[r]
(1)MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI TỔNG QUAT Bài 1: Cmr với a, b, c pt sau ln có nghiệm:
a) (x-a)(x-b) + (x-b)(x-c) + (x-c)(x-a) =0 b) c(x-a)(x-b) +a (x-b)(x-c) + b(x-c)(x-a) =0 Bài 2: Cho a, b, c ba cạnh tam giác Cmr a) Pt b2x2 + (b2+c2-a2)x +c2 = vô nghiệm
b) Nếu abc pt bx2 + (b+c+a)x +9c = có nghiệm kép tam giác
Bài 3: Cho pt x3 –(2a+1)x2 +(a2 +2a-b)x +b-a2 =0.
a) Cmr b>0 pt có hai nghiệm phân biệt b) Khi Pt có hai nghiệm phân biệt
Bài 4: Cho hai pt x2 + bx +c =0 (1) x2 + dx +e =0 (2) có nghiệm chung khác
Cmr (c-e)2 =( b-d)(cd – be)
Bài 5: Cho hai ptb2 Cmr ln có pt có nghiệm
Bài 6: Cho Cho hai ptb2 ax2 + 2bx +c =0 (1) dx2 +2ex +f =0 (2) vô nghiệm.
Cmr ptb2 (a+d)x2 + 2(b+e)x + c+f =0 vô nghiệm.
Bài 7: Cho ba số dương a, b,c thỏa mãn a2 +b2 +c2 <1 Cmr ba pt sau có nghiệm:
ax2 -x = b-1 (1) ; bx2 -x = c -1 (2) cx2 -x = a -1 (3)
Bài 8: Cho hai ptb2 ax2 + bx +c =0 (1) cx2 + dx + a =0 (2) Cmr pt (1) có hai
nghiệm pt (2) có hai nghiệm tổng bình phương bốn nghiệm pt không nhỏ
Bài 9: Cho ptb2 ax2 + bx +c =0 (1) Cmr điều kiện cần đủ để pt có hai nghiệm tỷ số k
(k khác 0) (k+1)2ac = kb2.
Bài 10: Cho pt ax2 + bx +c =0 ( a, b, c ngun)
Cmr pt khơng thể có nghiệm dạng m + k 1995 với m, k nguyên
Bài 11: Cho b, c,e,f số nguyên x2 + bx +c =0 (1) x2 +ex +f =0 (2) có nghiệm
chung khơng phải số nguyên Cmr b = e c =f
Bài 12: Cho m nghiệm pt x2 + bx +c = Cmr m2 < + b2 +c2.
Bài 13: Cho số nguyên tố abc Cmr pt ax2 + bx +c =0 khơng có nghiệm hữu tỷ.
Bài 14: Cho pt f(x) = ax2 + bx +c = Cmr pt có nghiệm nếu:
a)
4 b c
a a b) có số k mà a.f(k) < 0
c) 5a + 2c = b d) có hai số k q cho f(k).f(q) < e) a(a +2b +4c) < f) 5a +3b + 2c =
Bài 15: Cho pt ax2 + bx +c =0 ( a, b, c nguyên) Cmr x = m + k 2 nghiệm
của pt x = m - k 2 nghiệm pt.(m, n số nguyên) Bài 16*:
2
1
2
1 2
1
1
ax - ã nghiÖm ,
2
1
×m Min ( ) ( )
Cho pt x c x x
T G x x x x
x x
Bài 17**: Tìm đa thức b2 f(x) = ax2 + bx +c
8
áa m·n f(x) íi x
1,1
µ
2
ín nhÊt
3
th
v
v
a
b l
Bài 18*: Cho hai pt x2 + bx +1 = x2 + cx + = có nghiệm chung Tìm Min /a/ +/b/
(2)a) Tìm m để pt có hai nghiệm x1, x2
b) Cmr
2
1 2
2
3
1
2
x
x
x x
Bài 20: Cho pt x2 – 6x + = có hai nghiệm x
1 x2 Đặt Sn = x1n + x2n
a) Cmr Sn chẵn b) Tìm dư chia Sn cho c) Cmr S6k+3 khơng phương
Bài 21: Giả sử m, k hai nghiệm pt x2 + ax +b =
thỏa mãn (m2 +k)(k2 +m) = m2 + k2 + m2k2 Cmr a3 + b2 – 3ab – 3b = 0.
Bài 22: Cho pt ax2 + bx +c = có hai nghiệm x
1 x2 Đặt Sn = x1n + x2n
a) Cmr a Sn + b Sn-1+ c Sn-2 =
b) Tính (1 3)5(1 3)5
Bài 23*: Cho pt x2 - bx +1 = có hai nghiệm x
1 x2 Đặt Sn = x1n + x2n
a) Tính S7 = x17 + x27 theo b
b) Tìm đa thức bậc có hệ số nguyên nhận số
7 µ nghiƯm
5 l
Bài 24*: Cho hai số dương a,b pt x3 – x2 + 3ax – b = có ba nghiệm.
Cmr
3
3 27 28 ( ªn tt DHSP 2001 - 2002)
a
b chuy
b
Bài 25: Cho pt: x2 + px + q =0 có nghiệm gấp k lần nghiệm pt x2 +mx +h =0.
Cmr (q –k2h)2 – k(p-km)(khp – qm) = 0
Bài 26**: Tìm đa thức b2 f(x) = ax2 + bx +c
áa m·n f(x) íi x
0,1
µ
ín nhÊt
th
v
v b l
Bài 27**: Cho đa thức b2 f(x) = ax2 + bx +c thỏa mãn:
a<b
a+b+c
( ) ìm giá trị nhá nhÊt cña
b-a
f x x R T
Bài 28: Cho f(x)= x2 + px + q với p, q số nguyên
a) Cmr f(f(x) +x) = f(x).f(x+1)
b) Cmr ln tìm số k cho f(k) = f(1994).f(1995)
Bài 29**: Cho hai pt x2 + ax +1 = x2 + bx +2 = có nghiệm chung.
Tìm giá trị nhỏ M = /a/ +/b/
Bài 30: Cho ba pt x2 + ax + bc = (1); x2 + bx + ac = (2); x2 + cx + ab = (3)
Cmr pt (1) (2) có nghiệm chung hai nghiệm cịn lại hai pt nghiệm pt (3)
Bài 31**: a) chứng minh 3
2 biểu diễn dạng p + q b) Biết
2 nghiệm pt ax2 + bx + c = ( với a, b, c số hữu tỷ).Tìm a,b,c
Bài 32*: Cho x1, x2 nghiệm pt x2 -3x + =0 Đặt Sn = x1n + x2n –
a) Cmr Sn Z với n N, n>1
b) Tìm n để Sn số phương
Bài 33 Cho pt x2 –bx + a +1 = có hai nghhiệm x
1 x2 nguyên Cmr a2 + b2 hợp số
Bài 34*: Cho pt x2 –bx +1 = ( bN) có hai nghhiệm x
1 x2 nguyên.Đặt Sn = x1n + x2n
Tìm giá trị nhỏ b để Sn chia hết cho 25
Bài 35*: Cho pt x2 + bx -1 = ( b nguyên tố) có hai nghhiệm x
1 x2 nguyên