Gọi M là trung điểm của BC; H là trực tâm; AD,BE,CF là các đường cao của tam giác ABC.. Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm.[r]
(1)Sở Giáo Dục Và Đào Tạo Kì thi chọn học sinh giỏi tỉnh
Thanh Hóa Năm học: 2011-2012
§Ị thi chÝnh thøc Mơn thi : To¸n
Lớp THCS Ngày thi 23 tháng năm 2012
Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề )
Câu I (4,0 điểm)
Cho biểu thức P=
1 1
: 10
3 1
x x x
x
x x x x
1, Rút gọn P
2, Tính giá trị P x =
4 2 2
3 2 2
Câu II (4,0 điểm)
Trong hệ tọa độ, cho đường thẳng d : y = x – parabol (P) : y = x2 Gọi A B giao điểm d (P)
1) Tính độ dài AB
2) Tìm m để đường thẳng d’ : y = -x + m cắt (P) hai điểm C D cho CD= AB Câu III (4,0 điểm)
1) Giải phương trình
2
2
x x y y
y x
2) Tìm nghiệm nguyên phương trình
6
2x y 2x y320
Câu IV (6,0 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC có AB>AC Gọi M trung điểm BC; H trực tâm; AD,BE,CF đường cao tam giác ABC Kí hiệu (C1) (C2) đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF DKE, với K giao điểm EF BC Chứng minh rằng:
1) ME tiếp tuyến chung (C1) (C2) 2) KHAM
Câu V (2,0 điểm)
Với 0x,y,z Tìm tất nghiệm phương trình :
3
1 x 1
x y z
y z z xy x zy x y z
(2)Lời giải tóm tắt
Câu I:
1, Rút gọn P
Đặt = a > x a 21, ta có:
2
2
9 1 1
: :
3 3 (3 )(3 ) ( 3)
3( 3) 2( 2)
:
(3 )(3 ) ( 3) 2( 2)
a a a a a a
P
a a a a a a a a a a a
a a a
a a a a a
Vậy :
3
2( 2)
x P
x
với x > x 10 2, Ta có:
4
2
2
3 2 2 2
3 2 2 2
2
2 2
2
2 (vi x > 0)
x x
x
Khi đó:
1
P
Câu II:
1)Tính độ dài AB
Hoành độ điểm A B hai nghiệm phương trình: -x = x -
x +x - = 0 x = ; x = -2 A(1;-1) B(-2;-4) AB = =
2) Hoành độ điểm C D hai nghiệm phương trình: -x = -x + m
x -x + m = (*)
Điều kiện để phương trình có nghiệm phân biệt là: > 1-4m > 0 m < Gọi x ; x hai nghiệm PT (*) theo hệ thứcc Vi-ét,ta có
1
1
1
x x x x m
Ta có: C(x;-x ) ; D(x; -x ) Do đó:
2 2 2 2 2 2
1 2 2 2
2 2 2
1 2 2
2
( ) ( ) ( ) ( )
( ) [( ) ]
1 (1 )
CD x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
m m m m
Ta có: CD AB CD2 AB2 8m 2 18 m2 (thoả mãn)
(3)Câu III
1) Giải hệ PT
2
2 (1)
(2)
x x y y
y x
ĐK: x, y 0
Nhân hai vế (1) (2) ta : (x+y)2 =1 suy x + y =1 x + y = -1
Nếu x + y =1 y = - x thay vào (1) ,giải ta được:
2
,
3
x y Nếu x + y = -1 y = -1 - x thay vào (1) ,giải ta được: x = -2, y = Vậy hệ có hai nghiệm là: (x;y) = (-2;1) ;
2 ; 3
2) Ta có:
6
2
3
6
2 320
320
320 3 2; 1;0;1;2
x y x y
x y x
x x x
Lập bảng ta có:
x -2 -1
y -24 loại loại loại -8 24
Vậy nghiệm nguyên PT là: (x;y) = (-2;8); (-2;-24); (2;-8); (2;24)
Câu IV
1) Ta có tam giác BME HC1E cân M C1 nên:
MEC1 BEM BEC 1MBE C HE1 MBE BHD 900 MEC E1 Vậy ME tiếp tuyến (C1)
Áp dụng tính chất vào tứ giác nội tiếp BCEF, CDHE góc ngồi tam giác CFK ta có: DEM DEB MEB DEB MBE DEB CFE DCF CFE CKE
Suy ME tiếp tuyến (C2)
Vậy ME tiếp tuyến chung (C1) (C2)
I H
B
A
C C2 K
D
E
F C1
(4)2) Gọi I giao điểm AM (C1), nối K với I
Vì ME tiếp tuyến chung (C1) (C2) nên dễ thấy:
ME2 = MD.MK , ME2 = MI.MA
Suy MD.MK = MI.MA nên tam giác MKI đồng dạng với tam giác MAD Suy : MIK MDA 900 KI AM mà HI AM (do I nằm (C
1))
Do K, H, I thẳng hàng hay KH AM (Đpcm) Câu V:
Vì 0x y z, , 1 nên
2 1; 1
1 ( )
x x
x xy y x xy zx y zx
y zx x x y z x y z
(vì x dễ thấy x khác 0)
Tương tự :
1
y
z xy x y z
;
1
z
x zy x y z
Suy : VT
3
x y z
=VT