Cho biÓu thøc: KQ:.[r]
(1)
Bài tập đáp án Bài tập 1.Thực phép tính
a) √22
√23 3√2¿2
¿ (√22)
2
(−2√3)2
b) √a¿2
¿ √a
¿3
¿ (2√a)
2
(−3√a)2 Víi a ≥0
c) (−√2)2
(−√2)4 (2√3)2
(−√2 )
2
(1−√3)2
d) √b¿2
¿ √b
¿3
¿ (−√b)
2
(3√b)2 Víi b ≥0
e) √0,09 √0,0144 √0,0001 1
2√0,04 f)
1+√61
4 2−√2
7
3 5−
1 2√1
11 25
Bµi tËp 2.Thùc hiÖn phÐp tÝnh
a) √25 36 c) √28,9 490 e) −8¿2
34.¿
√¿
b) √12,1 360 d) √0,001 250 f) √5a2 víi a<0 Bµi tËp 3.Thùc hiƯn phÐp tÝnh
a) √3.√27 b) √7.√63 c) (2+√3).(2−√3)
d) √2.√8 e) 2√3(2√6−√3+1) f) (5+2√6).(5−2√6)
g) √√10+1 √√10−1 h) (√3+√2).(√3−√2) i) (√3+√5).(√3−√5) Bµi tËp 4.Thùc hiÖn phÐp tÝnh
a) (
√2+1)2 b) (√2−1)2 c) (√2+1).(√2−1)
d) (√3+1)2 e)
(√3−1)2 f) (√3+1).(√3−1) Bµi tËp 5.Thùc hiƯn phÐp tÝnh
a) (3√2+2√3)2 b)
(3√2−2√3)2 c) (3√2+2√3).(3√2−2√3)
d) (√5+2√2)2 e)
(√5−2√2)2 f) (√5+2√2).(√5−2√2) Bµi tËp 6.Thùc hiƯn phÐp tÝnh
a)
√169 196
√2,25
√ 4,41 0,0625
√27
√3
√2 18
b) (5√3+3√5):√15 (2√18−3√32+6√2):√2
Bµi tËp 7.Thùc hiƯn phÐp tÝnh a) (√27−3√2+2❑
√6):3√3 b) √(√3+1)2
+√(1−√3)2 c) (√2+1)2+(√2−1)2 d) (√3+1)2
+(1−√3)2 e) √(√2+1)2−√(1−√2)2 f) √7+4√3+√7−4√3 g) √6+2√5+√6−2√5 h) √4−√7−√4+√7 i) (3−√5) (√10−√2)√3+√5 j) √9−4√5−√9+4√5 k) √4+2√3−√4+2√3 l) (4+√15) (√10−√6)√4−√15 Bµi tËp 8.Thùc hiƯn phÐp tÝnh
a) 3√8 −2√75 2
5√50
1
a√a
2
(2)b>0 b)
√3(2−√5)2 √18(2−√3)2
√5(1−√3)2 c)
√(1−8√2)2
√(1− x)3 √x3(1−√3)3 víi x >
d) √50(5+a)5
√(x −4)3(1− x)5 víi < x < Bµi tËp 9.Thùc hiƯn phÐp tÝnh
√2−√8 √2√8 √2+√3 √2−√3
√3−√27−√8+√2 √15.√27 √180 (1+√2+√3)(1+√2−√3)
√8+√18−√50 (√20−√45+√5).√5 (4+√15) (√10−√6)(4−√15)
√0,4+√2,5 (2+√5) (2−√5) √28 : √7
(√18 - √8) : √2 (√75+√243 - √48) : √3 (20√12− 15√27):5√3
√12+√27 √20−√5 √2+5√8−2√50
√12−√27+√108 √5−√80+√125 √45+√80−√105
√20
√5
5√7 - 7√5+ 2√70
√35 √
3 4+√
1 3+√
1 12
√75+√48−√300 √8+√18−√50 √32−√50+√98−√72
` √20−2√45+3√80−√320 (√2+1)(√2−1) √√5+3 √√5−3
√8+√18−6√1
2−√200 √
4
3+√12− 3√
3
1
3√48+3√75−√27−10√1 (√2
3+√
2).√6 (√
2 3+√
3
2).√6 √
3 20+√
1 60 −2
❑
√ 15
√50.√2 √32.√54 √8 √18 √98
√2,5.√40 √4+√15 √4−√15 √6+2√5 √6−2√5 √√5+√3+√2 √√5−√3+√2 (2√5+2√45−√125):√5 √(2+√5)2−√(2−√5)2
5
√5
1
√2−1 (5√15+12√20−54√45+√5):2√5 3+√3
√3
15 3√20
2−√2
√2−1;
√15−√6
√2−√5 ;
3√2−2√3
√2−√3 ;
3
√5−√2+
√6+√2
√3−1−
√3+1 (
1
√5−√3+
√5+√3).√5 √6−2√√2+√12+√18−√128
√(2+√5)2−√(2−√5)2 (2+√5)2 - (2+√5)2 √(√3+2)2−√(√3−2)2
√4+2√3−√4−2√3 √2+√3−√2−√3 √3+√5+√3−2√5
√3,5−√6+√3,5+√6 2006 2005
2006 2005
√1003+√2005−√1003−√2005
√8+2√15−√8−2√15 √8+√60−√8−√60 √4+√15−√4−√15
√17−12√2+√9+4√2 √16+2√63−√16−6√7 √8+√63−√8−3√7 √√5−√3−√29−12√5 √13+30√2+√9+4√2
Bµi tËp 10.Khử mẫu số thức sau: a)
2√3
2 −4√√
3−1
2+√3 (m+n)√
m2+n2 (m−3)√
1
(3)b)
√1111
120 √13
13
168 √7
7 48
x 2+¿+√
2x +√
x Bài tập 11.Trục thức mÉu:
a) 3
√5
2√3
√2
a √b
x+1
√x2−1
b) 1
√3+√2
2
2−√3 √
2+1
√2−1
3√2
√3+1
c) 1
1+√2+√3
1
√2√3−√2.√√2+√3 Bµi tËp 12.Rót gän biĨu thøc:
a) 2+√3
2−√3
5+2√6 5−2√6
√3−1
√3+1
b) 2+√3
2−√3 +
2−√3
2+√3 √
2+√3+√2−√3
√2+√3−√2−√3−
√2+√3−√2−√3
√2+√3+√2−√3 Bµi tËp 13.Rót gän biĨu thøc:
a) 3√8−4√18+2√50 5√12+2√75−5√48
b) a
b √b √a−
1
a√a
3b +
3b√9 ab
(a,b> 0)
(√28−2√3+√7)√7+√84
Bµi tËp 14.Thùc hiƯn phÐp tÝnh:
a) √3+1
√3−1+
√3−1
√3+1
b) √3+1
√3−1−
√3−1
√3+1
c) √17−4
√9+4√5 d)
[1−√2 1+√2 −
1+√2 1−√2]:√72
e) 1
2+√3−
√3+1
f) 2+√3
√2+√2+√3+
2−√3 √2−√2−√3 Bµi tập 15.Đơn giản biểu thức:
a) 7+48 b) 748 c) √2+√3−√2−√3
d) √(m+n)−2√mn e) √4x −4√xy+y f) √5+√24+√5−√24
Bµi tËp 16.Rót gän biĨu thøc:
a) 1
1+√2+
√2+√3+
√3+√4+ .+
√99+√100
b) 1
2+√2+ 3√2+2√3+
1
4√3+3√4+ .+
1
100√99+99√100
c) 1
1−√2−
√2−√3+
√3−√4− .+
√99−√100 Bµi tËp 17.Thùc hiƯn phÐp tÝnh:
a) √8−√32+√72 6√12−√20−2√27+√125 3√112−7√216+4√54−2√252−3√96 b) 2√5−√125−√80 3√2−√8+√50−4√32 2√18−3√80−5√147+5√245−3√98 c) √27−2√3+2√48−3√75 3√2−4√18+√32−√50 2√3−√75+2√12−√147
d) √20−2√45−3√80+√125 6√12−√20−2√27+√125 4√24−2√54+3√6−√150 Bµi tËp 18: Rót gän biĨu thøc:
A1= [1−a√a
1−√a +√a] + [ 1−√a
1− a ] KQ: 1+ √a A2= [1+
a+√a
√a+1] + [1−
a −√a
√a+1] KQ: 1-
a A3= [x√x+y√y
√x+√y −√xy]+[
√x+√y
x − y ] KQ: √x −√y A4= [
a√a+b√b
√a+√b −√ab]:[a − b]+
(4)A5= [√a+b −√ab
√a+√b]:[ a √ab+
b √ab− a−
a+b
√ab] KQ: √b −√a
A6=
√a+√b−1
a+√ab +
√a −√b 2√ab [
√b
a −√ab+
√b
a+√ab]
KQ:
√a
A7=
√x −√y¿2 ¿ ¿
[ x − y
√x −√y−
x√x − y√y x − y ].¿
KQ: √xy
x −√xy+y
A8= [√x+2√x −1+√x −2√x −1
√x+√2x −1+√x −√2x −1].√2x −1 KQ: x>2, A= √2x −2
1<x<2, A= √2
Bµi tËp 19 Cho biÓu thøc: B1= [√x+ y −√xy
√x+√y]:[ x √xy+y+
y √xy− x−
x+y
√xy] a)Rót gọn biểu thức B1
b)Tính giá trị biểu thøc B1 biÕt x=3, y= + ❑
√3
KQ:
a) √y −√x ; b)
Bµi tËp 20 Cho biĨu thøc: B2= 2√x −9
x −5√x+6−
√x+3
√x −2−
2√x+1 3−√x a)Rót gän B2
b)Tìm x để B2<1
KQ: a) √x+1
√x −3 ; b) < x <
Bµi tËp 21 Cho biÓu thøc: B3= a√a−1
a −√a −
a√a+1
a+√a +[1−
1
√a][ √a+1
√a −1+
√a−1
√a+1] a)Rót gän B3
b)Tìm a để B2=7
KQ:
a) 2a+2√a+2
√a ;
b) GPTBH ta đợc a=4; Bài tập 22 Cho biểu thức:
B4= [
√a+√a+b−
√a+√a+b]:[1−
√a+b
√a − b]
a)Rót gän B4
b)Tính giá trị B4 a= + √2 , b = + √2
Bµi tËp 23 Cho biĨu thøc: B5= 15√x −11
x+2√x −3+
3√x −2 1−√x −
2√x+3 3+√x a)Rót gän B5
b)Tìm giá trị x B5 =
KQ:
a) 2−5√x
√x+3 ; b) x =
121
(5)B6= [1− √x 1+√x]:[
√x+3
√x −2+
√x+2 3−√x+
√x+2
x −5√x+6]
a)Rút gọn B6 b)Tìm x để B6 <
a) √x −2 1+√x ; b)
Bµi tËp 25 Cho biÓu thøc: B7= [√x −2
x −1 − √
x+2
x −2√x+1]
x2−2x+1
2 a)Rót gän B7
b)Chøng minh víi < x < th× B7 > c)TÝnh sè trÞ cđa B7 x= 0,16
KQ: a) -3x - 3; b)
c)
Bµi tËp 26 Cho biĨu thøc: B8=
√x −√y¿2+√xy
¿ ¿
[ x − y
√x+√y+
√x3−√y3 y − x ]:¿
a)Xác định x,y để B8 tồn tại; b)Rút gọn B8;
c)Tìm giá trị nhỏ B8; d)So sánh B8 B8 ;
e)Tính số trị B8 x = 1,8; y = 0,2
KQ:
b) √xy
x −√xy+y ;
c) B8 = 0;
d) B8 < √B8 ; e)
Bµi tËp 27 Cho biÓu thøc:
B9= √x+4√x −4+√x −4√x −4 a)Rót gän B9;
b)Tìm x để N=4
Bµi tËp 28 Cho biĨu thøc: B10=
=1- [2x −1+√x 1− x +
2x√x+x −√x 1+x√x ].[
(x −√x)(1−√x) 2√x −1 ] a)Tìm x để B10 có nghĩa;
b) Rót gän B10
KQ: a) ;
b)
1−√x+x
Bµi tËp 29 Cho biĨu thøc: B11= [√a
2 − 2√a][
a −√a
√a+1−
a+√a
√a−1] a)Rót gän B11;
b) Tìm giá trị a để B10 = -4
KQ:
a) -2 √a ; b) a =
Bµi tËp 30 Cho biĨu thøc: B ❑12 = [√a+1
√a −1−
√a −1
√a+1+4√a][√a −
√a] a)Rót gän B ❑12 ;
b) Tìm giá trị B ❑12 biết a = √9 2+√6 ; c)Tìm giá trị a để √B12>B12
KQ: a) 4a ; b) 12
2+√6 ; c) < a <
(6)Bµi tËp 31 Cho biĨu thøc: B ❑13 = [x+1
x −1−
x −1
x+1]:[
x2−1−
x
x −1+
1
x+1]
a)Rót gän B ❑13 ;
b) Tìm giá trị B 13 biết x = 3+8 ; c)Tìm giá trị x B 13 = √5
KQ: a) 4x
1− x2 ; b) -2;
c) GPTBH ta đợc x ❑1 =
√5 , x ❑2 =
-√5 Bµi tËp 32 Cho biĨu thøc:
B14= [a√a −1
a −√a −
a√a+1
a+√a ]:
a+2
a −2
a)Rót gän B14;
b)Với giá trị nguyên a B14 Z
KQ: a) 2a −4
a+2 ;
b) ;
Bµi tËp 33 Cho biĨu thøc: B15= [1+ √x
x+1]:[
√x −1−
2√x
x√x+√x − x −1]
a)Rót gän B15;
b) Tìm giá trị x cho B15 >3; c)Tìm giá trị x B15 =
KQ:
a) x+√x+1
√x −1 ; b) ( √x −1¿2
+3>0∀x ; c) Kh«ng tån x TMBT Bài tập 34 Cho biểu thức:
B16=
√x −1−√x+
√x −1+√x+
√x3− x √x −1 a)Rót gän B16;
b) Tìm giá trị x cho B16 =4; c)T×m x Z +❑¿
¿ để B16 Z
+¿
❑¿
KQ:
a) -2 √x −1 ;
b); Không tồn x TMBT; c)
Bµi tËp 35 Cho biĨu thøc: B17= 2a − a
2
a+3 [
a −2
a+2 −
a+2
a −2+
4a2 4 a2] a)Rút gọn B17;
b) Tìm giá trị a cho B17 =1; c)Khi B17 có giá trị dơng, âm
KQ: a) 4a
2
a+3 ;
b)Giải PTBH đợc a=
4 , a=-1; Bµi tËp 36 Cho biĨu thøc: B18=
[ √a √a+√b+
a b −a]:[
a √a+√b−
a√a
a+b+2√ab]
a)Rót gän B18; b) BiÕt r»ng a
b=
1
4 B18 =1, hÃy tìm giá trị a, b
KQ:
a) −√a −√b
(7)Bµi tËp 37 Cho biĨu thøc: B19 = [√a+a
√a+1+1].[1−
a −√a
√a −1]: 1−√a
1+√a a)Rót gän B19;
b) TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc B19 biÕt a = 27 + 10 √2
KQ:
a) √a+1¿2
¿ ;
b) 38 + 12 √2
Bµi tËp 38 Cho biÓu thøc: B20 = a
3
− a2b −ab2+b3 a3+a2b −ab2− b3 a)Rót gän B20;
b) Tìm tỉ số a b để cho B20 =
KQ: a) a− b
a+b ;
b) a
b=3
Bµi tËp 39 Cho biĨu thøc: B21 = [x −3+
x −1]:[x −1− x −1]:
x+2
x a)Rót gän B21;
b)Tính giá trị B21 x = 6+20 ;
c) Tìm x Z để B21 Z
KQ: a) x −2
x+2 ;
b) √5−1
√5+3 ; c)…
Bµi tËp 40 Cho biĨu thøc: B22 = x+2
x+3−
5 x2
+x −6+ 2− x a)Rót gän B22;
b)TÝnh giá trị B22 x =
2+23
c) Tìm x Z để B22 Z
KQ: a) x −4
x −2 ;
b) 2√3−1
√3 ; c)…
Bµi tËp 41 Cho biĨu thøc: B23 =
1− x2 ¿2 ¿
x¿
¿ a)Rót gän B23;
b)Tính giá trị B23 x = √3+2√2 ; c) Tìm giá trị x để 3.B23=1
KQ:
a) x
1+x2 ;
b) √2+1
4+2√2 ;
c)GPTBH x1=3+√5 ; x2=
3−√5
2
Bµi tËp 42 Cho biĨu thøc: B24 = [2+x
2− x− 4x2
x2−4−
2− x 2+x ]:
x2−3x 2x2− x3 a)Rót gän B24;
b)TÝnh giá trị B24 x = |x 5|=2
KQ: a) 4x
2
(8)Bµi tËp 43 Cho biĨu thøc: B25 = [x+1
x −1−
x −1
x+1]:[
x+1−
x 1− x+
2 x2−1] a)Rót gän B25;
b)Tính giá trị B25 x = √4+2√3 ; c)Tìm x để B25 = -3
a) 4x
1− x2 ; b) 4(√3+1)
−3−2√3
c) GPTBH x1=2+√13 ;x2=
2−√13
Bµi tËp 44 Cho biÓu thøc: B26 = [ √x −1
3√x −1− 3√x+1+
8√x
9x −1]:[1−
3√x −2 3√x+1] a)Rót gän B26;
b)Tính giá trị B26 x =6+2 √5 ; c)Tìm x để B25 =
5
a) x+√x 3√x −1 ; b) 7+3√5
3√5+2
c) GPTBH x1=4; x2= 25
Bµi tËp 45 Cho biÓu thøc: B27 = 1: [ x+2
x√x −1+
√x+1
x+√x+1−
√x+1
x −1 ]
a)Rót gän B27;
b)Chøng minh B27 >3 víi mäi x>0; x kh¸c
a) x+√x+1
√x ; b)…
Bµi tËp 46 Cho biĨu thøc: B28 = [
1− x+ 1+x]:[
1 1− x−
1 1+x]+
1
x+1
a)Rót gän B28;
b)Tính giá trị B28 x =1+ √2 ; c)Tìm x để B28 =
2
KQ: a) 2x+1
x(x+1) ; b)
2√2+3 (1+√2)(√2+2) ; c)GPTBH ta đợc: x=1 x= −2
3
Bµi tËp 47 Cho biÓu thøc: B29 = [x+1
x −1−
x −1
x+1+
x2−4x −1
x2−1 ]
x+2003 x a)Rót gän B29;
b) Tìm x Z để B29 Z
KQ:
a) x+2003
x ;
b) x=2003 vµ x = -2003 Bµi tËp 48 Cho biĨu thøc:
1− a¿2 ¿
A1=(√a−2
a −1 − √
a+2
a+2√a+1): ¿ a)Rót gän ; b)Tìm Max A
KQ :A1=a a
Bài tập 49 Cho biÓu thøc:
A2=(1+ √a
a+1):(
√a −1−
2√a
a√a+√a −a −1)
a) Rót gän
KQ :A2=a+√a+1
(9)b) T×m a cho A2 >
c) TÝnh A2 víi a=19−8√3
Bµi tËp 50 Cho biÓu thøc:
A3=( x − y
√x −√y−
x√x − y√y
x − y ):
x√x+y√y
x+y+2√xyVíi
x>0 y>0 x ≠ y ¿{ { a)Rót gän
b)Chøng minh: <A3 < 1(hoặc so sánh A3vớiA3 )
KQ :A3= xy
x −√xy+y
Bµi tËp 51 Cho biĨu thøc:
A4=(2+√x
2−√x− 2−√x
2+√x − 4x
x −4): √
x −3
2√x − x
a) Rót gän
b) Tìm x để A4 >
c) Tìm x để A4 =
KQ :A4= 4x
√x −3
Bµi tËp 52 Cho biĨu thøc:
A5= x −3
√x −1−√2 a) Rót gän
b) Tìm Min A5
KQ :A5=x 1+2
Bài tËp 53 Cho biÓu thøc:
A6=( √x −1
3√x −1− 3√x+1+
8√x
9x −1):(1−
3√x −2 3√x+1) a) Rót gän
b) Tìm x để A6=6
KQ :A6=− x+√x 3√x −1
Bµi tËp 54 Cho biĨu thøc:
A7=(x −3√x
x −9 −1):(
9− x
x+√x −6+
√x −3
√x −2−
√x+2
√x+3) a) Rót gän
b) Tìm x để A7 <1
c) Tìm xẻ Z để A7ẻ Z
KQ :A7=
√x −2
Bµi tËp 55 Cho biÓu thøc:
A8=(x −5√x
x −25 −1):(
25− x
x+2√x −15−
√x+3
√x+5+
√x −5
√x −3) a) Rót gän
b) Tìm xẻ Z để A8ẻ Z
KQ :A8=
√x+3
Bµi tËp 56 Cho biÓu thøc: A9=(√x+
y −√xy
√x+√y):( x √xy+y+
y √xy− x−
x+y
√xy)
(10)a) Rót gän
b) Tính giá trị A9 với x=3, y=4+23
Bµi tËp 57 Cho biĨu thøc:
A10=(a −√a+7
a −4 +
1
√a−2):(
√a+2
√a −2−
√a −2
√a+2− 2√a
a −4) a) Rót gän
b) So s¸nh A10Víi A10
KQ :A10=a+9 6√a
Bµi tËp 58 Rút gọn biểu thức sau:
a/ √20−√45+3√18+√72 b/ ( √28−2√3+√7¿√7+√84
1 1 3 4 1
d/ 2 200 :
2 2 2 5 8
c/
(√6+√5)2−√120
Giải:
a/ √20−√45+3√18+√72 = √22 5−√32 5+3√32 2+√62
= 2√5−3√5+9√2+6√2
= (2−3)√5+(9+6)√2=15√2−√5 b/ (√28−2√3+√7)√7+√84 = √22
√7−2√3.√7+√7 √7+√22.21
= 7−2√21+7+2√21
= 14+7+ (2−2)√21=21 c/ (√6+√5)2−√120 = 6+2√30+5−√22 30
2
1 1 3 4 1 1 2 3 4 1
/ 2 200 : 2 10 :
2 2 2 5 8 2 2 2 5 8
1 3
2 2 8 8 2 12 2 64 2 54 2
4 2
d
= 6+5+2√30−2√30=11
(11)
a/
1
5
A
b/
4
6
B
c/
1 2
2 3
C
Giải:
a/
1
5
A
5
5
5 3
3
5
b/
4
6
B
2
3 3
2 3
3 3 1 1 2
2
2 3
c/
1 2
2 3
C
1
2 3 3
3 3 2
3 3
2
2
3 3 3
2 3 3 3 3 3 3
1
3 3 3
3 3
Bµi tËp 60 Chứng minh đẳng thức sau:
a/
2
2 2 2 9
b/ 2 2
c/
2
4
8
2 5
(12)a/
2
2 2 2 9
BĐVT ta có :
2
2 2 2 2 4 6 9 VP
Vậy đẳng thức chứng minh
b/ 2 3 2
BĐVT ta có :
2 3
2 3
2
2
3
4
2
3 3 1 3 3
6
2 2 VP
Vậy đẳng thức chứng minh
c/
2
4
8
2 5
BĐVT ta có :
2
2 2 2
4 2
2 5 2 5 2 5
2 2
2 2
5
2 5 5
2 5
5 VP
Vậy đẳng thức chứng minh
Bµi tËp 61 So sánh ( khơng dùng bảng số hay máy tính bỏ túi )
a/ 2 10
b/ 2003 2005 2004
c/
Giải:
a/ 2 3 10
Ta có:
2
2 2 6 5 24
Và
2
10 10 5 5 25
Vì 24 < 25 => 24 < 25=> 5 24 5 25 Hay
2
(13)b/ 2003 2005 2 2004
Ta có:
2
2003 2005 2003 2005 2003.2005
2
4008 2004 2004 4008 2004
Và
2
2
2 2004 4.2004 2.2004 2004
Vì
2 2
2
2
2004 2004 2004 2004
4008 2004 4008 2004
2003 2005 2004 2003 2005 2004
c/
Ta có: 32 75
Và 52 45
Vì 75 > 45 => 75 45 75 45 3 Bµi tËp 62 Cho biểu thức
1 1
:
1
a M
a a a a a
với a >0 a 1
a/ Rút gọn biểu thức M b/ So sánh giá trị M với Giải: Đkxđ: a >0 a 1
a/
1 1 1
:
1 2 1
a M
a a a a a
¿(
√a(√a −1)+
√a −1):
√a+1 (√a −1)2
¿ 1+√a
√a(√a −1)
(√a −1)2
√a+1 =
(1+√a)(√a−1)2
√a(√a −1) (√a+1)=
√a −1
√a
b/ Ta có M=√a−1
√a =1−
√a , a > => √a>0 =>
√a>0 nên 1−
√a<1
Vậy M <
Bµi tËp 63 Cho biểu thức
P=(
√x −√x −1−
x −3
√x −1−√2)(
√2−√x−
√x+√2
√2x − x)
a/ Tìm điều kiện để P có nghĩa b/ Rút gọn biểu thức P
c/ Tính giá trị P với x=3−2√2 Giải:
a/ Biểu thức P có nghĩa và chỉ :
¿
√x>0
√x −1≥0
√2−√x ≠0
√x −1−√2≠0
¿{ { {
(14)⇔
x>0
x ≥1
x ≠2
x ≠3
⇔
¿x ≥1
x ≠2
x ≠3
¿{ { {
b/ Đkxđ : x ≥1; x ≠2; x ≠3
P=(
√x −√x −1−
x −3
√x −1−√2)(
√2−√x−
√x+√2
√2x − x)
¿[ (√x+√x −1)
(√x −√x −1)(√x+√x −1)−
(x −3)(√x −1+√2) (√x −1−√2) (√x −1+√2)][
2
√2−√x−
√x+√2
√x(√2−√x)]
¿[√x+√x −1
x −(x −1) −
(x −3)(√x −1+√2) (x −1)−2 ]
2√x −√x −√2
√x(√2−√x)
¿(√x+√x −1
x − x+1 −
(x −3)(√x −1+√2)
x −3 )
−(√2−√x)
√x(√2−√x)
¿(√x+√x −1−√x −1−√2).−1
√x=
(√x −√2).(−1)
√x =
√2−√x √x
c/ Thay x=3−2√2=(√2−1)2 vào biểu thức P=√2−√x
√x , ta có:
P=√2−√(√2−1)
√(√2−1)2 =
√2−|√2−1| |√2−1| =
√2−√2+1
√2−1 ¿
√2−1=√2+1
Bµi tËp 64 Cho biểu thức
A= 2x
x+3−
x+1
3− x−
3−11x
x2−9 với x ≠ ±3
a/ Rút gọn biểu thức A b/ Tìm x để A <
c/ Tìm x nguyên để A nguyên Giải:
a/ Đkxđ: x ≠ ±3
A= 2x
x+3−
x+1
3− x−
3−11x
x2−9 =
2x
x+3+
x+1
x −3−
3−11x (x+3)(x −3) 2x(x −3)+(x+1) (x+3)−(3−11x)
(x+3)(x −3) =
2x2−6x+x2+3x+x+3−3+11x (x+3)(x −3)
3x2 +9x (x+3)(x −3)=
3x(x+3) (x+3)(x −3)=
3x
x −3
b/ Ta có A= 3x
x −3 , A < tức là 3x x −3<2⇔
3x
x −3−2<0⇔
3x −2(x −3)
x −3 <0
⇔3x −2x+6
x −3 <0⇔
x+6
(15)Dễ thấy x + > x – vì vậy Bất phương trình (*) có nghiệm
¿ x+6>0 x −3<0
¿{ ¿
⇔−6<x<3
Vậy với −6<x<3 A < c/ Ta có A= 3x
x −3=3+
9
x −3∈Ζ⇔
9
x −3∈Ζ⇔x −3∈U(9)
Mà U(9)={±1;±3;±9} nên ta có:
x – = - <= > x = ( tm đkxđ ) x – = < => x = ( tm đkxđ ) x – = - <= > x = ( tm đkxđ ) x – = < = > x = ( tm đkxđ ) x – = - <=> x = - ( tm đkxđ ) x – = <= > x = 12 ( tm đkxđ )
Vậy với x = - 6; 0; 2; 4; 6; 12 thì A nhận giá trị nguyên Bµi tËp 65 Cho biểu thức
B=( 2x+1 √x3−1−
√x x+√x+1).(
1+√x3
1+√x −√x) với x ≥0 x ≠1
a/ Rút gọn B; b/ Tìm x để B =
Giải: Đkxđ : x ≥0 x ≠1
a/ B=( 2x+1 √x3−1−
√x x+√x+1).(
1+√x3 1+√x −√x)
¿2x+1−√x(√x −1) (√x −1).(x+√x+1).[
(√x+1)(x −√x+1)
√x+1 −√x] ¿ 2x+1− x+√x
(√x −1).(x+√x+1).(1−2√x+x) ¿ x+√x+1
(√x −1).(x+√x+1).(√x −1)
=√x −1
b/ Ta có B=√x −1 B = 3, tức là √x −1=3⇔√x=4⇔x=16 ( t/m đkxđ) Vậy với x = 16 thì B =
Bµi tËp 66 Cho biểu thức
A=[(
√x+
1
√y)
2
√x+√y+
x+
1
y]:√
x3+y√x+x√y+√y3
√x3y+√xy3 với x > , y >
a/ Rút gọn A;
b/ Biết xy = 16 Tìm các giá trị của x, y để A có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị đó Giải: Đkxđ : x > , y >
a/ A=[(
√x+
√y)
√x+√y+
x+
1 y]:√
x3
+y√x+x√y+√y3 √x3y
+√xy3
¿(√x+√y
√xy
√x+√y+ x+y xy ):
(√x+√y)(x −√xy+y)+√xy(√x+√y)
(16)¿(
√xy+
x+y
xy ):
(√x+√y)(x+y)
√xy(x+y)
¿(√x+√y)
xy
√xy
√x+√y=
√x+√y √xy
b/ Ta có (√√x −√√y)2≥0⇔√x+√y −2√√xy≥0
⇔√x+√y ≥2√√xy
Do đó A=√x+√y
√xy ≥
2√√xy
√xy =
2√√16
√16 =1 ( xy = 16 )
Vậy A =
4. 16
x y
x y xy
Bai 67 :
1) Đơn giản biÓu thøc : P = 14 5 14 5
2) Cho biÓu thøc : Q =
x x x
x
x x x
a)Đơn giản biểu thức Q b) Tìm x để | Q | > - Q
c) Tìm số ngun x để Q có giá trị ngun
Híng dÉn : 1 P = 6
2 a) §KX§ : x > ; x BiĨu thøc rót gän : Q =
x −1
b) | Q | > - Q ⇔ x > c) x = {2;3} th× Q Z
Bµi 68 : Cho biĨu thøc P =
1 x
x1 x x
a) Rót gän biĨu thøc sau P
b) TÝnh giá trị biểu thức P x =
1 .
Híng dÉn : a) §KX§ : x > ; x BiĨu thøc rót gän : P = x+1
1− x b) Víi x =
1
2 th× P = - – 2 √2 .
Bai 69 : Cho biÓu thøc : A = xx −√x+11 − x −1
√x+1 a) Rót gän biĨu thøc sau A
b) Tính giá trị biểu thức A x = c) Tìm x để A <
d) Tìm x để | A | = A
Híng dÉn : a) §KX§ : x 0, x BiĨu thøc rót gän : A = √x
√x −1
(17)c) Víi x < th× A < d) Víi x > th× | A | = A
Bai 70 : Cho biÓu thøc: A =
1
1
a a a
a) Rót gän biÓu thøc sau A
b) Xác định a để biểu thức A >
Híng dẫn : a) ĐKXĐ : a > a9 BiĨu thøc rót gän : A =
√a+3 b) Víi < a < th× biĨu thøc A >
2 .
Bai 71 : Cho biÓu thøc: A =
2
x x x 4x x 2003
x x x x
.
1) Tìm điều kiện x để biểu thức có nghĩa 2) Rút gọn A
3) Với x ẻ Z? để A ẻ Z?
Híng dÉn : a) §KX§ : x ≠ ; x ≠ ±
b) BiĨu thøc rót gän : A = x+2003
x víi x ≠ ; x ≠ ± c) x = - 2003 ; 2003 A ẻ Z
Bai 72 : Cho biÓu thøc: A =
2 x x x x x x
:
x
x x x x
.
a) Rút gọn A b) Tìm x để A <
c) Tìm x nguyên để A có giá trị ngun
Híng dÉn : a) §KX§ : x > ; x ≠ BiĨu thøc rót gän : A = √x+1
√x −1
b) Víi < x < th× A < c) x = {4;9} th× A Z.
Bai 73 : Cho biÓu thøc: A =
x x x
:
x x x x 1 x
a) Rót gän biĨu thøc A
b) Chøng minh r»ng: < A <
Híng dÉn : a) §KX§ : x > ; x ≠ BiĨu thøc rót gän : A =
x+√x+1
b) Ta xÐt hai trêng hỵp :
+) A > ⇔
x+√x+1 > với x > ; x ≠ (1)
+) A < ⇔
x+√x+1 < ⇔ 2( x+√x+1 ) > ⇔ x+√x > theo gt x > (2)
(18)Bai 74 : Cho biÓu thøc: P =
a a a
4 a
a a
(a 0; a 4)
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị cđa P víi a =
Híng dÉn : a) §KX§ : a 0, a 4 BiĨu thøc rót gän : P =
√a −2
b) Ta thÊy a = §KX§ Suy P =
Bai 75 : Cho biÓu thøc: N =
a a a a
1
a a
1) Rót gän biĨu thøc N
2) Tìm giá trị a để N = -2004
Híng dÉn : a) §KX§ : a 0, a 1 BiĨu thøc rót gän : N = – a b) Ta thÊy a = - 2004 §KX§ Suy N = 2005
Bai 76 : Cho biÓu thøc P=x√x+26√x −19
x+2√x −3 −
2√x √x −1+
√x −3
√x+3 a Rót gän P
b TÝnh gi¸ trÞ cđa P x=7−4√3
c Với giá trị x P đạt giá trị nhỏ tính giá trị nhỏ Hớng dẫn :
a ) §KX§ : x 0, x 1 BiĨu thøc rót gän : P=x+16
√x+3 b) Ta thÊy x=7−4√3 §KX§ Suy P=103+3√3
22
c) Pmin=4 x=4
Bai 77 : Cho biÓu thøc P=( 2√x
√x+3+
√x √x+3−
3x+3 x −9 ):(
2√x −2
√x −3 −1) a Rút gọn P b Tìm x để P<−1
2 c Tìm giá trị nhỏ P Hớng dẫn :
a ) §KX§ : x 0, x 9 BiĨu thøc rót gän : P= −3
√x+3 b Víi 0≤ x<9 th× P<−1
2 c Pmin= -1 x =
Bµi 78: Cho A=
1 1
4
1
a a
a a
a a a
víi x>0 ,x1
a Rót gän A
b TÝnh A víi a =
4 15 10 4 15
(19)Bµi 79: Cho A=
3
1 :
9
x x x x x
x x x x x
víi x0 , x9, x4
a Rút gọn A b x= ? Thì A < c Tìm x Zẻ để A Zẻ
(KQ : A=
3
x )
Bµi 80: Cho A =
15 11 2
2 3
x x x
x x x x
víi x0 , x1.
a Rót gän A
b Tìm GTLN A c Tìm x để A =
1
d CMR : A
2
(KQ: A =
2
x x
)
Bµi 81: Cho A =
2 1
1 1
x x
x x x x x
víi x0 , x1.
a Rót gän A
b T×m GTLN cña A ( KQ : A =
x x x ) Bµi 82: Cho A =
1
1 1
x x x x x víi x0 , x1. a Rót gän A
b CMR : 0 A ( KQ : A =
1
x x x )
Bµi 83: Cho A =
5 25
1 :
25 15
x x x x x
x x x x x
a Rót gän A
b Tìm x Zẻ để A Zẻ
( KQ : A =
5
x )
Bµi 84: Cho A =
2
5
a a a
a a a a
víi a 0 , a9 , a4
a Rút gọn A b Tìm a để A <
c Tìm a Zẻ để A Zẻ ( KQ : A =
1
a a
(20)Bµi 85: Cho A=
7 2
:
4 2
x x x x x
x x x x x
víi x > , x4
a Rót gän A b So s¸nh A víi
1
A ( KQ : A =
9
x x
)
Bµi 86: Cho A =
2
3
: x y xy
x y x y
y x
x y x y
víi x0 , y0, xy
a. Rót gän A
b. CMR : A 0 ( KQ : A =
xy x xyy
)
Bµi 87 : Cho A =
1 1 1
1
x x x x x x
x
x x x x x x x
Víi x > , x1.
a Rót gän A
b Tìm x để A = ( KQ : A =
2 x x
x
)
Bµi 88 : Cho A =
4
:
2
2
x x x
x x x
x x
víi x > , x4.
a Rót gän A
b TÝnh A víi x = 5 (KQ: A = 1 x)
Bµi 89: Cho A=
1 1 1
:
1 x x x x x
víi x > , x1.
a Rót gän A
b TÝnh A víi x = 5 (KQ: A =
3
2 x )
Bµi 90 : Cho A=
3
2 1
:
1
1
x x
x x x
x
víi x0 , x1.
a Rót gän A
b Tìm x Zẻ để A Zẻ (KQ: A =
x x )
Bµi 91: Cho A=
1 2
:
1
1 1
x
x
x x x x x x
víi x0 , x1.
a Rót gän A
b Tìm x Zẻ để A Zẻ
c Tìm x để A đạt GTNN (KQ: A =
1
x x
(21)Bµi 92 : Cho A =
2 3 2
:
9
3 3
x x x x
x
x x x
víi x0 , x9
a Rút gọn A b Tìm x để A <
-1
( KQ : A =
3
a
)
Bµi 93 : Cho A =
1
:
1
1 1
x x x x x
x x
x x x
víi x0 , x1.
a Rót gän A
b TÝnh A víi x = 5 (KQ: A =
4
x x ) c CMR : A 1
Bµi 94 : Cho A =
1 1
:
1
x
x x x x x
víi x > , x1.
a Rót gän A (KQ: A =
1
x x
) b.So sánh A với
Bài 95: Cho A =
1
:
9
3 3
x x x
x
x x x
Víi
1 0,
9
x x a Rót gän A
b Tìm x để A =
6
c Tìm x để A <
( KQ : A =
x x x
)
Bµi96: Cho A =
2
2 2
1 2
x x x x
x x x
víi x0 , x1.
a Rót gän A
b CMR nÕu < x < th× A > c TÝnh A x =3+2
d T×m GTLN cđa A (KQ: A = x(1 x) )
Bµi 97 : Cho A =
2 1
:
1 1
x x x
x x x x x
víi x0 , x1.
a Rót gän A
b CMR nÕu x0 , x1 th× A > , (KQ: A =
2
(22)Bµi 98 : Cho A =
4
1 :
1
1
x x
x x
x
víi x > , x1, x4.
a Rút gọn b Tìm x để A =
1
Bµi 99 : Cho A =
1 3
:
1
1
x x x x
x x
x x
víi x0 , x1.
a Rót gän A
b TÝnh A x= 0,36
c Tìm x Zẻ để A Zẻ
Bµi 100 : Cho A=
3 2
1 :
1
x x x x
x x x x x
víi x 0 , x9 , x4.
a Rót gän A
b Tìm x Zẻ để A Zẻ c Tìm x để A < (KQ: A =
2
x x