ĐỀ CHÍNH THỨC.. 1) Chứng minh tứ giác BOCE nội tiếp. Chứng minh khi điểm A thay đổi trên cung lớn BC thì điểm H.. di động trên một đường tròn cố định.. 1) Chứng minh tứ giác BOCE nộ[r]
(1)https://chiasefull.com Thầy Phúc Toán Đồng Nai
UBND QUẬN HỒN KIẾM PHỊNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2018 – 2019 MƠN TỐN
Ngày kiểm tra: 19/4/2019
Thời gian làm bài: 90 phút
Bài I (2,0 điểm)
Cho hai biểu thức:
3
1 x A
x − =
+
2
( 1)( 2)
x x x
B
x x x x
+ − +
= − +
+ − + −
với x ≥ 0, x ≠
1) Tính giá trị A x =
2) Rút gọn B biểu thức P = A B
3) Tìm x để P ≥
Bài II (2,0 điểm)
Giải tốn sau cách lập phương trình hệ phương trình:
Để đóng gói hết 600 tập tặng bạn nghèo vùng cao, lớp 9A dự định dùng số thùng carton loại, số tập thùng Tuy nhiên, đóng vào thùng có thùng bị hỏng, khơng sử dụng nên thùng cịn lại phải đóng thêm 10 tập hết Tính số thùng carton ban đầu lớp 9A dự định sử dụng số tập dự định thùng
(2)https://chiasefull.com Thầy Phúc Toán Đồng Nai
Bài III (2,0 điểm)
1) Giải hệ phương trình:
1
2
3
5 13
3 x
y x
y
− + =
−
− + =
−
2) Cho phương trình
2( 2)
x − m + x − m − = với ẩn x
a) Giải phương trình với m =
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1; 2
thỏa mãn x1 + x2 =
Bài IV (3,5 điểm)
Cho đường tròn ( )O , dây BC cố định Trên cung lớn BC
( )O , lấy điểm A (A ≠ B, A ≠C ) cho AB < AC Hai tiếp
tuyến qua B C ( )O cắt E
1) Chứng minh tứ giác BOCE nội tiếp
2) AE cắt ( )O điểm thứ hai D (D ≠ A) Chứng minh
2
EB = ED EA
3) Gọi F trung điểm AD Đường thẳng qua D song
song với EC cắt BC G Chứng minh GF song song với AC
4) Trên tia đối tia AB lấy điểm H cho AH = AC
Chứng minh điểm A thay đổi cung lớn BC điểm H
(3)https://chiasefull.com Thầy Phúc Toán Đồng Nai
Bài V (0,5 điểm)
Cho ba số thực dương , ,a b c thỏa mãn I
a + c = Tìm giá b
trị nhỏ biểu thức
2
a b c b
K
a b c b
+ +
= +
(4)https://chiasefull.com Thầy Phúc Toán Đồng Nai
HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài I (2,0 điểm) Cho hai biểu thức:
3 x A x − =
+
2
( 1)( 2)
x x x
B
x x x x
+ − +
= − +
+ − + −
với x ≥ 0, x ≠
1) Tính giá trị A x =
Lời giải
Thay x = 9(thỏa điều kiện) vào biểu thức A ta được:
3 3.3
3
9
A = − = − =
+ +
Vậy x =
4
A =
2) Rút gọn B biểu thức P = A B
Lời giải
2
( 1)( 2)
x x x
B
x x x x
+ − +
= − +
+ − + −
2 ( 2)( 2)
( 1)( 2) ( 1)( 2) ( 1)( 2)
x x x x x
B
x x x x x x
+ − + − +
= − +
+ − + − + −
2 4
( 1)( 2) ( 1)( 2) ( 1)( 2)
x x x x
B
x x x x x x
+ − − +
= − +
(5)https://chiasefull.com Thầy Phúc Toán Đồng Nai
2 4
( 1)( 2)
x x x x
B x x + − − + + + = + −
( 1)( 2)
x x B x x + + = + − ( 1)
( 1)( 2)
x B x x + = + − x B x + = −
Ta có: 4
1 2
x x x
P A B
x x x
− + −
= = ⋅ =
+ − −
3) Tìm x để P ≥
Lời giải
Ta có:
2 x P x − − ≥ ⇔ − ≥ −
3 2( 2)
0 2 x x x x − − ⇔ − ≥ − −
3 4
0 2 x x x x − − ⇔ − ≥ − −
3 4
(6)https://chiasefull.com Thầy Phúc Toán Đồng Nai
Trường hợp 1: x =
Khi đó: 0
2 x
x x
x
≥ ⇔ = ⇔ =
− (thỏa điều kiện)
Trường hợp 2: x >
Khi đó:
2 x
x x
≥ ⇔ − >
− ⇔ x > ⇔ x > (thỏa điều
kiện)
(7)https://chiasefull.com Thầy Phúc Toán Đồng Nai
Bài II (2,0 điểm)
Giải toán sau cách lập phương trình hệ phương trình:
Để đóng gói hết 600 tập tặng bạn nghèo vùng cao, lớp 9A dự định dùng số thùng carton loại, số tập thùng Tuy nhiên, đóng vào thùng có thùng bị hỏng, khơng sử dụng nên thùng cịn lại phải đóng thêm 10 tập hết Tính số thùng carton ban đầu lớp 9A dự định sử dụng số tập dự định thùng
Lời giải
Gọi số thùng carton ban đầu lớp 9A dự định sử dụng x (thùng) (x > x ∈ ℕ*)
Số tập dự định đóng vào thùng là: 600
x (tập vở)
Thực tế số thùng carton lớp 9A sử dụng là: x − (thùng)
Số tập thực tế đóng vào thùng là: 600
3
x − (tập vở)
Vì thực tế thùng cịn lại phải đóng thêm 10 tập
hết nên ta có phương trình: 600 600 10
3
x − − x =
600 600( 3) 10 ( 3)
( 3) ( 3) ( 3)
x x x x
x x x x x x
− −
⇔ − =
− − −
2
600 600 1800 10 30
( 3) ( 3) ( 3)
x x x x
x x x x x x
− −
⇔ − =
(8)https://chiasefull.com Thầy Phúc Toán Đồng Nai
2
600x 600x 1800 10x 30x
⇒ − + = −
2
10x 30x 1800
⇔ − − =
2
3 180
x x
⇔ − − = (*)
2
3 4.1.( 180) 720 729
∆ = − − = + = ⇒ ∆ = 27 > 0
Phương trình (*) có nghiệm phân biệt:
1
3 27
15
x = + = (thỏa điều kiện);
2
3 27
12
x = − = − (không thỏa điều kiện);
Suy ra: Số tập dự định đóng vào thùng là: 600 40
15 =
Vậy:
Số thùng carton ban đầu lớp 9A dự định sử dụng 15 thùng
(9)https://chiasefull.com Thầy Phúc Toán Đồng Nai
Bài III (2,0 điểm)
1) Giải hệ phương trình:
1
2
3
5 13
3 x y x y − + = − − + = − Lời giải
Điều kiện xác định: x ≥ 1, y ≠
Đặt u = x − , 1
3 v
y =
− (u ≥ 0,v ≠ 0)
Phương trình cho trở thành:
2 15
5 13 13
u v u v u
u v u v u v
+ = + = = ⇔ ⇔ + = + = + = 2
2.2
u u v v = = ⇔ ⇔ + = =
(thỏa mãn)
Với u = ⇒ x − =1 ⇔ x − =1 ⇔ x = (thỏa điều kiện)
Với 1
3
v y y
y
= ⇒ = ⇔ − = ⇔ =
− (thỏa điều kiện)
Vậy hệ phương trình có nghiệm nhất: ( ; )x y = (5; 4)
(10)https://chiasefull.com Thầy Phúc Toán Đồng Nai
2) Cho phương trình
2( 2)
x − m + x − m − = với ẩn x
a) Giải phương trình với m =
Lời giải
Thay m = vào phương trình cho ta được:
2
2( 2) 2
x − + x − − = (*)
Ta có: ∆ =′ b′2 −ac = ( 2 +2)2 + 2 2 + 5 = 11 2+ = (3 + 2)2
3
′
∆ = +
Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt:
1 2 (3 2) 2
x = + + + = + ;
2 2 (3 2)
(11)https://chiasefull.com Thầy Phúc Toán Đồng Nai
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1; 2 thỏa
mãn x1 + x2 =
Lời giải
Phương trình x2 −2(m + 2)x −2m − = với ẩn x 5 0
Vì a − + = +b c 2(m + 2) 2− m − =5 nên phương trình có hai
nghiệm: x = −1 x2 = 2m +
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt
1 2
x ≠ x ⇔ − ≠ m + ⇔ m ≠ −
Ta có: x1 + x2 = ⇔ − +1 2m + =
2m
⇔ + =
2
m m
+ =
⇔
+ = −
2m + = ⇔5 2m = − ⇔4 m = −2 (thỏa điều kiện)
2m + = − ⇔5 2m = − ⇔6 m = −3 (không thỏa điều kiện)
(12)https://chiasefull.com Thầy Phúc Toán Đồng Nai
Bài IV (3,5 điểm)
Cho đường tròn ( )O , dây BC cố định Trên cung lớn BC
( )O , lấy điểm A (A ≠ B, A ≠C ) cho AB < AC Hai tiếp
tuyến qua B C ( )O cắt E
1) Chứng minh tứ giác BOCE nội tiếp
Lời giải
Vì EB, EC tiếp tuyến đường trịn ( )O nên ta có:
90
OBE = ° ; OCE = 90°
Xét tứ giác OBEC có: OBE +OCE = 90° + 90° = 180°
Mà OBE OCE hai góc đối
Suy ra: Tứ giác OBEC tứ giác nội tiếp
O E
A
(13)https://chiasefull.com Thầy Phúc Toán Đồng Nai
2) AE cắt ( )O điểm thứ hai D (D ≠ A) Chứng minh
2
EB = ED EA
Lời giải
Xét ∆EBD ∆EAB có:
AEB góc chung
DBE = BAE (góc tạo tia tiếp tuyến dây cung
bằng góc nội tiếp chắn cung đó)
Do đó: ∆EBD ∽ ∆EAB g g( )
EB ED
EA EB
⇒ =
2
EB EA ED
⇔ = ⋅
D
O E
A
(14)https://chiasefull.com Thầy Phúc Toán Đồng Nai
3) Gọi F trung điểm AD Đường thẳng qua D song song
với EC cắt BC G Chứng minh GF song song với AC
Lời giải
Ta có: OF ⊥ AD (Định lí mối liên hệ đường kính
dây) ⇒OFD = 90° hay OFE = 90°
Xét tứ giác OFBE có B F hai đỉnh kề nhìn
cạnh OE OFE =OBE = 90°
OFBE
⇒ tứ giác nội tiếp
Mà OBEC tứ giác nội tiếp (chứng minh trên)
Suy điểm O, B, E, C , F thuộc đường tròn
CFBE
⇒ tứ giác nội tiếp
BCE BFE
⇒ = (Hai góc nội tiếp chắn BE )
Mà DG //EC ⇒ BGD = BCE (Hai góc đồng vị)
BGD BFE
⇒ = hay BGD = BFD
BFGD
⇒ tứ giác nội tiếp
G F
D
O E
A
(15)https://chiasefull.com Thầy Phúc Toán Đồng Nai
DFG DBG
⇒ = hay DFG = DBC
Mà DBC = DAC ⇒ DFG = DAC
Hai góc DFG DAC vị trí đồng vị
Suy GF //AC
G F
D
O E
A
(16)https://chiasefull.com Thầy Phúc Toán Đồng Nai
4) Trên tia đối tia AB lấy điểm H cho AH = AC
Chứng minh điểm A thay đổi cung lớn BC điểm H
di động đường tròn cố định
Lời giải
Ta có: ∆AHC cân A ⇒ AHC = ACH
Mà BAC góc ngồi tam giác HAC
2
BAC AHC ACH AHC
⇒ = + =
1
AHC BAC
⇒ = hay
2
BHC = BAC
Vì BAC khơng đổi A di chuyển cung lớn BC ( )O
với dây BC cố định nên BHC không đổi
Vậy điểm H nằm cung chứa góc
2BAC dựng
dây cung BC cố định
H
G F
D
O E
A
(17)https://chiasefull.com Thầy Phúc Toán Đồng Nai
Bài V (0,5 điểm)
Cho ba số thực dương , ,a b c thỏa mãn I
a + c = Tìm giá trị b
nhỏ biểu thức
2
a b c b
K
a b c b
+ +
= +
− −
Lời giải
Ta có 1
a + c = b
b b
a c
⇔ + = Đặt b 1 x
a = −
b
x c
⇒ = +
Ta có
0 b a b c > >
1 x
⇒ − < <
2
a b c b
K
a b c b
+ + = + − − 1 2 b b a c b b a c + + = + − −
1 (1 ) (1 )
2 (1 ) (1 )
x x x x + − + + = + − − − + − + = + + − 2 1 x x K x x − − + + + = − +
(2 )(1 ) (2 )(1 )
(1 )(1 )
x x x x
x x − + + + + = − 2
2 3
1
x x x x
K x 2 x x + = −
Ta có 0 < −1 x2 ≤ 1 ∀ ∈ −x ( 1;1); 4 2+ x2 ≥ 4 ∀ ∈ −x ( 1;1)
Do K ≥
Vậy Kmin = xảy x =
1 b a b c = ⇔ =
a b c
⇔ = =