Để M nguyên thì Mặt khác khi x là số nguyên thoả mãn điều kiện x 0, x 1 thì x hoặc là số nguyên nếu x là số chính phương hoặc là số vô tỉ nếu x không là số chính phương... Để 3 điểm A[r]
(1)PHÒNG GD&ĐT TỨ KỲ T-DH01-HGS9I-10 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP Vòng I - Năm học 2010-2011 MÔN : TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 30/11/2010 (Đề này gồm 05 câu, 01 trang) Câu I (4,0 điểm) x x : 1 x x x x x x Cho biểu thức P = với x 0, x 1 Rút gọn biểu thức P Tìm các giá trị nguyên x để biểu thức M = P Câu II (6,0 điểm) Giải các phương trình sau: x 11 x 3 x nhận giá trị nguyên Tìm các số x, y, z biết x y z 2( x y z 2) 11 0 1 1 Cho a, b, c là số thỏa mãn abc 0; a + b + c 0 và a b c a b c Chứng minh a Câu III (2,0 điểm) 2011 b2011 c 2011 a 2011 b2011 c 2011 ( m; m - 2) Cho điểm có toạ độ A(-1; 4); B(1; -2) và C Tìm giá trị m để điểm A, B, C nằm trên cùng đường thẳng Câu IV (6,0 điểm) Cho là góc nhọn thoả mãn sin + cos = Chứng minh sin = cos Tính ? Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, H là trực tâm Qua H vẽ đường thẳng cắt các cạnh AB, AC I và K cho HI = HK Qua H vẽ đường thẳng khác vuông góc với IK và cắt cạnh BC D BD HD a) Chứng minh AH HK b) Chứng minh D là trung điểm cạnh BC c) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Chứng minh tg ABC tg ACB = thì GH// PD Câu V (2,0 điểm) Cho n là số tự nhiên lớn Chứng minh n4 + n là hợp số ======== Hết ======== Chú ý: Cán coi thi không giải thích gì thêm! (2) PHÒNG GD&ĐT TỨ KỲ T-DH01-HGS9I-10 Câu HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP Vòng I - Năm học 2010-2011 MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 30/11/2010 (Hướng dẫn gồm 05 trang) Phần Điểm Nội dung x x P= : x x x x x x (2đ) x x 1 x : x 1 x ( x 1)( x 1) x x 1 x 1 x : 1 x 1 ( x 1)( x 1) 0,5 0,5 x x ( x 1)( x 1) 1 x 1 ( x 1) x x 1 x x 1 x 1 x1 x1 x2 x1 x2 Vậy P = x với x 0, x 1 0,5 CâuI (4đ) Ta có M = P x x2 x1 x 0,5 x2 x x x 2 1 x1 x1= x1 0,5 x phải có giá trị nguyên Để M nguyên thì Mặt khác x là số nguyên (thoả mãn điều kiện x 0, x 1 ) thì x là số nguyên (nếu x là số chính phương) là số vô tỉ (nếu x không là số chính phương) (2đ) x là số nguyên thì 0,5 x không thể là số vô tỉ, đó x Để phải là số nguyên, suy x - là ước Ta xét các trường hợp: +) x - = x = x = 16 Z và thoả mãn ĐKXĐ +) x - = -3 x = - < (loại) +) x - = x = x = 4 Z và thoả mãn ĐKXĐ +) x - = -1 x = x = 0 Z và thoả mãn ĐKXĐ Vậy với x = 16; x = x = thì biểu thức M = P giá trị nguyên x nhận 0,75 0,25 (3) Câu II (6đ) x 11 x 3 (1) 0,5 x 11 x 4 x ĐKXĐ (2đ) Ta có (*) x 11 3 x Vì hai vế phương trình dương, bình phương vế ta x 11 9 x x 0,5 6 x x 1 x 1 x 5 (tho¶ m·n ®iÒu kiÖn) Vậy phương trình (1) có nghiệm x = x y z 2( x y z 2) 11 0 (2) ĐKXĐ x 0; y 1; z 2 (2) x x y y z z 11 0 x x y y z z 0 ( ( ( ( (2đ) x 1) ( y 2) ( z 3) 0 x 1)2 0 x 0 y 2) 0 y 0 z 3)2 0 z 0 x 1 y 2 z 3 x 1 (tho¶ m·n ®iÒu kiÖn) y 5 (tho¶ m·n ®iÒu kiÖn) z 11 (tho¶ m·n ®iÒu kiÖn) (2đ) 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 Vậy x = 1; y =5; z = 11 1 1 1 1 0 a b c a b c a b c a b c a b a b c c a b a b 0 0 ab c(a b c ) ab c (a b c ) c(a b c) ab ( a b) 0 (a b) 0 ab c(a b c) abc(a b c) ac bc c ab (a b)( a c)(b c) (a b) 0 0 abc(a b c) abc( a b c) a b 0 a b a c 0 a c b c 0 b c 0,25 0,5 0,25 Nếu a = - b thì a2011 = -b2011 a 2011 b 2011 a 2011 b 2011 c 2011 c 2011 0,25 (4) và a 2011 b 2011 c 2011 2011 c 2011 2011 2011 2011 2011 2011 b c a b c Do a Chứng minh tương tự với các trường hợp b = - c; a = - c 2011 2011 2011 2011 2011 b c a b ta có a Vậy với a, b, c là số thỏa mãn 1 1 abc 0; a + b + c 0 và a b c a b c 2011 2011 2011 c 2011 0,5 2011 2011 2011 b c a b c thì a Giả sử phương trình đường thẳng (d) qua hai điểm A(-1; 4), B(1; -2) có dạng y = ax + b Do đó ta có = - a + b (1) -2= a + b (2) Cộng đẳng thức (1) và (2) vế theo vế ta 2b = => b =1 Thay b = vào (1) ta a = -3 Vậy đường thẳng AB có phương trình là y = - 3x + Để điểm A, B, C thẳng hàng thì đường thẳng AB phải qua CâuIII (2đ) CâuIV (6đ) m điểm C => m -2 = -3 + 3m m+ =3 5m 3 m Vậy m = thì điểm A, B, C cùng nằm trên đường thẳng (1,5đ) 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 sin + cos = (sin cos ) 2 sin sin cos cos 2 2 2sin cos 2 sin cos sin 2sin cos cos 2 1 0 Do (sin cos ) 0 Suy sin cos 0 sin cos Lại có sin = cos (900- ) => cos (900- ) = cos => 900 - = => = 450 (Học sinh có thể tính cách: 0,5 0,5 0,5 (5) từ sin cos suy sin = => = 450) A Q (4,5đ) K H .G P D I B C HAK Ta có: HBD (cùng phụ với góc C) (*) AHK IHP (đối đỉnh) (1) BDH a) Mà IHP (cùng phụ với góc DHP) (2) (1,5đ) Từ (1) và (2) suy AHK BDH (**) Từ (*) và (**) BDH AHK ( g g ) BD HD Suy AH HK (đpcm) IAH DCH 0,5 0,5 0,5 Ta có: b) (1,5đ) (cùng phụ với góc B) (***) IHA AHK 1800 (kề bù) CDH BDH 1800 (kề bù) Do AHK BDH (câu a) nên IHA CDH (****) Từ (***) và (****) CHD AIH (g - g) CD HD Suy AH HI HD Mặt khác HI=HK (giả thiết) => HI = BD CD HD Do AH = AH (cùng HI và 0,5 0,5 HD HK HD HK ) 0,5 Suy DB = DC => D là trung điểm BC AP c) (1,5đ) Ta có tg ABC = BP BP tg ACB tg BHP ACB BHP HP Do (cùng phụ với góc HBP) AP BP AP ABC ACB Ta có tg tg = BP HP = HP AP ABC ACB Suy tg tg = => HP = (3) 0,5 (6) Mặt khác G là trọng tâm tam giác ABC, D là trung điểm AD 3 BC nên A, G, D thẳng hàng và GD (4) AP AD Từ (3) và (4) suy HP = GD GH // PD 0,5 0,5 Với n là số tự nhiên lớn thì n có dạng: n = 2k n = 2k + 1, với k là số tự nhiên lớn + Xét trường hợp n = 2k, ta có 2k 2k ¿ +4 n n + =¿ lớn và chia hết cho Do đó trường hợp n = 2k thì n4 + n là hợp số + Xét trường hợp n = 2k+1, tacó: n 4n n4 42 k.4 n4 (2.4 k ) ( n2 2.4 k ) 4n2 k Câu V (2đ) 0,5 (n 2.4k )2 (2.n.2k ) (n 2.4 k 2.n.2k )(n 2.4k 2.n.2 k ) k k = (n2 + 4k + 4k + 2.n.2 )(n2 + 4k + 4k - 2.n.2 ) = (n2 + 2.n.2k + 22k + 22k )(n2 – 2.n.2k + 22k + 22k) = [( n+2k)2 + 22k ][(n – 2k)2 + 22k ] Với n là số tự nhiên lớn và k là số tự nhiên lớn Thì thừa số [( n +2 k)2 + 22k ] và [(n – 2k)2 + 22k ]đều lớn Do đó trường hợp n = 2k+1 thì n4 + n là hợp số Vậy với n là số tự nhiên lớn thì n4 + n là hợp số * Ghi chú: Nếu học sinh làm theo cách khác mà đúng thì cho điểm tối đa ======== Hết ======== 0,5 0,5 0,5 (7)