Dinh li Pi ta go

Bài 11: Cho tam giác ABC, D là trung điểm của AB, đường thẳng qua D và song song với BC cắt AC tại E, đường thẳng qua E song song với AB cắt BC ở F, Chứng minh rằnga. Chứng minh tam gi[r]

Toán

Chương Tam giác

Bài giải chuyên đề : Định lý Py-ta-go trường hợp tam giác

Bài 1: Trên hình vẽ bên cho biết AD DC; DC  BC; AHBC; AB = 13cm , AC = 15cm; DC = 12cm Tính độ dài đoạn thẳng BC

12

13 15

H

B C

D A

Giải:

Vì AH  BC (H BC) , DC  BC (gt)  AH // DC Do đó: HAC = DCA (so le )

Chứng minh tương tự có: ACH = DAC Xét tam giác AHC tam giác CDA có

HAC = DCA( cmt) AC cạnh chung;

ACH = DAC( cmt)

Do đó: AHCCDA (g.c.g)  AH = DC ( hai cạnh tương ứng ) Mà DC = 12cm (gt)

Do đó: AH = 12cm (1)

 BH2 = AB2 - AH2 = 132 - 122 = 55 = 25  BH = (cm) (2)

Tam giác vuông HAC vuông H theo định lý Pitago ta có: AH2 + HC2 = AC2

 HC2 = AC2 - AH2 = 152 - 122 = 91 = 92  HC = (cm)

Do đó: BC = BH + HC = + = 14 (cm)

Bài 2: Cho tam giác vuông cân đỉnh A MA = cm; MB = cm; góc AMC = 1350 Tính độ dài đoạn thẳng MC

A B

C M

D

Giải:

Trên nửa mặt phẳng AM không chứa điểm B

Dựng tam giác ADM vng cân taị đỉnh A

Ta có: AD = MA = cm , AMD = 450; DMC = AMC - AMD = 900 Xét tam giác ADC AMB có:

AD = AM

DAC = MAB (hai góc phụ với góc CAM); AC = AB (gt)

Do đó: ADCAMB (c.g.c)  DC = MB ( hai cạnh tương ứng )

Tam giác vuông AMD vuông A

nên MD2 = MA2 + MC2 (pitago) Do đó: MD2

DC2 = MD2 + MC2 (Pitago) Do đó: 32

= + MC2 MC2 = - = MC =

Bài 3: Tam giác ABC có phải tam giác vuông hay không cạnh AB; AC; BC tỉ lệ với

a 9; 12 15 b 3; 2,4 1,8

c 4; d ; Giải: a                   2 2 2 225 15 144 12 81 15 12 k BC k BC k AC k AC k AB k AB k BC AC AB

AB2 + AC2 = 81k2 + 144k2 = 225k2 = BC2 Vậy tam giác ABC vuông A

b                   2 2 2 49 36 16 k BC k BC k AC k AC k AB k AB k BC AC AB

 AB2 + AC2 = 16k2 + 36k2 = 52k2  49k2 = BC2 Vậy tam giác ABC không tam giác vuông c Tương tự tam giác ABC vuông C (C = 900

) d Làm tương tự tam giác ABC vuông cân (B = 900

)

Bài 4: Cho tam giác vuông ABC (A = 900), kẻ AH  BC Chứng minh: AB2

+ CH2 = AC2 + BH2

Giải:

H A

Áp dụng định lý Pitago vào tam giác vuông Tam giác ABH có H = 900

 AB2 = AH2 + HB2 AB2 - HB2 = AH2 AHC

 có H = 900 AC2 = AH2 + HC2

 AC2 - HC2 = AH2

 AB2 - HB2 = AC2 - HC2  AB2 + CH2 = AC2 + BH2

Bài 5: Cho tam giác ABC cân A, cạnh đáy BC Từ B kẻ đường vng góc với AB từ C kẻ đường vng góc với AC Hai đường cắt M Chứng minh

a AMB AMC

b AM đường trung trực đoạn thẳng BC

1

I

B C

A

M

Giải:

a Xét tam giác ABM vuông B ACM vuông C Cạnh huyền AM chung

AB = AC (gt)

Suy AMBAMC( cạnh huyền – cgv)

b Do AMBAMC A1 = A2( hai góc tương ứng )

Gọi I giao điểm AM BC

AI chung

A1 = A2 (c/m trên);

AB = AC (Vì tam giác ABC cân A); Nên AIB AIC (c.g.c)

Suy IB = IC ( hai cạnh tương ứng ) ; Và AIB = AIC ( hai góc tương ứng ) Mà AIB + AIC = 1800 (2 góc kề bù nhau) Suy  AIB =  AIC = 900

Suy AM  BC trung điểm I đoạn thẳng BC Do AM đường trung trực đoạn thẳng BC Bài 6:

a Cho tam giác ABC cân A, kẻ AD vng góc với BC Chứng minh AD tia phân giác góc A

b Cho tam giác ABC cân A, kẻ BD vuông góc với AC, kẻ CE vng góc với AB Gọi K giao điểm BD CE Chứng minh AK tia phân giác góc A

Giải:

D A

C B

a Xét ADB vuông D ADC vng D có Canh AD cạnh chung;

AB = AC (Vì tam giác ABc cân A);

ADBADC (cạnh huyền - cạnh góc vng)

 BAD = CAD (cặp góc tương ứng)

1

K

E D

B C

A

D

b Xét ADB vuông D AEC vng E có AB cạnh huyền chung

CÂB góc chung

Nên ADBAEC (cạnh huyền - góc nhọn) Suy AD = AE (cặp cạnh tương ứng)

Xét ADK vuông D AEK vng E có AK cạnh huyền chung

AD = AE (cmt)

Nên ADK  AEK (cạnh huyền - cgv) Suy A1 = A2 ( hai góc tương ứng )

Do AK tia phân giác góc  Bài 7: Cho tam giác ABC biết C =

3

A B



a.Chứng minh tam giác ABC tam giác vuông A tính số đo góc B, góc C

b Kẻ đường cao AH Chứng minh B = HAC; C = BAH

H

B

Giải:

a Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có :

0 30 180 3

1    

   

 B C A B C

C

Vậy 0

30 90

A

A

   nên tam giác ABC tam giác vng A b Vì AH BC nên H = 1v suy B + BAH = 1v

Vì BAH + HAC = 1v suy B = HAC (2 góc phụ nhau) Tương tự ta chứng minh C = BAH

Bài 8: Cho tam giác vng ABC vng A có

4 

AC AB

BC = 15cm

Tìm độ dài AB; AC

B

C

A

Giải:

Theo đề ta có:

16 2 AC AB AC AB   

Theo tính chất dãy tỉ số định lý Pitago ta có: 25 15 25 16 16 2 2 2      

 AC AB AC BC

AB

Bài 9: Cho tam giác vuông ABC (A = 900) Chứng minh a Nếu AB =

2

BC C = 300

b Nếu C = 300 AB =

BC

Giải:

Trên tia đối tia AB đặt AD = AB

Nối CD ta xét hai tam giác vngBACvà DAC vng A có:

AC cạnh huyền chung AB=AD ( cmt )

DAC BAC

 (cạnh huyền – cạnh góc vng)

 CB = CD (1)

A

D

C B

a Nếu AB =

BC AB = AD =

BD

Thì BC = BD (2)

Từ (1) (2) suy CB = BD Vậy tam giác BCD Suy BCA = ACD =

2

BCD = 0

30 60

 b CB = CD  Tam giác CBD cân

Nếu BCA = 300; BCD = 60 Suy tam giácBCD BD = BC

2AB = BC AB =

Bài 10: Cho tam giác ABC có AB < AC Tia phân giác góc A cắt đường trung trực BC I Kẻ IH vng góc với đường thẳng AB, kẻ IK vng góc với đường thẳng AC Chứng minh BH = CK

1

M

I

K

H

C B

A

Giải:

Gọi M trung điểm BC ta có: BM = CM

Xét BMI vng M ( MI BC )và CMI vng M có BM = CM ( cmt )

IM chung;

Suy BMI = CMI ( cgv-cgv) IB = IC (cặp cạnh tương ứng) Tương tự ta lại có :

Cạnh huyền AI chung

A A ( AI tia phân giác )

Suy AHIAKI (cạnh huyền - góc nhọn) IH = IK ( hai cạnh tương ứng )

Tương tự ta lại có : IB=IC ( cmt)

IH = IK( cmt)

Bài 11: Cho tam giác ABC, D trung điểm AB, đường thẳng qua D song song với BC cắt AC E, đường thẳng qua E song song với AB cắt BC F, Chứng minh

a AD = EF

b ADEEFC c AE = EC

F A

B C

D

E

Giải:

a.Nối D với F DE // BF EF // BD nên DEFFBD (g.c.g)

Suy EF = DB

Ta lại có: AD = DB suy AD = EF b.Ta có: AB // EF  A = E (đồng vị)

AD // EF;

DE = FC nên D1 = F1 (cùng B)

Suy ADEEFC (g.c.g) c.ADEEFC (theo câu b)

suy AE = EC (cặp cạnh tương ứng)

Bài 12: Cho tam giác ABC, kẻ BE  AC CF AB Biết BE = CF = 8cm Độ dài đoạn thẳng BF BC tỉ lệ với

a Chứng minh tam giác ABC tam giác cân b Tính độ dài cạnh đáy BC

Chứng minh đường thẳng AO trung trực đoạn thẳng EF O I A C B E F Giải:

a Xét BFC vuông E CEB vuông F BE = CF ( = 8cm )

BC cạnh chung CEB

BFC

 ( cạnh huyền – cạnh góc vuông ) Suy FBC = ECB

Do tam giác ABC cân A b Theo đề đoạn thẳng BF BC tỉ lệ với

Ta có:

16 16 25 25 2 2 2        

 BC BF BC BC BF FC

BF

 25.4 100 10

25 2     

 BC BC

BC

cm

c Gọi I giao điểm EF AO Tam giác ABC cân AB = AC mà BF = EC (BFCCEB)

AF = AE ( hai cạnh tương ứng )

Suy AFOAEO(cạnh huyền - cạnh góc vng)

 FAO = EAO ( hai góc tương ứng ) Và ta có AF = AE ( cmt)

 FAI =  EAI ( cmt)

Do FAIEAI  IF = IE ( hai cạnh tương ứng )(1) Và FIA = EIA ( hai góc tương ứng )

nên FIA = EIA = 900 AI  EF (2)

Từ (1) (2) suy AO trung trực đoạn thẳng EF

Bài 13: Cho tam giác ABC hai điểm N, M trung điểm cạnh AC, AB Trên tia BN lấy điểm B/

sao cho N trung điểm BB/

Trên tia CM lấy điểm C/

cho M trung điểm CC/ Chứng minh:

a B/C/ // BC b A trung điểm B/

C/

C' B'

N M

C B

A

Giải:

a Xét hai tam giác AB/N CBN ta có: AN = NC ( N trung điểm )

ANB/ = BNC (đối đỉnh) NB = NB/( N trung điểm ) ; Vậy AB/N CBN(c.g.c)

Suy AB/ = BC ( hai cạnh tương ứng ) NBC = AB/ N ( hai góc tương ứng )

Mà hai góc vị trí so le nên AB/

// BC Chứng minh tương tự ta có: AC/

= BC AC/ // BC

Từ điểm A kẻ đường thẳng song song với BC Vậy AB/

AC/ trùng nên B/C/ // BC b Theo chứng minh AB/

= BC, AC/ = BC Suy AB/ = AC/

Hai điểm C/

B/nằm hai nửa mặt phẳng đối bờ đường thẳng AC Vậy A nằm B/

Bài 14: Cho tam giác ABC , D trung điểm AB, E trung điểm AC vẽ F cho E trung điểm DF Chứng minh:

a DB = CF b BDCFCD c DE // BC DE =

2

BC

F E

D

C B

A

Giải: a AEDCEF

AD = CF Do đó: DB = CF (= AD)

b AEDCEF (câu a)

suy ADE = F  AD // CF (hai góc vị trí so le) AB // CF  BDC = FCD (so le trong)

Do đó: BDCECD (c.g.c) c BDCECD (câu b)

Suy C1 = D1 DE // BC (so le trong) FCD

BDC

 BC = DF

Do đó: DE =

DF nên DE =

Bài 15: Cho tam giác ABC lấy điểm D, E, F theo thứ tự thuộc cạnh AB, BC, CA

cho AD = BE = CF Chứng minh tam giác DEF tam giác

F

E D

C B

A

Giải:

Ta có AB = BC = CA, AD = BE = CF

Nên AB - AD = BC - BE = CA - CF Hay BD = CE = AF

Tam giác ABC đều A = B = C = 600 BED

ADF

 (c.g.c) DF = DE (cặp cạnh tương ứng) FCE

EBD

 (c.g.c) DE = EF (cặp cạnh tương ứng) Do đó: DF = DE = EF

Vậy tam giác DEF tam giác