Đề thi Toán lớp 9 học kì 2 năm 2019 quận Hoàn Kiếm có đáp án

ĐỀ CHÍNH THỨC.. 1) Chứng minh tứ giác BOCE nội tiếp. Chứng minh khi điểm A thay đổi trên cung lớn BC thì điểm H.. di động trên một đường tròn cố định.. 1) Chứng minh tứ giác BOCE nộ[r]

https://chiasefull.com Thầy Phúc Toán Đồng Nai

UBND QUẬN HỒN KIẾM PHỊNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2018 – 2019 MƠN TỐN

Ngày kiểm tra: 19/4/2019

Thời gian làm bài: 90 phút

Bài I (2,0 điểm)

Cho hai biểu thức:

3

1 x A

x − =

+

2

( 1)( 2)

x x x

B

x x x x

+ − +

= − +

+ − + −

với x ≥ 0, x ≠

1) Tính giá trị A x =

2) Rút gọn B biểu thức P = A B

3) Tìm x để P ≥

Bài II (2,0 điểm)

Giải tốn sau cách lập phương trình hệ phương trình:

Để đóng gói hết 600 tập tặng bạn nghèo vùng cao, lớp 9A dự định dùng số thùng carton loại, số tập thùng Tuy nhiên, đóng vào thùng có thùng bị hỏng, khơng sử dụng nên thùng cịn lại phải đóng thêm 10 tập hết Tính số thùng carton ban đầu lớp 9A dự định sử dụng số tập dự định thùng

https://chiasefull.com Thầy Phúc Toán Đồng Nai

Bài III (2,0 điểm)

1) Giải hệ phương trình:

1

2

3

5 13

3 x

y x

y 

− + =

 −



 − + =

− 

2) Cho phương trình

2( 2)

x − m + x − m − = với ẩn x

a) Giải phương trình với m =

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1; 2

thỏa mãn x1 + x2 =

Bài IV (3,5 điểm)

Cho đường tròn ( )O , dây BC cố định Trên cung lớn BC

( )O , lấy điểm A (A ≠ B, A ≠C ) cho AB < AC Hai tiếp

tuyến qua B C ( )O cắt E

1) Chứng minh tứ giác BOCE nội tiếp

2) AE cắt ( )O điểm thứ hai D (D ≠ A) Chứng minh

2

EB = ED EA

3) Gọi F trung điểm AD Đường thẳng qua D song

song với EC cắt BC G Chứng minh GF song song với AC

4) Trên tia đối tia AB lấy điểm H cho AH = AC

Chứng minh điểm A thay đổi cung lớn BC điểm H

https://chiasefull.com Thầy Phúc Toán Đồng Nai

Bài V (0,5 điểm)

Cho ba số thực dương , ,a b c thỏa mãn I

a + c = Tìm giá b

trị nhỏ biểu thức

2

a b c b

K

a b c b

+ +

= +

https://chiasefull.com Thầy Phúc Toán Đồng Nai

HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài I (2,0 điểm) Cho hai biểu thức:

3 x A x − =

+

2

( 1)( 2)

x x x

B

x x x x

+ − +

= − +

+ − + −

với x ≥ 0, x ≠

1) Tính giá trị A x =

Lời giải

Thay x = 9(thỏa điều kiện) vào biểu thức A ta được:

3 3.3

3

9

A = − = − =

+ +

Vậy x =

4

A =

2) Rút gọn B biểu thức P = A B

Lời giải

2

( 1)( 2)

x x x

B

x x x x

+ − +

= − +

+ − + −

2 ( 2)( 2)

( 1)( 2) ( 1)( 2) ( 1)( 2)

x x x x x

B

x x x x x x

+ − + − +

= − +

+ − + − + −

2 4

( 1)( 2) ( 1)( 2) ( 1)( 2)

x x x x

B

x x x x x x

+ − − +

= − +

https://chiasefull.com Thầy Phúc Toán Đồng Nai

2 4

( 1)( 2)

x x x x

B x x + − − + + + = + −

( 1)( 2)

x x B x x + + = + − ( 1)

( 1)( 2)

x B x x + = + − x B x + = −

Ta có: 4

1 2

x x x

P A B

x x x

− + −

= = ⋅ =

+ − −

3) Tìm x để P ≥

Lời giải

Ta có:

2 x P x − − ≥ ⇔ − ≥ −

3 2( 2)

0 2 x x x x − − ⇔ − ≥ − −

3 4

0 2 x x x x − − ⇔ − ≥ − −

3 4

https://chiasefull.com Thầy Phúc Toán Đồng Nai

Trường hợp 1: x =

Khi đó: 0

2 x

x x

x

≥ ⇔ = ⇔ =

− (thỏa điều kiện)

Trường hợp 2: x >

Khi đó:

2 x

x x

≥ ⇔ − >

− ⇔ x > ⇔ x > (thỏa điều

kiện)

https://chiasefull.com Thầy Phúc Toán Đồng Nai

Bài II (2,0 điểm)

Giải toán sau cách lập phương trình hệ phương trình:

Để đóng gói hết 600 tập tặng bạn nghèo vùng cao, lớp 9A dự định dùng số thùng carton loại, số tập thùng Tuy nhiên, đóng vào thùng có thùng bị hỏng, khơng sử dụng nên thùng cịn lại phải đóng thêm 10 tập hết Tính số thùng carton ban đầu lớp 9A dự định sử dụng số tập dự định thùng

Lời giải

Gọi số thùng carton ban đầu lớp 9A dự định sử dụng x (thùng) (x > x ∈ ℕ*)

Số tập dự định đóng vào thùng là: 600

x (tập vở)

Thực tế số thùng carton lớp 9A sử dụng là: x − (thùng)

Số tập thực tế đóng vào thùng là: 600

3

x − (tập vở)

Vì thực tế thùng cịn lại phải đóng thêm 10 tập

hết nên ta có phương trình: 600 600 10

3

x − − x =

600 600( 3) 10 ( 3)

( 3) ( 3) ( 3)

x x x x

x x x x x x

− −

⇔ − =

− − −

2

600 600 1800 10 30

( 3) ( 3) ( 3)

x x x x

x x x x x x

− −

⇔ − =

https://chiasefull.com Thầy Phúc Toán Đồng Nai

2

600x 600x 1800 10x 30x

⇒ − + = −

2

10x 30x 1800

⇔ − − =

2

3 180

x x

⇔ − − = (*)

2

3 4.1.( 180) 720 729

∆ = − − = + = ⇒ ∆ = 27 > 0

Phương trình (*) có nghiệm phân biệt:

1

3 27

15

x = + = (thỏa điều kiện);

2

3 27

12

x = − = − (không thỏa điều kiện);

Suy ra: Số tập dự định đóng vào thùng là: 600 40

15 =

Vậy:

Số thùng carton ban đầu lớp 9A dự định sử dụng 15 thùng

https://chiasefull.com Thầy Phúc Toán Đồng Nai

Bài III (2,0 điểm)

1) Giải hệ phương trình:

1

2

3

5 13

3 x y x y  − + =  −   − + = −  Lời giải

Điều kiện xác định: x ≥ 1, y ≠

Đặt u = x − , 1

3 v

y =

− (u ≥ 0,v ≠ 0)

Phương trình cho trở thành:

2 15

5 13 13

u v u v u

u v u v u v

 + =  + =  =    ⇔ ⇔  + =  + =  + =       2

2.2

u u v v  =  =   ⇔  ⇔  + = =  

  (thỏa mãn)

Với u = ⇒ x − =1 ⇔ x − =1 ⇔ x = (thỏa điều kiện)

Với 1

3

v y y

y

= ⇒ = ⇔ − = ⇔ =

− (thỏa điều kiện)

Vậy hệ phương trình có nghiệm nhất: ( ; )x y = (5; 4)

https://chiasefull.com Thầy Phúc Toán Đồng Nai

2) Cho phương trình

2( 2)

x − m + x − m − = với ẩn x

a) Giải phương trình với m =

Lời giải

Thay m = vào phương trình cho ta được:

2

2( 2) 2

x − + x − − = (*)

Ta có: ∆ =′ b′2 −ac = ( 2 +2)2 + 2 2 + 5 = 11 2+ = (3 + 2)2

3

′

∆ = +

Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt:

1 2 (3 2) 2

x = + + + = + ;

2 2 (3 2)

https://chiasefull.com Thầy Phúc Toán Đồng Nai

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1; 2 thỏa

mãn x1 + x2 =

Lời giải

Phương trình x2 −2(m + 2)x −2m − = với ẩn x 5 0

Vì a − + = +b c 2(m + 2) 2− m − =5 nên phương trình có hai

nghiệm: x = −1 x2 = 2m +

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt

1 2

x ≠ x ⇔ − ≠ m + ⇔ m ≠ −

Ta có: x1 + x2 = ⇔ − +1 2m + =

2m

⇔ + =

2

m m

 + =

⇔ 

+ = −



2m + = ⇔5 2m = − ⇔4 m = −2 (thỏa điều kiện)

2m + = − ⇔5 2m = − ⇔6 m = −3 (không thỏa điều kiện)

https://chiasefull.com Thầy Phúc Toán Đồng Nai

Bài IV (3,5 điểm)

Cho đường tròn ( )O , dây BC cố định Trên cung lớn BC

( )O , lấy điểm A (A ≠ B, A ≠C ) cho AB < AC Hai tiếp

tuyến qua B C ( )O cắt E

1) Chứng minh tứ giác BOCE nội tiếp

Lời giải

Vì EB, EC tiếp tuyến đường trịn ( )O nên ta có:

90

OBE = ° ; OCE = 90°

Xét tứ giác OBEC có: OBE +OCE = 90° + 90° = 180°

Mà OBE OCE hai góc đối

Suy ra: Tứ giác OBEC tứ giác nội tiếp

O E

A

https://chiasefull.com Thầy Phúc Toán Đồng Nai

2) AE cắt ( )O điểm thứ hai D (D ≠ A) Chứng minh

2

EB = ED EA

Lời giải

Xét ∆EBD ∆EAB có:

AEB góc chung

DBE = BAE (góc tạo tia tiếp tuyến dây cung

bằng góc nội tiếp chắn cung đó)

Do đó: ∆EBD ∽ ∆EAB g g( )

EB ED

EA EB

⇒ =

2

EB EA ED

⇔ = ⋅

D

O E

A

https://chiasefull.com Thầy Phúc Toán Đồng Nai

3) Gọi F trung điểm AD Đường thẳng qua D song song

với EC cắt BC G Chứng minh GF song song với AC

Lời giải

Ta có: OF ⊥ AD (Định lí mối liên hệ đường kính

dây) ⇒OFD = 90° hay OFE = 90°

Xét tứ giác OFBE có B F hai đỉnh kề nhìn

cạnh OE OFE =OBE = 90°

OFBE

⇒ tứ giác nội tiếp

Mà OBEC tứ giác nội tiếp (chứng minh trên)

Suy điểm O, B, E, C , F thuộc đường tròn

CFBE

⇒ tứ giác nội tiếp

BCE BFE

⇒ = (Hai góc nội tiếp chắn BE )

Mà DG //EC ⇒ BGD = BCE (Hai góc đồng vị)

BGD BFE

⇒ = hay BGD = BFD

BFGD

⇒ tứ giác nội tiếp

G F

D

O E

A

https://chiasefull.com Thầy Phúc Toán Đồng Nai

DFG DBG

⇒ = hay DFG = DBC

Mà DBC = DAC ⇒ DFG = DAC

Hai góc DFG DAC vị trí đồng vị

Suy GF //AC

G F

D

O E

A

https://chiasefull.com Thầy Phúc Toán Đồng Nai

4) Trên tia đối tia AB lấy điểm H cho AH = AC

Chứng minh điểm A thay đổi cung lớn BC điểm H

di động đường tròn cố định

Lời giải

Ta có: ∆AHC cân A ⇒ AHC = ACH

Mà BAC góc ngồi tam giác HAC

2

BAC AHC ACH AHC

⇒ = + =

1

AHC BAC

⇒ = hay

2

BHC = BAC

Vì BAC khơng đổi A di chuyển cung lớn BC ( )O

với dây BC cố định nên BHC không đổi

Vậy điểm H nằm cung chứa góc

2BAC dựng

dây cung BC cố định

H

G F

D

O E

A

https://chiasefull.com Thầy Phúc Toán Đồng Nai

Bài V (0,5 điểm)

Cho ba số thực dương , ,a b c thỏa mãn I

a + c = Tìm giá trị b

nhỏ biểu thức

2

a b c b

K

a b c b

+ +

= +

− −

Lời giải

Ta có 1

a + c = b

b b

a c

⇔ + = Đặt b 1 x

a = −

b

x c

⇒ = +

Ta có

0 b a b c  >    > 

1 x

⇒ − < <

2

a b c b

K

a b c b

+ + = + − − 1 2 b b a c b b a c + + = + − −

1 (1 ) (1 )

2 (1 ) (1 )

x x x x + − + + = + − − − + − + = + + − 2 1 x x K x x − − + + + = − +

(2 )(1 ) (2 )(1 )

(1 )(1 )

x x x x

x x − + + + + = − 2

2 3

1

x x x x

K x 2 x x + = −

Ta có 0 < −1 x2 ≤ 1 ∀ ∈ −x ( 1;1); 4 2+ x2 ≥ 4 ∀ ∈ −x ( 1;1)

Do K ≥

Vậy Kmin = xảy x =

1 b a b c  =  ⇔   = 

a b c

⇔ = =