Biểu diễn ma trận và đặc trưng của nhóm đối xứng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN THỊ LỆ HIỀN BIỂU DIỄN MA TRẬN VÀ ĐẶC TRƯNG CỦA NHÓM ĐỐI XỨNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng – Năm 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN THỊ LỆ HIỀN BIỂU DIỄN MA TRẬN VÀ ĐẶC TRƯNG CỦA NHÓM ĐỐI XỨNG Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.60 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS TRẦN ĐẠO DÕNG Đà Nẵng – Năm 2013 LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa công bố công trình khác Tác giả Nguyễn Thị Lệ Hiền MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Cấu trúc luận văn CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 BIỂU DIỄN CỦA NHÓM HỮU HẠN 1.1.1 Biểu diễn 1.1.2 Biểu diễn ma trận 1.1.3 Biểu diễn tương đương 1.2 BIỂU DIỄN BẤT KHẢ QUY 10 1.2.1 Không gian bất biến 10 1.2.2 Biểu diễn bất khả quy 11 1.3 TỔNG TRỰC TIẾP VÀ TÍCH CỦA CÁC BIỂU DIỄN 12 CHƯƠNG ĐẶC TRƯNG CỦA BIỂN DIỄN 14 2.1 ĐẶC TRƯNG 16 2.1.1 Vết tính chất vết 16 2.1.2 Đặc trưng biểu diễn 18 2.2 TÍNH TRỰC GIAO CỦA CÁC ĐẶC TRƯNG 23 2.2.1 Bổ đề Schur 23 2.2.2 Tính trực giao đặc trưng 25 2.3 HÀM LỚP 31 2.3.1 Tích vơ hướng 31 2.3.2 Cơ sở đặc trưng 33 CHƯƠNG BIỂU DIỄN VÀ ĐẶC TRƯNG BẤT KHẢ QUY CỦA NHÓM ĐỐI XỨNG 36 3.1 BIỂU DIỄN BẤT KHẢ QUY CỦA NHÓM ĐỐI XỨNG 36 3.1.1 Nhóm đối xứng 36 3.1.2 Biểu diễn nhóm đối xứng 36 3.2 BIỂU DIỄN CẢM SINH 40 3.2.1 Các đặc trưng thu hẹp mở rộng 40 3.2.2 Biểu thức xác định χ ↑G H 44 3.3 BIỂU DIỄN VÀ ĐẶC TRƯNG BẤT KHẢ QUY CỦA NHÓM ĐỐI XỨNG 45 3.3.1 Nhóm Young 45 3.3.2 Bảng đặc trưng 48 3.3.3 Mô tả biểu diễn bất khả quy nhóm S3 49 3.3.4 Mơ tả biểu diễn bất khả quy nhóm S4 50 3.3.5 Mô tả biểu diễn bất khả quy nhóm S5 53 KẾT LUẬN 56 TÀI LIỆU THAM KHẢO QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (Bản sao) DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU Các ký hiệu sau sử dụng xuyên suốt luận văn "là phân hoạch của" ⊥ "Phần bù trực giao" ≤ "Khơng gian của", "Nhóm của" x1 , x1 , · · · Nhóm sinh x1 , x2 , · · · |θ| Tổng phần phân hoạch θ [G : H] Bậc H G, H < G [T ]A Biểu diễn ma trận T ∈ End(V) 1G Biểu diễn tầm thường G ι Phần tử đơn vị G Λ Vành hàm đối xứng ρG Biểu diễn G ρ ↑G H Biểu diễn cảm sinh G từ H < G, ρ biểu diễn H σ ↑G H Thu hẹp biểu diễn σ G đến H < G biểu diễn H χρ Đặc trưng biểu diễn ρ crp,q Hệ số liên thông cho lớp đại số CG CG Nhóm đại số G C deg(ρ) Bậc biểu diễn ρ ei Phần tử sở chuẩn Cn g Cấp |G| G H ξ đặc trưng bất khả quy G Chứng minh Ta có ξ đặc trưng tổng quát G nên ξ = n1 χρ1 + + nk χρk n1 , , nk số nguyên Vì ξ, ξ CG = 1, nên từ tính trực giao đặc trưng bất khả quy ta có n21 + + n2k = Do k = 1, dẫn đến n21 = nên n1 = ±1 Khi ξ = ±χρ1 Tuy nhiên ξ (ι) > 0, χρ1 = degρ1 > nên ξ = χρ1 Suy điều phải chứng minh Vì xét nhóm Sn , nên bổ sung ký hiệu đặc trưng bất khả quy Một nhóm hữu hạn tùy ý G có k đặc trưng bất khả quy, k số lớp liên hợp G Đối với Sn , k = p(n) số phân hoạch n, {θ : θ n} tập hợp số đặc trưng bất khả quy Sn Thật ra, tập số tự nhiên đặc trưng bất khả quy, nói cách khác θ số tự nhiên lớp liên hợp Sn biểu diễn bất khả quy xây dựng từ lớp liên hợp χθ : θ n tập hợp đầy đủ biểu diễn bất khả quy Sn Nếu x ∈ Sn , giá trị χθ x ∈ Cα ký hiệu χθα Từ Hệ 2.2, χθα ∈ Sn , với α n Định lý sau cho thấy tầm quan trọng quan hệ trực giao đặc trưng bất khả quy Sn 48 Định lý 3.4 Các hệ thức trực giao [3, Theorem 8.3] n!1 α n hα χθα χφα = δθφ θ, φ n, n! θ θ α n χα χβ = hα δαβ α, β n Kết cho ta biểu thức tiếng Frobenius chuỗi tổng quát biểu diễn bất khả quy nhóm đối xứng số hạng hàm Schur Định lý 3.5 [3, Theorem 8.4] Giả sử λ n, sΛ hàm Schur cho Λ phân hoạch n Khi sλ = n! hα χλα pα α n 3.3.2 Bảng đặc trưng Bảng đặc trưng nhóm hữu hạn G bảng hình thành sau: Cột tương ứng với lớp liên hợp G hàng tương ứng với đặc trưng χi biểu diễn bất khả quy không tương đương G Lớp liên hợp thứ j Cj định cách hiển thị biểu diễn cj ∈ Cj Trong cột i, hàng j ta đặt χi (cj ) sau: c1 c2 ··· cn χ1 χ1 (c1 ) χ1 (c2 ) ··· χ1 (cn ) χ2 χ2 (c1 ) χ2 (c2 ) ··· χ2 (cn ) χn χn (c1 ) χn (c2 ) ··· χn (cn ) Thông thường ta lấy c1 = ι χ1 đặc trưng tầm thường tương ứng với biểu diễn tầm thường 1-chiều Khi χ1 (x) = 1, với x ∈ G, đầu bảng ln có dạng: 49 χ1 c1 c2 ··· cn 1 1 Ngoài ra, cột số chiều biểu diễn bất khả quy ρi , χi (ι) Để sử dụng bảng đặc trưng, trước tiên ta cần phải xác định đặc trưng bất khả quy Số lượng hàng số lượng lớp liên hợp nhóm G tồn đặc trưng tầm thường 1-chiều Các đặc trưng biểu diễn bất khả quy phức G đặc trưng bất khả quy G Khi có bảng đặc trưng nhóm G ta phân tích biểu diễn tùy ý thành thành phần bất khả quy Trong phần cuối luận văn, tập trung mô tả biểu diễn bất khả quy số nhóm đối xứng cụ thể mơ tả biểu diễn bất khả quy nhóm đối xứng Sn với n = 3, 3.3.3 Mô tả biểu diễn bất khả quy nhóm S3 Ta có nhóm S3 có hai biểu diễn bất khả quy 1−chiều là: biểu diễn tầm thường ρ1 = 1S3 biểu diễn 1−chiều ρ2 = π (Định lý 3.3) Mặt khác: S3 có 3! = phần tử, = 12 + 12 + 22 nên theo Hệ 2.3, có biểu diễn bất khả quy 2-chiều Ta xây dựng biểu diễn sau: mặt phẳng Euclide E ta xét tam giác E1 E2 E3 có tâm gốc Khi đó, tương ứng xác định bởi: ρ : S3 → GL(E) σ → ρ3 (σ) : E → E Ei → ρ3 (σ)Ei = Eσi , i = 1, 2, biểu diễn thực bất khả quy Suy ra, ρ3 (σ) phép biến đổi đồng nhất, phép quay góc quay 2π hay − 2π , phép đối xứng qua đường cao tam giác 50 Vì vậy, ρ3 biểu diễn thực 2-chiều S3 ρ3 bất khả quy Kiểm tra ta thấy rằng: ρo ρ3 Chúng ta sử dụng phép quay mặt phẳng để mô tả ρ3 tính đặc trưng Xét sở trực chuẩn, ma trận ρ3 có dạng: ρ3 (ι) = ⇒ χ3 (ι) = trρ3 (ι) = ρ3 ((12)) = −1 ⇒ χ3 ((12)) = √ − 23 ρ3 ((123)) = ⇒ χ3 ((123)) = −1 − 12 Khi tính tốn, ta có bảng đặc trưng biểu diễn S3 − √2 với dòng đầu lớp liên hợp phân biệt S3 dòng cuối số phần tử lớp tương ứng: ι (12) (123) χ1 1 χ2 -1 χ3 -1 3.3.4 Mô tả biểu diễn bất khả quy nhóm S4 Trước mơ tả biểu diễn bất khả quy nhóm S4 , thơng qua định lý sau giúp xác định biểu diễn bất khả quy nhóm S4 từ biểu diễn bất khả quy nhóm S3 Định lý 3.6 Gọi x = (12)(34), y = (13)(24), z = (14)(23) Khi nhóm A = {ι, x, y, z} chuẩn tắc aben S4 S4 /A Chứng minh Kiểm tra ta thấy A nhóm S4 Khi đó, ta chứng minh σπσ −1 ∈ A, ∀σ ∈ S4 , ∀π ∈ A S3 51 Có hai trường hợp xảy ra: TH1: Nếu π = ι hiển nhiên ta có σπσ −1 ∈ A TH2: Nếu π = ι, gọi i, j hai phần tử vòng xích (chuyển trí) π , nghĩa π(i) = j π(j) = i Giả sử σ(i) = h σ(j) = k Khi đó, ta có: (σπσ −1 )(h) = (σπ)(i) = σ(j) = k, (σπσ −1 )(k) = (σπ)(i) = σ(i) = h Giả sử σ(i1 ) = h1 σ(j1 ) = k1 , hồn tồn tương tự ta có: (σπσ −1 )(h1 ) = k1 , (σπσ −1 )(k1 ) = h1 Từ suy ra: σπσ −1 ) = (hk)(h1 k1 ) ∈ A Vậy A nhóm chuẩn tắc S4 Ta có bảng nhân sau thể tính giao hốn A: ι x y z ι ι x y z x x ι z y y y z ι x z z y x ι Bây giờ, xét nhóm thương S4 /A S4 /A S3 lớp A S4 chứa phép giữ cố định Ta có mơ tả biểu diễn bất khả quy S4 sau: Ta kiểm tra nhóm S4 có lớp liên hợp phân biệt với phần tử đại diện là: ι, (12), (12)(34), (123) (1234) số phần tử lớp 1, 6, 3, Suy theo Hệ 2.7, S4 có biểu diễn bất khả quy, cụ thể là: 52 a) Hai biểu diễn bất khả quy 1−chiều biểu diễn tầm thường 1S4 biểu diễn 1-chiều π b) S4 có biểu diễn bất khả quy 2−chiều ρp phép nâng biểu diễn bất khả quy 2−chiều S3 (từ Định lý 3.6) c) S4 có biểu diễn bất khả quy 3−chiều ρo (từ Định lý 3.2) Lại có: 12 + 12 + 22 + 32 = 15 |S4 | = 4! = 24 nên theo Hệ 2.3 suy √ nhóm S4 cịn có biểu diễn bất khả quy với số chiều 24 − 15 = Vì theo Nhận xét 1.3 ta có ρo bất khả quy π biểu diễn 1−chiều nên ρo π biểu diễn bất khả quy ρo π ρo nên biểu diễn bất khả quy 3−chiều lại ρo π Giả sử V không gian biểu diễn biểu diễn ρ xác định Mệnh đề 3.1 S4 có sở {v1 , v2 , v3 , v4 } Chọn {v4 − v1 , v4 − v2 , v4 − v3 } sở Vo = vi − vj , i = j , ta có: ρo = ρ|Vo : S4 → GL(Vo ) σ → ρo (σ) : Vo → Vo v4 − vi → vσ(4) − vσ(i) , i = 1, 2, Tính tốn trực ρo (ι) = 0 tiếp ta được: 0 , 1 ρo ((12)(34)) = 0 , −1 −1 −1 −1 −1 −1 ρo ((1234)) = 0 0 ρo ((12)) = 0 , 0 0 ρo ((123)) = 0 , Giả sử v không gian biểu diễn π Theo Định nghĩa 1.11 tích tenxơ biểu diễn ta có: ρo π : S4 → GL(Vo ⊗ v ) σ → ρo π(σ) : Vo ⊗ v (v4 − vi ) ⊗ v → Vo ⊗ v → (vσ(4) − vσ(i) ) ⊗ π(σ)v 53 Tính tốn tương tự ta được: −1 −1 0 , ρo π((12)(34)) = 0 −1 ρo π((12)) = −1 −1 0 1 −1 Hoặc ta tính tốn nhanh dựa vào cơng thức χρo π = χρo χπ , nên từ đặc trưng biểu diễn ρo π ta suy đặc trưng ρo π Từ ta có bảng đặc trưng biểu diễn S4 sau: ι (12) (12)(34) (123) (1234) χ1 1 1 χπ -1 1 -1 χρ p 2 -1 χρo -1 -1 χρ o π - -1 1 Bên cạnh việc tính tốn lớp liên hợp nhóm S4 , ta sử dụng phép quay tụ trùng hình lập phương để mô tả biểu diễn bất khả quy nhóm S4 3.3.5 Mơ tả biểu diễn bất khả quy nhóm S5 Ta có nhóm S5 có lớp liên hợp phân biệt với phần tử đại diện là: ι, (12), (123), (1234), (12345), (12)(34) (12)(345) với số phần tử tương ứng lớp 1, 10, 20, 30, 24, 15 20 a) S5 có hai biểu diễn bất khả quy 1-chiều biểu diễn tầm thường 1S5 biểu diễn 1−chiều π b) S5 có hai biểu diễn bất khả quy 4-chiều ρo ρo π Vì S5 có lớp liên hợp phân biệt nên theo Hệ 2.7, S5 có biểu diễn bất khả quy Xét Λ2 Vo không gian vectơ 2−dạng ngồi Vo Khi Λ2 Vo không gian vectơ bất biến qua ρ2o = ρo ρo nên Λ2 ρo = ρ2o |Λ2 ρo biểu diễn ρo 54 Ta có công thức: χΛ ρo (x) = χρo (x) − χρo (x2 ) Tính tốn cụ thể lớp liên hợp phân biệt cho ta: 2ρ χΛ o ι (12) (123) (1234) (12345) (12)(34) (12)(345) 0 -2 Ta kiểm tra χΛ ρo , χΛ ρo = nên Λ2 ρo biểu diễn bất khả quy 6-chiều S5 Gọi n1 , n2 số chiều hai biểu diễn bất khả quy lại Vì 5! = 120 = 12 + 12 + 42 + 42 + 62 + n21 + n22 Suy ra: n21 + n22 = 50 Vì hai biểu diễn bất khả quy cịn lại có chiều lớn nên trường hợp n1 = 1, n2 = khơng xảy Do n1 = n2 = Gọi ρ hai biểu diễn bất khả quy 5-chiều χρ ι (12) (123) (1234) (12345) (12)(34) (12)(345) α1 α2 α3 α4 α5 α6 Sử dụng hệ thức trực giao ta thu hệ phương trình:  + 10α1 + 20α2 + 30α3 + 24α4 + 15α5 + 20α6 =      − 10α1 + 20α2 − 30α3 + 24α4 + 15α5 − 20α6 = 20 + 20α1 + 20α2 − 24α4 − 20α6 = 20 − 20α + 20α − 24α + 20α6 =    30 − 24α4 − 30α5 =0   25 + 10α12 + 20α22 + 30α32 + 24α42 + 15α52 + 20α62 = Giải hệ phương trình ta nghiệm: α1 = α5 = α6 = 1, α2 = α3 = −1, α4 = Ngồi ta cịn giải được: α1 = α2 = α6 = −1, α3 = α5 = 1, α4 = Đây giá trị đặc trưng biểu diễn ρπ lớp liên hợp 55 bảng sau Suy ρπ ρ Vậy ta có bảng đặc trưng biểu diễn bất khả quy lớp liên hiệp phân biệt nhóm S5 là: 1S5 π ρo ρo π Λ2 ρ o ρ ρπ ι (12) (123) (1234) (12345) (12)(34) (12)(345) 1 1 1 1 -1 -1 1 -1 -1 -1 -2 -1 0 -2 -1 -1 1 -1 -1 1 -1 10 20 30 24 15 20 56 KẾT LUẬN Qua thời gian tìm hiểu, tiếp cận nghiên cứu biểu diễn ma trận đặc trưng nhóm đối xứng, luận văn hoàn thành đạt mục tiêu nghiên cứu đề tài với kết cụ thể sau: • Tổng quan hệ thống đầy đủ khái niệm, kết biểu diễn ma trận, đặc trưng nhóm đối xứng thơng qua lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn • Trình bày mô tả chi tiết biểu diễn bất khả quy, bảng đặc trưng tương ứng nhóm đối xứng S3 , S4 , S5 • Thể tường minh số định lý, bổ đề hệ quan trọng có liên quan đến luận văn Với khảo sát luận văn tài liệu tham khảo hữu ích cho thân tiếp tục sâu nghiên cứu sau hy vọng nguồn tư liệu tốt cho quan tâm nghiên cứu nhóm đối xứng Trong điều kiện thời gian khuôn khổ luận văn nên chưa sâu nghiên cứu biểu diễn bất khả quy nhóm đối xứng Sn , với n > Đó hướng phát triển luận văn Tôi mong nhận góp ý chân thành q thầy bạn đọc để tiếp tục tìm hiểu, nghiên cứu phát triển luận văn sau DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Hữu Việt Hưng (1999), Đại số Đại cương, Nhà xuất Đại học Quốc gia, Hà Nội Tiếng Anh [2] Andrew Baker (2011), Representations of Finite Group, Lecture Notes, University of Glasgow, USA [3] D.M Jackson (2004), Notes on the Representations of Finite Groups, and invariant theory Lecture Notes [4] Ernest B Vinberg (1989), Linear Representations of Groups, Birkhauser Verlarg - Basel Boston, Berlin QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN ... DIỄN VÀ ĐẶC TRƯNG BẤT KHẢ QUY CỦA NHÓM ĐỐI XỨNG 36 3.1 BIỂU DIỄN BẤT KHẢ QUY CỦA NHÓM ĐỐI XỨNG 36 3.1.1 Nhóm đối xứng 36 3.1.2 Biểu diễn nhóm đối xứng 36 3.2 BIỂU DIỄN CẢM... lý thuyết nhóm hữu hạn, đặc biệt nhóm đối xứng Khảo sát biểu diễn ma trận, đặc trưng nhóm đối xứng đồng thời mơ tả biểu diễn bất khả quy nhóm đối xứng 2 Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng... ρ biểu diễn hoán vị G, bậc biểu diễn m 1.1.2 Biểu diễn ma trận Một biểu diễn ma trận xem cách để mơ hình hóa nhóm trừu tượng nhóm ma trận cụ thể Trong mục này, đưa định nghĩa biểu diễn ma trận