Tóm lại trong tất cả các trường hợp ta đều tìm được tam giác vuông cân có 3 đỉnh cùng màu.[r]
(1)Bài Nội dung Điểm
1
1 x2 – 2x – 4y2 - 4y = x2 – 2x + – 4y2 - 4y – = (x – 1)2 – (2y + 1)2
= (x – + 2y + 1)(x – – 2y – 1) = (x + 2y)(x – 2y – 2)
0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 1 x ) )( ( ) ( x ) )( ( ) ( ) )( ( ) )( ( -x -x -1 -x -2x -1 x 2 2 x x x x x x x x x x x x x x
x 0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ 0,5 đ
2
1 Điều kiện: x1; x2
đk) (t/m 2 3 x ) )( ( ) ( ) )( ( ) )( ( 3 x x -x -x x 2 2 x x x x x x x x x x x x x x x
Vậy PT có nghiệm
2 x 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ (x + 8)(x + 6)(x + 7)2 = 72
Đặt x + = t Ta có: (t+1)(t-1)t2 = 72 < => (t2 -1)t2 = 72 < => t4 – t2 – 72 = < => (t2+8)(t2-9) =
< => t2 – = (vì t2+8 > 0) < = > t = t = -3 = > x = - 4; x = -10 kết luận nghiệm
0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 4x2 + 4x + y2 – 6y = 24 < => (2x +1)2 + (y – 3)2 = 34
Ta có: 34 = 12 + 33 = 32 + 25 = 52 + 9=(-1)2 + 33 = (-3)2 + 25 = (-5)2 +
Chỉ có trường hợp:
0,5 đ 0,25 đ
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM TRỰC
HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2016 - 2017
(2)2x+1 -5 -3 -5 -3
y-3 -3 -5 -3 -5
x -3 -2 -3 -2
y -2 0 -2
Nghiệm nguyên (x;y) phương trình
(2;6), (-3;0),(1;8), (-2;-2), (2;0), (-3;0), (1;-2), (-2;8)
1,0 đ
0,25đ Với x > 0, y >
0 ) (
4 ) ( y x
4 y 1
2
2
y x
xy y
x x
Luôn với x, y
0,5 đ 0,5 đ
2
Từ gt 1
x y z => 0
yz xz xy
yz xz xy xyz
( x, y, z
khác 0)
=>yz = -xy – xz x22yz x2 yzxyxz(xz).(xy) Cmtt ta có:
2
2
2 ( ).( )
2 ( ).( )
z xy z x z y
y xz y z y x
Khi ta có:
( ).( ) ( ).( ) ( ).( )
.( ) ( ) ( )
( )( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )( )
( )( ) ( )( )
( )( )( )
( )( )( )
1
( )( )( )
yz xz xy
A
x z x y y z y x z x z y
yz y z xz z x xy x y x z x y y z
yz y z xz x z xy x z y z x z x y y z
x x z y z y y z x z x z x y y z x z x y y z x z x y y z
0,25 đ
0,25 đ 0,5 đ
0,25 đ 0,25 đ
0,25 đ 0,25 đ
D
N G
F
E K I H
M A
(3)1
Cminh: AEC BFC g g( ) CE CA
CF CB
Xét ABC EF C có:
CE CA
CF CB C chung => ĐCCM
1,0 đ
1,0 đ
2 Vì CN // IK nên HM CN
Từ suy M trực tâm HNC
=>MN CH mà CH AD
nên MN// AD
Do M trung điểm BC => NC = ND Từ chứng minh: HI = HK ( Talet)
0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,75 đ
Ta có: AHC ABH AHC ABH AHC ABH
CHE BHE CHE BHE BHC
S S S S S
HA S
HE S S S S S
Cmtt ta có: BHC BHA; BHC AHC
AHC BHA
S S S S
HB HC
HF S HG S
=> HA HB HC
HE HF HG= =
AHC ABH
BHC
S S
S
+ BHC BHA
AHC
S S
S
+ BHC AHC
BHA
S S
S
6 Dấu “=” xảy <=> Tam giác ABC đều, mà theo gt AB < AC nên dấu không xảy
Vậy HA HB HC
HE HF HG
0,25 đ
0,5 đ 0,75 đ
0,25 đ 0,25 đ
5 - Nếu điểm tô màu đỏ màu xanh ln tìm đỉnh cịn lại hình vng màu Suy tốn ln xảy
- Nếu có hai điểm phân biệt màu đỏ màu xanh: + Giả sử A, B hai điểm phân biệt màu đỏ Ta vẽ hình vng ABCD tâm O
+ Nếu C màu đỏ tam giác ABC vng cân có ba đỉnh màu Tương tự với điểm D
+ Nếu C, D màu xanh Khi đó, O màu đỏ tam giác ABC vng cân có ba đỉnh màu đỏ Cịn O màu xanh tam giác OCD vng cân có đỉnh màu xanh
Tóm lại tất trường hợp ta tìm tam giác vng cân có đỉnh màu
0,5 đ
0,5 đ 0,5 đ
(4)D B
O