Đường thẳng d luôn đi qua một điểm cố định, tìm tọa độ điểm đó.. Đường thẳng d luôn cắt P tại hai điểm phân biệt A,B.[r]
(1)Bµi tËp vÒ ph¬ng tr×nh bËc mét Èn Dạng 1: Không giải PT xét số nghiệm PT bậc 2: Bài 1: Không giải Pt xét xem PT sau có bao nhiêu nghiệm a) x2 – 2x – 5= ( Có nghiệm phân biệt ) b) x2 + 4x + 4= ( PT có nghiệm kép ) c) x2 – x + = (PT vô nghiệm ) d) x2 – 5x + 2=0 ( PT có nghiệm phân biệt ) *) Nhận xét : - Với a và c trái dấu thì PT luôn có nghiệm phân biệt - Với a và c cùng dấu thì không xác định số nghiệm PT mà phải nhờ dấu đen ta Dạng 2: Dùng công thức nghiệm (CT nghiệm thu gọn ) để giảI PT bậc Bµi 1: Gi¶I c¸c PT sau : a) x2 – 11x + 38 = b) 5x2 – 6x + 27 = c) x2 – ( √ 2+ √8 )x+ = d) x2 − x +1=0 Bµi 2: Gi¶i PT sau : ¿ 2 a √ 3+1 ¿ x +2 √3 x + √ 3− 1=0 ; .b ¿ ( 1+ √ ) x −(2 √ 3+1) x+ √3 − 1=0 ¿ c ¿(1 − √ 2) x *) Nhận xét : Cần đưa các hệ số PT bậc hai dạng đơn giản để áp dụng công thức nghiệm Dạng 3: Tìm ĐK tham số để PT có nghiệm , vô nghiệm , có nghiệm kép : Bài 1: Cho phương trình : x2 – 4x + 3m – 1= (1) ( Δ ’= 5- 3m ) a) Tìm m để PT (1) có nghiệm phân biệt b) Tìm m để PT(1) có nghiệm Bài 2: Cho PT: x2 – 2m x + =0 (2) ( Δ ’= m2 - ) a) Tìm m để PT(2) có nghiệm b) Tìm m để PT(2) vô nghiệm Bài 3: Cho PT : x2 – 2( m- 1)x – 4m = ( 3) ( Δ ’= (m+1)2 ) a) Tìm m để PT(3) có nghiệm b) Tìm m để PT(3) có nghiệm phân biệt Bài 4: Cho PT: x2 – 2( m+1) x – 4m – 5= ( 4) ( Δ ’= (m-1)2 +5 ) a) Tìm m để PT(4) có nghiệm b) Có giá trị nào m để PT(4) vô nghiệm ? Bài 1: Với giá trị nào m thì PT sau có nghiệm kép ? Tìm nghiệm kép đó ? a) mx2 + 2(m + 2) x + = b) x2 – 2(m - 4) x+( m2 + m + ) = c)( m + 1) x – m x + m ( m – 1) = d) (m + 3) x2 – mx +m = Híng dÉn gi¶i : §K : ¿ a ≠0 Δ=0 ¿{ ¿ Baì 2: Tìm giá trị m để PT sau vô nghiệm : a) mx2 – 2(m – 1) x + m + 1= b) ( m2 – 4) x2 + 2(m + 2) x + 1= c) √ x − m √ x+1=0 (2) Híng dÉn gi¶i : *) TH1: XÐt a = *) TH2: XÐt a # , th× Δ < Bài : Tìm k để PT sau có nghiệm phân biệt : a) kx2 – 2(k – 1) x + k + 1= b) x2 – 4x + k = ( k lµ sè nguyªn d¬ng ) c) 2x2 – 6x + k + = ( k lµ sè nguyªn ©m ) Bµi : Cho PT : mx2 + 6( m – 2) x + 4m – = Tìm giá trị m để PT đã cho a) Cã nghiÖm kÐp b) Cã nghiÖm ph©n biÖt c) V« nghiÖm D¹ng 4: Chøng minh PT lu«n cã nghiÖm , v« nghiÖm : Bài 1: CMR: PT sau luôn có nghiệm với giá trị m a) x2 –( m – 1)x2 – = b) x2 – 2(m +2)x - 4m - 10 = Bµi 2: Cho PT : mx2 – (2m + 1) x+ (m + 1) = ( 1) a) CMR : PT (1) lu«n cã nghiÖm víi mäi gi¸ trÞ cña m b) Tìm giá trị m để PT ( 1) có nghiệm > Bài32: Cho a , b , c là độ dài cạnh tam giác CMR : các PT sau vô nghiệm a) x2 +(a + b + c ) x + (ab + bc + ca ) = b) a2x2 + (a2 + b2 – c2 )x + b2 = Bµi 4: CMR: NÕu PT : ax2+bx+ c = ( a # 0) : cã nghiÖm th× PT ( m – 2n )x2 + 2( m – 2n )x + 4ac – b2 = ( m # n ) còng cã nghiÖm ph©n biÖt Bµi 5: Cho PT : ax2 + bx + c = ( a > ) CMR: NÕu b > a + c th× PT lu«n cã nghiÖm ph©n biÖt Bài 6: Cho các PT : x2 + bx + c = và x2 + cx + b = đó : + = CMR: ít b c PT cã nghiÖm Bµi : Cho c¸c PT : ax2 + 2bx + c = ( 1) bx2 + 2cx + a = (2) cx2 + 2ax + b = (3) Trong đó a , b , c # CMR : có ít PT có nghiệm D¹ng 5: Gi¶i vµ biÖn luËn PT bËc 2: Bµi 1: Gi¶I vµ biÖn lu©n c¸c PT sau : ( m – 4) x2 + m - = Bài 2: Giải và biện luận nghiệm PT bậc hai ẩn x theo m a) x2 – 2( m+ 1) x + m(m + 2) = b) 2x2 + mx + m2 =0 2 c)m x – mx – = d) mx2 – x + 1= Dạng : Sự tơng giao đờng thẳng và đờng cong : Bài 1: Cho đờng thẳng (d) y = 2x – và (P) y = 3x2 Tìm tọa độ giao điểm (d) và (P) cách Bài 2: Cho (d) y = 2(m +1) x – và (P) y = x2 Tìm m để a) (d) c¾t (P) t¹i ®iÓm ph©n biÖt b) ( d) tiÕp xóc víi ( P) c) ( d) không cắt (P) Bài 3: ( Thi vào 10 năm học 2015-2016) Cho hàm số y = x2 ( P) và y = ( 5m-1)x – 6m2 + 2m ( d) a) Tìm m để (d) cắt (P) điểm phân biệt b) Gọi x1 và x2 là hoành độ giao điểm P và (d) Tìm m để x12 +x22 = (3) Bài 3: Cho hệ PT : ¿ x + y=m(1) x − y =m−3 (2) ¿{ ¿ a) Giải hệ Pt với m = - b) Tìm m để đường thẳng có PT(1) và (2) cắt điểm nằm trên parabool (P) y= - x2 Dạng : Tìm ĐK tham số để PT có nghiệm TMĐK cho trớc biến Bµi 1: Cho PT : x2 + mx + 1= (1) vµ x2 – ( m + 1) x – 2m = Tìm m để PT có ít nghiệm chung Bài : Cho PT : x2 + (2m -1)x – 10 =0 (1) và 3x2 + ( 4m – )x – 22= (2) Tìm m để PT có ít nhÊt nghiÖm chung Bài 3: Cho hệ PT : ¿ x + y=m(1) x − y =m−3 (2) ¿{ ¿ c) Giải hệ Pt với m = - d) Tìm m để đường thẳng có PT(1) và (2) cắt điểm nằm trên parabool (P) y= - x2 28)Thái Bình: Bài (2 điểm): Cho Parabol (P): y x2 và đường thẳng (d): y = mx + m + (m là tham số) 1) Chứng minh với giá trị m thì: a Đường thẳng (d) luôn qua điểm cố định, tìm tọa độ điểm đó b Đường thẳng (d) luôn cắt (P) hai điểm phân biệt A,B 2)Tìm tọa độ hai điểm A và B thuộc (P) cho A đối xứng với B qua điểm M(-1; 5)(m=-1) SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG CONG Hàm số Hàm số y= ax2 y= bx + c PT hoành độ Biểu thức đen GĐ ta ax – bx – c = Δ=m− Hoặc m− 1¿ −1 Δ=¿ Số nghiệm PT +) Δ > => PT có nghiệm PB +) Δ = => Số giao điểm (P) và (d) +) (P) và (d) có điểm chung +) (P) và(d) có điểm chung (4) m− 1¿ Δ=¿ m− 1¿ 2+1 Δ=¿ PT có nghiệm kép +) Δ < => PT vô nghiệm +) Δ = => PT có nghiệm kép m=1 +) Δ > => PT có nghiệm PB m#1 Δ > với m +) (P) và (d) không có điểm chung +) (P) và(d) có điểm chung +) (P) và (d) có điểm chung +) (P) và (d) luôn có điểm chung Bài tập định lí Vi ét và các ứng dụng định lí Vi ét D¹ng 1: NhÈm nghiÖm cña PT bËc A LÝ thuyÕt *) Chú ý : Chỉ vận dụng đợc với ĐK: PT bậc có nghiệm ( Δ ≥ ¿ NÕu PT bËc 2: ax2 + bx + c = Cã : +) a + b + c = , th× PT cã nghiÖm x1 = 1; x2 = c/a +) NÕu a – b + c = , th× PT cã nghiÖm x1 = -1 ; x2 = -c/a B Bµi tËp : 1) UD1: KHÔNG GIẢI PT , NHẨM NGHIỆM CỦA PT BẬC BµI 1: Kh«ng gi¶I PT h·y t×m c¸c nghiÖm cña mçi pT sau : a) 7x2- 4x – 11= b) 2005 x2 + 2010x + = c) √ x − x +1 −2 √ 5=0 d) x − x+ 3,5=0 Bµi 2: Kh«ng gi¶I PT t×m c¸c nghiÖm cña mçi PT sau : a) 3x2 + ( 3- 2m ) x – 2m = b) –(m – 2) x2 + ( m – 1) x - 1= c)( m – n ) x2 + 2( m + n ) x – 3m – n = d) 2) UD2: T×m sè biÕt tæng vµ tÝch : A.LÝ thuyÕt : +) NÕu cã sè a vµ b TM§K : a + b = S vµ a.b = P , th× sè a vµ b lµ nghiÖm cña PT bËc : (5) x2 – Sx + P = +)ĐK để có số đó : S2 – 4P B.Bµi tËp : Bµi 1: T×m sè a vµ b biÕt : a) a + b = vµ a.b = 12 b) a+b = √ vµ a.b = c)a + b = - √ vµ a.b = - d) a- b = n vµ a b = 6n2 Híng dÉn gi¶i : d) a- b = a + ( - b ) = n vµ a( - b ) = 6n Nªn a vµ - b lµ nghiÖm cña PT : x2 – n x – 6n2 = Giải PT đợc x1 = 3n vµ x2 = - 2n , Nªn ¿ a=3 n −b=−2 n hoac : ¿ a=− n −b=3 n ¿{ ¿ 3) UD3: VËn dông ph©n tÝch tam thøc bËc thµnh nh©n tö : A.LÝ thuyÕt : +) NÕu PT bËc : ax2 +bx + c = cã nghiÖm lµ x1 vµ x2 th× tam thøc bËc : ax2 +bx + c ph©n tÝch đợc thành nhân tử : ax2 + bx + c = a ( x – x1) ( x – x2) ( BT 33/ SGK / 54) B.Bµi tËp : Bµi 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö a) 2x2 + 6x - b) – x2 – 2mx + ( m2 +1) 4)UD4: T×m nghiÖm biÕt nghiÖm cña PT bËc A LÝ thuyÕt : +) Cách 1:Thay x1 đã biết vào PT tìm đợc giá trị tham số m , giải PT đó tìm nghiệm còn lại ¿ b a c x x2 = a ¿{ ¿ x 1+ x 2=− +) C¸ch 2: ¸p dông §L vi Ðt : Biết nghiệm x1 thay vào tổng tích để tìm nghiệm còn lại +) C¸ch 3: NhÈm nghiÖm : NÕu biÕt a+ b+ c = hoÆc a – b + c = B Bµi tËp : BµI 1: Cho PT : x2 + 3x - m = (1) a) Tìm giá trị m để PT có nghiệm b) Xác định m để PT có nghiệm – Tìm nghiệm còn lại Híng dÉn gi¶i : a) §K : Δ ≥ => m≥ − b) C1: Thay x1 = - t×m m = - ( TM§K ) , råi gi¶i PT t×m x2 = - C¸ch 2: Theo §L Vi Ðt ta cã : x1 + x2 = - , biÕt x1= - , thay t×m x2 = - Bµi 2: Cho PT : x2 + ( m + 1) x + 5- m = a) Tìm m để PT có nghiệm – b) T×m nghiÖm cßn l¹i Bµi 3: Cho PT : x2 – 2px + = a) T×m p biÕt PT cã nghiÖm b»ng b) T×m nghiÖm cßn l¹i Bµi 4: Cho PT : x2 + 5x + q = a) T×m q biÕt PT cã nghiÖm b»ng b) T×m nghiÖm cßn l¹i Bµi 5: Cho PT : ( m – 3) x2 + (m + 5) x – m + = (1) a) Xác định giá trị m để PT có nghiệm x1 = (6) b) T×m nghiÖm cßn l¹i Bµi 6: Cho PT : ( m – 4) x2 – 2mx + m – = a) Tìm m để PT có nghiệm x=√ b) T×m nghiÖm cßn l¹i 5)UD5 : XÐt dÊu c¸c nghiÖm cña pT bËc A LÝ thuyÕt : Cho PT bËc 2: ax2 + bx + c = cã nghiÖm +) PT cã nghiÖm tr¸I dÊu a vµ c : tr¸i dÊu +) PT cã nghiÖm cïng dÊu ¿ Δ≥ x x >0 ¿{ ¿ ¿ Δ≥ x x >0 +) PT cã nghiÖm cïng dÊu d¬ng : x 1+ x >0 ¿{{ ¿ ¿ Δ≥ x x >0 +) PT cã nghiÖm cïng dÊu ©m : x 1+ x <0 ¿{{ ¿ +) PT cã nghiÖm tr¸i dÊu nghiÖm ©m cã GTT§ lín h¬n nghiÖm d¬ng : +)PT cã nghiÖm tr¸i dÊu nghiÖm d¬ng cã GTT§ lín h¬n nghiÖm ©m : ¿ Δ≥ x x >0 x 1+ x <0 ¿{{ ¿ ¿ Δ≥ x x >0 x 1+ x >0 ¿{{ ¿ B Bµi tËp : Bài 1: Không giải PT xác định dấu các nghiệm pT bậc 2: a) x2 – 18x + 17 = b) x2 – 2x – = c) x2 – 15x + 56 = d) √ x +12 x −7 √ = Bài 2: Cho PT : ( 2m – 1) x – ( 3m + 4) x + m + = ( 1) Xác định m để PT có nghiệm trái dÊu Bµi 3: Cho PT : x2 – 2(m + 1)x + m2 – 4m + = a) Tìm m để PT có nghiệm b) Tìm m để PT có nghiệm dơng Bµi 4: Cho PT : x2 – 2( m – 1) x + m – = Xác định m để PT có nghiệm giá trị tuyệt đối và trái dấu Bµi 5: Cho PT : x2 – 2( m – 1) x + 2m – = a) CMR: PT lu«n cã nghiÖm víi mäi gi¸ trÞ cña m b) Tìm m để PT có nghiệm cùng dấu ? Khi đó nghiệm mang dấu gì ? Bài 6: Cho PT : x2 + 3x – m + 1= Tìm m để PT có ít nghiệm không âm Bài 7: Cho PT : ( m – 1) x2 + 2x + m = Tìm giá trị m để PT có ít nghiệm không âm Bài 8: ( Trích đề thi vào 10 - năm học 2012-2013) (7) Cho PT : x2 + mx - m - 1= (1) ( m là tham số ) a) CMR: Với m thì phương trình (1) luôn có nghiệm b) Tìm các giá trị m để phương trình (1) có ít nghiệm không dương Bài 9: Cho phương trình : x2 +3x -m +1=0 (*) a) Tìm m để PT (*) có ít nghiệm âm b) Tìm m để PT (*) có ít nghiệm âm c) Tìm m để PT (*) có ít nghiệm không âm d) Tìm m để PT (*) có ít nghiệm không dương Bài 10 : Cho PT : 3mx2 + 2(2m +1) x + m = (1) Xác định m để PT có nghiệm âm 6)UD6: TÝnh gi¸ trÞ cña BT theo c¸c nghiÖm cña PT bËc A Lý thuyÕt : ¿ b a c x x2 = a ¿{ ¿ x 1+ x 2=− Vận dụng định lí Vi ét ta có PT bậc : ax2 + bx + c = có nghiệm thì : *) C¸ch gi¶i : +) Tìm ĐK để PT bậc có nghiệm : Δ ≥ +) TÝnh tæng vµ tÝch nghiÖm theo §L Vi Ðt +) Biến đổi biểu thức cần tìm theo tổng và tích các nghiệm thực phép tính B Bµi tËp : Bµi 1: Cho PT bËc : x2 - √ x + = Kh«ng gi¶i PT tÝnh gi¸ trÞ c¸c biÓu thøc sau : a) x12 + x22 b) x12 - x22 c) x13 + x23 d) x13 - x23 e) A= x +5 x x +3 x2 2 x1 x 2+ x x Bµi 2: Cho PT : x − √ x+8=0 Cã nghiÖm lµ : x1; x2 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc Q= x +10 x x +6 x x x +5 x x 2 3 Bµi 3: Cho PT : 2x2 – 3mx – = Kh«ng gi¶i PT tÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc sau theo m : x x 1 a) A= x + x b) √ x1 + √ x ; c ¿ C= + ; d ¿ D= + x1 x2 x x1 7)UD7:T×m cùc trÞ cña c¸c biÓu thøc gi÷a nghiÖm cña PT bËc A LÝ thuyÕt B Bµi tËp : Bµi 1: Cho PT : 2x2 – 3mx – = a) CMR: Víi mäi m PT lu«n cã nghiÖm ph©n biÖt b) Gọi x1; x2 là nghiệm PT Tìm giá trị m để S = x12+ x22 đạt giá trị nhỏ , tìm giá trị nhỏ đó ? Bài 2: Cho PT : x2 – ( 2m + 5) x – m – 10 = có nghiệm x1 ; x2 Tìm giá trị m để biểu thức : x12 + x22 đạt giá trị nhỏ Bài 3: Cho PT : x2 – ( m + 1) x + m = Tìm m để tổng bình phơng các nghiệm có giá trị nhỏ Bµi : Cho PT : x2 – 2(m + 1) x + 2m + 10 = ( m lµ tham sè ) Tìm m cho PT có nghiệm x1; x2 TMĐK : 10x1x2+x12+ x22 đạt giá trị nhỏ , tìm giá trị đó ? Bài 5: Gọi x1 , x2 là nghiệm PT : x2 – 2(m - 3) x – 2(m – 1) =0 Tìm giá trị m để biểu thức sau A= x12 +x22 đạt giá trị nhỏ , tìm giá trị nhỏ đó Bài : Gọi x1 , x2 là nghiệm PT: x2 – mx + (m2 +1) = Tìm giá trị m để biểu thức sau : A= x12 +x22 đạt giá trị lớn , tìm giá trị lớn đó Bài 7: ( Trích đề thi vào 10 - năm học 2011-2012) Cho phương trình : x2 - 2(m+2)x+ 2m + 1= ( m là tham số ) 3 (8) a) CMR: Phương trình luôn có nghiệm phân biệt với m x +x 2 b) Tìm m cho biểu thức A=x x2 − đạt giá trị lớn Bµi 8: Gäi x1 ; x2 lµ nghiÖm cña PT : 2x2 + 2( m + 1) x + m2 + 4m + = T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc : M = /x1x2- 2x1 – 2x2 / Bµi 9: Cho PT : x2 – mx + m – = a) CMR: PT lu«n cã nghiÖm víi mäi m b) Gäi x1; x lµ nghiÖm cña PT T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P= x x +3 x + x +2(x x 2+ 1) 2 8) UD8: Tìm ĐK tham số m để PT bậc có nghiệm TMĐK cho trớc cña biÕn A LÝ thuyÕt : +) B1: Dùng ĐK để PT bậc có nghiệm : a # và Δ≥ +) B2: ¸p dông §L Vi Ðt viÕt tæng vµ tÝch nghiÖm +) B3: KÕt hîp víi §L Vi Ðt vµ GT t×m m +) B4: §èi chiÕu víi §K cña: a# vµ Δ≥ B Bµi tËp : Bài 1: Tìm giá trị m để các nghiệm PT sau : x2 + ( m – 2) x + m + = TM§K : x12 + x22 = 10 Bµi 2: Cho PT: x2 – 7x + q = BiÕt hiÖu nghiÖm = 11 T×m q vµ nghiÖm cña PT Bµi 3: Cho PT : x2 – qx + 50 = T×m q vµ nghiÖm cña PT , biÕt PT cã nghiÖm vµ nghiÖm nµy b»ng nghiÖm Bài 4: Cho PT: x2 – ( m + 3) x + 2(m + 2) = Tìm m để PT có nghiệm TMĐK : x1= 2x2 Bµi 5: Cho PT : x2 + 2(m – 1) x – (m +1) =0 a) Tìm m để PT có nghiệm nhỏ , nghiệm lớn b) Tìm giá trị m để PT có nghiệm nhỏ Bµi 6: Cho PT bËc : ( k + 1) x2 – 2( k + 2) x + k – 3= Xác định k để ( 4x1 + 1)(4x2+1) = 18 Bài 7: Cho PT: x2 – 2( m – 2) x + ( m2 + 2m – 3) = Tìm các giá trị m để PT có nghiệm ph©n biÖt TM§K : 1 x1 + x2 + = x1 x2 Bài 8: Cho PT : x + mx+1=0 Tìm giá trị m để PT có nghiệm x1; x2TMĐK : x1 x 2 + >7 x2 x1 ( )( ) Bài 9: Tìm giá trị m để PT : 2x – 4x + 5(m -1) = có nghiệm phân biệt nhỏ Bài 10 : Cho PT : x2 –(m – 1) x – m = Tìm m để sau có nghiệm phân biệt nhỏ Bài 11: Xác định hệ số k PT : 3x2 –(k+1)x + k = có nghiệm là : a) số đối b) Hai số nghịch đảo Bµi 12 : Cho PT x2 – 2(m + 1) x + m2 + = a) Xác định m để PT có nghiệm b) Xác định m để PT có nghiệm TMĐK : x12 + x22 = Bài 13: Cho PT : x2 – (m + 1) x + m = Tìm m để tổng lập phơng các nghiệm Bµi 14: Cho c¸c ph¬ng tr×nh sau : a) x2 + kx + = b) x2 – (2k + 3)x + 4k + 2= Xác định k để các PT trên có nghiệm mà hiệu nghiệm là Bµi 15 : T×m c¸c hÖ sè p vµ q cña PT : x2 + px + q = Sao cho nghiÖm cña PT TM§K : ¿ x − x 2=5 x − x =35 ¿{ ¿ 3 9)UD9 : Tìm hệ thức nghiệm độc lập với tham số m A.LÝ thuyÕt : (9) +) B1: Dùng ĐK để PT bậc có nghiệm : a # và Δ≥ +) B2: ¸p dông §L Vi Ðt viÕt tæng vµ tÝch nghiÖm +) B3: Tìm cách biến đổi khử tham số từ tổng và tích đợc hệ thức cần tìm +) B4: §èi chiÕu víi §K cña: a# vµ Δ≥ B)Bµi tËp : Bài 1: Cho PT : x2 – ( k -1)x + 1= Giả sử PT có nghiệm x1; x2 Tìm hệ thức x1; x2 độc lËp víi k Bµi 2: Gäi x1 ; x2 lµ nghiÖm cña PT : (k – 1) x2 – 2kx + k – = Kh«ng gi¶i PT h·y t×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo tham sè k Bµi 3: Gi¶ sö PT: x2 + 2mx – + m = cã nghiÖm x1; x2 H·y viÕt hÖ thøc liªn hÖ gi÷a nghiệm độc lập với m Bµi 4: Cho PT: x2 – 2( m -1) x + m – 3= ( 1) Gäi x1; x2 lµ nghiÖm cña PT (1) ViÕt hÖ thøc liªn hÖ gi÷a nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo m Bµi : Cho PT : x2 – ( m + 2) x + (2m -1) = cã c¸c nghiÖm x1; x2 LËp hÖ thøc gi÷a nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo m Bài 6: Cho PT : x2 – (k - 3)x + 2k + 1=0 có các nghiệm là x1 và x2 Tìm hệ thức độc lập với k các nghiệm PT trên Bµi 7: Cho PT : mx2 – 2( m + 1) x + m + = (1) a) Xác định m để PT ( 1) có nghiệm b) Giả sử PT có nghiệm x1; x2 Hãy tìm hệ thức nghiệm độc lập với m 10) UD10 : Chøng minh mèi quan hÖ gi÷a c¸c nghiÖm cña HOẶC PT : A LÝ thuyÕt : B Bµi tËp : Bµi 1: Cho PT : x2 – 2x – m2 = (1) a) CMR: PT (1) lu«n cã nghiÖm tr¸i dÊu víi mäi gi¸ trÞ cña m # b) CMR: Nghiệm PT (1) là nghịch đảo các nghiệm PT: m2x2 + 2x – 1= Bµi 2: Cho PT : x2 + mx + n = cã : 3m2 = 16 n CMR: c¸c nghiÖm cña PT cã nghiÖm gÊp lÇn nghiÖm ¿ Giải : Theo ĐL Vi ét có : b x 1+ x 2=− =−m a c x x2 = =n a ¿{ ¿ Mà 3m2 = 16 n=> 3m2 - 16 n= 3(x1+ x2) – 16 x1x2 = 3x12 – 10x1x2+ 3x22 = ( x1 – 3x2)(3x1- x2) = x1 = 3x2 x2= 3x1 11)UD11 : LËp PT bËc biÕt quan hÖ gi÷a c¸c nghiÖm cña nã ALÝ thuyÕt : B.Bµi tËp : Bµi 1: Cho PT bËc 2: x2 – 2kx + 1= (1) LËp PT bËc cho c¸c nghiÖm cña nã gÊp lÇn c¸c nghiÖm cña PT (1) Híng dÉn G¶i: +)XÐt §K cña Δ≥ +) ¸p dông ®L: Vi Ðt t×m tæng nghiÖm b»ng 2k ; tÝch nghiÖm b»ng +) Mµ PT míi cã nghiÖm : NghiÖm nµy gÊp lÇn nghiÖm nªn ta cã : (10) ¿ y 1=3 x y 2=3 x => ¿ y1 + y 2=6 k y y 2=9 => b ¿ y 1+ y 2=− =6 k a c y y2 =9= a ¿{ ¿ Nªn : chän a= ; th× b = -6k ; c = Th× PT lµ : y2 – 6ky + = Bµi 2: Gi¶ sö x1 ; x2 lµ c¸c nghiÖm cña pT : 2x2 – 7x – = H·y lËp PT bËc cã c¸c nghiÖm lµ : a ¿ x x , va : x x ; b ¿ 2 1 1 , va : ; c ¿ va : x1 x2 x1 x2 2 Bµi 3: Gäi a vµ b lµ nghiÖm cña PT : 3x2 + 7x + = Kh«ng gi¶i PT h·y lËp PT bËc cã hÖ sè a b , va : b»ng sè mµ c¸c nghiÖm cña nã lµ : b− a −1 Bµi 4: Cho pT bËc 2: x2 – 2x – m2 = cã c¸c nghiÖm x1 vµ x2 LËp PT bËc cã c¸c nghiÖm lµ y1 vµ y2 cho : y1 = x1 – vµ y2 = x2 – Bµi 5: LËp PT bËc cã nghiÖm b»ng : a) B×nh ph¬ng cña c¸c nghiÖm cña PT : x2 – 2x – = b) Nghịch đảo các nghiệm PT x2 + mx – = Bµi : Cho ph¬ng tr×nh : x2 +mx + 2= (1) cã c¸c nghiÖm lµ x1 vµ x2 lËp Ph¬ng tr×nh bËc hai cho c¸c nghiÖm y1 vµ y2 cña nã : a) GÊp hai lÇn nghiÖm cña PT (1) b) Là số đối các nghiệm PT (1) Bµi : Cho PT bËc 2: ax2 +bx + c = cã c¸c nghiÖm lµ x1 ; x2 LËp PT bËc hai cho c¸c nghiÖm y1 ; y2 cho x1 + y1 = ; x2 + y2 = 12) UD12: ¸p dông gi¶I hÖ PT : Bµi 1: Gi¶I hÖ PT : ¿ xy + x + y=11 (1) x2 + y 2=13 (2) ¿{ ¿ Gi¶i : §Æt x + y = S vµ xy = P ,ta cã :x2 + y2 = ( x + y)2 – 2xy Ta cã : ¿ P+ S=11 (1 ') s − P=13(2 ') ¿{ ¿ Từ ( 1’) Rút P vào (2’) tìm đợc S1 = - ,S2 = ¿ x+ y=−7 +) Víi S1 = - cã P = 18 cã hÖ PT : x y=18 HÖ PT v« nghiÖm ¿{ ¿ ¿ x+ y=5 +) Víi S2 = cã P2 = , cã hÖ PT : xy=6 Giả hệ PT ta đợc ¿{ ¿ (11) x= vµ y = hoÆc x = vµ y = Bµi 2: Cho hÖ PT : ¿ x+ xy + y=m+1 x y + xy 2=m ¿{ ¿ Tìm các giá trị m để hệ PT nghiệm TMĐK : x > ; y > GiảI : Đặt u = x + y ; v = xy Theo đề bài ta có : ¿ u+ v=m+1 u v=m ¿{ ¿ u ; v lµ nghiÖm cña PT : t2 – ( m +1) t + m = t = hoÆc t = m Ta cã : ¿ x+ y=1 xy=m a) NÕu : => 0<m≤ ¿{ ¿ ¿ x + y=1 xy=m , hoac : ¿ x+ y=m xy=1 ¿{ ¿ b) ¿ x+ y=m xy=1 => m≥ ¿{ ¿ Bài tập tổng hợp : Bài 1: Cho PT : x2 + (4m +1) x + 2(m – 4) = (1) a) Tìm m để PT có nghiệm x1 ; x2 TMĐK : x1 - x2 = 17 b) Tìm m để biểu thức A= (x1 - x2 )2 có GTNN c) Tìm hệ thức liên hệ nghiệm không phụ thuộc vào m (12)