Hỏi nếu chảy một mình thì mỗi vòi chảy đầy bể trong bao lâu.. Bài 3..[r]
(1)PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẬN BẮC TỪ LIÊM
ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2018 – 2019 MƠN TOÁN
Thời gian làm bài: 90 phút Bài (2,0 điểm)
Cho hai biểu thức:
3
x A
x
=
+
2
2
x x
B
x
x x
− −
= −
+ − +
với x ≥ 0; x ≠ a) Tính giá trị A x =
b) Chứng minh
B
x
=
+
c) Cho P = A B Tìm giá trị x để P ≤ Bài (2,0 điểm)
Giải tốn cách lập phương trình hệ phương trình
Hai vịi nước chảy vào bể khơng có nước sau bể đầy Nếu chảy vịi chảy đầy bể nhanh vòi Hỏi chảy vịi chảy đầy bể bao lâu?
Bài (2,0 điểm) 1) Giải hệ phương trình:
1
5
3
3
1
3
x y
x y
− =
− +
+ = −
− +
2) Cho parabol
( ) :P y = x đường thẳng ( ) :d y = −2 mx
a) Chứng minh ( )d cắt ( )P điểm phân biệt với giá trị
của m
b) Tìm m để ( )d cắt ( )P điểm phân biệt có hồnh độ x x1; 2 thỏa mãn điều kiện 2
2020
(2)Bài (3,5 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn ( ;O R) đường cao AH Gọi M N hình chiếu điểm H cạnh
,
AB AC
a) Chứng minh tứ giác AMHN nội tiếp đường tròn
b) Chứng minh
AM AB = AH
Từ chứng minh AM AB = AN AC
c) Hai đường thẳng NM BC cắt Q Chứng minh
AMN = ACB QH2 =QM QN
d) Cho BAC = 60o R = 3cm Tính diện tích hình viên phân giới hạn dây BC cung BC nhỏ
Bài (0,5 điểm)
Cho x , y số dương thỏa mãn x + =y Tìm giá trị nhỏ biểu thức
2
5
P
xy
x y
= +
(3)ĐÁP ÁN THAM KHẢO
Bài 1.
Cho biểu thức
3
x A
x
=
+
2
4
2
x x
B
x
x x
− −
= − ⋅
+ − +
với x ≥ 0; x ≠ a) Tính giá trị A x =
b) Chứng minh
B
x
=
+
c) Cho P = A B Tìm giá trị x để P ≤
Lời giải
a) Thay x = 9 (tmđk) vào A ta có: 21
6
16
A = = =
+
b)
4
2
x x
B
x
x x
− −
= − ⋅
+ − +
( )( )
( )( )
2
3
2
2
3
2
x x x
x
x x
x x
x x
x x
− + − −
= ⋅
+
+ −
+ −
= ⋅ =
+ +
(4)c)
( )2
2
3 3
x x
P A B
x x x
= = ⋅ =
+ + +
0
P ≤
( )2
2
0
x x
⇒ ≤
+
Có ( x + 3)2 > với x thuộc ĐKXĐ⇒ x ≤ Mà x ≥ với x thuộc ĐKXĐ
0 ( )
x
x tm
⇒ =
⇔ =
(5)Bài 2.
Giải toán cách lập phương trình hệ phương trình
Hai vịi nước chảy vào bể khơng có nước sau bể đầy Nếu chảy vịi chảy đầy bể nhanh vịi Hỏi chảy vòi chảy đầy bể bao lâu?
Lời giải
Gọi thời gian vòi chảy đầy bể x (x > 4)
Vì thời gian vịi chảy đầy bể nhanh vòi nên thời gian vòi chảy đầy bể x + (giờ)
Trong giờ, vòi chảy
x (bể)
Trong giờ, vòi chảy
x + (bể)
Trong vòi chảy 1
x + x + (bể)
Theo ra, vịi chảy vào bể khơng có nước sau bể đầy nên ta có phương trình:
1 1 1
4
6
x x x x
+ = ⇔ + =
+ +
6
4(2 6) ( 6)
( 6)
x x
x x x
x x
+ +
⇔ = ⇔ + = +
+
2
8x 24 x 6x x 6x 8x 24
⇔ + = + ⇔ + − − =
2
2 24
4
x
x x
x
=
⇔ − − = ⇔
= −
So với điều kiện, x = thỏa mãn
(6)Bài 3.
1) Giải hệ phương trình:
1 3 x y x y − = − + + = − − + 2) Cho parabol
( ) :P y = x đường thẳng ( ) :d y = −2 mx
a) Chứng minh ( )d cắt ( )P điểm phân biệt với giá trị
của m
b) Tìm m để ( )d cắt ( )P điểm phân biệt có hồnh độ x x1; 2 thỏa mãn điều kiện 2
1 2 2020
x x +x x =
Lời giải
1) Giải hệ phương trình:
1 3 x y x y − = − + + = − − + ĐKXĐ: x ≠ 3,y ≠ −1
Đặt ,
3
a b
x y
= =
− + , hệ phương trình trở thành:
4 4 1
3 4 5
a b a a a
a b a b b b
− = = = = ⇔ ⇔ ⇔ + = − − = − = = − 1 1 x y = − ⇒ = − +
3
1
x x y y − = = ⇔ ⇔ + = − = −
(thỏa mãn điều kiện:x ≠ 3,y ≠ −1) Vậy nghiệm hệ phương trình là:
(7)2) Cho
( ) :P y = x đường thẳng ( ) :d y = −2 mx
a) Phương trình hồnh độ giao điểm ( )d ( )P
2
2
x = −mx ⇔ x +mx − =
Có:
8
m
∆ = + > với giá trị m
⇒Phương trình hồnh độ giao điểm ( )d ( )P có hai nghiệm
phân biệt với giá trị m
⇒ ( )d ( )P cắt điểm phân biệt với giá trị m
b) Theo câu a, ( )d ( )P cắt điểm phân biệt có hồnh
độ x x1; 2
Theo Vi-ét:
1 2
x x m
x x
+ = −
= −
(*)
Theo ta có: 2
1 2 2020 2( 2) 2020
x x + x x = ⇔ x x x + x = (1)
(8)Bài 4.
Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn ( ;O R) đường cao AH Gọi M N hình chiếu điểm H cạnh
,
AB AC
a) Chứng minh tứ giác AMHN nội tiếp đường tròn
b) Chứng minh
AM AB = AH
Từ chứng minh AM AB = AN AC
c) Hai đường thẳng NM BC cắt Q Chứng minh
AMN = ACB QH2 =QM QN
d) Cho BAC = 60o R = 3cm Tính diện tích hình viên phân giới hạn dây BC cung BC nhỏ
Lời giải
a) Chứng minh tứ giác AMHN nội tiếp đường tròn Xét tứ giác AMHN có:
90 (o
AMH = M hình chiếu H AB) 90 (o
ANH = N hình chiếu H AB) 90o 90o 180o
AMH ANH
⇒ + = + =
Mà AMH ANH hai góc đối
K Q
N
M
H C
O
B
(9)b) Chứng minh
AM AB = AH
Từ chứng minh AM AB = AN AC
+) Xét AHB∆ vuông H (AH đường cao) có HM ⊥ AB (M hình chiếu H AB)
2
AM AB AH
⇒ = (hệ thức cạnh đường cao tam giác vuông) (1)
+) Xét AHC∆ vuông H (AH đường cao) có HN ⊥ AC (N hình chiếu H AC)
2
AN AC AH
⇒ = (hệ thức cạnh đường cao tam giác vuông) (2)
(10)c) Hai đường thẳng NM BC cắt Q Chứng minh
AMN = ACB QH2 =QM QN +) Xét AMN∆ ACB∆ có:
BAC góc chung
AM AN
AC = AB (AM AB = AN AC )
( )
AMN ACB c g c
⇒ ∆ ∆
AMN ACB
⇒ = (hai góc tương ứng)
+) Ta có: QHM = MAH (cùng phụ với ABC)
HNH = MAH (tứ giác AMHN nội tiếp)
QHM HNH
⇒ =
+) Xét ∆QHM ∆QNH có: NQH góc chung QHM = HNH (cmt)
( )
QHM QNH g g
⇒ ∆ ∆
QH QM
QN QH
⇒ = (các cạnh tương ứng tỉ lệ)
2
QH QM QN
(11)d) Cho BAC = 60o R = 3cm Tính diện tích hình viên phân giới hạn dây BC cung BC nhỏ
+) Xét đường tròn ( )O có:
2
BAC = BOC (góc nội tiếp góc tâm
cùng chắn BC)
2 2.60o 120o
BOC BAC
⇒ = = =
Ta có:
2
2
.3 120
3 ( )
360 360
q q
R n
S = π ⇒ S = π = π cm
+) Kẻ OK ⊥ BC (K ∈ BC)
KB KC BC
⇒ = = (quan hệ vng góc đường kính dây)
Xét BOC∆ cân O (OB =OC = R) có OK đường cao (OK ⊥ BC)
OK
⇒ đồng thời đường phân giác
1
.120 60
2
o o
BOK COK BOC
⇒ = = = =
+) Xét BOK∆ vuông K (OK ⊥ BC) 3
.sin 3.sin 60 ( ) 3 ( )
2
o
BK OB BOK cm BC BK cm
⇒ = = = ⇒ = =
và cos 3.cos 60 ( )
2
o
OK =OB BOK = = cm
Ta có: 1
.3 ( )
2 2
BOC BOC
S = OK BC ⇒ S = = cm
Diện tích hình viên phân giới hạn dây BC cung BC nhỏ là:
2
9 12
3 ( )
4
vp q BOC
(12)Bài 5.
Cho x , y số dương thỏa mãn x + =y Tìm giá trị nhỏ biểu thức
2
5
P
xy
x y
= +
+
Lời giải
Ta có
( )
2 2
5 5
9 2
P
xy xy xy xy
x y x y xy
= + = + = +
−
+ + −
Đặt t = xy
Ta có (x +y)2 ≥ 4xy > 0 x∀ ,y > 0⇒ ≥9 4t > 0
t
⇒ < ≤ Khi
( )
5 16 20
5
9 81 81 81
P t t t
t t t t
= + = + − + + − −
− −
Do
4
t
< ≤ nên 2− t > Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:
( ) ( )
1 4
9 2
9 2− t + 81 − t ≥ 2− t ⋅ 81 − t =
1 16 16
2
81t 81t
t + ≥ t =
Và 20 20 22
81t 81 9
− − ≥ − − = − với
4
t
< ≤ Từ suy 22 22
9 9
P ≥ ⋅ + ⋅ − =
Vậy 22
9
min
P = xảy
2