của ô tô, biết thời gian đi hết quãng đường AB là 6 giờ. ĐỀ CHÍNH THỨC.. 3) Chứng minh tứ giác HCEB là tứ giác nội tiếp... Tính vận tốc ban đầu[r]
(1)https://chiasefull.com Thầy Phúc Toán Đồng Nai
PHÒNG GD & ĐT BA ĐÌNH ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2018 – 2019 MƠN TỐN
Thời gian làm bài: 90 phút
Bài I (2,0 điểm)
Cho biểu thức 1
4
2
A
x
x x x
= + + −
−
+ − với x > ,
4
x ≠
1) Rút gọn biểu thức A
2) Tìm x để
2
A>
3) Tìm x để A= −2 x +
Bài II (2,0 điểm)
Giải toán cách lập phương trình hệ phương trình
Một tơ từ A đến B cách 420km với vận tốc dự
định, Khi 120km tô tăng tốc thêm 15km h/
hết qng đường cịn lại với vận tốc Tính vận tốc ban đầu
của ô tô, biết thời gian hết quãng đường AB
Bài III (2,0 điểm)
1) Giải hệ phương trình
3
2 1
1
1
y
x y
y
x y
− + =
−
+ + =
−
2) Cho phương trình
2( 1)
x − m+ x + m + =
a) Giải phương trình m =2
(2)https://chiasefull.com Thầy Phúc Toán Đồng Nai
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2
sao cho 3
1 2019
x +x =
Bài IV (3,5 điểm)
Từ điểm M nằm bên đường tròn ( )O , kẻ hai tiếp tuyến
,
MA MB với đường tròn ( )O , A B tiếp điểm Gọi E
trung điểm đoạn thẳng MB; C giao điểm AE ( )O ,
(C khác A) , H giao điểm AB MO
1) Chứng minh điểm M , A, O, B thuộc đường
tròn
2) Chứng minh
EB =EC EA
3) Chứng minh tứ giác HCEB tứ giác nội tiếp
4) Gọi D giao điểm MC ( )O , (D khác C ) Chứng
minh ∆ABD tam giác cân
Bài V (0,5 điểm)
Tìm cặp số ( , )a b thỏa mãn ab = 3
2
(3)https://chiasefull.com Thầy Phúc Toán Đồng Nai
HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài I (2,0 điểm)
Cho biểu thức 1
4
2
A
x
x x x
= + + − −
+ − với x > ,
4
x ≠
1) Rút gọn biểu thức A
2) Tìm x để
2
A>
3) Tìm x để A= −2 x +
Lời giải
1) 1
4
2
A
x
x x x
= + + − − + −
2 2
4 4
x x x
A
x x x
x x − + = + + − − − −
2 2
4
x x x
A x x + − + + − = ⋅ −
2
4 x x A x x + − = ⋅ − ( ) ( )( ) 2 2 x x A
x x x
− +
= ⋅
(4)https://chiasefull.com Thầy Phúc Toán Đồng Nai
( )( )
( )( )
2 2
2
x x
A
x x x
+ −
=
− +
2
A
x
= , với x > , x ≠4
2) Tìm x để
2
A>
Lời giải
1
2
A
x
> ⇒ >
2
4
x
⇒ >
4
x
⇒ < (vì x > )
( )2
x
⇒ <
0 x 16
⇒ < < , x ≠4
Vậy 0< <x 16, x ≠4
2
(5)https://chiasefull.com Thầy Phúc Toán Đồng Nai
3) Tìm x để A= −2 x +
Lời giải
2
2 5
A x x
x
= − + ⇒ = − +
( 5)
2 x x
x x
− +
⇒ =
( )
2 x x
⇒ = − + (vì x > )
2 2x x
⇔ = − +
2x x
⇔ − + = (*)
Đặt t = x , t>0 Khi phương trình (*) trở thành:
2
2t −5t+ =2
2
( 5) 4.2.2 25 16
∆ = − − = − = >
Phương trình (*) có nghiệm phân biệt:
5
2
2.2
t = + = + = (nhận); 2
2.2
t = − = − = (nhận)
Với t = ⇒2 x = ⇔ = (không thỏa điều kiện) x
Với 1
2
t = ⇒ x = ⇔ =x (thỏa điều kiện)
Vậy
4
(6)https://chiasefull.com Thầy Phúc Toán Đồng Nai
Bài II (2,0 điểm)
Giải toán cách lập phương trình hệ phương trình
Một ô tô từ A đến B cách 420km với vận tốc dự
định, Khi 120km tơ tăng tốc thêm 15km h/
hết quãng đường lại với vận tốc Tính vận tốc ban đầu
của tô, biết thời gian hết quãng đường AB
Lời giải
Gọi vận tốc ban đầu ô tô x km h( / ), điều kiện x >0
Sau tăng tốc, vận tốc ô tô là: x +15 (km h/ )
Thời gian với vận tốc ban đầu là: 120( )h
x
Thời gian nốt quãng đường lại sau tăng tốc là: 300
( )
15 h
x +
Vì thời gian tơ hết qng đường AB nên ta có phương trình:
120 300
6 15
x +x + =
120.( 15) 300 ( 15)
( 15) ( 15) ( 15)
x x x x
x x x x x x
+ +
⇒ + =
+ + +
120.(x 15) 300x (x x 15)
⇒ + + = +
2
120x 1800 300x 6x 90x
⇔ + + = +
2
6x 90x 120x 1800 300x
⇔ + − − − =
2
6x 330x 1800
(7)https://chiasefull.com Thầy Phúc Toán Đồng Nai
2
55 300
x x
⇔ − − = (*)
2
( 55) 4.1.( 300) 4225
∆ = − − − = >
Phương trình (*) có nghiệm phân biệt:
55 4225 55 65
60
2
x = + = + = (thỏa điều kiện)
2
55 4225 55 65
5
2
x = − = − = − (không thỏa điều kiện)
(8)https://chiasefull.com Thầy Phúc Toán Đồng Nai
Bài III (2,0 điểm)
1) Giải hệ phương trình
3
2 1
1 y x y y x y − + = − + + = − Lời giải
Điều kiện:
1
x y x y
y y − ≠ ≠ ⇔ + ≥ ≥ −
Đặt a
x y
=
− , b = y +1 Khi đó, ta có hệ phương trình:
3 5
2 2 2
a b a b a a
a b a b a b a b
− = − = = = ⇔ ⇔ ⇔ + = + = + = + = 1
1
a a b b = = ⇔ ⇔ + = = Suy ra:
1 1 1
1
0
1
x
x y x y x
y y y y = = = = − ⇔ − ⇔ ⇔ = + = = = (nhận)
(9)https://chiasefull.com Thầy Phúc Toán Đồng Nai
2) Cho phương trình
2( 1)
x − m+ x + m + = (*)
a) Giải phương trình m =2
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2
cho 3
1 2019
x +x =
Lời giải
a) Khi m =2, ta có phương trình:
2(2 1) 2.2
x − + x + + =
2
6
x x
⇔ − + =
Ta có: ( 6) 5+ − + = 0, nhẩm nghiệm ta được: x1 = , x2 =
b) Phương trình (*) có nghiệm phân biệt khi:
2
(m 1) (2m 1).1
′
∆ = + − + >
2
2
m m m
⇔ + + − − >
2
m
⇔ > ⇔m ≠0
Ta có: 2(− m + +1) 2m+ = −1 2m− +2 2m + =1
(Trường hợp a+ + = ) b c
Nhẩm nghiệm, ta được: x1 = , x2 =2m +
Thay x1 = , x2 =2m + vào 3
1 2019
x +x = , ta được:
3
1 (2+ m +1) =2019
3
(2m 1) 2019
⇔ + = −
3
(2m 1) 2018
⇔ + =
3
2m 2018
(10)https://chiasefull.com Thầy Phúc Toán Đồng Nai
3
2m 2018
⇔ = −
3
2018
m −
⇔ = (nhận)
Bài IV (3,5 điểm)
Từ điểm M nằm bên ngồi đường trịn ( )O , kẻ hai tiếp tuyến
MA, MB với đường tròn ( )O , A B tiếp điểm Gọi E
là trung điểm đoạn thẳng MB; C giao điểm AE
( )O , (C khác A) , H giao điểm AB MO
1) Chứng minh điểm M , A, O, B thuộc đường
tròn
Lời giải
Vì MA, MB hai tiếp tuyến đường trịn ( )O nên ta có:
90
OAM = ° ; OBM =90°
90 90 180
OAM OBM
⇒ + = ° + ° = °
Mà OAM , OBM hai góc đối
⇒ Tứ giác OAMB nội tiếp đường tròn hay điểm M , A, O, B
cùng thuộc đường tròn
H C
E
M O
(11)https://chiasefull.com Thầy Phúc Toán Đồng Nai
(12)
https://chiasefull.com Thầy Phúc Toán Đồng Nai
2) Chứng minh
EB =EC EA
Ta có:
2
BAE = sđ BC (Góc nội tiếp)
1
CBE = sđ BC (Góc tạo tia tiếp tuyến dây cung)
BAE CBE
⇒ =
Xét ∆ABE ∆BCE có:
AEB góc chung
( )
BAE =CBE cmt
Do đó: ∆ABE ∆BCE g g( )
BE AE
EC BE
⇒ =
2
EB EC EA
⇒ =
H C
E
M O
(13)https://chiasefull.com Thầy Phúc Toán Đồng Nai
3) Chứng minh tứ giác HCEB tứ giác nội tiếp
Vì MA, MB hai tiếp tuyến đường tròn ( )O nên ta có
MA=MB (Tính chất tiếp tuyến cắt nhau)
Và ta có: OA=OB =R
OM
⇒ đường trung trực đoạn thẳng AB
Mà H giao điểm AB MO
AB OM
⇒ ⊥ H ⇒MHB =90°
Xét ∆MHB vng H , có HE đường trung tuyến ứng với
cạnh huyền MB (vì E trung điểm đoạn thẳng MB)
1
HE MB EB
⇒ = = (vì E trung điểm đoạn thẳng MB)
EHB
⇒ ∆ cân E
EHB EBH
⇒ =
Mà EBH =ECB (vì ∆ABE ∆BCE g g( ))
Suy ra: EHB =ECB
H C
E
M O
(14)https://chiasefull.com Thầy Phúc Toán Đồng Nai
Xét tứ giác HCEB có hai góc EHB , ECB có đỉnh kề
nhìn cạnh EB EHB =ECB , nên tứ giác HCEB tứ giác
nội tiếp
H C
E
M O
(15)https://chiasefull.com Thầy Phúc Toán Đồng Nai
4) Gọi D giao điểm MC ( )O , (D khác C ) Chứng
minh ∆ABD tam giác cân
Ta có:
EB =EC EA (câu 2)
EM EC EA
⇒ = (vì EM =EB,
E trung điểm đoạn thẳng MB)
EM EA
EC EM
⇒ =
Xét ∆MEC ∆AEM có:
AEM góc chung
EM EA
EC =EM
Do đó: ∆MEC ∆AEM c g c( )
EMC EAM
⇒ = (1)
Ta có:
2
ADM = sđ AC (Góc nội tiếp)
Và
2
MAE = sđ AC (Góc tạo tia tiếp tuyến dây cung)
ADM MAE
⇒ = (2)
Từ (1) (2) suy ADM =EMD
D H
C
E
M O
(16)https://chiasefull.com Thầy Phúc Toán Đồng Nai
Mà hai góc vị trí so le trong, suy AD//EM hay
//
AD MB
Vì AD//MB nên DAB =ABE (Hai góc so le trong) (3)
Ta có:
2
ADB = sđ AB (Góc nội tiếp)
Và
2
ABE = sđ AB (Góc tạo tia tiếp tuyến dây cung)
ADB ABE
⇒ = (4)
Từ (3) (4) suy DAB =ADB
Vậy ∆ABD cân B
D H
C
E
M O
(17)https://chiasefull.com Thầy Phúc Toán Đồng Nai
Bài V (0,5 điểm)
Tìm cặp số ( , )a b thỏa mãn ab = 3
2
a + b =
Lời giải
3 3 3
2 9 ( )
a + b = ⇒a + b = ⇔a + b =
Ta có: 3
2 2 ( )
ab = ⇔a b = ⇔a b =
Đặt
x =a
( )
y = b ⇒x y = x + = y
,
x y
⇒ hai nghiệm phương trình:
2
9
X − X + = (Định lí Vi-ét đảo) (*)
Ta có: 8− + = (Trường hợp a+ + = ) b c
Nhẩm nghiệm phương trình (*), ta được: X1 = , X2 =
Với
3
3
1 1
1
8 ( ) 2
a a a
x
y b b b
= = = = ⇒ ⇔ ⇔ = = = = Với 3 8
1 ( ) 1 2 1
2
a
a a
x
y b b b
= = = = ⇒ ⇔ ⇔ = = = = =
Vậy cặp số ( , )a b thỏa mãn yêu cầu toán:
( ; ) (1; 2)a b = ; ( ); 2;