a Chứng minh rằng OA.OK không đổi, từ đó suy ra BC luôn đi qua một điểm cố định.. b Chứng minh rằng H di động trên một đường tròn cố định..[r]
(1)PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÂM THAO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học 2012 - 2013 Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: (3,0 điểm): M x x x x 1 x x x x Cho a) Tìm điều kiện để M có nghĩa b) Rút gọn M (với điều kiện M có nghĩa) Bài : (4,5 điểm) a) Tính : A 48 10 b) Giải phương trình : x 10 x x 12 x 40 Bài (4,0 điểm) a) Tìm các số nguyên x; y thỏa mãn: y xy 3x 0 2012 n2002 b) Tìm số tự nhiên n để: A n là số nguyên tố Bài 4: (3,5 điểm) Cho đường tròn (O;R) và điểm A ngoài đường tròn Từ điểm M di động trên đường thẳng d vuông góc với OA A Vẽ các tiếp tuyến MB, MC với đường tròn (O;R), đó B, C là các tiếp điểm Dây BC cắt OM và OA H và K a) Chứng minh OA.OK không đổi, từ đó suy BC luôn qua điểm cố định b) Chứng minh H di động trên đường tròn cố định Bài 5: (5,0 điểm ) Cho hình vuông ABCD Trên cạnh BC lấy điểm M, trên cạnh CD lấy điểm N Tia AM cắt đường thẳng CD K Kẻ AI vuông góc với AK cắt CD I 1 2 AK AB Chứng minh : AM Biết góc MAN có số đo 450, CM + CN = cm, CM - CN = cm Tính diện tích tam giác AMN Từ điểm O tam giác AIK kẻ OP, OQ, OR vuông góc với IK, 2 AK, AI (P IK, Q AK, R AI) Xác định vị trí điểm O để OP OQ OR nhỏ Tìm giá trị nhỏ đó _ Hä vµ tªn thÝ sinh: Sè b¸o danh : Phßng thi Chó ý: C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm (2) PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÂM THAO HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học 2012 - 2013 MÔN: Toán M x x x x 1 x x x x Bài 1: (3,0 điểm): Cho a Tìm điều kiện để M có nghĩa (1,0 đ) Để M có nghĩa, ta có: x 0 x x 0 x x 0 0,5 x 0 x ( x 1) 0 x x ( x 1) 0 x 1 0,5 b Rút gọn M (với điều kiện M có nghĩa) (2,0 đ) Với x > 0, ta có: (x x 1)(x x ) (x x 1)(x x ) x2 x x2 x x2 x x x2 x x2 x x x2 x = 2x 2x = x x M 0,5 0,5 0,5 2(x x) x x = Vậy M = 0,5 Bài : (4,5 điểm) a) (2 điểm) Tính : Ta có : A 48 10 3 A 48 10 A 48 10 A 5 0.5 3 0.5 0.5 A 28 10 A 5 0.5 0.5 = b) (2 điểm) Giải phương trình : Điều kiện : x 10 25 = 3 x 10 x x 12 x 40 (3) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm x 10 x Ta có : x 10 x x 10 x 2 2 = 0,5 0,5 x 4 x 6 x 6 10 x x Dấu “ = ” xảy (1) 2 x 12 x 40 x 12 x 36 x 4 0,5 Mặt khác : Dấu “=” xảy x 0 x 6 (2) Kết hợp (1) và (2) Phương trình có nghiệm là : x 6 0.5 Bài (4,0 điểm) a) (2 điểm) Tìm các số nguyên x; y thỏa mãn: y xy 3x 0 y xy 3x 0 x xy y x 3x ( x y ) ( x 1)( x 2) (*) VT (*) là số chính phương; VP (*) là tích số nguyên liên tiếp x 0 x y 1 nên phải có số x 0 x y 2 Vậy có cặp số nguyên ( x; y ) ( 1;1) ( x; y ) ( 2; 2) n A n 2012 n2002 b) (2 điểm) Tìm số tự nhiên để: 0,5 1,0 0,5 là số nguyên tố Xét n 0 thì A = không phải nguyên tố; n 1 thì A = nguyên tố Xét n > 1: A = n2012 – n2 + n2002 – n + n2 + n + = n2((n3)670 – 1) + n.((n3)667 – 1) + (n2 + n + 1) Mà (n3)670 – 1) chia hết cho n3 -1, suy (n3)670 – 1) chia hết cho n2 + n + Tương tự: (n3)667 – chia hết cho n2 + n + Vậy A chia hết cho n2 + n + 1>1 nên A là hợp số Số tự nhiên cần tìm n = 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 0.5 Bài 4: (3,5 điểm) Cho đường tròn (O;R) và điểm A ngoài đường tròn Từ điểm M di động trên đường thẳng d vuông góc với OA A Vẽ các tiếp tuyến MB, MC với đường tròn (O;R), đó B, C là các tiếp điểm Dây BC cắt OM và OA H và K a) Chứng minh OA.OK không đổi, từ đó suy BC luôn qua điểm cố định b) Chứng minh H di động trên đường tròn cố định B M H A O K A C d Chỉ ΔHOK ~ ΔAOM (g-g) => OH OA = OK => OA.OK = OH.OM (1) 1,0 OM (4) Xét tam giác BOM vuông B OB OH OM 0,5 R2 OA (không đổi) 0,5 OA.OK R OK Từ (1) và (2) Vậy BC qua điểm K cố định Ta có góc OHK = 90O; OK cố định nên H nằm trên đường tròn đường kính OK cố định 0,5 0,5 0,5 Bài 5: (5,0 điểm ) Cho hình vuông ABCD Trên cạnh BC lấy điểm M, trên cạnh CD lấy điểm N Tia AM cắt đường thẳng CD K Kẻ AI vuông góc với AK cắt CD I 1 2 AK AB Chứng minh : AM Biết góc MAN có số đo 450, CM + CN = cm, CM - CN = cm Tính diện tích tam giác AMN Từ điểm O tam giác AIK kẻ OP, OQ, OR vuông góc với IK, 2 AK, AI ( P IK, Q AK, R AI) Xác định vị trí điểm O để OP OQ OR nhỏ Tìm giá trị nhỏ đó A B M H I D N C K Ta có: ABM ADI AM AI (1) (vì … ) 2,0đ 1 (2) 2 AK AD Trong tam giác AIK vuông A ta có: AI (… ) và AB = AD (3) (….) 1 2 AM AK AB Từ (1), (2), (3) Kẻ AH vuông góc với MN ( H MN ) Do CM + CN = và CM - CN = CM = 4; CN = MN = Ta có AMN AIN AH AD IN MN AMH AID ID MH mà ID BM MH BM Ta lại có : DN BM MN 5 và CM BM CN DN DN BM CM CN 1 DN = 3; BM = 2; BC = AD = AH = 2,0đ 1,0đ 1 S AMN AH MN 6.5 15(cm ) 2 0,5 0,5 0,25 0,75 0,5 0,5 0,5 0,5 Từ giả thiết ta có AQOR là hình chữ nhật OP OQ OR OA OP (OA OP) AP AD 2 0,5 (5) OP OQ OR nhỏ O là trung điểm AD 0,5 (6)