại có (d) qua A (-1; 0) vậy:
-a + b = mà a = -
(4)suy b = -3 ( TMĐK) đường thẳng (d) có dạng: y = -3x –
Câu II 1 điểm
2 1
1
1
2 1
1 1
2 1
1 1
2 ( 1)( 1)
( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1)
2 1
( 1)( 1) ( 1)( 1)
( 1)
( 1)( 1)
x x x
P
x
x x x x
x x x
x x x x x x
x x
x x x x x
x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x
x x x x x
Vậy với x ≥ x ≠ 1, P =
x
x x
0,25 0,25 0,25 0,25 Câu III 1 điểm
Đổi 20 phút = 1 3 giờ Gọi vận tốc canô nước yên lặng
(km/h, 4)
x x
Vận tốc canơ nước xi dịng x4 thời gian canơ chạy nước xi dịng
50 4 x .
Vận tốc canô nước ngược dịng x 4 thời gian canơ chạy nước ngược dòng
50 4 x .
Theo giả thiết ta có phương trình
50 1 50
7
4 3 4
x x
pt
0,25 0,25
(5)2 2
50 50 20 5 5 2
4 4 3 4 4 3
15( 4 4) 2( 16) 2 30 32 0
15 16 0
x x x x
x x x x x
x x
Giải phương trình ta x1 (loại),
16
x (thỏa mãn)
Vậy vận tốc canô nước yên lặng 16 km/h Câu IV 1,5 điểm a) 0,5 điểm
Với phương trình : x2 –
2mx + m2 – m + = 0
Ta có: / = m2 – m2 + m - = m –
Phương trình có nghiệm kép / = m – 1= m =
khi nghiệm kép là: /
1 1
b
x x m
a 0,25 0,25 b) 1.0 điểm
Phương trình có nghiệm x1, x2 / ≥0
m –1 ≥ 0 m ≥ 1
theo hệ thức Vi –ét ta có:
1 2
2 (1)
m – m (2)
x x m
x x
Mà theo cho,
1
x + 2mx = 9 (3) Thay (1) vào (3) ta được:
:
1
2 2
2
1 x2) x x1 9 (4)
2
x + (x + x )x = 9 x + x x + x = 9 (x
Thay(1), (2) vào (4) ta được:
2 2
4m m m 1 9 3m m 10 0
Giải phương trình ta được: m1 = - (loại) ;
(6)Vậy m = 5
3 phương trình cho có nghiệm x1, x2 :
2
1
x + 2mx = 9 Câu V
3 điểm
a)
0,75 điểm
Hình vẽ: 0,25
Vì M điểm cung AB, nên sđ
AM 900 =>
0 ˆ 90 AOM
(đ/l góc tâm), mà MH AK (gt) => AHM = 900
Trong tứ giác AOHM, ta có:
ˆ 90
AOM AHM
Do đỉnh O H ln nhìn đoạn Am góc 900, nên AOHM tứ giác nội tiếp
0,25 0,25
0,25
b) 0.5 điểm
Xét tam giác vng MHK có MKH 450 Nên tam giác MHK tam giác vuông cân H
0,25 0,25
c) 0.75 điểm
Vì tam giác MHK cân H nên : HM = HK Xét MHO KHO có
HM = HK (c/m trên) HO cạnh chung OM = OK = R Suy MHO = KHO ( c-c-c)
Nên MOH KOH, Do OH phân giác góc MOK
0,25
0,25 0,25
d) 0,75 điểm
Ta có chu vi tam giác OPK là: C = OP + PK + OK Mà OK
0,25
P H
K
B M
(7)không đổi, nên chu vi tam giác OPK lớn OP + PK lớn Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cop-ski ta có (OP + PK)2 ≤ (12 + 12) ( OP2 + PK2) = 2R2 Vậy (OP + PK)2 lớn 2R2, nên OP + PK lớn 2R Do chu vi tam giác OPK lớn bằng:
2R + R = ( 1) R, OP = PK hay K điểm cung MB
0,25 0,25
Câu VI 1 điểm
2 2 3 2 1 2 2 3 3 3
1 1 1 1 1 1
1 2 3
1 2( 1) 3( 1)
1 1 1
1 2 3
1 2( 1) 3( 1) 12
1 1 1
1 2 3
2 ( 1). 2 2( 1). 2 3( 1).
1 1 1
a b c a b c
P
a b c a b c
P a b c
a b c
P a b c
a b c
P a b c
a b c
12 24
Vậy GTN P 24 a = b = c =
0,25
0,25
0,25 0,25
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HẢI
DƯƠNG
ĐÊ THI THỬ VÀO LỚP 10 THPT Năm học 2012 - 2013
MƠN : TỐN
( Thời gian làm 120 phút, không kể giao đề )
Câu I (2.5 điểm )
1/ Giải phương trình sau: – 3x3 + 5x2 – 2x = 0
2/ Tìm số x, y biết:
2 x y x y
3/ Cho hàm số y = a x + b Tìm a b biết đồ thị hàm số qua điểm M(1;2) vuông góc với đường thẳng y =
1
x + Câu II (1 điểm )
Rút gọn biểu thức:
x -1
-x -x +1 x
B = - : x +
x -1 x 1 x -1
với x ≥ x ≠ 1
Câu III (1.25 điểm ) :
(8)Quãng đường từ A đến B dài 50km Một người dự định xe đạp từ A đến B với vận tốc không đổi Khi giờ, người dừng lại 30 phút để nghỉ Muốn đến B thời gian định,người phải tăng vận tốc thêm km/h qng đường cịn lại.Tính vận tốc ban đầu người xe đạp
Câu IV (1.5 điểm)
Cho parabol (P): y = x2 đường thẳng (d): y = -mx + 1
a) Chứng minh với giá trị m đường thẳng (d) cắt parabol (P) điểm phân biệt
b) Gọi (x1 ; y1), (x2 ; y2) giao điểm đường thẳng (d) parabol (P) Tìm m để: y1 + y2 = 2(x1 + x2) +
Câu V (3 điểm)
Cho đường trịn tâm O đường kính AB, M điểm cung AB, K điểm bất kỳ cung nhỏ BM Gọi H chân đường vng góc M xuống AK
a) Chứng minh AOHM tứ giác nội tiếp b) Tam giác MHK tam giác gì? Vì sao?
c) Chứng minh OH tia phân giác góc MOK
d) Gọi P hình chiếu vng góc K lên AB Xác định vị trí K để diện tích tam giác OPK lớn
Câu VI (0.75điểm) : Cho a, b, c số thực thỏa mãn: abc = Tính giá trị biểu thức:
1 1
1 1
P
a ab b bc c ca
= = = = = Hết = = = = = Giám thị khơng giải thích thêm.
Họ tên thí sinh:……….Số báo danh:……… Chữ kí giám thị 1:………Chữ kí giám thị 2:….………
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐÊ THI THỬ VÀO LỚP 10 THPT
Năm học 2012 - 2013 MƠN : Tốn
(Hướng dẫn chấm gồm 03 trang)
Câu Phần Nội dung Điểm
(9)Câu I điểm 1a) 1 điể m 2
-3x + 5x - 2x =
x(-3x 2)
0
-3x
0 1; x x x x x x
Vậy phương trình có nghiệm x1 = 0; x2 = 1; x3 = 3 0,25 0,25 0,25 0,25 ) 0.75 điể m
Gọi S, P tổng, tích x y
Theo ta có: S = 2, P = -2 S2 > 4P ( > -8), nên x y nghiệm phương trình có dạng: t2 – 2t -2 = (1)
Giải phương trình (1) tìm t1 = + 3; t2 = -
Vậy số x, y cần tìm là:
1 3 x y
1 3 x y 0,25 0,25 0,25 3) 0.75 điể m
Vì đồ thị hàm số vng góc với đường thẳng y =
x + nên: a
1
= -1 suy a = lại có (d) qua M(1;2) vậy: a + b = mà a = suy b = -1
vậy đường thẳng (d) có dạng; y = 3x –
0,25 0,25 0,25
Câu II điểm 1)
1 điểm x -1 -x -1
-x -x +1 x
B = - : x +
x -1 x 1 x -1
x - x +1- : x x x -1 x 1 x -1 x x -1
x -1 x x x x
Vậy với x ≥ x ≠ B =
x x 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu III 1.25 điểm
Đổi 30 phút = ½ (h)
Gọi x(km/h) vận tốc dự định; x >
Thời gian dự định : 50
( )h x
(10)Vận tốc quãng đường lại : x + ( km/h)
Thời gian quãng đường lại : 50
( )
x h x
Theo đề ta có PT:
1 50 50
2
2
x
x x
Giải ta : x = 10 (thỏa ĐK toán) Vậy Vận tốc dự định : 10 km/h
0,5
0,25 0,25 0,25
Câu IV 1,5 điểm
a) 0,5 điểm
Hoành độ giao điểm (d) (P) nghiệm phương trình x2 = -mx +
x2 + mx – = (1) Ta có = m2 + > với m
Nên phương trình (1) ln có nghiệm phân biệt, (d) (P) ln cắt điểm phân biệt
0,25 0,25
b) 1.0 điểm
Vì x1, x2 hồnh độ giao điểm, nên x1, x2 nghiệm phương trình
(1) Theo hệ thức Vi –ét ta có:
1 2
(2)
(3)
x x m
x x
và y1 = -mx1 + 1, y2 = -mx2 + (4) mà theo : y1 + y2 = 2(x1 + x2) + (5) Thay(2), (4) vào (5) ta
-m(x1 + x2) + = 2(x1 + x2) + m2 +2m + = m = -1
Vậy m = -1, (d) (P) cắt điểm phân biệt mà tọa độ giao điểm thỏa mãn: y1 + y2 = 2(x1 + x2) +
0,25
(11)Câu V điểm
a)
0,75 điểm
Hình vẽ: 0,25 điểm
Vì M điểm cung AB, nên sđAM 900 => AOMˆ 900 (đ/l góc tâm), mà MH AK (gt) => AHM = 900
Trong tứ giác AOHM, ta có: AOMˆ AHM 900
Do đỉnh O H ln nhìn đoạn Am góc 900, nên AOHM tứ giác nội tiếp
0,25 0,25 0,25 b) 0.5 điểm
Xét tam giác vng MHK có MKH 450 Nên tam giác MHK tam giác vuông cân H
0,25 0,25
c) 0.75 điểm
Vì tam giác MHK cân H nên : HM = HK Xét MHO KHO có
HM = HK (c/m trên) HO cạnh chung OM = OK = R
Suy MHO = KHO ( c-c-c)
Nên MOH KOH, Do OH phân giác góc MOK
0,25 0,25 0,25 d) 0.75 điểm
Ta có diện tích tam giác OPK là: S =
2OP.PK Áp dụng bất đẳng thức Cơ- si ta có
OP2 + PK2 ≥ 2OP.PK, hay OP.PK ≤
2( OP2 + PK2 ) =
2
2
R
Suy OP.PK lớn
2
2
R
, diện tích tam giác OPK lớn bằng: S =
1 2. 2 R = R
, OP = PK hay K điểm cung MB 0,25 0,25 0,25 Câu VI 0.75 điểm
1 1
1 1
1 1
1 1
1
1
P
a ab b bc c ca
a ab
a ab ab abc a abc a bc ab
a ab
a ab ab a a ab
a ab a ab
Vậy a, b, c số thực thỏa mãn: abc = P =
0,25 0,25 0,25
Sở GD – T NGH AN Đề thi vào THPT năm học 2012 - 2013
(12)§Ị chÝnh thức Môn thi: Toán Thời gian 120 phót
Ngày thi 24/ 06/ 2012 C©u 1: 2,5 ®iĨm:
Cho biĨu thøc A =
1
2
x
x x x
a) Tìm điều kiện xác định tú gọn A
b) Tìm tất giá trị x để
A
c) Tìm tất giá trị x để
B A
đạt giá trị nguyên Câu 2: 1,5 điểm:
Quảng đờng AB dài 156 km Một ngời xe máy tử A, ngời xe đạp từ B Hai xe xuất phát lúc sau gặp Biết vận tốc ngời đI xe máy nhanh vận tốc ng-ời đI xe đạp 28 km/h Tính tc ca mi xe?
Câu 3: điểm:
Chjo phơng trình: x2 2(m-1)x + m2 =0 ( m tham số).
a) GiảI phơng trình m =
b) Tỡm m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn
2 2 16
x x
Câu 4: điểm
Cho im M nm ngồi đờng trịn tâm O Vẽ tiếp tuyến MA, MB với đờng tròn (A, B tiếp điểm) Vẽ cát tuyến MCD không đI qua tâm O ( C nằm M D), OM cắt AB (O) lần lợt H I Chứng minh
a) Tø gi¸c MAOB néi tiÕp b) MC.MD = MA2
c) OH.OM + MC.MD = MO2
d) CI lµ tia phân giác góc MCH
(13)-HÕt -SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NAM
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2012 – 2013
Mơn: Tốn
Thời gian làm bài: 120 phút Ngày thi : 22/06/2012
Câu (1,5 điểm) Rút gọn biểu thức sau:
a) A 45 500
8 12
b) B
3
Câu 2: (2 điểm)
a) Giải phương trình: x2 – 5x + = 0 b) Giải hệ phương trình:
3x y x 2y
Câu 3: (2 điểm)
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho Parabol (P) có phương trình: y = x2 đường thẳng (d) có phương trình: y = 2mx – 2m + (m tham số)
a) Tìm toạ độ điểm thuộc (P) biết tung độ chúng
b) Chứng minh (P) (d) cắt hai điểm phân biệt với m Gọi y , y1 2là tung độ giao điểm (P) (d), tìm m để y1y2 9
Câu 4: (3,5 điểm)
Cho đường trịn tâm O, đường kính AB Trên tiếp tuyến đường tròn (O) A lấy điểm M ( M khác A) Từ M vẽ tiếp tuyến thứ hai MC với (O) (C tiếp điểm) Kẻ CH vng góc với AB (
H AB ), MB cắt (O) điểm thứ hai K cắt CH N Chứng minh rằng: a) Tứ giác AKNH tứ giác nội tiếp
b) AM2 = MK.MB
c) Góc KAC góc OMB d) N trung điểm CH Câu 5(1 điểm)
Cho ba số thực a, b, c thoả mãn a 1; b 4;c 9 Tìm giá trị lớn biểu thức :
bc a ca b ab c P
abc
(14)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
TP.ĐÀ NẴNG Năm học: 2012 – 2013
ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN: TỐN
Thời gian làm bài: 120 phút Ngày thi 22/06/2012 Bài 1: (2,0 điểm)
1) Giải phương trình: (x + 1)(x + 2) = 2) Giải hệ phương trình:
2
2
x y
x y
Bài 2: (1,0 điểm)
Rút gọn biểu thức A( 10 2) 3 Bài 3: (1,5 điểm)
Biết đường cong hình vẽ bên parabol y = ax2. 1) Tìm hệ số a
2) Gọi M N giao điểm đường thẳng
y = x + với parabol Tìm tọa độ điểm M N Bài 4: (2,0 điểm)
Cho phương trình x2 – 2x – 3m2 = 0, với m tham số. 1) Giải phương trình m =
2) Tìm tất giá trị m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 khác thỏa điều kiện
1 2
8
x x
x x .
Bài 5: (3,5 điểm)
Cho hai đường trịn (O) (O’) tiếp xúc ngồi A Kẻ tiếp tuyến chung BC, B (O), C (O’) Đường thẳng BO cắt (O) điểm thứ hai D
1) Chứng minh tứ giác CO’OB hình thang vng 2) Chứng minh ba điểm A, C, D thẳng hàng
3) Từ D kẻ tiếp tuyến DE với đường tròn (O’) (E tiếp điểm) Chứng minh DB = DE
-0 2 y=ax2
y
(15)GỢI Ý BÀI GIẢI: Bài 1:
1) (x + 1)(x + 2) = x + = hay x + = x = -1 hay x = -2 2)
2 (1)
2 (2)
x y
x y
5y 15 ((1) 2(2)) x 2y
y
x
Bài 2: A( 10 2) 3 = ( 1) 5 =
2
( 1) ( 1) = ( 1)( 1) = 4 Bài 3:
1) Theo đồ thị ta có y(2) = = a.22 a = ½ 2) Phương trình hồnh độ giao điểm y =
2
1
2x đường thẳng y = x + : x + =
2
1
2x x2 – 2x – = x = -2 hay x = 4
y(-2) = ; y(4) = Vậy tọa độ điểm M N (-2 ; 2) (4 ; 8) Bài 4:
1) Khi m = 1, phương trình thành : x2 – 2x – = x = -1 hay x = (có dạng a–b + c = 0) 2) Với x1, x2 0, ta có :
1 2
8
x x
x x 2
1 2
3(x x ) 8 x x
3(x1 + x2)(x1 – x2) = 8x1x2 Ta có : a.c = -3m2 nên 0, m
Khi ta có : x1 + x2 =
2 b
a x1.x2 =
2
3
c
m
a 0
Điều kiện để phương trình có nghiệm mà m > x1.x2 < x1 < x2 Với a = x1 = b' ' x2 = b' ' x1 – x2 = -2 ' 3 m2
Do đó, ycbt 3(2)( 3 m2) 8( 3 m2) m 3 m2 2m2(hiển nhiên m = không nghiệm)
4m4 – 3m2 – = m2 = hay m2 = -1/4 (loại) m = 1 Bài 5:
1) Theo tính chất tiếp tuyến ta có OB, O’C vng góc với BC tứ giác CO’OB hình thang vng
2) Ta có góc ABC = góc BDC góc ABC + góc BCA = 900 góc BAC = 900 Mặt khác, ta có góc BAD = 900 (nội tiếp nửa đường trịn)
Vậy ta có góc DAC = 1800 nên điểm D, A, C thẳng hàng.
3) Theo hệ thức lượng tam giác vng DBC ta có DB2 = DA.DC B
C
E D
A
(16)Mặt khác, theo hệ thức lượng đường tròn (chứng minh tam giác đồng dạng) ta có DE2 = DA.DC DB = DE.
-SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀOTẠO
QUẢNG TRỊ ĐỀ THI CHÍNH THỨC
KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2012-2013 KHÓA NGÀY : 19/6/2012
MƠN : TỐN
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1:(2 điểm)
1.Rút gọn biểu thức (khơng dùng máy tính cầm tay): a) √50 - √18
b) P=( √a−1+
1
√a+1)÷
1
a −1 , với a 0,a
2.Giải hệ phương trình (khơng dùng máy tính cầm tay):
¿
x+y=4
2x − y=5
¿{
¿
Câu 2:(1,5 điểm)
Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình x2−5x −3
=0 Khơng giải phương trình, tính giá trị biểu thức sau:
a, x1 + x2 b, x
1+x2 c, x1
+x22 Câu 3:(1,5 điểm)
Trên mặt phảng tọa độ, gọi (P) đồ thị hàm số y=x2 a, Vẽ (P)
b, Tìm tọa độ giao điểm (P) đường thẳng d: y = -2x+3 Câu 4:(1,5 điểm)
Hai xe khởi hành lúc từ địa điểm A đến địa điểm B cách 100km Xe thứ chạy nhanh xe thứ hai 10km/h nên đến B sớm hơm 30 phút, Tính vận tốc xe Câu 5:(3,5 điểm)
Cho đường trịn (O) Đường thẳng (d) khơng qua tâm (O) cắt đường tròn hai điểm A B theo thứ tự, C điểm thuộc (d) đường trịn (O) Vẽ đường kính PQ vng góc với dây AB D ( P thuộc cung lớn AB), Tia CP cắt đường tròn (O) điểm thứ hai I, AB cắt IQ K
a) Chứng minh tứ giác PDKI nội tiếp đường tròn b) Chứng minh CI.CP = CK.CD
c) Chứng minh IC phân giác góc ngồi đỉnh I tam giác AIB
d) Cho ba điểm A, B, C cố định Đường tròn (O) thay đổi qua A B Chứng minh IQ qua điểm cố định
-HẾT -Họ tên thí sinh:
(17)SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ************ ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2012-2013 ĐỀ THI MƠN : TỐN
Thời gian làm 120 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 21 tháng năm 2012
Câu (2,0 điểm) Cho biểu thức :P=
3
1 1
x x
x x x
1 Tìm điều kiện xác định biểu thức P Rút gọn P
Câu (2,0 điểm) Cho hệ phương trình :
2
ax
x ay y
Giải hệ phương trình với a=1
2 Tìm a để hệ phương trình có nghiệm
Câu (2,0 điểm) Một hình chữ nhật có chiều rộng nửa chiều dài Biết giảm mỗi chiều 2m diện tích hình chữ nhật cho giảm nửa Tính chiều dài hình chữ nhật cho
Câu (3,0 điểm) Cho đường tròn (O;R) (điểm O cố định, giá trị R không đổi) điểm M nằm bên (O) Kẻ hai tiếp tuyến MB, MC (B,C tiếp điểm ) (O) tia Mx nằm hai tia MO MC Qua B kẻ đường thẳng song song với Mx, đường thẳng cắt (O) điểm thứ hai A Vẽ đường kính BB’ (O) Qua O kẻ đường thẳng vng góc với BB’,đường thẳng cắt MC B’C K E Chứng minh rằng:
1 điểm M,B,O,C nằm đường tròn Đoạn thẳng ME = R
3 Khi điểm M di động mà OM = 2R điểm K di động đường tròn cố định, rõ tâm bán kính đường trịn
Câu (1,0 điểm) Cho a,b,c số dương thỏa mãn a+ b + c =4 Chứng minh :
3 3
4 a 4b 4c 2 2
Hết
-Cán coi thi khơng giải thích thêm !
Họ tên thí sinh:………SBD:………
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ************ ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2012-2013 ĐÁP ÁN ĐỀ THI MƠN : TỐN
Ngày thi: 21 tháng năm 2012
(18)C1.1 (0,75
điểm) Biểu thức P xác định
⇔ x −1≠0
x+1≠0
x2−1≠0 ¿{ {
⇔ x ≠1
x ≠ −1 ¿{ 0,5 0,25 C1.2 (1,25 điểm) P= x x −1+
3
x+1−
6x −4
(x+1)(x −1)=
x(x+1)+3(x −1)−(6x −4) (x+1)(x −1)
¿x
2
+x+3x −3−6x+4 (x+1)(x −1) =
x2−2x+1 (x+1)(x −1)
x −1¿2 ¿ ¿ ¿ ¿ 0,25 0,5 0,5 C2.1 (1,0
điểm) Với a = 1, hệ phương trình có dạng:
¿ 2x+y=−4
x −3y=5
¿{
¿
¿
⇔
6x+3y=−12
x −3y=5
⇔
¿7x=−7
x −3y=5
¿
⇔ x=−1
−1−3y=5
⇔
¿x=−1
y=−2
¿ ¿{
¿
Vậy với a = 1, hệ phương trình có nghiệm là:
¿
x=−1
y=−2
¿{ ¿ 0,25 0,25 0,25 0,25 C2.2 (1,0 điểm)
-Nếu a = 0, hệ có dạng:
¿ 2x=−4
−3y=5
⇔
¿x=−2
y=−5
3 ¿{
¿
=> có nghiệm
-Nếu a , hệ có nghiệm khi: a≠
a −3
⇔a2≠ −6 (ln đúng, a2≥0 với a)
0,25
(19)Do đó, với a , hệ ln có nghiệm
Vậy hệ phương trình cho có nghiệm với a C3 (2,0
điểm) Gọi chiều dài hình chữ nhật cho x (m), với x > Vì chiều rộng nửa chiều dài nên chiều rộng là: x
2 (m)
=> diện tích hình chữ nhật cho là: x.x 2=
x2
2 (m
2)
Nếu giảm chiều m chiều dài, chiều rộng hình chữ nhật là: x −2 va x
2−2 (m)
khi đó, diện tích hình chữ nhật giảm nửa nên ta có phương trình: (x −2)(x
2−2)= 2⋅
x2
2
⇔ x2
2 −2x − x+4=
x2
4 ⇔x
2
−12x+16=0 ………….=> x1=6+2√5 (thoả mãn x>4);
x2=6−2√5 (loại khơng thoả mãn x>4) Vậy chiều dài hình chữ nhật cho 6+2√5 (m)
0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 C4.1 (1,0 điểm)
1) Chứng minh M, B, O, C thuộc đường trịn Ta có: ∠MOB=900 (vì MB tiếp tuyến)
∠MCO=900 (vì MC tiếp tuyến) => ∠ MBO + ∠ MCO =
= 900 + 900 = 1800
=> Tứ giác MBOC nội tiếp (vì có tổng góc đối =1800)
=>4 điểm M, B, O, C thuộc đường tròn
0,25 0,25 0,25 0,25 C4.2 (1,0 điểm)
2) Chứng minh ME = R:
Ta có MB//EO (vì vng góc với BB’) => ∠ O1 = ∠ M1 (so le trong)
Mà ∠ M1 = ∠ M2 (tính chất tiếp tuyến cắt nhau) => ∠ M2 = ∠
O1 (1)
C/m MO//EB’ (vì vng góc với BC) => ∠ O1 = ∠ E1 (so le trong) (2)
Từ (1), (2) => ∠ M2 = ∠ E1 => MOCE nội tiếp => ∠ MEO = ∠ MCO = 900
=> ∠ MEO = ∠ MBO = ∠ BOE = 900 => MBOE hình chữ nhật => ME = OB = R (điều phải chứng minh)
0,25 0,25 0,25 0,25 C4.3 (1,0 điểm)
3) Chứng minh OM=2R K di động đường tròn cố định: Chứng minh Tam giác MBC => ∠ BMC = 600
=> ∠ BOC = 1200
=> ∠ KOC = 600 - ∠ O1 = 600 - ∠ M1 = 600 – 300 = 300 Trong tam giác KOC vng C, ta có:
CosKOC=OC
OK⇒OK=
OC
Cos 300=R:
√3 =
2√3R
3
Mà O cố định, R khơng đổi => K di động đường trịn tâm O, bán kính =
2√3R
3 (điều phải chứng minh)
(20)C5 (1,0 điểm)
3 3
4 4
3 3
4 4
4 4
4 4
4 4
4
a b c
a b c a a b c b a b c c
a b c
a b c
Do đó,
3 3
4 4
4
4
2
4
a b c
0,25 0,25 0,25 0,25
Chú ý: -Câu 4, thừa giả thiết “tia Mx” “điểm A” gây rối -Mỗi câu có cách làm khác
câu
Cach 2: Đặt x = a;y4 b;z4 c=> x, y , z > x4 + y4 + z4 = 4. BĐT cần CM tương đương: x3 + y3 + z3 > 2
hay 2(x3 + y3 + z3 ) > = x4 + y4 + z4 x3( 2-x) + y3( 2-y)+ z3( 2-z) > (*). Ta xét trường hợp:
- Nếu sô x, y, z tồn it nhât sơ 2, giả sử x 2 x3 2 2. Khi đo: x3 + y3 + z3 > 2 2 ( y, z > 0).
- Nếu sô x, y, z nhỏ 2 BĐT(*) ln đung. Vậy x3 + y3 + z3 > 2 2được CM.
Cach 3: Có thể dùng BĐT thức Côsi kết hợp phương pháp làm trội đánh giá cho kết
(21)SỞ GD VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO 10 THPT NĂM HỌC 2012-2013
ĐĂKLĂK MƠN THI : TỐN
Thời gian làm bài: 120 phút,(không kể giao đề) Ngày thi: 22/06/2012
Câu (2,5đ)
1) Giải phương trình:
a) 2x2 – 7x + = 0. b) 9x4 + 5x2 – = 0.
2) Tìm hàm số y = ax + b, biết đồ thị hàm số qua điểm A(2;5) ; B(-2;-3) Câu (1,5đ)
1) Hai ô tô từ A đến B dài 200km Biết vận tốc xe thứ nhanh vận tốc xe thứ hai 10km/h nên xe thứ đến B sớm xe thứ hai Tính vận tốc xe
2) Rút gọn biểu thức:
1
A= x x ;
x
với x ≥ 0.
Câu (1,5 đ)
Cho phương trình: x2 – 2(m+2)x + m2 + 4m +3 = 0.
1) Chứng minh : Phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với giá trị m
2) Tìm giá trị m để biểu thức A = x12x22 đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu (3,5đ)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O (AB < AC) Hai tiếp tuyến B C cắt M AM cắt đường tròn (O) điểm thứ hai D E trung điểm đoạn AD EC cắt đường tròn (O) điểm thứ hai F Chứng minh rằng:
1) Tứ giác OEBM nội tiếp 2) MB2 = MA.MD.
3) BFC MOC . 4) BF // AM Câu (1đ)
Cho hai số dương x, y thõa mãn: x + 2y = Chứng minh rằng:
(22)Bài giải sơ lược: Câu (2,5đ)
1) Giải phương trình: a) 2x2 – 7x + = 0. = (-7)2 – 4.2.3 = 25 > 0
= Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
1
2
7
x
4 x
4
b) 9x4 + 5x2 – = Đặt x2 = t , Đk : t ≥ 0. Ta có pt: 9t2 + 5t – = 0.
a – b + c = t1 = - (không TMĐK, loại) t2 =
4
9 (TMĐK)
t2 =
9 x2 =
9 x =
4
9 3.
Vậy phương trình cho có hai nghiệm: x1,2 =
2) Đồ thị hàm số y = ax + b qua hai điểm A(2;5) B(-2;-3)
2a b a
2a b b
Vậy hàm số càn tìm : y = 2x + Câu
1) Gọi vận tốc xe thứ hai x (km/h) Đk: x > Vận tốc xe thứ x + 10 (km/h)
Thời gian xe thứ quảng đường từ A đến B : 200 x 10 (giờ)
Thời gian xe thứ hai quảng đường từ A đến B : 200
x (giờ)
Xe thứ đến B sớm so với xe thứ hai nên ta có phương trình:
200 200 1 x x 10 Giải phương trình ta có x1 = 40 , x2 = -50 ( loại)
x1 = 40 (TMĐK) Vậy vận tốc xe thứ 50km/h, vận tốc xe thứ hai 40km/h
2) Rút gọn biểu thức:
1 x 1
A x x x x
x x
=
x x x 1
x
= x, với x ≥ 0. Câu (1,5 đ)
Cho phương trình: x2 – 2(m+2)x + m2 + 4m +3 = 0.
1) Chứng minh : Phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với giá trị m
Ta có
2 2
(m 2) m 4m
> với m
(23)E F D A M O C B
2) phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với giá trị m Theo hệ thức
Vi-ét ta có :
1
2
x x 2(m 2) x x m 4m
A = x12x22 = (x1 + x2)2 – x1x2 = 4(m + 2)2 – 2(m2 + 4m +3) = 2m2 + 8m+ 10 = 2(m2 + 4m) + 10
= 2(m + 2)2 + ≥ với m. Suy minA = m + = m = -
Vậy với m = - A đạt = Câu
1) Ta có EA = ED (gt) OE AD ( Quan hệ đường kính dây) OEM = 900; OBM = 900 (Tính chất tiếp tuyến)
E B nhìn OM góc vng Tứ giác OEBM nội tiếp. 2) Ta có
MBD
sđ BD ( góc nội tiếp chắn cung BD)
MAB
sđ BD ( góc tạo tia tiếp tuyến dây cung chắn cung BD) MBD MAB Xét tam giác MBD tam giác MAB có:
Góc M chung, MBD MAB MBDđồng dạng với MAB
MB MD MA MB MB2 = MA.MD
3) Ta có:
MOC BOC=
2sđ BC
( Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau);
BFC
sđ BC (góc nội tiếp) BFC MOC .
4) Tứ giác MFOC nội tiếp ( F C = 1800) MFC MOC ( hai góc nội tiếp chắn cung MC), mặt khác MOC BFC (theo câu 3) BFC MFC BF // AM.
Câu
2
2 a b
a b
x y x y
Ta có x + 2y = x = – 2y , x dương nên – 2y > 0 Xét hiệu
1 x y =
2
1 3 y 4y 3y(3 2y) 6(y 1)
3 2y y y(3 2y) y(3 2y)
≥ ( y > – 2y > 0)
1 3
x 2y dấu “ =” xãy
x 0,y x 0,y
x
x 2y x
y
y y
(24)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG
KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2012- 2013
Môn thi: TỐN (khơng chun) Thời gian làm bài: 120 phút Ngày thi 19 tháng năm 2012
Đề thi gồm : 01 trang Câu I (2,0 điểm)
1) Giải phương trình
1
x x
2) Giải hệ phương trình
3 3
3 11
x
x y
.
Câu II ( 1,0 điểm)
Rút gọn biểu thức
1 a +
P = + :
2 a - a - a a - a
với a > a 4 . Câu III (1,0 điểm)
Một tam giác vng có chu vi 30 cm, độ dài hai cạnh góc vng 7cm Tính độ dài cạnh tam giác vng
Câu IV (2,0 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d):y = 2x - m +1 parabol (P):
2
1 y = x
2 .
1) Tìm m để đường thẳng (d) qua điểm A(-1; 3)
2) Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt có tọa độ (x1; y1) (x2; y2) cho
1 2
x x y + y 48 0
Câu V (3,0 điểm)
Cho đường tròn tâm O đường kính AB Trên đường trịn lấy điểm C cho AC < BC (C A) Các tiếp tuyến B C (O) cắt điểm D, AD cắt (O) E (E A)
1) Chứng minh BE2 = AE.DE.
2) Qua C kẻ đường thẳng song song với BD cắt AB H, DO cắt BC F Chứng minh tứ giác CHOF nội tiếp
3) Gọi I giao điểm AD CH Chứng minh I trung điểm CH Câu VI ( 1,0 điểm)
Cho số dương a, b thỏa mãn 1
2
a b Tìm giá trị lớn biểu thức
2 2
1
2
Q
a b ab b a ba
.
-Hết -Họ tên thí sinh……… Số báo danh……… ………… Chữ kí giám thị 1: ……….……… Chữ kí giám thị 2: ………
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
(25)HẢI DƯƠNG NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2012 - 2013 HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TỐN (khơng chun)
Hướng dẫn chấm gồm : 02 trang I) HƯỚNG DẪN CHUNG.
- Thí sinh làm theo cách riêng đáp ứng yêu cầu cho đủ điểm - Việc chi tiết điểm số (nếu có) so với biểu điểm phải thống Hội đồng chấm - Sau cộng điểm toàn bài, điểm lẻ đến 0,25 điểm
II) ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM.
Câu Nội dung Điể
m Câu I (2,0đ)
1) 1,0 điểm
1 3( 1)
3
x
x x x
0,25
1 3
x x
0,25
2x
0,25
2
x
.Vậy phương trình cho có nghiệm x = -2 0,25 2) 1,0 điểm 3 3 0(1)
3 11 (2)
x x y
Từ (1)=>x 3 3
0,25
<=>x=3 0,25
Thay x=3 vào (2)=>3.3 2 y11 <=>2y=2 0,25 <=>y=1 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x;y)=(3;1) 0,25 Câu II (1,0đ)
1 a +1
P= + :
2- a a 2- a a a
0,25
1+ a
=
a (2 ) a +1
a a a 0,25
a a =
a 2- a
0,25 a = 2- a =-1 0,25 Câu III (1,0đ)
Gọi độ dài cạnh góc vng nhỏ x (cm) (điều kiện 0< x < 15) => độ dài cạnh góc vng cịn lại (x + )(cm)
Vì chu vi tam giác 30cm nên độ dài cạnh huyền 30–(x + x +7)= 23–2x (cm)
0,25
Theo định lí Py –ta- go ta có phương trình x + (x + 7) = (23 - 2x)2 2 0,25
2
x - 53x + 240 =
(1) Giải phương trình (1) nghiệm x = 5; x = 48 0,25 Đối chiếu với điều kiện có x = (TM đk); x = 48 (khơng TM đk)
Vậy độ dài cạnh góc vng 5cm, độ dài cạnh góc vng cịn lại 12 cm, độ dài cạnh huyền 30 – (5 + 12) = 13cm
0,25
Câu IV (2,0đ)
1) 1,0 điểm Vì (d) qua điểm A(-1; 3) nên thay x = -1 y = vào hàm số y = 2x – m + ta có
2.(-1) – m +1 = 0,25
-1 – m = 0,25
m = -4 0,25
Vậy m = -4 (d) qua điểm A(-1; 3) 0,25
2) 1,0 điểm
Hoành độ giao điểm (d) (P) nghiệm phương trình
2
1
x
2 x m
0,25
2
x 4x 2m (1)
(26)nghiệm phân biệt ' 2m 0 m3
Vì (x1; y1) (x2; y2) tọa độ giao điểm (d) (P) nên x1; x2 nghiệm phương trình (1) y = 21 x1 m1,y = 22 x2 m1
Theo hệ thức Vi-et ta có x + x = 4, x x = 2m-21 2 Thay y1,y2 vào
1 2
x x y +y 48 0
có x x 2x +2x -2m+21 2 48 0
(2m - 2)(10 - 2m) + 48 =
0,25
2
m - 6m - =
m=-1(thỏa mãn m<3) m=7(không thỏa mãn m<3) Vậy m = -1 thỏa mãn đề
0,25 Câu V (3,0đ)
1) 1,0 điểm Vẽ hình theo yêu cầu chung đề 0,25
VìBD tiếp tuyến (O) nên BD OB => ΔABD vuông B 0,25
Vì AB đường kính (O) nên AE BE 0,25
Áp dụng hệ thức lượng ΔABD (ABD=90 0;BE AD) ta có BE2 = AE.DE 0,25 2) 1,0 điểm
Có DB= DC (t/c hai tiếp tuyến cắt nhau), OB = OC (bán kính (O))
=> OD đường trung trực đoạn BC => OFC=90 (1)
0,25
Có CH // BD (gt), mà AB BD (vì BD tiếp tuyến (O)) 0,25 => CH AB => OHC=90 0 (2) 0,25 Từ (1) (2) ta có OFC + OHC = 180 => tứ giác CHOF nội tiếp 0,25 3)1,0 điểm Có CH //BD=>HCB=CBD
(hai góc vị trí so le trong) mà ΔBCD cân D => CBD DCB
nên CB tia phân giác HCD
0,25
do CA CB => CA tia phân giác góc ngồi đỉnh C ΔICD
AI CI
= AD CD
(3)
0,25
Trong ΔABDcó HI // BD =>
AI HI
=
AD BD (4)
0,25
Từ (3) (4) =>
CI HI
=
CD BD mà CD=BD CI=HI I trung điểm CH
0,25 Câu VI
(1,0đ) Với a0;b0ta có:
2 2 2
(a b) 0 a 2a b b 0 a b 2a b
4 2 2 2
a b ab a b ab
2
1
(1)
2
a b ab ab a b
(27)Tương tự có 2
1
(2)
2
b a a b ab a b Từ (1) (2)
1
Q
ab a b
0,25
Vì 1
2 a b 2ab
a b mà a b 2 ab ab1
1
2( )
Q
ab
0,25
Khi a = b =
1
Q
Vậy giá trị lớn biểu thức
(28)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TUYÊN QUANG
Đề thức
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT Năm học 2011 - 2012
MƠN THI: TỐN
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề có 01 trang
Câu (3,0 điểm)
a) Giải phương trình:
2 6 9 0
x x
b) Giải hệ phương trình:
4 3 6
3 4 10
x y
y x
c) Giải phương trình:
2 6 9 2011
x x x Câu (2,5 điểm)
Một ca nơ chạy xi dịng từ A đến B chạy ngược dòng từ B đến A hết tất Tính vận tốc ca nô nước yên lặng, biết quãng sông AB dài 30 km vận tốc dòng nước km/giờ
Câu (2,5 điểm)
Trên đường tròn (O) lấy hai điểm M, N cho M, O, N không thẳng hàng Hai tiếp tuyến M , N với đường tròn (O) cắt A Từ O kẻ đường vng góc với OM cắt AN S Từ A kẻ đường vng góc với AM cắt ON I Chứng minh:
a) SO = SA
b) Tam giác OIA cân Câu (2,0 điểm)
a) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x2 + 2y2 + 2xy + 3y – = 0
b) Cho tam giác ABC vuông A Gọi I giao điểm đường phân giác Biết AB = cm, IC = cm Tính BC
(29)-Hướng dẫn chấm, biểu điểm MƠN THI: TỐN CHUNG
Nội dung Điểm
Câu (3,0 điểm)
a) Giải phương trình:
2 6 9 0
x x 1,0
Bài giải: Ta có ' ( 3)2 0 0,5 Phương trình có nghiệm:
6
x
0,5
b) Giải hệ phương trình:
4 (1)
3 10 (2)
x y
y x
1,0
Bài giải: Cộng (1) (2) ta có: 4x - 3y + 3y + 4x = 16 8x = 16 x = 2 0,5
Thay x = vào (1): – 3y = y =
3 Tập nghiệm:
2
x y
0,5
c) Giải phương trình:
2 6 9 2011
x x x
(3)
1,0
Bài giải: Ta có
2 6 9 3 3
x x x x 0,5
Mặt khác:
2 6 9 0 2011 0 2011 3 3
x x x x x x
Vậy: (3) x 3 x 2011 3 2011 Phương trình vơ nghiệm
0,5 Câu (2,5 điểm )Một ca nô chạy xi dịng từ A đến B chạy ngược dịng từ B đến A hết tất Tính vận tốc ca nô nước yên lặng, biết qng sơng AB dài 30 km vận tốc dịng nước km/giờ.
2,5
Bài giải: Gọi vận tốc ca nô nước yên lặng x km/giờ ( x > 4) 0,5 Vận tốc ca nơ xi dịng x +4 (km/giờ), ngược dòng x - (km/giờ) Thời gian ca nơ xi dịng từ A đến B
30
x giờ, ngược dòng từ B đến A
30
x giờ.
0,5
Theo ta có phương trình:
30 30
4
4
x x (4) 0,5
2
(4) 30(x 4)30(x4) 4(x4)(x 4) x 15x 16 0 x1
hoặc x = 16 Nghiệm x = -1 <0 nên bị loại 0,5
(30)A
S
O N
M
I 0,5
a) Chứng minh: SA = SO 1,0
Vì AM, AN tiếp tuyến nên: MAO SAO (1) 0,5 Vì MA//SO nên: MAO SOA (so le trong) (2) 0,5 Từ (1) (2) ta có: SAO SOA SAO cân SA = SO (đ.p.c.m)
b) Chứng minh tam giác OIA cân 1,0 Vì AM, AN tiếp tuyến nên: MOA NOA (3) 0,5 Vì MO//AI nên: MOA OAI (so le trong) (4) 0,5 Từ (3) (4) ta có: IOA IAO OIA cân (đ.p.c.m)
Câu (2,0 điểm)
a) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x2 + 2y2 + 2xy + 3y – = (1) 1,0
Bài giải: (1) (x2 + 2xy + y2) + (y2 + 3y – 4) = 0
0,5 (x+ y)2 + (y - 1)(y + 4) = 0
(y - 1)(y + 4) = - (x+ y)2 (2)
Vì - (x+ y)2 với x, y nên: (y - 1)(y + 4) -4 y 1
0,5 Vì y nguyên nên y 4; 3; 2; 1; 0; 1
Thay giá trị nguyên y vào (2) ta tìm cặp nghiệm nguyên (x; y) PT cho là: (4; -4), (1; -3), (5; -3), ( -2; 0), (-1; 1)
b) Cho tam giác ABC vuông A Gọi I giao điểm đường phân giác Biết AB = cm, IC = cm Tính BC.
0,5
5
x
D
B
A
C I
E
Bài giải:
Gọi D hình chiếu vng góc C đường thẳng BI, E giao điểm AB CD.BIC có DIC góc ngồi
nên: DIC =
0
( ) 90 : 45
IBC ICB B C
DIC vuông cân DC = : Mặt khác BD đường phân giác
Gọi x = BC = BE (x > 0) Áp dụng định lý Pi-ta-go vào tam giác vuông ABC ACE ta có: AC2 = BC2 – AB2 = x2 – 52= x2 -25
EC2 = AC2 + AE2 = x2 -25 + (x – 5)2 = 2x2 – 10x (12: 2)2 = 2x2 – 10x
x2 - 5x – 36 =
Giải phương trình ta có nghiệm x = thoả mãn Vậy BC = (cm)
O,5
(31)(32)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
HÀ NỘI Năm học: 2012 – 2013
ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn thi: Toán
Ngày thi: 21 tháng năm 2012 Thời gian làm bài: 120 phút Bài I (2,5 điểm)
1) Cho biểu thức
x A
x
Tính giá trị A x = 36
2) Rút gọn biểu thức
x x 16
B :
x x x
(với x 0; x 16 )
3) Với biểu thức A B nói trên, tìm giá trị x nguyên để giá trị biểu thức B(A – 1) số nguyên
Bài II (2,0 điểm) Giải tốn sau cách lập phương trình hệ phương trình: Hai người làm chung cơng việc
12
5 xong Nếu người làm một người thứ hồn thành cơng việc người thứ hai Hỏi làm người phải làm thời gian để xong công việc?
Bài III (1,5 điểm)
1) Giải hệ phương trình:
2
x y
6 x y
2) Cho phương trình: x2 – (4m – 1)x + 3m2 – 2m = (ẩn x) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn điều kiện : x12x22 7
Bài IV (3,5 điểm)
Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB Bán kính CO vng góc với AB, M điểm cung nhỏ AC (M khác A, C); BM cắt AC H Gọi K hình chiếu H AB
1) Chứng minh CBKH tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh ACM ACK
3) Trên đọan thẳng BM lấy điểm E cho BE = AM Chứng minh tam giác ECM tam giác vuông cân C
4) Gọi d tiếp tuyến (O) điểm A; cho P điểm nằm d cho hai điểm P, C nằm nửa mặt phẳng bờ AB
AP.MB R
MA Chứng minh đường thẳng PB qua trung điểm đoạn thẳng HK
Bài V (0,5 điểm) Với x, y số dương thỏa mãn điều kiện x 2y , tìm giá trị nhỏ biểu thức:
2
x y
M
xy
……….Hết……… Lưu ý: Giám thị khơng giải thích thêm.
(33)GỢI Ý – ĐÁP ÁN Bài I: (2,5 điểm)
1) Với x = 36, ta có : A =
36 10
8
36
2) Với x , x 16 ta có :
B =
x( x 4) 4( x 4) x
x 16 x 16 x 16
=
(x 16)( x 2) x (x 16)(x 16) x 16
3) Ta có:
2 2
( 1)
16 16 16
x x x
B A
x x x x x
.
Để B A( 1) nguyên, x nguyên x16 ước 2, mà Ư(2) = 1;
Ta có bảng giá trị tương ứng:
16
x 1 2
x 17 15 18 14
Kết hợp ĐK x0, x16, để B A( 1) nguyên x14; 15; 17; 18 Bài II: (2,0 điểm)
Gọi thời gian người thứ hồn thành xong cơng việc x (giờ), ĐK
12
x Thì thời gian người thứ hai làm xong cơng việc x + (giờ)
Mỗi người thứ làm
1
x(cv), người thứ hai làm được
1
x (cv) Vì hai người làm xong công việc
12
5 giờ nên hai đội làm được 12 1: = 12 (cv)
Do ta có phương trình
1
x x 12
2
( 2) 12
x x
x x
5x2 – 14x – 24 =
’ = 49 + 120 = 169, , 13 =>
7 13
5
x
(loại)
7 1320 4 5
x
(TMĐK) Vậy người thứ làm xong công việc giờ,
người thứ hai làm xong công việc 4+2 =
Bài III: (1,5 điểm) 1)Giải hệ:
2 x y x y
, (ĐK: x y, 0).
Hệ
4 10
4
2
2 2
6
2
1
x
x
x y x x x
y y
x y x y
x y .(TMĐK)
(34)2) + Phương trình cho có = (4m – 1)2 – 12m2 + 8m = 4m2 + > 0, m Vậy phương trình có nghiệm phân biệt m
+ Theo ĐL Vi –ét, ta có:
1
2
4
x x m
x x m m
Khi đó: x12 x22 7 (x1x2)2 2x x1 7
(4m – 1)2 – 2(3m2 – 2m) = 10m2 – 4m – = 5m2 – 2m – = Ta thấy tổng hệ số: a + b + c = => m = hay m =
3
Trả lời: Vậy
Bài IV: (3,5 điểm)
1) Ta có HCB900( chắn nửa đường tròn đk AB) 900
HKB (do K hình chiếu H AB)
=> HCB HKB 1800 nên tứ giác CBKH nội tiếp đường trịn đường kính HB. 2) Ta có ACM ABM (do chắn AM (O))
và ACK HCK HBK (vì chắn HK.của đtròn đk HB) Vậy ACM ACK
3) Vì OC AB nên C điểm cung AB AC = BC sd AC sd BC 900 Xét tam giác MAC EBC có
MA= EB(gt), AC = CB(cmt) MAC = MBC chắn cung MC (O) MAC EBC (cgc) CM = CE tam giác MCE cân C (1)
Ta lại có CMB 450(vì chắn cung CB 900)
CEM CMB 450(tính chất tam giác MCE cân C)
Mà CME CEM MCE 1800(Tính chất tổng ba góc tam giác)MCE 900 (2) Từ (1), (2) tam giác MCE tam giác vuông cân C (đpcm)
A B
C M
H
(35)
4) Gọi S giao điểm BM đường thẳng (d), N giao điểm BP với HK Xét PAM OBM :
Theo giả thiết ta có
AP MB AP OB
R
MA MAMB (vì có R = OB)
Mặt khác ta có PAM ABM (vì chắn cung AM của (O))
PAM ∽ OBM 1
AP OB
PA PM
PM OM .(do OB = OM = R) (3)
Vì AMB900(do chắn nửa đtròn(O)) AMS900
tam giác AMS vuông M PAM PSM 900
PMA PMS900 PMS PSM PSPM(4)
Mà PM = PA(cmt) nên PAMPMA
Từ (3) (4) PA = PS hay P trung điểm AS
Vì HK//AS (cùng vng góc AB) nên theo ĐL Ta-lét, ta có:
NK BN HN
PA BP PS hay
NK HN
PA PS
mà PA = PS(cmt) NKNH hay BP qua trung điểm N HK (đpcm) Bài V: (0,5 điểm)
Cách 1(khơng sử dụng BĐT Co Si) Ta có M =
2 ( 4 4 ) 42 3 ( 2 )2 4 3
x y x xy y xy y x y xy y
xy xy xy
=
2
( )
4
x y y
xy x
Vì (x – 2y)2 ≥ 0, dấu “=” xảy x = 2y x ≥ 2y
1 3
2
y y
x x
, dấu “=” xảy x = 2y Từ ta có M ≥ +
-3 2=
5
2, dấu “=” xảy x = 2y Vậy GTNN M
5
2, đạt x = 2y
A B
C M
H
K O
S
P E
(36)Cách 2: Ta có M =
2 2 3
( )
4
x y x y x y x y x
xy xy xy y x y x y
Vì x, y > , áp dụng bdt Co si cho số dương ;
x y
y x ta có 4
x y x y
y x y x ,
dấu “=” xảy x = 2y Vì x ≥ 2y
3
2
4
x x
y y , dấu “=” xảy x = 2y
Từ ta có M ≥ + 2=
5
2, dấu “=” xảy x = 2y Vậy GTNN M
5
2, đạt x = 2y Cách 3:
Ta có M =
2 2 4 3
( )
x y x y x y x y y
xy xy xy y x y x x
Vì x, y > , áp dụng bdt Co si cho số dương ;
x y
y x ta có
4
2
x y x y
y x y x ,
dấu “=” xảy x = 2y Vì x ≥ 2y
1 3
2
y y
x x
, dấu “=” xảy x = 2y Từ ta có M ≥
4-3 2=
5
2, dấu “=” xảy x = 2y Vậy GTNN M
5
2, đạt x = 2y Cách 4:
Ta có M =
2 2 2
2 2
2 3 3
4 4 4
4
x x x x x
y y y y
x y x x
xy xy xy xy xy xy y
Vì x, y > , áp dụng bdt Co si cho số dương
2 ; x y ta có 2
2 2 .
4
x x
y y xy
, dấu “=” xảy x = 2y
Vì x ≥ 2y
3
2
4
x x
y y , dấu “=” xảy x = 2y
Từ ta có M ≥
xy xy +
3 2= 1+
3 2=
5
2, dấu “=” xảy x = 2y Vậy GTNN M
5
(37)(38)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT TP.HCM Năm học: 2012 – 2013
ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN: TỐN
Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: (2 điểm)
Giải phương trình hệ phương trình sau: a) 2x2 x 0
b)
2
3
x y
x y
c) x4x212 0 d) x2 2x 0 Bài 2: (1,5 điểm)
a) Vẽ đồ thị (P) hàm số
2
1
y x
đường thẳng (D):
1 2
y x
hệ trục toạ độ
b) Tìm toạ độ giao điểm (P) (D) câu phép tính Bài 3: (1,5 điểm)
Thu gọn biểu thức sau:
1
1
x A
x
x x x x với x > 0; x1
(2 3) 26 15 (2 3) 26 15
B
Bài 4: (1,5 điểm)
Cho phương trình x2 2mx m 0 (x ẩn số)
Chứng minh phương trình ln ln có nghiệm phân biệt với m Gọi x1, x2 nghiệm phương trình
Tìm m để biểu thức M = 12 22
24
x x x x đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 5: (3,5 điểm)
Cho đường trịn (O) có tâm O điểm M nằm ngồi đường trịn (O) Đường thẳng MO cắt (O) E F (ME<MF) Vẽ cát tuyến MAB tiếp tuyến MC (O) (C tiếp điểm, A nằm hai điểm M B, A C nằm khác phía đường thẳng MO)
Chứng minh MA.MB = ME.MF
Gọi H hình chiếu vng góc điểm C lên đường thẳng MO Chứng minh tứ giác AHOB nội tiếp
Trên nửa mặt phẳng bờ OM có chứa điểm A, vẽ nửa đường trịn đường kính MF; nửa đường tròn cắt tiếp tuyến E (O) K Gọi S giao điểm hai đường thẳng CO KF Chứng minh đường thẳng MS vng góc với đường thẳng KC
(39)BÀI GIẢI Bài 1: (2 điểm)
Giải phương trình hệ phương trình sau: a) 2x2 x 0 (a)
Vì phương trình (a) có a - b + c = nên (a)
3
2
x hay x
b)
2 (1)
3 (2)
x y
x y
2 (1)
5 (3) ((2) (1) )
x y
x y
13 13 ((1) 2(3))
5 (3) ((2) (1) )
y
x y
1
y x
c) x4x212 0 (C)
Đặt u = x2 0, phương trình thành : u2 + u – 12 = (*) (*) có = 49 nên (*)
1
u
hay
1
u
(loại) Do đó, (C) x2 = x =
Cách khác : (C) (x2 – 3)(x2 + 4) = x2 = x = d) x2 2x 0 (d)
’ = + = (d) x = 3 Bài 2:
a) Đồ thị:
Lưu ý: (P) qua O(0;0), 2;1 , 4;4 (D) qua 4;4 , 2;1
b) PT hoành độ giao điểm (P) (D)
2
1
2
4x 2x x2 + 2x – = x4 hay x2 y(-4) = 4, y(2) =
(40)1 1 x A x
x x x x
2
x x x x x
x x x
2
( 1)
x x
x x x
2 1 x x x
2 ( 1)
( 1) x x x x
x với x > 0; x1
(2 3) 26 15 (2 3) 26 15
B
1
(2 3) 52 30 (2 3) 52 30
2
2
1
(2 3) (3 5) (2 3) (3 5)
2
1
(2 3)(3 5) (2 3)(3 5)
2
Câu 4:
a/ Phương trình (1) có ∆’ = m2 - 4m +8 = (m - 2)2 +4 > với m nên phương trình (1) có nghiệm phân biệt với m
b/ Do đó, theo Viet, với m, ta có: S =
b m a
; P =
c m a
M = 2
24
( )
x x x x = 2
24
4 16
m m m m
2
6
( 1)
m Khi m = ta có ( 1)2 3
m nhỏ nhất
2
6
( 1)
M
m lớn m = 1
6
( 1)
M
m nhỏ m = 1
Vậy M đạt giá trị nhỏ - m = Câu
(41)
Nên
MA MF
ME MB MA.MB = ME.MF (Phương tích M đường tròn tâm O)
Do hệ thức lượng đường trịn ta có MA.MB = MC2, mặt khác hệ thức lượng tam giác vuông MCO ta có MH.MO = MC2 MA.MB = MH.MO nên tứ giác AHOB nội tiếp đường tròn
Xét tứ giác MKSC nội tiếp đường tròn đường kính MS (có hai góc K C vng).Vậy ta có : MK2 = ME.MF = MC2 nên MK = MC Do MS đường trung trực KC nên MS vng góc với KC V
Do hệ thức lượng tam giác MCS ta có MC2 = MV MS => MA.MB = MV.MS nên S,V thuộc đường tròn tâm Q
(42)(43)(44)(45)(46)(47)(48)(49)SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN LAM SƠN
THANH HOÁ NĂM HỌC 2012 - 2013
ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn thi : TỐN
(Đề gồm có 01 trang) (Mơn chung cho tất cảc thí sinh)
Thời gian làm :120 phút (Không kể thời gian giao đề) Ngày thi : 17 tháng năm 2012 Câu 1: (2.0 điểm ) Cho biểu thức :
1 1
4
1
a a
P a
a a a a
, (Với a > , a 1) Chứng minh :
2
P a
Tìm giá trị a để P = a
Câu (2,0 điểm ) : Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho Parabol (P) : y = x2 đường thẳng (d) : y = 2x +
1 Chứng minh (d) (P) có hai điểm chung phân biệt
2 Gọi A B điểm chung (d) (P) Tính diện tích tam giác OAB ( O gốc toạ độ)
Câu (2.0 điểm) : Cho phương trình : x2 + 2mx + m2 – 2m + = 0 Giải phương trình m =
2 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
Câu (3.0 điểm) : Cho đường trịn (O) có đờng kính AB cố định, M điểm thuộc (O) ( M khác A B ) Các tiếp tuyến (O) A M cắt C Đường tròn (I) qua M tiếp xúc với đường thẳng AC C CD đờng kính (I) Chứng minh rằng:
1 Ba điểm O, M, D thẳng hàng Tam giác COD tam giác cân
3 Đờng thẳng qua D vng góc với BC ln qua điểm cố định M di động đường tròn (O)
Câu (1.0 điểm) : Cho a,b,c số dương không âm thoả mãn : a2b2c2 3
Chứng minh : 2
1
2 3
a b c
a b b c c a
(50)-BÀI GIẢI
CÂU NỘI DUNG ĐIỂM
1
1 Chứng minh :
2 P a
1 1
4
1
a a
P a
a a a a
2
1 1 1
1
a a a a a
P a a a a
2 4
1
a a a a a a a
P a a a a
4
1
a a P
a a a a
(ĐPCM)
1.0
2 Tìm giá trị a để P = a P = a =>
2
2
2
1 a a a
a
Ta có + + (-2) = 0, nên phương trình có nghiệm a1 = -1 < (không thoả mãn điều kiện) - Loại
a2 = 2 c a
(Thoả mãn điều kiện) Vậy a = P = a
1.0
2 Chứng minh (d) (P) có hai điểm chung phân biệt
Hồnh độ giao điểm đường thẳng (d) Parabol (P) nghiệm phương trình x2 = 2x + => x2 – 2x – = có a – b + c = 0
Nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = -1 x2 =
3 c a
Với x1 = -1 => y1 = (-1)2 = => A (-1; 1) Với x2 = => y2 = 32 = => B (3; 9)
Vậy (d) (P) có hai điểm chung phân biệt A B
1.0
2 Gọi A B điểm chung (d) (P) Tính diện tích tam giác OAB ( O gốc toạ độ)
Ta biểu diễn điểm A B mặt phẳng toạ độ Oxy hình vẽ
1 D C B A -1
.4 20
2
ABCD
AD BC
S DC
(51)9.3 13,5
2
BOC
BC CO
S
1.1
0,5
2
AOD
AD DO
S
Theo cơng thức cộng diện tích ta có: S(ABC) = S(ABCD) - S(BCO) - S(ADO)
= 20 – 13,5 – 0,5 = (đvdt)
3
1 Khi m = 4, ta có phương trình
x2 + 8x + 12 = có ’ = 16 – 12 = > 0 Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = - + = - x2 = - - = -
1.0
2 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x2 + 2mx + m2 – 2m + = 0
Có D’ = m2 – (m2 – 2m + 4) = 2m – 4
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt D’ > => 2m – > => 2(m – 2) > => m – > => m > Vậy với m > phương trình có hai nghiệm phân biệt
1.0
4
1 2
N K
H
D I
C
O
A B
M
1 Ba điểm O, M, D thẳng hàng:
Ta có MC tiếp tuyến đường tròn (O) MC MO (1) Xét đường trịn (I) : Ta có CMD 900 MC MD (2) Từ (1) (2) => MO // MD MO MD trùng O, M, D thẳng hàng
1.0
2 Tam giác COD tam giác cân
CA tiếp tuyến đường tròn (O) CA AB(3) Đờng tròn (I) tiếp xúc với AC C CA CD(4) Từ (3) (4) CD // AB => DCO COA (*) ( Hai góc so le trong)
CA, CM hai tiếp tuyến cắt (O) COA COD (**) Từ (*) (**) DOC DCO Tam giác COD cân D
1.0
3 Đường thẳng qua D vng góc với BC ln qua điểm cố định M di động đờng tròn (O)
* Gọi chân đường vng góc hạ từ D tới BC H CHD 900 H (I) (Bài tốn quỹ tích)
DH kéo dài cắt AB K
Gọi N giao điểm CO đường tròn (I)
(52)=>
900
can tai D
CND NC NO
COD
Ta có tứ giác NHOK nội tiếp
Vì có H O1DCO ( Cùng bù với góc DHN) NHO NKO 1800(5)
* Ta có : NDH NCH (Cùng chắn cung NH đường tròn (I))
CBO HND HCD
DHN COB (g.g)
HN OB
HD OC
OB OA HN ON
OC OC HD CD
OA CN ON
OC CD CD
Mà ONH CDH
NHO DHC (c.g.c)
NHO900 Mà NHO NKO 1800(5) NKO900, NK AB NK // AC K trung điểm OA cố định (ĐPCM)
5 Câu (1.0 điểm) : Cho a,b,c số dơng không âm thoả mãn :
2 2 3
a b c
Chứng minh : 2
1
2 3
a b c
a b b c c a
* C/M bổ đề:
2
2 a b
a b
x y x y
2
2 2 a b c
a b c
x y x x y z
Thật 2 2
2 0
a b
a b
a y b x x y xy a b ay bx
x y x y
(Đúng) ĐPCM
Áp dụng lần , ta có:
2
2 2 a b c
a b c
x y x x y z
* Ta có : a22b 3 a22b 1 2a2b2, tương tự Ta có: …
2 2 3 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2
a b c a b c
A
a b b c c a a b b c c a
1
(1)
2 1
B
a b c
A
a b b c c a
Ta chứng minh 1 1
a b c
a b b c c a
(53)
2 2
3
1 1
1 1
1 1
2
1 1
1 1
2
1 1
1 1
2 (2)
1 1 1
B
a b c
a b b c c a
b c a
a b b c c a
b c a
a b b c c a
b c a
a b b b c c c a a
* Áp dụng Bổ đề ta có:
3
1 1 1
a b c B
a b b b c c c a a
2
2 2
3
3 (3)
3( )
a b c B
a b c ab bc ca a b c
* Mà:
2 2
2 2
2 2 2
2 2
2 2
3( )
2 2 2 6 6
2 2 2 6 6 ( : 3)
2 2 6
3
3
3( )
a b c ab bc ca a b c
a b c ab bc ca a b c
a b c ab bc ca a b c Do a b c
a b c ab bc ca a b c
a b c
a b c
a b c ab bc ca a b c
32 (4)
Từ (3) (4) (2)